(共16张PPT)
说一说
直角三角形的两个锐角互余.
由此得到：
∠A与∠B有何关系？为什么？
议一议
议一议
议一议
议一议
议一议
议一议
有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中，
∠A
+∠B=90°
，
那么△ABC
是直角三角形吗？
在△ABC中，因为
∠A
+∠B
+∠C=180°，
又∠A
+∠B=90°，所以∠C=90°.
于是△ABC是直角三角形.
结论
有两个角互余的三角形是直角三角形.
由此得到：
探究
如图画一个Rt△ABC，
并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD
与线段AB
之间的数量关系，你能得出什么结论？
我测量后发现CD
=
AB.
线段CD
比线段AB短.
是否对于任意一个Rt△ABC，都有
CD
=
成立呢？
图1-2
如图1-1，
如果中线CD
=
AB，则有∠DCA
=
∠A
.
由此受到启发，在图1-2
的Rt△ABC中，过直角顶点C作射线
交AB于
，使
，
∠
=
∠A
则
.
图1-1
∠A
+∠B=90°
，
又∵
，
∴
∴
故得
∴
点
是斜边上的中点，即
是斜边
的中线.
从而
CD与
重合，且
结论
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
由此得到：
点拨：当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质.使用该性质时，要注意找准斜边和斜边上的中线.
分析：要想证明△ABC是直角三角形，只需证明∠BAC=90°或者证明∠B+∠C=90°.
证明
证法1：
∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°.
∴∠B+∠2=90°（三角形的内角和定理）.
∵∠1=∠B，∴∠1+∠2=90°，
即∠BAC=90°.
∴△ABC是直角三角形（有一个角是直角的三角形是直角三角形）.
证法2：
∵AD⊥BC∴∠ADC=90°.
∴∠1+∠C=90°（三角形的内角和定理）.
∵∠1=∠B，∴∠B+∠C=90°.∴△ABC是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）.
例3：如图所示，CD是Rt△ABC斜边上的高，将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处.求∠A的度数.
分析：由于E是Rt△ABC斜边上的中点，故联想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质.
本节课我们应掌握直角三角形的性质和判定，并能灵活应用.(共14张PPT)
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，
如果∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB
有什么关系呢
动脑筋
如图，取线段AB的中点D，连接CD.
∴
△BDC为等边三角形.
∴
∠B=60°.
∵
CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴
∵
∠BCA=90°，且∠A=30°，
∴
在直角三角形中，如
果一个锐角等于30°，那
么它所对的直角边等于斜
边的一半.
如图
，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果
，那么∠A=30°吗？
动脑筋
如图
，取线段AB的中点D，连结CD，
即CD为Rt△ABC斜边上的中线，
则有
又已知
，
所以CD=BD=BC，即△BDC为等边三角形.
所以∠B=60°.
所以∠A=30°.
又∠A+∠B=90°，
分析：由AM平分∠BAC及∠BAC=60°这两个条件，易得∠B=∠CAM=∠BAM=30°，从而有BM=AM=15cm.在Rt△ACM中，易得CM=1/2AM=7.5（cm）.故可由BM、CM的长求出BC的长.
例2：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点E.
求证：FC=2BF.
分析：根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF，得到△AFB为等腰三角形.又∠B=∠C=∠BAF=30°，这样可求得∠FAC=90°.取CF中点M，连接AM，就可以利用直角三角形的性质进行说明.
例3：如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°.
求等腰三角形ABC腰上的高的长.
分析：△ABC为钝角三角形，先要准确地作出高CD，并为用30°的直角三角形的性质创造了条件.(共19张PPT)
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前，是非常了不起的成就.
做一做
如图
，
在方格纸上（设小方格边长为单位1）
画一个顶点都在格点上的直角三角形，
使其两直角边
分别为3，
4，
量出这个直角三角形斜边的长度.
我量得c为5.
议一议
议一议
议一议
议一议
议一议
议一议
在方格纸上，
以图
中的Rt△ABC
的三边为边长
分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图
，
那么这三个正方形的面积S1，
S2
，
S3
之间有什么关系呢？
议一议
议一议
议一议
议一议
议一议
议一议
由图
可知，
S1
=
32，
S2
=
42
，
为了求
S3
，
我可以先算出红色区域
内大正方形的面积，
再减去4
个小三
角形的面积，
得
S3
=
52.
∵
32
+
42
=
52，
∴
S1
+
S2
=
S3
.
在图
中，
S1
+
S2
=S3
，
即BC2
+AC2
=AB2
，
那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？
探究
如图1-11，任作一个Rt△ABC，∠C=
90°，
若BC=
a，AC=
b，
AB=
c，
那么a2
+
b2
=
c2
是否成立呢？
图1-11
步骤1
先剪出4个如图1-11
所示的直角三角形，
由
于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中
b
>
a），于是它们全等（SAS），从而它们的
斜边长相等.
设斜边长为c.
图1-11
我们来进行研究.
步骤2
再剪出1
个边长为c
的正方形，如图1-12所示.
图1-12
步骤3
把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成
如图1-13的图形.
图1-13
由于△DHK≌△EIH，
∴
∠2
＝∠4.
又∵
∠1
+∠2
=
90°，
∴
∠1
+∠4
=
90°.
因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为(a
+
b)，
它的面积为(a
+
b)2
.
又∠KHI
=
90°，
∴
∠1
+∠KHI
+∠4
=
180°，
即D，H，E
在一条直线上.
图1-13
同理E，I，F在一条直线上；
F
，J，G
在一条直线上；
G
，K，D
在一条直线上.
又正方形DEFG
的面积为c2
+
，
∴
即
a2+2ab+
b2
=
c2
+2ab
，
∴
a2+
b2
=
c2
.
图1-13
结论
直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.
a2+
b2
=
c2
由此得到直角三角形的性质定理：
其实我国早在三千多年前就已经知道直角三
角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角
边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为
弦（如图1-14），因此这一性质被称为勾股定理.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，
我们可以根据勾股定理，求出第三边的长.
勾
股
弦(共14张PPT)
1.勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用.勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试.
2.
在一棵树的10m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
分析：只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求.
解：（1）图1中AB长度为22.
（2）图2中△ABC、△ABD就是所要画的等腰三角形.
2.勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形的“形”的特点转化为三边“数”的关系，是数形结合的一个典例.
勾股定理的应用非常广泛，在实际的生产实践和日常生活中，有许多问题都是可以运用勾股定理解决的.
运用勾股定理解决实际问题的关键是运用转化思想将实际问题转化为数学模型，再运用方程（或方程组）来解.
此课时是运用勾股定理和判定直角三角形的勾股逆定理来解决实际问题，解决这类问题的关键是画出正确的图形，通过数形结合，构造直角三角形，碰到空间曲面上两点间的最短距离问题，一般是化空间问题为平面问题来解决.即将空间曲面展开成平面，然后利用勾股定理及相关知识进行求解，遇到求不规则面积问题，通常应用化归思想，将不规则问题转换成规则问题来解决.解题中，注意辅助线的使用，特别是“经验辅助线”的使用.(共15张PPT)
探究
如图1-19，在△ABC
中，AB
=
c，BC
=
a，AC
=
b，
且a2+
b2
=c2
，
那么△ABC是直角三角形吗？
图1-19
如果我们能构造一个直角三角形，
然后证明△ABC
与所构造的直角三角
形全等，
即可得△ABC
是直角三角形.
∵
a2+
b2
=
c2
，
图1-20
∴
=
c.
在Rt
中，
根据勾股定理得，
2=
a2+
b2
，
△
∴
2
=
c2.
如图1-20，作Rt
，使∠
=
90°，
=
a，
=
b.
△
∴
△ABC是直角三角形.
先构造满足某些条件的
图形，然后根据所求证的图
形与所构造图形之间的关系，
完成证明，这也是常用的问
题解决策略.
在△ABC和
中，
∵
BC
=
=
a，AC
=
=
b，
AB
=
=
c，
△
∴
△ABC≌
△
∴
∠C
=∠
=
90°.
结论
如果三角形的三条边长a，b，c
满足关系：
，那么这个三角形是直角三角形.
由此得到直角三角形的判定定理：
上述定理被称为勾股定理的逆定理.
（1）勾股定理及其逆定理的区别：
勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理.
（2）判定直角三角形的方法：
①角为90°；②垂直；③勾股定理的逆定理.
分析：（1）中已知两个角的度数，故可用“有两个角互余的三角形是直角三角形”来判断；（2）（3）中已知三角形三边（或三边关系），故可用勾股定理的逆定理来判断.(共10张PPT)
1.使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定.
2.使学生掌握“斜边、直角边”定理，并能熟练地利用这个定理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等.指导学生自己动手，发现问题，探索解决问题(发现探索法).由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质.因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法.
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知AB=A′B′，AC=A′C′，∠ACB=∠A′C′B′=90°，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等吗？
推导如下：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∵AB=A′B′，AC=A′C′，
根据勾股定理，BC2=AB2-AC2，
B′C′2=A′B′2-A′C′2，∴BC=B′C′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
由以上推理我们可以得到直角三角形全等的判定方法：
斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
分析：欲证BC=AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有△ABD和△BAC，△ADO和△BCO，O为DB、AC的交点，经过条件的分析，△ABD和△BAC具备全等的条件.
分析：要证明OB=OC，在同一个三角形中，只需要证明它们所对的两个角相等即可.
我们有五种判定三角形全等的方法：
1.边边边（SSS）
2.边角边（SAS）
3.角边角（ASA）
4.角角边（AAS）
5.HL（仅用在直角三角形中）(共14张PPT)
议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线.你能说明它的道理吗？
要说明AC是∠DAB的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB.∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了.看看条件够不够.
小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论.从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：角的内部到角的两边的距离相等的点也在角的平分线上.
证明如下：
已知：平面上有∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：经过点P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP
PD=PE，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的平分线.
【归纳】角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
溶韵传媒
债影影
為探新短
点烫榜
随堂1+1
海韵传媒
理解并掌握角的平分线的性质定理及其逆定
理.
能应用角的平分线的性质定理及其逆定理解决
些简单的计算及证明等问题
重点:角的平分线的性质定理及其逆定理
难点:角的平分线的性质定理及其逆定理的灵活
諜本容,了獬本带主要肉容
在∠AOB的两边OA和
分别取OM
MC⊥OA,NC
MC与NC交于C
求证:∠MOC
OC
通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC,即可证明∠MOC
OC,所以射线OC就是∠AOB的平分线
受这个题的启示,我们能不能这样做
知∠AOB的两边上分别截取OM=C
分
别过M、N作MC⊥OA,NC⊥OB,MC与NC交于C点,
连接OC,那么OC就是∠AOB的平分线
C
AC=AC
所以△ABC≌△ADC(S).所以∠CAD=∠CAB
射线AC就是∠DAB的平分线
1.如图,将∠AOB的两边对折,再折
角三角
形(以第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形
成的三条折痕,你能得到什么结论 你能利用所学过
的知识,说明你的结论的正确性
实践感知,互动交流,得出结论,“从实践
第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形
成的两条折痕PD、PE是角的平分线
A
两边的距离,这两个距离相(共13张PPT)
分析：因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段的长是距离，而证明它们相等必须标出它们.所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段的长，那么图中画实线，在证明中就可以不写.
点拨：在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程.
归纳：三角形的三条角平分线相交于一点.
点拨：面积法是求三角形角平分线的交点到各边距离的常用方法之一.
溶韵传媒
债影影
為探新短
点烫榜
随堂1+1
海韵传媒
掌握角的平分线的性质定理及其逆定理的综
用
2.掌握三角形的角平分线的性质,并能进行有关
的证明与计算
重点:角的平分线的性质定理及其逆定理的综
难点:三角形的角平分线的性质的证明
諜本容,了獬本带主要肉容
题1】画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特
题2】如课本图
5,要在S区建
集贸市场,使它到公路、铁
路的距离相等,离公路
铁路交叉处500米,这个集贸市场应建于何处(在图
置
为1:20000)
如图,△ABC的角平分
线BM、CN相交于点P,求
证:点P到三边AB,BC,CA
的距离相等.
过点P作PD、PE、PF分别垂
AB、BC
A,垂足为D、E、F
BM是△ABC的角平分线,点P在BM
PE
同理,PE=PF,PD=PE=PF
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
例1:如图所示,在△ABC
90°,A
C
24,AC=2
(1)△ABC内是否存在
各边的距离相等 如果
存在,请作出这一点,并说明理由
(2)求这点到各点的距离
分析:(1)△ABC三条角平分线的交点到
相等;(2)利用面积法可求出这个距离
解:(1)如图,作∠BAC、∠ACB的平分线,它们的
交点P即为符合要求的
作PE⊥AB,PF⊥BC,PG⊥AC,垂足分别为E、F
AP
AC的平分线,∴PE=PG
CP是∠ACB的平分线,PF=PG
PE==PG
(2)连接BP,设PE=PF=PG=x
C=AB
C
Ac
4=(7+24+25)x,解得
即这点到各边的距离为
E
C
E
△ABC的周长为12,面积
为6,求OE的长
分析;连接
作OM⊥AC于点M,OF
B于点F,则OE=C
OB
BOC
6
角形面积
得OE的长
图,连接OA,过点O作OM⊥AC
M
OF
AB
F
平分∠ABC,OE⊥BC,OF⊥AB,OE=OF
理,OE=OM,∵OE=OF=OM
BC
OB
BOC
F
C.OE+÷AC·OM
E·(AB+BC+AC)=6
又∴AB+BC+AC=12,OE
