中考数学专题——几何辅助线问题汇编（PDF版，无答案）
文档属性
| 名称 | 中考数学专题——几何辅助线问题汇编（PDF版，无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 8.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-24 22:03:23 | ||
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文档简介
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目录
第一章 “8”字模型与飞镖模型...........................................................................................................................3
【模型 1】角的“8”字模型........................................................................................................................3
【模型 2】 角的飞镖模型.............................................................................................................................4
【模型 3】 边的“8”字模型.......................................................................................................................5
【模型 4】 边的飞镖模型.............................................................................................................................5
第二章 角平分线四大模型............................................................................................................................... 7
【模型 1】角平分线上的点向两边作垂线..................................................................................................7
【模型 2】截取构造对称全等......................................................................................................................8
【模型 3】角平分线+垂线构造等腰三角形..............................................................................................10
【模型 4】 角平分线+平行线.....................................................................................................................11
第三章 截长补短............................................................................................................................................. 13
【模型】 截长补短..................................................................................................................................... 13
第四章 手拉手模型......................................................................................................................................... 16
【模型】 手拉手......................................................................................................................................... 16
第五章 三垂直全等模型................................................................................................................................. 20
【模型】 三垂直全等模型......................................................................................................................... 20
第六章 将军饮马............................................................................................................................................. 23
【模型 1】 定直线与两定点...................................................................................................................... 23
【模型 2】 角到定点.................................................................................................................................. 26
【模型 3】 两定点一定长.......................................................................................................................... 29
第七章 蚂蚁行程............................................................................................................................................. 31
【模型 1】 立体图形展开的最短路径...................................................................................................... 31
第八章 中点四大模型..................................................................................................................................... 34
【模型 1】 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形.............................................. 34
【模型 2】 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”.....................................36
【模型 3】 已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理.................................................................. 38
【模型 4】 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.......................................................... 41
第九章 半角模型............................................................................................................................................. 43
2
【模型 1】 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形.............................................. 43
第十章 相似模型............................................................................................................................................. 48
【模型 1】 A、8 模型.................................................................................................................................48
【模型 2】 共边共角型.............................................................................................................................. 50
【模型 3】 一线三角型...............................................................................................................................52
【模型 4】 倒数型...................................................................................................................................... 54
【模型 5】 与圆有关的简单相似.............................................................................................................. 56
【模型 6】 相似与旋转.............................................................................................................................. 57
第十一章 圆中的辅助线................................................................................................................................. 59
【模型 1】 连半径构造等腰三角形.......................................................................................................... 59
【模型 2】 构造直角形.............................................................................................................................. 60
【模型 3】 与圆的切线有关的辅助线...................................................................................................... 62
第十二章 辅助圆............................................................................................................................................. 64
【模型 1】 共端点，等线段模型.............................................................................................................. 64
【模型 2】 直角三角形共斜边模型.......................................................................................................... 65
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第一章 “8”字模型与飞镖模型
【模型 1】角的“8”字模型
如图所示，AB、CD相交于点 O，连接 AD、BC.
结论：∠A+∠D=∠B+∠C.
模型分析
“8”字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到.
模型实例
观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .
牛刀小试
1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ；
（2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= .
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= .
4
【模型 2】角的飞镖模型
如图所示，有结论：∠D=∠A+∠B+∠C.
模型分析
飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到.
模型实例
如图，在四边形 ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与 CM交于M.
探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系.（ 360
2
B DAMC ?? ??? ?
?
）
牛刀小试
1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ；
（2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= .
2．如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ；
3．如图④，求∠A+∠B+∠C+∠D = .
图③ 图④
5
【模型 3】边的“8”字模型
如图所示，AC、BD相交于点 O，连接 AD、BC.
结论：AC+BD>AD+BC
模型实例
如图，四边形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O
求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD；
（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.
【模型 4】边的飞镖模型
如图所示有结论： AB+AC>BO+C0.
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模型实例
如图，点O为三角形内部一点.
求证：（1）2（AO+BO+CO）>AB+BC+AC；
（2）AB+BC+AC>AO+BO+CO.
牛刀小试
1．如图，在△ABC中，D、E在 BC边上，且 BD=CE
求证：AB+AC>AD+AE
2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由
（1）如图①，△ABC中，P为边 BC上一点，请比较 BP+PC与 AB+AC的大小，并说明理
由；
（2）如图②，将（1）中的点 P移至△ABC内，请比较△BPC的周长与△ABC的周长的大
小，并说明理由；
（3）图③将（2）中的点 P变为 P1、P2，请比较四边形 BP1P2C的周长与△ABC的周长的大
小，并说明理由.
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第二章 角平分线四大模型
【模型 1】角平分线上的点向两边作垂线
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点 P作
PA⊥OM于点 A，PB⊥ON于点 B
结论：PB=PA
模型分析
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、
角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口.
模型实例
（1）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点 D到直线
AB的距离是 ；
（2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4
求证：AP平分∠BAC
牛刀小试
1．如图，在四边形 ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC
求证：∠BAD+∠BCD=180°
8
2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线 CP与内角∠ABC的
平分线 BP交于点 P，若∠BPC=40°，则∠CAP= .
【模型 2】截取构造对称全等
如图，P是∠MON的平分线上一点，点 A是射线 OM上任意一点，
在 ON上截取OB=OA，连接 PB.
结论：△OPB≌△OPA
模型分析
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对
应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例
（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是 AD上异于点 A的任意
一点，试比较 PB+PC与 AB+AC的大小，并说明理由；
（2）如图②所示， AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB与 AC-AB
的大小，并说明理由.
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牛刀小试
1．已知，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线，AB=16，BD=8.
求线段 AC的长.
2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC. 求证：BC=AB+CD.
3．如图所示，在△ABC中，∠A=100°，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，延长 BD至 E，
DE=AD.求证：BC=AB+CE.
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【模型 3】角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于 P点，延长 AP于点 B.
结论：△AOB是等腰三角形
模型分析
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，
进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型实例
如图，已知等腰直角三角形 ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂
足为 E.求证：BD=2CE.
牛刀小试
1．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为 D.
求证： 2 1 C? ?? ?? .
2．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点 E.
求证： ? ?1
2
BE AC AB? ? .
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【模型 4】角平分线+平行线
如图，P是∠MO的平分线上一点，过点 P作 PQ∥ON，交OM于点Q
结论：△POQ是等腰三角形
模型分析
有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明
结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
模型实例
解答下列问题：
（1）如图①所示，在△ABC中，EF∥BC，点 D在 EF上，BD、CD分别平分∠ABC、
∠ACB，写出线段 EF与 BE、CF有什么数量关系；
（2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交 AB于点 E，交 AC于点 F，
线段 EF与 BE、CF有什么数量关系？并说明理由。
（3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，，DE∥BC交 AB延长
线于点 E，交 AC延长线于点 F，直接写出线段 EF与 BE、CF有什么数量关系？
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牛刀小试
1.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 E，过点 E作 EF∥BC，
交 AB于点M，交 AC于点 N.若 BM+CN=9，则线段MN的长为 .
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点 E、F分别在 BD、AD上，EF∥AB， 且
DE=CD.求证：EF=AC
3.如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，点 E在 CD上，且 AE平分∠BAD，
BE平分∠ABC.求证：AD=AB-BC
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第三章 截长补短
【模型】 截长补短
如图①，若证明线段 AB、CD、EF之间存在 EF=AB+CD，
可以考虑截长补短法.
截长法：如图②，在 EF上截取 EG=AB，再证明 GF=CD.
补短法：如图③，延长 AB至 H点，使 BH=CD，再证明 AH=EF.
模型分析
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中截取一段等于
已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角
形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。
模型实例
例 1．如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC交 BC于点 D.
求证：AB=AC+CD
例 2．如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点 C，∠A=∠GBD.
求证：AO+BO=2CO
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牛刀小试
1．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且 AC=AB+BD
求∠ABC的度数
2．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB
求证：AC=AE+CD
3．如图，∠ABC+∠BCD=180°，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD
求证：AB+CD=BC
4．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交 BC于点 D，∠C=30°，
BE⊥AD于点 E.求证：AC-AB=2BE
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5．如图，Rt△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC交 BC于点 D，CE⊥AD交 AD于 F点，
交 AB于点 E.求证：AD=2DF+CE
6．如图，五边形 ABCDE中，AB=AC，BC+DE=CD，∠B+∠E=180°
求证：AD平分∠CDE
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第四章 手拉手模型
【模型】 手拉手
如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=?
结论： ABC ADE? ?? ,△BAD≌△CAE(一转成双)
模型分析
手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。
模型实例
例 1．如图，△ADC与△EDC都为等腰直角三角形，连接 AG、CE，相交于点 H，
问：（1）AG与 CE是否相等？ （2）AG与 CE之间的夹角为多少度？
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例 2．如图，直线 AB的同一侧作△ABD和△BCE都为等边三角形，连接 AE、CD，二者
交点为 H.求证：
（1）△ABE≌△DBC；
（2）AE=DC；
（3）∠DHA=60°；
（4）△AGB≌△DFB；
（5）△EGB≌△CFB；
（6）连接 GF，GF∥AC；
（7）连接 HB，HB平分∠AHC.
牛刀小试
1．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为 AB延长线上一点，点 E在
BC上，且 AE=CF.
（1）求证：BE=BF；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACF度数.
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2．如图，△ABD与△BCE都为等边三角形，连接 AE与 CD，延长 AE交 CD于点
H．证明：
（1）AE=DC；
（2）∠AHD=60°；
（3）连接 HB，HB平分∠AHC.
3．在线段 AE同侧作等边△CDE（∠ACE<120°），点 P与点M分别是线段 BE 和 AD的
中点. 求证：△CPM是等边三角形.
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4．将等腰 Rt△ABC和等腰 Rt△ADE按图①方式放置，∠A=90°，AD边与 AB边重合，
AB=2AD=4.将△ADE绕点 A逆时针方向旋转一个角度? （0°线交 CE于 P.
（1）如图②，证明：BD=CE，BD⊥CE；
（2）如图③，在旋转的过程中，当 AD⊥BD时，求出 CP的长.
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第五章 三垂直全等模型
【模型】 三垂直全等模型
如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。
结论：Rt△BCD≌Rt△CAE。
模型分析
说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重
的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的
一部分几何图形去求解。图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。
三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。
模型实例
例 1．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE=DE。
求证：AB+CD=BC。
例 2．如图，∠ACB-90°，AC=BC，BE⊥CE 于点 D，AD=2.5cm，BE=0.8cm。
求 DE 的长。
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例 3．如图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt△ABC 有两个顶点在坐标轴上，
求第三个顶点的坐标。
热搜精练
1．如图，正方形 ABCD，BE=CF。
求证：（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF。
2．直线 l上有三个正方形 a、b、c，
若 a、c的面积分别是 5和 11，
则 b的面积是 。
3．已知，△ABC 中，∠BAC-90°，AB=AC，点 P为 BC 上一动点（B P分别过 B、C作 BE⊥AP 于点 E、CF⊥AP 于点 F。
（1）求证：EF=CF-BE；
（2）若 P为 BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段 BE、CF、EF 是否存在
某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论。
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4．如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，设∠BCD=? ，
以 D为旋转中心，将腰 DC绕点 D逆时针旋转 90°至 DE。
（1）当? =45°时，求△EAD 的面积；
（2）当? =30°时，求△EAD 的面积；
（3）当 0°大小有无关系？若有关，写出△EAD 的面积 S
与? 的关系式；若无关，请证明结论。
5．如图，向△ABC 的外侧作正方形 ABDE、正方形 ACFG，
过点 A作 AH⊥BC 于 H，AH 的反向延长线与 EG交于
点 P。求证：BC=2AP。
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第六章 将军饮马
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形
周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年
的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
【模型 1】 定直线与两定点
模型 作法 结论
当两定点 A、B在直线 l异侧
时，在直线 l上找一点 P，使
PA+PB 最小。
连接 AB交直线 l于点 P，点
P即为所求作的点。
PA+ PB 的最
小。
当两定点 A、B在直线 l同侧
时，在直线 l上找一点 P，使
PA+PB 最小。
作点 B关于直线 l的对称点
B′，连接 AB′交直线于点
P，点 P即为所求作的点。
PA+PB 的最小
值为 AB′。
当两定点 A、B在直线 l同侧
时，在直线 l上找一点 P，使
PA PB? 最大。
连接 AB并延长交直线 l于点
P，点 P即为所求作的点。
PA PB? 的
最大值为 AB。
当两定点 A、B在直线 l同侧
时，在直线 l上找一点 P，使
PA PB? 最大。
作点 B关于直线 l的对称点
B′，连接 AB′并延长交直
线于点 P，点 P即为所求作
的点。
PA PB? 的
最大值为
AB′。
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当两定点 A、B在直线 l
同侧时，在直线 l上找一点
P，使 PA PB? 最小。
连接 AB，作 AB
的垂直平分线交直线 l于点
P，点 P即为所求作的点。
PA PB?
的 最 小 值 为
0。
模型实例
例 1．如图，正方形 ABCD 的面积是 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在
对角线 AC上有一点 P，则 PD+PE 的最小值为 。
例 2．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为 CD
上的动点，则 PA PB? 的最大值是多少？
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是 BC 边的中点，E是 AB 边
上一动点，则 EC+ED 的最小值是 。
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2．如图，点 C的坐标为（3， y），当△ABC 的周长最短时，求 y的值。
3．如图，正方形 ABCD 中，AB-7，M 是 DC 上的一点，且 DM-3，N 是 AC 上的一
动点，求 DN MN? 的最小值与最大值。
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【模型 2】 角到定点
模型 作法 结论
点 P在∠AOB 的内
部，在 OB 上找点 D，在
OA 上找点 C，使得△PCD
周长最小。
分别作点 P关于
OA、OB 的对称点 P′、
P"，连接
P′P"，交 OA、OB
于点 C、D，点 C、D即为
所求。
△PCD 周长最小为
P′P"。
点 P在∠AOB 的内
部，在 OB 上找点 D，在
OA 上找点 C，使得
PD+CD 最小。
作点 P关于 OB 的对
称点 P′，过点 P′作
P′C⊥OA 交 OB 于点 C，
点 C、D即为所求。
PC+CD 的最小值为
P′C。
点 P、Q在∠AOB 的
内部，在 OB 上找点 D，
在 OA 上找点 C，使得四
边形 PQDC 周长最小。
分别作点 P、Q关于
OA、OB 的对称点 P′、
Q′，连接 P′Q′，交
OA、OB 于点 C、D，点
C、D即为所求。
PC+CD+DQ 的最小值
为 P′Q′，所以四边形
PQDC 的周长的最小值为
P′Q′+PQ。
模型实例
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例 1．如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点 P，且 OP=10，在 OA 上有一
点 Q，OB 上有一点 R。若△PQR 周长最小，则最小周长是多少？
热搜精练
1．如图，∠MON=40°，P为∠MON 内一定点，A为 OM 上的点，B为 ON上的点，
当△PAB 的周长取最小值时：
（1）找到 A、B点，保留作图痕迹；
（2）求此时∠APB 等于多少度。如果∠MON=?，∠APB 又等于多少度？
2．如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在 BC、CD 上分别
找一点 M、N，使△AMN 周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM 的度数。
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3．如图，在 x轴上找一点 C，在 y轴上找一点 D，使 AD+CD+BC 最小，并
求直线 CD的解析式及点 C、D的坐标。
4．如图∠MON=20°，A、B分别为射线 OM、ON 上两定点，且 OA=2，OB=4，
点 P、Q分别为射线 OM、ON 上两动点，当 P、Q运动时，线段
AQ+PQ+PB 的最小值是多少？
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【模型 3】 两定点一定长
模型 作法 结论
如图，在直线 l上找
M、N两
点（M在左），使得
AM+MN+NB 最小，且 MN=d。
将点 A向右平移 d个
单位到 A′，作 A′关于直
线 l的对称点 A"，连接 A"B
交直线 l于点 N，将点 N向
左平移 d个单位到 M，点
M、N即为所求。
AM+MN+NB 最小为
A"B 。
如图， 1l ∥ 2l ， 1l ， 2l
之间距离为d，在 1l ， 2l 分
别找 M、N两点，使得 MN⊥
1l ，且 AM+MN+NB 最小。
将点 A向下平移 d个
单位到 A′，连接 A′B交
直线 2l 于点 N，将点 N向上
平移d个单位到 M，点 M、
N即为所求。
AM+MN+NB 的最小值
为 A′B+ d。
模型实例
例 1．在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示，
点 A在 x轴正半轴上，点 C在 y轴正半轴上，且 OA=6，OC=4，
D 为 OC 中点，点 E、F在线段 OA 上，点 E在点 F左侧，EF=2。
当四边形 BDEF 的周长最小时，求点 E的坐标。
30
热搜精练
1．在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O在坐标原点，顶点 A、B分别在，
x轴、 y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边 OB 的中点。
（1）若 E为边 OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；
（2）若 E、F为边 OA上的两个动点，且 EF=1，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E、F的
坐标。
2．村庄 A和村庄 B位于一条小何的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，
桥址应如何选择，才使 A与 B 之间的距离最短？
31
第七章 蚂蚁行程
【模型 1】 立体图形展开的最短路径
模型分析
上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点 A沿圆柱表面爬行一周。到点 B的最
短路径就是展开图中 AB′的长， 2 2' ' ' 'AB AA A B? ? 。做此类题日的关键就是，正确展开
立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。
模型实例
例 1．有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是 12m，高 AB 是 5m，要从点 A处开始绕油罐一
周建造房子，正好到达 A点的正上方 B处，问梯子最短有多长？
例 2．如图，一直圆锥的母线长为 QA=8，底面圆的半径 2r ? ， 若一只小蚂蚁从 A点出发，
绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 A点，则蚂蚁爬行的最短
路线长是 。
32
例 3．已知长方体的长、宽、高分别为 30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从 A
处出发到 B处觅食，求它所走的最短路径。（结果保留根号）
热搜精练
1．有一个圆锥体如图，高 4cm，底面半径 5cm，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧面爬行到 C处，
求蚂蚁爬行的最短距离。
2．如图，圆锥体的高为 8cm，底面周长为 4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从 A点到 B点，
路线如图，则最短路程为 。
33
3．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为 12厘米，底面周长 18厘米，在杯口
内壁离杯口距离 3厘米的 A处有一滴蜜糖，一只小虫 22 杯子外壁，当它正好在蜜糖相
对方向离桌面 3厘米的 B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖
所在的位置。
4．已知 O为圆锥顶点，OA、OB 为圆锥的母线，C为 OB的中点，一只小蚂蚁
从点 C开始沿圆锥侧面爬行到点 A，另一只小蚂蚁也从 C点出发绕着圆锥侧面爬行到点
B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示，若沿 OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为
（ ）
5．如图，一只蚂蚁沿着边长为 2的正方体表面从点 A出发，经过 3个面爬行
到点 B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为 。
34
6．如图是一个边长为 6的正方体木箱，点 Q 在上底面的棱上，AQ=2，一只
蚂蚁从 P点出发沿木箱表面爬行到点 Q，求蚂蚁爬行的最短路线。
7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm、3cm 和 1cm，A和 B 是
这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物。请你想一想，
这只蚂蚁从 A点出发，沿着台阶面爬到 B点的最短路程是多少？
第八章 中点四大模型
【模型 1】 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形
35
模型分析
如图①，AD 是△ABC 的中线，延长 AD至点 E使 DE=AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）。
如图②，D是 BC 中点，延长 FD 至点 E使 DE=FD，易证：
△FDB≌△FDC（SAS）。当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全
等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。
模型实例
例 1．如图，已知在△ABC 中，AD是 BC 边上的中线，E是 AD上一点，连接
BE并延长 AC 于点 F，AF=EF。求证：AC=BE。
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，AB=12，AC=20，求 BC 边上中线 AD 的范围。
36
2．如图，在△ABC 中，D是 BC 的中点，DM⊥DN，如果 2 2 2 2BM CN DM DN? ? ? 。
求证： ? ?2 2 214AD AB AC? ? 。
【模型 2】 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”
模型分析
等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线
合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三
角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。
模型实例
例 1．如图，在△ABC 中，AB=AC-5，BC=6，M 为 BC 的中点，MN⊥AC 于点 N，
求 MN 的长度。
37
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且 AE=AF。
求证：∠EDB=∠FDC。
2．已知 Rt△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，D为 AB 边的中点，∠EDF=90°，
∠EDF 绕点 D旋转，它的两边分别交 AC、CB（或它们的延长线）于 E、F。
（1）当∠EDF 绕点 D旋转到 DE⊥AC 于 E 时（如图①），
求证：
1
2DEF CEF ABC
S S S? ?? ? ? ；
（2）当∠EDF 绕点 D旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，
上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， DEFS? 、 CEFS? 、
ABCS? 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
38
【模型 3】 已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理
模型分析
在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线
的性质定理：DE∥BC，且
1
2
DE BC? 来解题，中位线定理既有线段之间的位
置关系又有数量关系，该模型可以解决相等，线段之间的倍半、相等及平行
问题。。
模型实例
例 1．如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 EF
并延长，分别与 BA、CD 的延长线交于点 M、N。
求证：∠BME=∠CNE。
39
热搜精练
1．（1）如图①，BD、CE 分别是△ABC 的外角平分，过点 A作 AD⊥BD、
AE⊥CE，垂足分别为 D、E，连接 DE。
求证：DE∥BC， ? ?1
2
DE AB BC AC? ? ? ；
（2）如图②，BD、CE 分别是△ABC 的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？
（3）如图③，BD 是△ABC 的内角平分，CE是△ABC 的外角平分，其它条件不变。DE与 BC
还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况
进行证明。
40
2．问题一：如图①，在四边形 ACBD 中，AB 与 CD 相交于点 O，AB=CD，E、F分别是 BC、AD
的中点，连接 EF分别交 DC、AB 于点 M、N，判断△OMN 的形状，请直接写出结论；
问题二：如图②，在△ABC 中，AC>AB，点 D在 AC 上，AB=CD，E、F 分别是 BC、
AD 的中点，连接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若 ∠EFC=60°，
连接 GD，判断△AGD 的形状并证明。
41
【模型 4】 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线
模型分析
在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直
角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即
1
2
CD AB? ，来证明线段间的数量关系，而且
可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用。
模型实例
例 1．如图，在△ABC 中，BE、CF 分别为 AC、AB 上的高，D为 BC 的中点，
DM⊥EF 于点 M。求证：FM=EM。
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，∠B=2∠C，AD⊥BC 于点 D，M为 BC 的中点，AB=10。
求 DM的长度。
42
2．已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°，连接 DE，
M 为 DE 的中点，连接 MB、MC。求证：MB=MC。
3．问题 1：如图①，△ABC 中，点 D是 AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足
分别为点 E、F，AE、BF 交于点 M，连接 DE、DF。若DE kDF? ，则 k的值
为 ；
问题 2：如图②，△ABC 中，CB=CA，点 D是 AB 边的中点，点 M在△ABC 内部，且∠MAC=∠
MBC。过点 M分别作 ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点 E、F，连接 DE、DF。若 DE=DF；
问题 3：如图③，若将上面问题②中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其它条件不变，试
探究 DE 与 DF 之间的数量关系，并证明你的结论。
43
第九章 半角模型
【模型 1】 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形
已知如图：
①∠2=
1
2
∠AOB；
②OA=OB。
连接 F′B，将△FOB 绕点 O旋转
至△FOA 的位置，连接 F′E、FE，
可得△OEF′≌△OEF。
模型分析
（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；
（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；
（3）常见的半角模型是 90°含 45°，120°含 60°。
模型实例
例 1．如图，已知正方形 ABCD 中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段 CB、DC
于点 M、N。
（1）求证：BM+DN=MN；
（2）作 AH⊥MN 于点 H，求证：AH=AB。
44
例 2．在等边△ABC 的两边 AB、AC 上分别有两点 M、N，D为△ABC 外一点，
且∠MDN=60°，∠BDC=60°，BD=DC。探究：当 M、N分别在线段 AB、AC
上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系。
（1）如图①，当 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ；
（2）如图②，当 DM≠DN 时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想
并加以证明。
例 3．如图，在四边形 ABCD 中，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是 BC、CD 延长
线上的点，且∠EAF=
1
2
∠BAD。求证：EF=BE-FD。
45
热搜精练
1．如图，正方形 ABCD，M 在 CB 延长线上，N在 DC 延长线，∠MAN=45°。
求证：MN=DN-BM。
2．已知，如图①，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D、E分别为线段
BC 上两动点，若∠DAE=45°。探究线段 BD、DE、EC 三条线段之间的数量
关系。小明的思路是：把△AEC 绕点 A顺时针旋转 90°，得到△ABE′，连接 E′D，使
问题得劲解决。请你参考小明的思路探究并解决以下问题：
（1）猜想 BD、DE、EC 三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点 E在线段 BC 上，动点 D运动到线段 CB 的延长线上时，如图②，
其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。
46
3．已知，在等边△ABC 中，点 O是边 AC、BC 的垂直平分线的交点，M、N
分别在直线 AC、BC 上，且∠MON=60°。
（1）如图①，当 CM=CN 时，M、N分别在边 AC、BC 上时，请写出 AM、CN、MN
三者之间的数量关系；
（2）如图②，当 CM≠CN 时，M、N分别在边 AC、BC 上时，（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，当点 M在边 AC上，点 N在 BC 的延长线上时，请直接写出线段 AM、CN、MN
三者之间的数量关系。
4．如图，在四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F 分别是线段 BC、
CD 上的点，且 BE+FD=EF。求证：∠EAF=
1
2
∠BAD。
47
5．如图①，已知四边形 ABCD，∠EAF 的两边分别与 DC的延长线交于点 F，与
CB 的延长线交于点 E连接 EF。
（1）若四边形 ABCD 为正方形，当∠EAF=45°时，EF 与 DF、BE 之间有怎样
的数量关系？（只需直接写出结论）
（2）如图②，如果四边形 ABCD 中，AB=AD，∠ABC 与∠ADC 互补，当
∠EAF=
1
2
∠BAD 时，EF 与 DF、BE 之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明；
（3）在（2）中，若 BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长（直接写出结论即可）。
48
第十章 相似模型
【模型 1】 A、8模型
已知：∠1=∠2
结论：△ADE∽△ABC
模型分析
如图，在相似三角形的判定中，我们常通过作平行线，从而得出 A型或 8型相似，在
做题时，我们也常常关注题目中由平行线所产生的相似三角形。
模型实例
例 1．如图，在△ABC 中，中线 AF、BD、CE 相交于点 O。
求证：
1
2
OF OE OD
OA OC OB
? ? ? 。
例 2．如图，点 E、F分别在菱形 ABCD 的边 AB、AD 上，且 AE=DF，BF 交 DE 于
点 G，延长 BF 交 CD 的延长线于 H，若 2AF
DF
? 。求
HF
BG
的值。
49
热搜精练
1． 如图，D、E分别是△ABC 的边 AB、BC
上的点，且 DE∥AC，AE、CD 相交
于点 O，若 S△DOE：S△COA=1：25，
则 S△BDE与 S△CDEE的比是 。
2． 如图所示，□ABCD 中，G是 BC 延长线上的
一点，AG 与 BD 交于点 E，与 DC
交于点 F，此图中的相似三角形共
有 对。
3．如图，在△ABC 中，中线 BD、CE 相交于点 O，连接 AO并延长，交 BC
于点 F。求证：点 F是 BC的中点。
4．在△ABC 中，AD 是角平分线，求证：
AB BD
AC CD
? 。
5．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB-90°，D是边 BC 的中点，E在 AB上，且 AE：
BE=2：1。求证：CE⊥AD。
50
【模型 2】 共边共角型
已知：∠1=∠2
结论：△ACD∽△ABC
模型分析
上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出
三角形边的乘积或比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD∽△
ABC，进而可以得到 2AC AD AC? ? 。
模型实例
例 1．如图，D是△ABC 边 BC 上的一点，AB=4，
AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD 的面积为 15，
那么△ACD 的面积为 。
例 2．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC-90°，AD⊥BC 于 D。
（1）图中有多少对相似三角形？写出来；
（2）求证： 2AC AD AC? ?
热搜精练
1．如图所示，能判定△ABC∽△DAC 的有 ；
①∠B=∠DAC；②∠BAC=∠ADC；
③ 2AC DC BC? ? ；④ 2AD BD BC? ? 。
2．已知△AMN 是等边三角形，∠BAC=120°。求证：
（1） 2AB BM BC? ? ；
（2） 2AC CN CB? ? ；
（3） 2MN BM NC? ? 。
51
3．如图，AB 是半圆 O的直径，C是半圆上的一点，过 C作 CD⊥AB 于 D，
2 10AC ? ，AD：DB=4：1。求 CD的长。
4．如图①，Rt△ABC 中，∠ACB-90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC∽△ACD
证明 2AC AD AB? ? ，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，
正方形 ABCD 的边长为 6，点 O是对角线 AC、BD 的交点，点 E在 CD上，过点 C作 CE⊥
BE，垂足为 F，连接 OF。
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若 DE=2CE，求 OF 的长。
52
【模型 3】一线三角型
已知，如图①②③中：∠B=∠ACE=∠D。
结论：△ABC∽△CDE
模型分析
在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其它
相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的
相似三角形。
模型实例
例 1．如图在等边△ABC 中，P为 BC 上一点，D为 AC 上一点，且∠APD=60°，
BP=1，CD=
2
3
，则△ABC 的边长为 。
例 2．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边 AB 上取一点 P，使得
△PAD 民△PBC 相似，则这样的 P点共有 个。
53
热搜精练
1．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点 D是 BC 边上的一个动点
（不与 B、C点重合），∠ADE=45°。
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设 BD= x，AE= y，求 y关于 x的函数关系式；
（3）当△ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长。
2．如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点 D是边 BC 上一动点（不与 B、C重合），
∠ADE=∠B=? ，DE 交 AC 于点 E，且 4cos
5
? ? ，下列结论。
①△ADE∽△ACD；②当 BD=6 时，△ABD 与△DCE 全等；
③△DCE 为直角三角形时，BD等于 8或 12.5；④0其中正确的结论是 。（把你认为正确结论的序号都填上）
3．如图，已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B
落在 CD 边上 的 P点外，折痕与边 BC交于 O，连接 AP、OP、OA。
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4，求边 AB的长。
54
【模型 4】 倒数型
条件：AF∥DE∥BC
结论：
1 1 1
AF BC DE
? ?
模型分析
仔细观察，会发现该模型中含有两个 A型相似模型，它的结论是由两个 A
型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合题能力水平。
模型实例
例 1．如图，AF∥BC，AC、BF 相交于点 E，过 D作 ED∥AF 交 AB 于点 D。
求证：
1 1 1
ABF ABC ABES S S
? ?
? ? ?
。
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，正方形 EFGH 的四个顶点都在△ABC
的边上。求证：
1 1 1
AF BF GF
? ? 。
55
2．正方形 ABCD 中，以 AB 为边作等边三角形 ABE，连接 DE 交 AC 于 F，交 AB
于 G，连接 BF。求证：
（1）AF+BF=EF；
（2）
1 1 1
AF BF GF
? ? 。
56
【模型 5】 与圆有关的简单相似
图①中，由同弧所对的圆周角相等，易得△PAC∽△PDB；
图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得△PAC∽△PDB；
图③中，通过作辅助线构造，易得△PAC∽△PCB。
模型实例
例 1．如图，点 P在⊙O外，PB 交⊙O于 A、B两点，PC交⊙O于 D、C两点。
求证：PA PB PD PC?? ? 。
热搜精练
1．如图，P是⊙O内的一点，AB 是过点 P的一条弦，设圆的半径为 r，OP=d。
求证： 2 2PA PD r d? ? ? 。
2．如图，已知 AB 是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，延长 AC、BD 交于点 E。
（1）求∠E的度数；
（2）点 M是 BE 上一点，且满足 2EM EB CE? ? ，
连接 CM，求证：CM是⊙O的切线。
57
【模型 6】 相似与旋转
如图①，已知 DE∥BC，将△ADE 绕点 A旋转一定的角度，连接 BD、CE，得到如图②，结
论：△ABD∽△ACE。
模型分析
该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力
要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的一种
题型。
模型实例
例 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=60°，点 P在△ABC 内，且 3PA ? ，
PB=5，PC=2。求 S△ABC。
热搜精练
1．如图，△ABC 和△CEF 均为等腰三角形，E在△ABC 内，∠CAE+∠CBE=90°，连接 BF。
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若 BE=1，AE=2，求 CE的长。
58
2．已知，在△ABC 中，∠BAC=60°。
（1）如图①，若 AB=AC，点 P在△ABC 内，且∠APC=6150°，PA=3，PC=4，把△APC 绕着点
A顺时针旋转，使点 C旋转到点 B处，得到△ADB，连接 DP。①依题意补全图 1；②直接
写出 PB 的长；
（2）如图②，若 AB=AC，点 P在△ABC 外，且 PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC 的度数；
（3）如图③，若 AB=2AC，点 P在△ABC 内，且 3PA ? ，PB=5，
∠APC=120°，请直接写出 PC 的长。
59
第十一章 圆中的辅助线
【模型 1】 连半径构造等腰三角形
已知 AB 是⊙O的一条弦，
连接 OA、OB，则∠A=∠B。
模型分析
在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角
形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题。
模型实例
例 1．如图，CD 是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点 B，
且 AB=OC，求∠A。
热搜精练
1．如图，AB 经过⊙O的圆心，点 B在⊙O上，
若 AD=OB，且∠B=54°。试求∠A的度数。
2．如图，AB 是⊙O的直径，弦 PQ交 AB 于 M，且
PM=MO。求证：弧
1
3
AP ? 弧 BQ。
60
【模型 2】 构造直角形
图①，已知 AB 是⊙O的直径，点 C是圆上一
点，连接 AC、BC，则∠ACB=90°。
如图②，已知 AB 是⊙O的一条弦，过点 O作
OE⊥AB，则 2 2 2OE AE OA? ? 。
模型分析
（1）如图①，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路，在证
明有关问题中注意 90°的圆周角的构造。
（2）如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅
助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算。
模型实例
例 1．如图，已知⊙O的直径 AB 和弦 CD相交于点 E，
AE=2，BE=6，∠DEB=60°，求 CD的长。
例 2．如图，AB 是⊙O的直径，AB=AC，BC 交⊙O于点 D，
AC 交⊙O于点 E，∠BAC=45°。
（1）求∠EBC 的度数；
（2）求证：BD=CD。
61
热搜精练
1．如图，⊙O的弦 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，且 AE=5，BE=13，点 O到 AB
的距离为 2 10 ，求点 O到 CD距离，线段 OE的长及⊙O的半径。
2．已知，AB 和 CD 是⊙O的两条弦，且 AB⊥CD 于点 H，连接 BC、AD，作
OE⊥AD 于点 E。求证：
1
3
OE BC? 。
3．如图，直径 AB=2，AB、CD 交于点 E且夹角为 45°，
则 2 2CE DE? ? 。
62
【模型 3】 与圆的切线有关的辅助线
（1）切线的性质；
（2）切线的判定方法。
模型实例
例 1．如图，OA、OB 是⊙O的半径，且 OA⊥OB，P 是 OA 上任意一点，BP 的延长线交⊙O于
Q，过 Q点的切线交 OA 的延长线于 R。求证：RP=RQ。
例 2．如图，△ABC 内接于⊙O，过 A点作直线 DE，当∠BAE=∠C，试确定直线
DE 与⊙O的位置关系，并证明你的结论。
63
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，以 AB为直径的⊙O分别于 BC、AC 相交于点 D、E，
BD=CD，过点 D作⊙O的切线交 AC 于点 F。求证：DF⊥AC。
2．如图，AB 是⊙O的直径，AC 是它的切线，CO平分
∠ACD。求证：CD是⊙O的切线。
3．如图，直线 AC 与⊙O相交于 B、C两点，E是弧 BC 的中点，D是⊙O上一点，若∠EDA=
∠AMD。求证：AD是⊙O的切线。
64
第十二章 辅助圆
【模型 1】 共端点，等线段模型
模型分析
（1）若有共端点的三条等线段，可考虑构造辅助圆；
（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题。
模型实例
例 1．如图，△ABC 和△ACD 都是等腰三角形，AB=AC，AC=AD，连接 BD。
求证：∠1+∠2=90°。
热搜精练
1．如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC，在△ABC 的外侧作直线 AP，点 B与点 D关于 AP 轴
对称，连接 BD、CD，CD 与 AP 交于点 E。求证：∠1=∠2。
2．已知四边形 ABCD，AB∥CD，且 AB=AC=AD=a，
BC=b，且 2a>b，求 BD 的长。
65
【模型 2】 直角三角形共斜边模型
模型分析
（1）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；
（2）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角
相等重要的途径之一。
模型实例
例 1．如图，AD、BE、CF 为△ABC 的三条高，H为垂心，问：
（1）图中有多少组四点共圆；
（2）求证：∠ADF=∠ADE。
66
例 2．如图，E是正方形 ABCD 的边 AB 上的一点，过点 E作 DE的垂线交
∠ABC 的外角平分线于点 F。求证：EF=DE。
热搜精练
1．如图，锐角△ABC 中，BD、CE 是高线，DG⊥CE 于 G，EF⊥BD 于 F。
求证：FG∥BC。
2．如图，BE、CF 为△ABC 的高，且交于点 H，连接 AH 并延长交 BC 于点 D。
求证：AD⊥BC。
67
3．如图，等边△PQR 内接于正方形 ABCD，其中点 P、Q、R分别在边 AD、AB、
DC 上，M是 QR 的中点。求证：不论等边△PQR 怎样运动，点 M为不动点。
4．如图，已知△ABC 中，AH是高，AT 是角平分线，且 TD⊥AB，TE⊥AC。
求证：∠AHD=∠AHE。
目录
第一章 “8”字模型与飞镖模型...........................................................................................................................3
【模型 1】角的“8”字模型........................................................................................................................3
【模型 2】 角的飞镖模型.............................................................................................................................4
【模型 3】 边的“8”字模型.......................................................................................................................5
【模型 4】 边的飞镖模型.............................................................................................................................5
第二章 角平分线四大模型............................................................................................................................... 7
【模型 1】角平分线上的点向两边作垂线..................................................................................................7
【模型 2】截取构造对称全等......................................................................................................................8
【模型 3】角平分线+垂线构造等腰三角形..............................................................................................10
【模型 4】 角平分线+平行线.....................................................................................................................11
第三章 截长补短............................................................................................................................................. 13
【模型】 截长补短..................................................................................................................................... 13
第四章 手拉手模型......................................................................................................................................... 16
【模型】 手拉手......................................................................................................................................... 16
第五章 三垂直全等模型................................................................................................................................. 20
【模型】 三垂直全等模型......................................................................................................................... 20
第六章 将军饮马............................................................................................................................................. 23
【模型 1】 定直线与两定点...................................................................................................................... 23
【模型 2】 角到定点.................................................................................................................................. 26
【模型 3】 两定点一定长.......................................................................................................................... 29
第七章 蚂蚁行程............................................................................................................................................. 31
【模型 1】 立体图形展开的最短路径...................................................................................................... 31
第八章 中点四大模型..................................................................................................................................... 34
【模型 1】 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形.............................................. 34
【模型 2】 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”.....................................36
【模型 3】 已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理.................................................................. 38
【模型 4】 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.......................................................... 41
第九章 半角模型............................................................................................................................................. 43
2
【模型 1】 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形.............................................. 43
第十章 相似模型............................................................................................................................................. 48
【模型 1】 A、8 模型.................................................................................................................................48
【模型 2】 共边共角型.............................................................................................................................. 50
【模型 3】 一线三角型...............................................................................................................................52
【模型 4】 倒数型...................................................................................................................................... 54
【模型 5】 与圆有关的简单相似.............................................................................................................. 56
【模型 6】 相似与旋转.............................................................................................................................. 57
第十一章 圆中的辅助线................................................................................................................................. 59
【模型 1】 连半径构造等腰三角形.......................................................................................................... 59
【模型 2】 构造直角形.............................................................................................................................. 60
【模型 3】 与圆的切线有关的辅助线...................................................................................................... 62
第十二章 辅助圆............................................................................................................................................. 64
【模型 1】 共端点，等线段模型.............................................................................................................. 64
【模型 2】 直角三角形共斜边模型.......................................................................................................... 65
3
第一章 “8”字模型与飞镖模型
【模型 1】角的“8”字模型
如图所示，AB、CD相交于点 O，连接 AD、BC.
结论：∠A+∠D=∠B+∠C.
模型分析
“8”字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到.
模型实例
观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .
牛刀小试
1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ；
（2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= .
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= .
4
【模型 2】角的飞镖模型
如图所示，有结论：∠D=∠A+∠B+∠C.
模型分析
飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到.
模型实例
如图，在四边形 ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与 CM交于M.
探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系.（ 360
2
B DAMC ?? ??? ?
?
）
牛刀小试
1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ；
（2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= .
2．如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ；
3．如图④，求∠A+∠B+∠C+∠D = .
图③ 图④
5
【模型 3】边的“8”字模型
如图所示，AC、BD相交于点 O，连接 AD、BC.
结论：AC+BD>AD+BC
模型实例
如图，四边形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O
求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD；
（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.
【模型 4】边的飞镖模型
如图所示有结论： AB+AC>BO+C0.
6
模型实例
如图，点O为三角形内部一点.
求证：（1）2（AO+BO+CO）>AB+BC+AC；
（2）AB+BC+AC>AO+BO+CO.
牛刀小试
1．如图，在△ABC中，D、E在 BC边上，且 BD=CE
求证：AB+AC>AD+AE
2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由
（1）如图①，△ABC中，P为边 BC上一点，请比较 BP+PC与 AB+AC的大小，并说明理
由；
（2）如图②，将（1）中的点 P移至△ABC内，请比较△BPC的周长与△ABC的周长的大
小，并说明理由；
（3）图③将（2）中的点 P变为 P1、P2，请比较四边形 BP1P2C的周长与△ABC的周长的大
小，并说明理由.
7
第二章 角平分线四大模型
【模型 1】角平分线上的点向两边作垂线
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点 P作
PA⊥OM于点 A，PB⊥ON于点 B
结论：PB=PA
模型分析
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、
角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口.
模型实例
（1）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点 D到直线
AB的距离是 ；
（2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4
求证：AP平分∠BAC
牛刀小试
1．如图，在四边形 ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC
求证：∠BAD+∠BCD=180°
8
2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线 CP与内角∠ABC的
平分线 BP交于点 P，若∠BPC=40°，则∠CAP= .
【模型 2】截取构造对称全等
如图，P是∠MON的平分线上一点，点 A是射线 OM上任意一点，
在 ON上截取OB=OA，连接 PB.
结论：△OPB≌△OPA
模型分析
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对
应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例
（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是 AD上异于点 A的任意
一点，试比较 PB+PC与 AB+AC的大小，并说明理由；
（2）如图②所示， AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB与 AC-AB
的大小，并说明理由.
9
牛刀小试
1．已知，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线，AB=16，BD=8.
求线段 AC的长.
2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC. 求证：BC=AB+CD.
3．如图所示，在△ABC中，∠A=100°，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，延长 BD至 E，
DE=AD.求证：BC=AB+CE.
10
【模型 3】角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于 P点，延长 AP于点 B.
结论：△AOB是等腰三角形
模型分析
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，
进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型实例
如图，已知等腰直角三角形 ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂
足为 E.求证：BD=2CE.
牛刀小试
1．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为 D.
求证： 2 1 C? ?? ?? .
2．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点 E.
求证： ? ?1
2
BE AC AB? ? .
11
【模型 4】角平分线+平行线
如图，P是∠MO的平分线上一点，过点 P作 PQ∥ON，交OM于点Q
结论：△POQ是等腰三角形
模型分析
有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明
结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
模型实例
解答下列问题：
（1）如图①所示，在△ABC中，EF∥BC，点 D在 EF上，BD、CD分别平分∠ABC、
∠ACB，写出线段 EF与 BE、CF有什么数量关系；
（2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交 AB于点 E，交 AC于点 F，
线段 EF与 BE、CF有什么数量关系？并说明理由。
（3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，，DE∥BC交 AB延长
线于点 E，交 AC延长线于点 F，直接写出线段 EF与 BE、CF有什么数量关系？
12
牛刀小试
1.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 E，过点 E作 EF∥BC，
交 AB于点M，交 AC于点 N.若 BM+CN=9，则线段MN的长为 .
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点 E、F分别在 BD、AD上，EF∥AB， 且
DE=CD.求证：EF=AC
3.如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，点 E在 CD上，且 AE平分∠BAD，
BE平分∠ABC.求证：AD=AB-BC
13
第三章 截长补短
【模型】 截长补短
如图①，若证明线段 AB、CD、EF之间存在 EF=AB+CD，
可以考虑截长补短法.
截长法：如图②，在 EF上截取 EG=AB，再证明 GF=CD.
补短法：如图③，延长 AB至 H点，使 BH=CD，再证明 AH=EF.
模型分析
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中截取一段等于
已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角
形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。
模型实例
例 1．如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC交 BC于点 D.
求证：AB=AC+CD
例 2．如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点 C，∠A=∠GBD.
求证：AO+BO=2CO
14
牛刀小试
1．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且 AC=AB+BD
求∠ABC的度数
2．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB
求证：AC=AE+CD
3．如图，∠ABC+∠BCD=180°，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD
求证：AB+CD=BC
4．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交 BC于点 D，∠C=30°，
BE⊥AD于点 E.求证：AC-AB=2BE
15
5．如图，Rt△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC交 BC于点 D，CE⊥AD交 AD于 F点，
交 AB于点 E.求证：AD=2DF+CE
6．如图，五边形 ABCDE中，AB=AC，BC+DE=CD，∠B+∠E=180°
求证：AD平分∠CDE
16
第四章 手拉手模型
【模型】 手拉手
如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=?
结论： ABC ADE? ?? ,△BAD≌△CAE(一转成双)
模型分析
手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。
模型实例
例 1．如图，△ADC与△EDC都为等腰直角三角形，连接 AG、CE，相交于点 H，
问：（1）AG与 CE是否相等？ （2）AG与 CE之间的夹角为多少度？
17
例 2．如图，直线 AB的同一侧作△ABD和△BCE都为等边三角形，连接 AE、CD，二者
交点为 H.求证：
（1）△ABE≌△DBC；
（2）AE=DC；
（3）∠DHA=60°；
（4）△AGB≌△DFB；
（5）△EGB≌△CFB；
（6）连接 GF，GF∥AC；
（7）连接 HB，HB平分∠AHC.
牛刀小试
1．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为 AB延长线上一点，点 E在
BC上，且 AE=CF.
（1）求证：BE=BF；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACF度数.
18
2．如图，△ABD与△BCE都为等边三角形，连接 AE与 CD，延长 AE交 CD于点
H．证明：
（1）AE=DC；
（2）∠AHD=60°；
（3）连接 HB，HB平分∠AHC.
3．在线段 AE同侧作等边△CDE（∠ACE<120°），点 P与点M分别是线段 BE 和 AD的
中点. 求证：△CPM是等边三角形.
19
4．将等腰 Rt△ABC和等腰 Rt△ADE按图①方式放置，∠A=90°，AD边与 AB边重合，
AB=2AD=4.将△ADE绕点 A逆时针方向旋转一个角度? （0°线交 CE于 P.
（1）如图②，证明：BD=CE，BD⊥CE；
（2）如图③，在旋转的过程中，当 AD⊥BD时，求出 CP的长.
20
第五章 三垂直全等模型
【模型】 三垂直全等模型
如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。
结论：Rt△BCD≌Rt△CAE。
模型分析
说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重
的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的
一部分几何图形去求解。图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。
三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。
模型实例
例 1．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE=DE。
求证：AB+CD=BC。
例 2．如图，∠ACB-90°，AC=BC，BE⊥CE 于点 D，AD=2.5cm，BE=0.8cm。
求 DE 的长。
21
例 3．如图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt△ABC 有两个顶点在坐标轴上，
求第三个顶点的坐标。
热搜精练
1．如图，正方形 ABCD，BE=CF。
求证：（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF。
2．直线 l上有三个正方形 a、b、c，
若 a、c的面积分别是 5和 11，
则 b的面积是 。
3．已知，△ABC 中，∠BAC-90°，AB=AC，点 P为 BC 上一动点（B P
（1）求证：EF=CF-BE；
（2）若 P为 BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段 BE、CF、EF 是否存在
某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论。
22
4．如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，设∠BCD=? ，
以 D为旋转中心，将腰 DC绕点 D逆时针旋转 90°至 DE。
（1）当? =45°时，求△EAD 的面积；
（2）当? =30°时，求△EAD 的面积；
（3）当 0°大小有无关系？若有关，写出△EAD 的面积 S
与? 的关系式；若无关，请证明结论。
5．如图，向△ABC 的外侧作正方形 ABDE、正方形 ACFG，
过点 A作 AH⊥BC 于 H，AH 的反向延长线与 EG交于
点 P。求证：BC=2AP。
23
第六章 将军饮马
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形
周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年
的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
【模型 1】 定直线与两定点
模型 作法 结论
当两定点 A、B在直线 l异侧
时，在直线 l上找一点 P，使
PA+PB 最小。
连接 AB交直线 l于点 P，点
P即为所求作的点。
PA+ PB 的最
小。
当两定点 A、B在直线 l同侧
时，在直线 l上找一点 P，使
PA+PB 最小。
作点 B关于直线 l的对称点
B′，连接 AB′交直线于点
P，点 P即为所求作的点。
PA+PB 的最小
值为 AB′。
当两定点 A、B在直线 l同侧
时，在直线 l上找一点 P，使
PA PB? 最大。
连接 AB并延长交直线 l于点
P，点 P即为所求作的点。
PA PB? 的
最大值为 AB。
当两定点 A、B在直线 l同侧
时，在直线 l上找一点 P，使
PA PB? 最大。
作点 B关于直线 l的对称点
B′，连接 AB′并延长交直
线于点 P，点 P即为所求作
的点。
PA PB? 的
最大值为
AB′。
24
当两定点 A、B在直线 l
同侧时，在直线 l上找一点
P，使 PA PB? 最小。
连接 AB，作 AB
的垂直平分线交直线 l于点
P，点 P即为所求作的点。
PA PB?
的 最 小 值 为
0。
模型实例
例 1．如图，正方形 ABCD 的面积是 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在
对角线 AC上有一点 P，则 PD+PE 的最小值为 。
例 2．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为 CD
上的动点，则 PA PB? 的最大值是多少？
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是 BC 边的中点，E是 AB 边
上一动点，则 EC+ED 的最小值是 。
25
2．如图，点 C的坐标为（3， y），当△ABC 的周长最短时，求 y的值。
3．如图，正方形 ABCD 中，AB-7，M 是 DC 上的一点，且 DM-3，N 是 AC 上的一
动点，求 DN MN? 的最小值与最大值。
26
【模型 2】 角到定点
模型 作法 结论
点 P在∠AOB 的内
部，在 OB 上找点 D，在
OA 上找点 C，使得△PCD
周长最小。
分别作点 P关于
OA、OB 的对称点 P′、
P"，连接
P′P"，交 OA、OB
于点 C、D，点 C、D即为
所求。
△PCD 周长最小为
P′P"。
点 P在∠AOB 的内
部，在 OB 上找点 D，在
OA 上找点 C，使得
PD+CD 最小。
作点 P关于 OB 的对
称点 P′，过点 P′作
P′C⊥OA 交 OB 于点 C，
点 C、D即为所求。
PC+CD 的最小值为
P′C。
点 P、Q在∠AOB 的
内部，在 OB 上找点 D，
在 OA 上找点 C，使得四
边形 PQDC 周长最小。
分别作点 P、Q关于
OA、OB 的对称点 P′、
Q′，连接 P′Q′，交
OA、OB 于点 C、D，点
C、D即为所求。
PC+CD+DQ 的最小值
为 P′Q′，所以四边形
PQDC 的周长的最小值为
P′Q′+PQ。
模型实例
27
例 1．如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点 P，且 OP=10，在 OA 上有一
点 Q，OB 上有一点 R。若△PQR 周长最小，则最小周长是多少？
热搜精练
1．如图，∠MON=40°，P为∠MON 内一定点，A为 OM 上的点，B为 ON上的点，
当△PAB 的周长取最小值时：
（1）找到 A、B点，保留作图痕迹；
（2）求此时∠APB 等于多少度。如果∠MON=?，∠APB 又等于多少度？
2．如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在 BC、CD 上分别
找一点 M、N，使△AMN 周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM 的度数。
28
3．如图，在 x轴上找一点 C，在 y轴上找一点 D，使 AD+CD+BC 最小，并
求直线 CD的解析式及点 C、D的坐标。
4．如图∠MON=20°，A、B分别为射线 OM、ON 上两定点，且 OA=2，OB=4，
点 P、Q分别为射线 OM、ON 上两动点，当 P、Q运动时，线段
AQ+PQ+PB 的最小值是多少？
29
【模型 3】 两定点一定长
模型 作法 结论
如图，在直线 l上找
M、N两
点（M在左），使得
AM+MN+NB 最小，且 MN=d。
将点 A向右平移 d个
单位到 A′，作 A′关于直
线 l的对称点 A"，连接 A"B
交直线 l于点 N，将点 N向
左平移 d个单位到 M，点
M、N即为所求。
AM+MN+NB 最小为
A"B 。
如图， 1l ∥ 2l ， 1l ， 2l
之间距离为d，在 1l ， 2l 分
别找 M、N两点，使得 MN⊥
1l ，且 AM+MN+NB 最小。
将点 A向下平移 d个
单位到 A′，连接 A′B交
直线 2l 于点 N，将点 N向上
平移d个单位到 M，点 M、
N即为所求。
AM+MN+NB 的最小值
为 A′B+ d。
模型实例
例 1．在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示，
点 A在 x轴正半轴上，点 C在 y轴正半轴上，且 OA=6，OC=4，
D 为 OC 中点，点 E、F在线段 OA 上，点 E在点 F左侧，EF=2。
当四边形 BDEF 的周长最小时，求点 E的坐标。
30
热搜精练
1．在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O在坐标原点，顶点 A、B分别在，
x轴、 y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边 OB 的中点。
（1）若 E为边 OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；
（2）若 E、F为边 OA上的两个动点，且 EF=1，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E、F的
坐标。
2．村庄 A和村庄 B位于一条小何的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，
桥址应如何选择，才使 A与 B 之间的距离最短？
31
第七章 蚂蚁行程
【模型 1】 立体图形展开的最短路径
模型分析
上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点 A沿圆柱表面爬行一周。到点 B的最
短路径就是展开图中 AB′的长， 2 2' ' ' 'AB AA A B? ? 。做此类题日的关键就是，正确展开
立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。
模型实例
例 1．有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是 12m，高 AB 是 5m，要从点 A处开始绕油罐一
周建造房子，正好到达 A点的正上方 B处，问梯子最短有多长？
例 2．如图，一直圆锥的母线长为 QA=8，底面圆的半径 2r ? ， 若一只小蚂蚁从 A点出发，
绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 A点，则蚂蚁爬行的最短
路线长是 。
32
例 3．已知长方体的长、宽、高分别为 30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从 A
处出发到 B处觅食，求它所走的最短路径。（结果保留根号）
热搜精练
1．有一个圆锥体如图，高 4cm，底面半径 5cm，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧面爬行到 C处，
求蚂蚁爬行的最短距离。
2．如图，圆锥体的高为 8cm，底面周长为 4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从 A点到 B点，
路线如图，则最短路程为 。
33
3．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为 12厘米，底面周长 18厘米，在杯口
内壁离杯口距离 3厘米的 A处有一滴蜜糖，一只小虫 22 杯子外壁，当它正好在蜜糖相
对方向离桌面 3厘米的 B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖
所在的位置。
4．已知 O为圆锥顶点，OA、OB 为圆锥的母线，C为 OB的中点，一只小蚂蚁
从点 C开始沿圆锥侧面爬行到点 A，另一只小蚂蚁也从 C点出发绕着圆锥侧面爬行到点
B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示，若沿 OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为
（ ）
5．如图，一只蚂蚁沿着边长为 2的正方体表面从点 A出发，经过 3个面爬行
到点 B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为 。
34
6．如图是一个边长为 6的正方体木箱，点 Q 在上底面的棱上，AQ=2，一只
蚂蚁从 P点出发沿木箱表面爬行到点 Q，求蚂蚁爬行的最短路线。
7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm、3cm 和 1cm，A和 B 是
这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物。请你想一想，
这只蚂蚁从 A点出发，沿着台阶面爬到 B点的最短路程是多少？
第八章 中点四大模型
【模型 1】 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形
35
模型分析
如图①，AD 是△ABC 的中线，延长 AD至点 E使 DE=AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）。
如图②，D是 BC 中点，延长 FD 至点 E使 DE=FD，易证：
△FDB≌△FDC（SAS）。当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全
等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。
模型实例
例 1．如图，已知在△ABC 中，AD是 BC 边上的中线，E是 AD上一点，连接
BE并延长 AC 于点 F，AF=EF。求证：AC=BE。
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，AB=12，AC=20，求 BC 边上中线 AD 的范围。
36
2．如图，在△ABC 中，D是 BC 的中点，DM⊥DN，如果 2 2 2 2BM CN DM DN? ? ? 。
求证： ? ?2 2 214AD AB AC? ? 。
【模型 2】 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”
模型分析
等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线
合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三
角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。
模型实例
例 1．如图，在△ABC 中，AB=AC-5，BC=6，M 为 BC 的中点，MN⊥AC 于点 N，
求 MN 的长度。
37
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且 AE=AF。
求证：∠EDB=∠FDC。
2．已知 Rt△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，D为 AB 边的中点，∠EDF=90°，
∠EDF 绕点 D旋转，它的两边分别交 AC、CB（或它们的延长线）于 E、F。
（1）当∠EDF 绕点 D旋转到 DE⊥AC 于 E 时（如图①），
求证：
1
2DEF CEF ABC
S S S? ?? ? ? ；
（2）当∠EDF 绕点 D旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，
上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， DEFS? 、 CEFS? 、
ABCS? 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
38
【模型 3】 已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理
模型分析
在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线
的性质定理：DE∥BC，且
1
2
DE BC? 来解题，中位线定理既有线段之间的位
置关系又有数量关系，该模型可以解决相等，线段之间的倍半、相等及平行
问题。。
模型实例
例 1．如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 EF
并延长，分别与 BA、CD 的延长线交于点 M、N。
求证：∠BME=∠CNE。
39
热搜精练
1．（1）如图①，BD、CE 分别是△ABC 的外角平分，过点 A作 AD⊥BD、
AE⊥CE，垂足分别为 D、E，连接 DE。
求证：DE∥BC， ? ?1
2
DE AB BC AC? ? ? ；
（2）如图②，BD、CE 分别是△ABC 的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？
（3）如图③，BD 是△ABC 的内角平分，CE是△ABC 的外角平分，其它条件不变。DE与 BC
还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况
进行证明。
40
2．问题一：如图①，在四边形 ACBD 中，AB 与 CD 相交于点 O，AB=CD，E、F分别是 BC、AD
的中点，连接 EF分别交 DC、AB 于点 M、N，判断△OMN 的形状，请直接写出结论；
问题二：如图②，在△ABC 中，AC>AB，点 D在 AC 上，AB=CD，E、F 分别是 BC、
AD 的中点，连接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，若 ∠EFC=60°，
连接 GD，判断△AGD 的形状并证明。
41
【模型 4】 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线
模型分析
在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直
角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即
1
2
CD AB? ，来证明线段间的数量关系，而且
可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用。
模型实例
例 1．如图，在△ABC 中，BE、CF 分别为 AC、AB 上的高，D为 BC 的中点，
DM⊥EF 于点 M。求证：FM=EM。
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，∠B=2∠C，AD⊥BC 于点 D，M为 BC 的中点，AB=10。
求 DM的长度。
42
2．已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°，连接 DE，
M 为 DE 的中点，连接 MB、MC。求证：MB=MC。
3．问题 1：如图①，△ABC 中，点 D是 AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足
分别为点 E、F，AE、BF 交于点 M，连接 DE、DF。若DE kDF? ，则 k的值
为 ；
问题 2：如图②，△ABC 中，CB=CA，点 D是 AB 边的中点，点 M在△ABC 内部，且∠MAC=∠
MBC。过点 M分别作 ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点 E、F，连接 DE、DF。若 DE=DF；
问题 3：如图③，若将上面问题②中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其它条件不变，试
探究 DE 与 DF 之间的数量关系，并证明你的结论。
43
第九章 半角模型
【模型 1】 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形
已知如图：
①∠2=
1
2
∠AOB；
②OA=OB。
连接 F′B，将△FOB 绕点 O旋转
至△FOA 的位置，连接 F′E、FE，
可得△OEF′≌△OEF。
模型分析
（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；
（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；
（3）常见的半角模型是 90°含 45°，120°含 60°。
模型实例
例 1．如图，已知正方形 ABCD 中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段 CB、DC
于点 M、N。
（1）求证：BM+DN=MN；
（2）作 AH⊥MN 于点 H，求证：AH=AB。
44
例 2．在等边△ABC 的两边 AB、AC 上分别有两点 M、N，D为△ABC 外一点，
且∠MDN=60°，∠BDC=60°，BD=DC。探究：当 M、N分别在线段 AB、AC
上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系。
（1）如图①，当 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ；
（2）如图②，当 DM≠DN 时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想
并加以证明。
例 3．如图，在四边形 ABCD 中，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是 BC、CD 延长
线上的点，且∠EAF=
1
2
∠BAD。求证：EF=BE-FD。
45
热搜精练
1．如图，正方形 ABCD，M 在 CB 延长线上，N在 DC 延长线，∠MAN=45°。
求证：MN=DN-BM。
2．已知，如图①，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D、E分别为线段
BC 上两动点，若∠DAE=45°。探究线段 BD、DE、EC 三条线段之间的数量
关系。小明的思路是：把△AEC 绕点 A顺时针旋转 90°，得到△ABE′，连接 E′D，使
问题得劲解决。请你参考小明的思路探究并解决以下问题：
（1）猜想 BD、DE、EC 三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点 E在线段 BC 上，动点 D运动到线段 CB 的延长线上时，如图②，
其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。
46
3．已知，在等边△ABC 中，点 O是边 AC、BC 的垂直平分线的交点，M、N
分别在直线 AC、BC 上，且∠MON=60°。
（1）如图①，当 CM=CN 时，M、N分别在边 AC、BC 上时，请写出 AM、CN、MN
三者之间的数量关系；
（2）如图②，当 CM≠CN 时，M、N分别在边 AC、BC 上时，（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，当点 M在边 AC上，点 N在 BC 的延长线上时，请直接写出线段 AM、CN、MN
三者之间的数量关系。
4．如图，在四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F 分别是线段 BC、
CD 上的点，且 BE+FD=EF。求证：∠EAF=
1
2
∠BAD。
47
5．如图①，已知四边形 ABCD，∠EAF 的两边分别与 DC的延长线交于点 F，与
CB 的延长线交于点 E连接 EF。
（1）若四边形 ABCD 为正方形，当∠EAF=45°时，EF 与 DF、BE 之间有怎样
的数量关系？（只需直接写出结论）
（2）如图②，如果四边形 ABCD 中，AB=AD，∠ABC 与∠ADC 互补，当
∠EAF=
1
2
∠BAD 时，EF 与 DF、BE 之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明；
（3）在（2）中，若 BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长（直接写出结论即可）。
48
第十章 相似模型
【模型 1】 A、8模型
已知：∠1=∠2
结论：△ADE∽△ABC
模型分析
如图，在相似三角形的判定中，我们常通过作平行线，从而得出 A型或 8型相似，在
做题时，我们也常常关注题目中由平行线所产生的相似三角形。
模型实例
例 1．如图，在△ABC 中，中线 AF、BD、CE 相交于点 O。
求证：
1
2
OF OE OD
OA OC OB
? ? ? 。
例 2．如图，点 E、F分别在菱形 ABCD 的边 AB、AD 上，且 AE=DF，BF 交 DE 于
点 G，延长 BF 交 CD 的延长线于 H，若 2AF
DF
? 。求
HF
BG
的值。
49
热搜精练
1． 如图，D、E分别是△ABC 的边 AB、BC
上的点，且 DE∥AC，AE、CD 相交
于点 O，若 S△DOE：S△COA=1：25，
则 S△BDE与 S△CDEE的比是 。
2． 如图所示，□ABCD 中，G是 BC 延长线上的
一点，AG 与 BD 交于点 E，与 DC
交于点 F，此图中的相似三角形共
有 对。
3．如图，在△ABC 中，中线 BD、CE 相交于点 O，连接 AO并延长，交 BC
于点 F。求证：点 F是 BC的中点。
4．在△ABC 中，AD 是角平分线，求证：
AB BD
AC CD
? 。
5．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB-90°，D是边 BC 的中点，E在 AB上，且 AE：
BE=2：1。求证：CE⊥AD。
50
【模型 2】 共边共角型
已知：∠1=∠2
结论：△ACD∽△ABC
模型分析
上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出
三角形边的乘积或比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD∽△
ABC，进而可以得到 2AC AD AC? ? 。
模型实例
例 1．如图，D是△ABC 边 BC 上的一点，AB=4，
AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD 的面积为 15，
那么△ACD 的面积为 。
例 2．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC-90°，AD⊥BC 于 D。
（1）图中有多少对相似三角形？写出来；
（2）求证： 2AC AD AC? ?
热搜精练
1．如图所示，能判定△ABC∽△DAC 的有 ；
①∠B=∠DAC；②∠BAC=∠ADC；
③ 2AC DC BC? ? ；④ 2AD BD BC? ? 。
2．已知△AMN 是等边三角形，∠BAC=120°。求证：
（1） 2AB BM BC? ? ；
（2） 2AC CN CB? ? ；
（3） 2MN BM NC? ? 。
51
3．如图，AB 是半圆 O的直径，C是半圆上的一点，过 C作 CD⊥AB 于 D，
2 10AC ? ，AD：DB=4：1。求 CD的长。
4．如图①，Rt△ABC 中，∠ACB-90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC∽△ACD
证明 2AC AD AB? ? ，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，
正方形 ABCD 的边长为 6，点 O是对角线 AC、BD 的交点，点 E在 CD上，过点 C作 CE⊥
BE，垂足为 F，连接 OF。
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若 DE=2CE，求 OF 的长。
52
【模型 3】一线三角型
已知，如图①②③中：∠B=∠ACE=∠D。
结论：△ABC∽△CDE
模型分析
在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其它
相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的
相似三角形。
模型实例
例 1．如图在等边△ABC 中，P为 BC 上一点，D为 AC 上一点，且∠APD=60°，
BP=1，CD=
2
3
，则△ABC 的边长为 。
例 2．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边 AB 上取一点 P，使得
△PAD 民△PBC 相似，则这样的 P点共有 个。
53
热搜精练
1．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点 D是 BC 边上的一个动点
（不与 B、C点重合），∠ADE=45°。
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设 BD= x，AE= y，求 y关于 x的函数关系式；
（3）当△ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长。
2．如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点 D是边 BC 上一动点（不与 B、C重合），
∠ADE=∠B=? ，DE 交 AC 于点 E，且 4cos
5
? ? ，下列结论。
①△ADE∽△ACD；②当 BD=6 时，△ABD 与△DCE 全等；
③△DCE 为直角三角形时，BD等于 8或 12.5；④0
3．如图，已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B
落在 CD 边上 的 P点外，折痕与边 BC交于 O，连接 AP、OP、OA。
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4，求边 AB的长。
54
【模型 4】 倒数型
条件：AF∥DE∥BC
结论：
1 1 1
AF BC DE
? ?
模型分析
仔细观察，会发现该模型中含有两个 A型相似模型，它的结论是由两个 A
型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合题能力水平。
模型实例
例 1．如图，AF∥BC，AC、BF 相交于点 E，过 D作 ED∥AF 交 AB 于点 D。
求证：
1 1 1
ABF ABC ABES S S
? ?
? ? ?
。
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，正方形 EFGH 的四个顶点都在△ABC
的边上。求证：
1 1 1
AF BF GF
? ? 。
55
2．正方形 ABCD 中，以 AB 为边作等边三角形 ABE，连接 DE 交 AC 于 F，交 AB
于 G，连接 BF。求证：
（1）AF+BF=EF；
（2）
1 1 1
AF BF GF
? ? 。
56
【模型 5】 与圆有关的简单相似
图①中，由同弧所对的圆周角相等，易得△PAC∽△PDB；
图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得△PAC∽△PDB；
图③中，通过作辅助线构造，易得△PAC∽△PCB。
模型实例
例 1．如图，点 P在⊙O外，PB 交⊙O于 A、B两点，PC交⊙O于 D、C两点。
求证：PA PB PD PC?? ? 。
热搜精练
1．如图，P是⊙O内的一点，AB 是过点 P的一条弦，设圆的半径为 r，OP=d。
求证： 2 2PA PD r d? ? ? 。
2．如图，已知 AB 是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，延长 AC、BD 交于点 E。
（1）求∠E的度数；
（2）点 M是 BE 上一点，且满足 2EM EB CE? ? ，
连接 CM，求证：CM是⊙O的切线。
57
【模型 6】 相似与旋转
如图①，已知 DE∥BC，将△ADE 绕点 A旋转一定的角度，连接 BD、CE，得到如图②，结
论：△ABD∽△ACE。
模型分析
该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力
要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的一种
题型。
模型实例
例 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=60°，点 P在△ABC 内，且 3PA ? ，
PB=5，PC=2。求 S△ABC。
热搜精练
1．如图，△ABC 和△CEF 均为等腰三角形，E在△ABC 内，∠CAE+∠CBE=90°，连接 BF。
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若 BE=1，AE=2，求 CE的长。
58
2．已知，在△ABC 中，∠BAC=60°。
（1）如图①，若 AB=AC，点 P在△ABC 内，且∠APC=6150°，PA=3，PC=4，把△APC 绕着点
A顺时针旋转，使点 C旋转到点 B处，得到△ADB，连接 DP。①依题意补全图 1；②直接
写出 PB 的长；
（2）如图②，若 AB=AC，点 P在△ABC 外，且 PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC 的度数；
（3）如图③，若 AB=2AC，点 P在△ABC 内，且 3PA ? ，PB=5，
∠APC=120°，请直接写出 PC 的长。
59
第十一章 圆中的辅助线
【模型 1】 连半径构造等腰三角形
已知 AB 是⊙O的一条弦，
连接 OA、OB，则∠A=∠B。
模型分析
在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角
形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题。
模型实例
例 1．如图，CD 是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点 B，
且 AB=OC，求∠A。
热搜精练
1．如图，AB 经过⊙O的圆心，点 B在⊙O上，
若 AD=OB，且∠B=54°。试求∠A的度数。
2．如图，AB 是⊙O的直径，弦 PQ交 AB 于 M，且
PM=MO。求证：弧
1
3
AP ? 弧 BQ。
60
【模型 2】 构造直角形
图①，已知 AB 是⊙O的直径，点 C是圆上一
点，连接 AC、BC，则∠ACB=90°。
如图②，已知 AB 是⊙O的一条弦，过点 O作
OE⊥AB，则 2 2 2OE AE OA? ? 。
模型分析
（1）如图①，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路，在证
明有关问题中注意 90°的圆周角的构造。
（2）如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅
助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算。
模型实例
例 1．如图，已知⊙O的直径 AB 和弦 CD相交于点 E，
AE=2，BE=6，∠DEB=60°，求 CD的长。
例 2．如图，AB 是⊙O的直径，AB=AC，BC 交⊙O于点 D，
AC 交⊙O于点 E，∠BAC=45°。
（1）求∠EBC 的度数；
（2）求证：BD=CD。
61
热搜精练
1．如图，⊙O的弦 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，且 AE=5，BE=13，点 O到 AB
的距离为 2 10 ，求点 O到 CD距离，线段 OE的长及⊙O的半径。
2．已知，AB 和 CD 是⊙O的两条弦，且 AB⊥CD 于点 H，连接 BC、AD，作
OE⊥AD 于点 E。求证：
1
3
OE BC? 。
3．如图，直径 AB=2，AB、CD 交于点 E且夹角为 45°，
则 2 2CE DE? ? 。
62
【模型 3】 与圆的切线有关的辅助线
（1）切线的性质；
（2）切线的判定方法。
模型实例
例 1．如图，OA、OB 是⊙O的半径，且 OA⊥OB，P 是 OA 上任意一点，BP 的延长线交⊙O于
Q，过 Q点的切线交 OA 的延长线于 R。求证：RP=RQ。
例 2．如图，△ABC 内接于⊙O，过 A点作直线 DE，当∠BAE=∠C，试确定直线
DE 与⊙O的位置关系，并证明你的结论。
63
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，以 AB为直径的⊙O分别于 BC、AC 相交于点 D、E，
BD=CD，过点 D作⊙O的切线交 AC 于点 F。求证：DF⊥AC。
2．如图，AB 是⊙O的直径，AC 是它的切线，CO平分
∠ACD。求证：CD是⊙O的切线。
3．如图，直线 AC 与⊙O相交于 B、C两点，E是弧 BC 的中点，D是⊙O上一点，若∠EDA=
∠AMD。求证：AD是⊙O的切线。
64
第十二章 辅助圆
【模型 1】 共端点，等线段模型
模型分析
（1）若有共端点的三条等线段，可考虑构造辅助圆；
（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题。
模型实例
例 1．如图，△ABC 和△ACD 都是等腰三角形，AB=AC，AC=AD，连接 BD。
求证：∠1+∠2=90°。
热搜精练
1．如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC，在△ABC 的外侧作直线 AP，点 B与点 D关于 AP 轴
对称，连接 BD、CD，CD 与 AP 交于点 E。求证：∠1=∠2。
2．已知四边形 ABCD，AB∥CD，且 AB=AC=AD=a，
BC=b，且 2a>b，求 BD 的长。
65
【模型 2】 直角三角形共斜边模型
模型分析
（1）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；
（2）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角
相等重要的途径之一。
模型实例
例 1．如图，AD、BE、CF 为△ABC 的三条高，H为垂心，问：
（1）图中有多少组四点共圆；
（2）求证：∠ADF=∠ADE。
66
例 2．如图，E是正方形 ABCD 的边 AB 上的一点，过点 E作 DE的垂线交
∠ABC 的外角平分线于点 F。求证：EF=DE。
热搜精练
1．如图，锐角△ABC 中，BD、CE 是高线，DG⊥CE 于 G，EF⊥BD 于 F。
求证：FG∥BC。
2．如图，BE、CF 为△ABC 的高，且交于点 H，连接 AH 并延长交 BC 于点 D。
求证：AD⊥BC。
67
3．如图，等边△PQR 内接于正方形 ABCD，其中点 P、Q、R分别在边 AD、AB、
DC 上，M是 QR 的中点。求证：不论等边△PQR 怎样运动，点 M为不动点。
4．如图，已知△ABC 中，AH是高，AT 是角平分线，且 TD⊥AB，TE⊥AC。
求证：∠AHD=∠AHE。
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