苏科版八年级数学下学期10.5 分式方程同步练习卷解析版

苏科版八年级下学期《6.5 分式方程》同步练习卷
一．选择题（共10小题）
1．下列关于x的方程：+x＝1，＝，＝，＝2中，分式方程的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程＝0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+＝1+是分式方程．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若关于x的分式方程的解为负数，则字母a的取值范围为（　　）
A．a≥﹣1 B．a≤﹣1且a≠﹣2 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1且a≠﹣2
4．关于x的分式方程有增根，则a的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．某项工作，甲单独完成需要40分钟；若甲、乙共同做20分钟后，乙需再单独做20分钟才能完成，则乙单独完成需要（　　）
A．40分钟 B．60分钟 C．80分钟 D．100分钟
6．要使关于x的不等式组有解，且使关于x的分式方程有整数解，则所有整数a的和是（　　）
A．2 B．1 C．3 D．﹣2
7．在创建”国家卫生城市“的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，问现在平均每天植树是（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
8．某部门组织调运一批物资，一运送物资车开往距离出发地180千米的目的地，出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．设原计划速度为x千米/小时，则方程可列为（　　）
A．＝
B．＝
C．+1＝﹣
D．+1＝+
9．抗震救灾活动中，小童统计了甲、乙两个班的捐款情况，得到三个信息：设甲班有x人，则依题意可列方程为（　　）
①甲班捐款2500元，乙班捐款2700元；
②乙班平均每人捐款数比甲班多；
③甲班比乙班多5人．
A． B．
C． D．
10．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息

如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　）
A．13小时 B．13小时 C．14小时 D．14小时
二．填空题（共6小题）
11．已知方程﹣＝，如果用去分母的方法解方程，那么最简公分母是　 　．
12．已知分式方程+＝，设＝y，那么原方程可以变形为　 　．
13．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2＝0，那么x+的值是　 　．
14．对于实数a，b定义一种新运算“?”：a?b＝，例如，1?3＝＝﹣．则方程x?2＝﹣1的解是　 　．
15．设a≠b，我们用符号[a，b]表示，两数中较大的一个，如[，﹣2]＝，按照这个规定方程[﹣，]＝的解为　 　．
16．某学校即将开展读书活动，决定为各班级添置图书柜，原计划用4000元购买若干个书柜，由于市场价格变化，每个书柜上涨20元，实际购买时多花了400元，则书柜原来每个　 　元．
三．解答题（共8小题）
17．解下列分式方程
（1）
（2）



18．m为何值时，关于x的方程 +＝会产生增根？



19．已知关于x的方程：＝﹣2．
（1）当m为何值时，方程无解．
（2）当m为何值时，方程的解为负数．



20．已知实数x满足x2++x+＝0
（1）若令x+＝t，则上述等式可化为　 　；
（2）求x+的值．
21．定义新运算：对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝
如：2⊕3＝
（1）求4⊕（﹣6）的值；
（2）计算⊕；
（3）若2⊕（2x﹣1）＝1，求x的值．


22．对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．
如：T（3，1）＝＝，T（m，﹣2）＝．
（1）填空：T（4，﹣1）＝　 　（用含a，b的代数式表示）；
（2）若T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6．
①求a与b的值；
②若T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），求m的值．


23．列方程解应用题
小华和小明两位同学同时为学校元旦联欢会制作彩旗．已知小华每小时比小明多做5面彩旗，小华做60面彩旗与小明做50面彩旗所用时间相等．问小华、小明每小时各做多少面彩旗？


24．列分式方程解应用题：
“5G改变世界，5G创造未来”．2019年9月，全球首个5G上海虹桥火车站，完成了5G网络深度覆盖，旅客可享受到高速便捷的5G网络服务．虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍．在峰值速率下传输7千兆数据，5G网络比4G网络快630秒，求5G网络的峰值速率．



参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列关于x的方程：+x＝1，＝，＝，＝2中，分式方程的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由分式方程的定义可知：＝不是分式方程．
【解答】解：＝不是分式方程，是整式方程，
故选：C．
2．下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程＝0的根为2；
③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；
④x+＝1+是分式方程．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式方程的定义、增根的概念及最简公分母的定义解答．
【解答】解：①解分式方程不一定会产生增根；
②方程＝0的根为2，分母为0，所以是增根；
③方程的最简公分母为2x（x﹣2）；
所以①②③错误，根据分式方程的定义判断④正确．
故选：A．
3．若关于x的分式方程的解为负数，则字母a的取值范围为（　　）
A．a≥﹣1 B．a≤﹣1且a≠﹣2 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1且a≠﹣2
【分析】解分式方程得x＝a+1，由题意可知a+1＜0，当x＝﹣1时，a＝﹣2，方程有增根．
【解答】解：方程两边同时乘以x+1，得
2x﹣a＝x+1，
解得：x＝a+1，
∵解为负数，
∴a+1＜0，
∴a＜﹣1，
当x＝﹣1时，a＝﹣2，
∴a＜﹣1且a≠﹣2，
故选：D．
4．关于x的分式方程有增根，则a的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先去分母，化成整式方程，再根据增根为使得分母为0的值，将其代入变形后的整式方程即可解出a．
【解答】解：在方程两边同时乘以（x﹣4）得x+1＝a，
∵方程有增根，即x＝4满足方程x+1＝a，
将x＝4代入得4+1＝a，
∴a＝5
故选：D．
5．某项工作，甲单独完成需要40分钟；若甲、乙共同做20分钟后，乙需再单独做20分钟才能完成，则乙单独完成需要（　　）
A．40分钟 B．60分钟 C．80分钟 D．100分钟
【分析】设乙单独完成需要x分钟，根据题意列出方程即可求出答案．
【解答】解：设乙单独完成需要x分钟，
由题意可知：20（+）+＝1，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，
故选：C．
6．要使关于x的不等式组有解，且使关于x的分式方程有整数解，则所有整数a的和是（　　）
A．2 B．1 C．3 D．﹣2
【分析】不等式组整理后，由题意确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，检验即可．
【解答】解：解不等式得：，
由不等式组有解，得到﹣2≤x＜a，
∴a≥﹣2，
，
去分母，两边同时乘以x﹣4，得，
ax+x﹣4＝﹣x，
（a+2）x＝4，
x＝，a≠﹣2
∵x是整数，且x≠4，x≠0，
当a＝﹣1时，x＝4，不符合题意，
当a＝0时，x＝2，
当a＝2时，x＝1，
∴a＝0或2，
∴2+0＝2，
故选：A．
7．在创建”国家卫生城市“的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，问现在平均每天植树是（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际平均每天植树（x+5）棵，根据工作时间＝总工作量÷工作效率结合现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际平均每天植树（x+5）棵，
根据题意得：＝，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴x+5＝20．
故选：C．
8．某部门组织调运一批物资，一运送物资车开往距离出发地180千米的目的地，出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．设原计划速度为x千米/小时，则方程可列为（　　）
A．＝
B．＝
C．+1＝﹣
D．+1＝+
【分析】设原计划速度为x千米/小时，根据“一运送物资车开往距离出发地180千米的目的地”，则原计划的时间为：，根据“出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶”，则实际的时间为：+1，
根据“实际比原计划提前40分钟到达目的地”，列出关于x的分式方程，即可得到答案．
【解答】解：设原计划速度为x千米/小时，
根据题意得：
原计划的时间为：，
实际的时间为：+1，
∵实际比原计划提前40分钟到达目的地，
∴+1＝﹣，
故选：C．
9．抗震救灾活动中，小童统计了甲、乙两个班的捐款情况，得到三个信息：设甲班有x人，则依题意可列方程为（　　）
①甲班捐款2500元，乙班捐款2700元；
②乙班平均每人捐款数比甲班多；
③甲班比乙班多5人．
A． B．
C． D．
【分析】人数为未知数，各班的捐款总数已知，根据②中等量关系来建立方程，即可得解．
【解答】解：甲班每人捐款元，乙班每人捐款元，根据②中的等量关系，可得方程：
×（1+）＝
故选：C．
10．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息

如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　）
A．13小时 B．13小时 C．14小时 D．14小时
【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时；根据信息二提供的信息列出方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．
【解答】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则
＝．
解得x＝20
经检验x＝20是原方程的根，且符合题意．
则丙的工作效率是．
所以一轮的工作量为：++＝．
所以4轮后剩余的工作量为：1﹣＝．
所以还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：﹣﹣＝．
所以丙还需要工作小时．
故一共需要的时间是：3×4+2+＝14小时．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．已知方程﹣＝，如果用去分母的方法解方程，那么最简公分母是　3x（x﹣1）　．
【分析】找出各分母的最简公分母即可．
【解答】解：已知方程﹣＝，整理得：﹣＝，
如果用去分母的方法解方程，那么最简公分母是3x（x﹣1），
故答案为：3x（x﹣1）
12．已知分式方程+＝，设＝y，那么原方程可以变形为　y+＝　．
【分析】根据设出的y，将分式方程变形即可．
【解答】解：∵分式方程+＝，设＝y，
∴原方程可以变形为y+＝，
故答案为：y+＝
13．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2＝0，那么x+的值是　2　．
【分析】根据换元法，可得答案．
【解答】解：设x+＝u，原方程等价于u2﹣u﹣2＝0，
解得u＝2或u＝﹣1，
x+＝2或x+＝﹣1（不符合题意，舍），
故答案为：2．
14．对于实数a，b定义一种新运算“?”：a?b＝，例如，1?3＝＝﹣．则方程x?2＝﹣1的解是　x＝5　．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出分式方程的解即可．
【解答】解：根据题中的新定义，化简得：＝﹣1，
去分母得：1＝2﹣x+4，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是分式方程的解，
故答案为：x＝5．
15．设a≠b，我们用符号[a，b]表示，两数中较大的一个，如[，﹣2]＝，按照这个规定方程[﹣，]＝的解为　x＝1或x＝﹣3　．
【分析】分类讨论﹣与的大小，利用题中的新定义化简，求出解即可．
【解答】解：分两种情况讨论：
①当﹣＜时，方程整理得：＝，
去分母得：3﹣x＝2x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解；
②当﹣＞时，方程整理得：﹣＝，
去分母得：x﹣3＝2x，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．
故答案为：x＝1或x＝﹣3．
16．某学校即将开展读书活动，决定为各班级添置图书柜，原计划用4000元购买若干个书柜，由于市场价格变化，每个书柜上涨20元，实际购买时多花了400元，则书柜原来每个　200　元．
【分析】首先设书柜原来的单价是x元，则由于市场价格变化，每个单价上涨20元后的单价是（x+20）元，根据等量关系：原计划4000元所买的书柜数量＝实际4400元所买的书柜数量可得方程，解方程可得答案．
【解答】解：设书柜原来的单价是x元，由题意得：
＝，
解得：x＝200，
经检验：x＝200是原分式方程的解，
答：书柜原来的单价是200元．
故答案是：200．
三．解答题（共8小题）
17．解下列分式方程
（1）
（2）
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2x﹣3x﹣5＝4（2x﹣3），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣3≠0，
所以，原方程的解是x＝1；
（2）去分母得：12﹣2（x+3）＝x﹣3，
解得：x＝3
检验：当x＝3时（x+3）（x﹣3）＝0，
所以x＝3不是原方程的解，
所以，原方程无解．
18．m为何值时，关于x的方程 +＝会产生增根？
【分析】先去分母得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），整理得（m﹣1）x+10＝0，由于关于x的方程 +＝会产生增根，则（x+2）（x﹣2）＝0，解得x＝﹣2 或x＝2，然后把x＝﹣2 和x＝2分别代入（m﹣1）x+10＝0即可得到m的值．
【解答】解：原方程化为+＝，
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）
得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），
整理得（m﹣1）x+10＝0，
∵关于x的方程 +＝会产生增根，
∴（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣2 或x＝2，
∴当x＝﹣2时，（m﹣1）×（﹣2）+10＝0，解得m＝6，
当x＝2时，（m﹣1）×2+10＝0，解得m＝﹣4，
∴m＝﹣4或m＝6时，原方程会产生增根．
19．已知关于x的方程：＝﹣2．
（1）当m为何值时，方程无解．
（2）当m为何值时，方程的解为负数．
【分析】（1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答．
（2）通过解分式方程得到x的值，然后根据已知条件列出关于m的不等式，通过解不等式可以求得m的值．
【解答】解：（1）由原方程，得
2x＝mx﹣2x﹣6，
①整理，得
（4﹣m）x＝﹣6，
当4﹣m＝0即m＝4时，原方程无解；
②当分母x+3＝0即x＝﹣3时，原方程无解，
故2×（﹣3）＝3m﹣2×3﹣6，
解得 m＝2，
综上所述，m＝2或4；

（2）由（1）得到 （4﹣m）x＝﹣6，
当m≠4时．x＝＜0，
解得 m＜4
综上所述，m＜4且m≠2．
20．已知实数x满足x2++x+＝0
（1）若令x+＝t，则上述等式可化为　t2+t﹣2＝0　；
（2）求x+的值．
【分析】（1）利用完全平方式，求得x2+＝t2﹣2，整体代入即可解决问题；
（2）解整式方程，求出t的值，再检验即可解决问题；
【解答】解：（1）∵x+＝t，
∴x2+2+＝t2，
∴x2+＝t2﹣2，
∴原方程可以化为：t2+t﹣2＝0，
故答案为t2+t﹣2＝0．

（2）解：由t2+t﹣2＝0得
（t+2）（t﹣1）＝0
∴t1＝﹣2，t2＝1 …（6分）
当t＝﹣2时，x+＝﹣2，即x2+2x+1＝0，△＝0；
当t＝1时，x+，即x2﹣x+1＝0，△＝﹣3＜0，舍去，
∴x+＝﹣2．
21．定义新运算：对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝
如：2⊕3＝
（1）求4⊕（﹣6）的值；
（2）计算⊕；
（3）若2⊕（2x﹣1）＝1，求x的值．
【分析】根据题意，将运算进行变形进得求解即可．
（1）整得得，4⊕（﹣6）＝，
（2）整理得，⊕＝，求解即可
（3）2⊕（2x﹣1）＝1可化简得，＝1，解分式方程即可
【解答】解：由题意
（1）原式＝
＝
＝
（2）原式＝
＝
＝
＝
（3）原式整理得，


2＝3（2x﹣1）
6x＝5

经检验：x＝是原方程的解
22．对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．
如：T（3，1）＝＝，T（m，﹣2）＝．
（1）填空：T（4，﹣1）＝　　（用含a，b的代数式表示）；
（2）若T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6．
①求a与b的值；
②若T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），求m的值．
【分析】（1）把（4，﹣1）代入新运算中，计算得结果；
（2）①根据新运算规定和T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6，得关于a、b的方程组，解方程组即可；
②把①中求得的a、b代入新运算，并对新运算进行化简，根据T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10）得关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（1）T（4，﹣1）＝
＝；
故答案为：；

（2）①∵T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6，
∴
解得
②解法一：
∵a＝1，b＝﹣1，且x+y≠0，
∴T（x，y）＝＝＝x﹣y．
∴T（3m﹣10，m）＝3m﹣10﹣m＝2m﹣10，
T（m，3m﹣10）＝m﹣3m+10＝﹣2m+10．
∵T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），
∴2m﹣10＝﹣2m+10，
解得，m＝5．
解法二：由解法①可得T（x，y）＝x﹣y，
当T（x，y）＝T（y，x）时，
x﹣y＝y﹣x，
∴x＝y．
∵T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），
∴3m﹣10＝m，
∴m＝5．
23．列方程解应用题
小华和小明两位同学同时为学校元旦联欢会制作彩旗．已知小华每小时比小明多做5面彩旗，小华做60面彩旗与小明做50面彩旗所用时间相等．问小华、小明每小时各做多少面彩旗？
【分析】可设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗，根据等量关系：小华做60面彩旗与小明做50面彩旗所用时间相等．由此可得出方程求解．
【解答】解：设小明每小时做x面彩旗，则小华每小时做（x+5）面彩旗．
根据题意，列方程得
60x＝50（x+5）10
x＝250x＝25，
经检验，x＝25为原方程的解．
则x+5＝25+5＝30
答：小华每小时做30面彩旗，小明每小时做25面彩旗．
24．列分式方程解应用题：
“5G改变世界，5G创造未来”．2019年9月，全球首个5G上海虹桥火车站，完成了5G网络深度覆盖，旅客可享受到高速便捷的5G网络服务．虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍．在峰值速率下传输7千兆数据，5G网络比4G网络快630秒，求5G网络的峰值速率．
【分析】设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆，根据在峰值速率下传输7千兆数据，5G网络比4G网络快630秒列出方程即可．
【解答】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据．
依题意，得，
解得 x＝0.01．
经检验：x＝0.01是原方程的解，且满足实际意义．
10x＝10×0.01＝0.1
答：5G网络的峰值速率为每秒传输0.1千兆数据．