(共14张PPT)
10
20
2. 当正方形的边长x分别取1，2，3，4，5，… 时，
正方形的面积S分别是多少？试填写下表：
第2个问题中，正方形的面积随着它的边长的变化而变化.
1
4
9
16
25
36
49
边长 x 1 2 3 4 5 6 7 …
面积 S …
28.8
57.6
在讨论问题中，取值会发生变化的量称为变量，
取值固定不变的量称为常量（或常数）.
上述问题中，时间t，气温T；正方形的边长x，面积S；使用天然气的体积x，应交纳的费用y等都是变量. 使用每一方米天然气应交纳2.88元，2.88是常量.
一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y=f(x).
这里的f(x)是英文 a function of x（x的函数）的简记. 这时把x叫作自变量，把y叫作因变量.
对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f(a).
A
分析：（1）小球由静止开始在斜坡上向下滚动，当滚动时间为1s时，速度v=2×1=2（m/s）；当滚动时间为2s时，速度v=2×2=4（m/s）…以此类推，当滚动时间为ts时，速度v=2t(m/s)；（2）根据已知条件分析可知，小球的速度v的最小值是0m/s，最大值为40m/s，即0≤v≤40，将v用2t代替，得0≤2t≤40，再解这个不等式组；（3）求3.5s时小球的速度，实质是求t=3.5时的函数值；（4）当v=16m/s时，求自变量t的值，解方程即可.
(共17张PPT)
（1）上节问题1是怎样表示气温T与时间t之间的
函数关系的？
（2）上节问题2是怎样表示正方形的面积S与边长x
之间的函数关系的？
（3）上节问题3是怎样表示交纳的费用y与使用天然气
的体积x之间的函数关系的？
边长 x 1 2 3 4 5 6 7 …
面积 S …
像上节问题1那样，建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的值（即因变量的对应值）为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象.
这种表示函数关系的方法称为图象法.
第一行表示自变量取的各个值，
像上节问题2那样，列一张表，
第二行表示相应的函数值（即因变量的对应值），
这种表示函数关系的方法称为列表法.
边长 x 1 2 3 4 5 6 7 …
面积 S 1 4 9 16 25 36 49 …
像上节问题3那样，用式子表示函数关系的方法
称为公式法，这样的式子称为函数的表达式.
用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值.
我们可以看到，用图象法、列表法、公式法均
可以表示两个变量之间的函数关系.
用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量
如何随着自变量而变化；
用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量
取的值与因变量的对应值；
例1：2009年末至2010年初，我国西南部分省市遭遇了严重干旱.某水库的蓄水量随着时间的增加而减小，干旱持续时间t(天)与蓄水量V（万立方米）的变化情况如图所示，根据图象回答问题：（1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？（2）根据图象填表：
（3）当t取0至60天之间的任一值时，对应几个V值？
（4）V可以看作t的函数吗？若可以，写出函数表达式.
分析：（1）通过读图可知，横坐标表示干旱持续时间，纵坐标表示水库蓄水量，因此它表示的是干旱持续时间与水库蓄水量之间的关系；（2）根据图象信息确定每个特殊点的坐标即可;(3)观察图象可得；（4）可根据函数的定义来判断.
例2：小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系.请你由图具体说明小明散步的情况.
分析：从图中可发现函数图象分成四段，因此说明小明散步的情况应分成四个阶段.线段OA：O点的坐标是(0,0)，因此O点表示小明这时从家里出发，然后随着x值的增大，y值也逐渐增大（散步所用时间越长，离家的距离越大），最后到达A点，A点的坐标是(3,250)，说明小明走了约3分钟到达离家250米处的一个阅报栏.线段AB：观察这一段图象可发现x值在增大而y值保持不变（小明这段时间离家的距离没有改变），B点横坐标是8，说明小明在阅报栏前看了5分钟报.线段BC：观察这一段图象可发现随着x值的增大，y值又逐渐增大，最后到达C点，C点的坐标是(10,450)，说明小明看了5分钟报后，又向前走了2分钟，到达离家450米处.线段CD：观察这一段图象可发现随着x值的增大，而y值逐渐减小（10分钟后散步所用时间越长，离家的距离越小），说明小明在返回，最后到达D点，D点的纵坐标是0，表示小明已到家.这一段图象说明从离家450米处返回到家，小明走了6分钟.
解：小明先走了约3分钟，到达离家250米处的一个阅报栏前看了5分钟报，又向前走了2分钟，到达离家450米处返回，走了6分钟到家.
例3：一天上午8时，小华离家去县城购物，到下午2时返回家中，结合他离家的距离s(km)与时间t（时）的关系的图象回答：
（1）小华何时第一次休息？（2）小华离家最远的距离是多少？（3）返回时平均速度是多少？（4）请你描述一下小华购物的过程.
分析：结合实际可知，小华休息时，路程不变，时间变化，反映到图象上即函数图象与时间轴平行；同理，购物时，图象也与时间轴平行.本题提供的图象是路程与时间的图象，故图象的最高点即路程的最远点，即30km；返回时的时间从12时到14时，即2h，利用速度=路程÷时间即可求解.
(共17张PPT)
1. 某地1kW·h电费为0.8元，请用表达式表示电费y(元)与所用的电量x(kW·h)之间的函数关系.
2. 某弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体，秤的原长为10cm，挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm.挂上重物后弹簧的长度为y（cm），所挂物体的质量为x（kg）. 请用表达式表示弹簧长度y与所挂物体质量x之间的函数关系.
在问题1中，用电量x(kW·h)是自变量，电费y(元)是x的函数，它们之间的数量关系为
电费=单价×用电量，
即 y=0.8x. ①
在问题2中，所挂物体质量x（kg）是自变量，弹簧的长度y（cm）是x的函数，它们之间的数量关系为
弹簧长度=原长+弹簧伸长量，
即 y=10+0.5x. ②
函数①、②式有什么共同的特征？
y=0.8x. ①
y=10+0.5x. ②
像y = 0.8x ， y = 10+0.5x一样，它们都是关于
自变量的一次式，像这样的函数称为一次函数.它的一般形式是：
特别地，当b=0，一次函数y=kx(k为常数，k≠0)也叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.
y = kx + b（k，b为常数，k≠0）
上述问题中，分别有：每使用1kW·h 电，需付费0.8 元；每挂上1kg 物体，弹簧伸长0.5cm.
其中弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系如下表所示：
你能仿照上述表格，将电费问题中的自变量与因变量的变化过程表示出来吗？
可以看出，一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是均匀的（即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加(或都减少)相同的数量）.
一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的自变量取值范围是实数集. 但是在实际问题中，要根据具体情况来确定该一次函数的自变量的取值范围.
例如，在第1个问题中，自变量的取值范围是x≥0；在第2个问题中，自变量x的取值范围是0≤x≤10.
正比例函数是特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
例1：下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？
(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这条边上的高h(cm)；
(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；
(3)食堂原有煤150吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；
(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）.
例2:已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值.若它是一次函数，求k的值.
例5:某油库有一没储油的储油罐，在开始的8分钟时间内，只开进油管，不开出油管，油罐的进油至24吨后，将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐中的油从24吨增至40吨.随后又关闭进油管，只开出油管，直至将油罐内的油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.写出这段时间内油罐的储油量y（吨）与进出油时间x（分）的函数关系式及相应的x取值范围.
分析:因为在只打开进油管的8分钟内，后又打开进油管和出油管的16分钟和最后的只开出油管的三个阶级中，储油罐的储油量与进出油时间的函数关系式是不同的，所以此题应分三个时间段来考虑.但在这三个阶段中，两变量之间均为一次函数关系.
解：在第一阶段：y＝3x(0≤x≤8)；在第二阶段：y＝16＋x(8≤x≤24)；在第三阶段：y＝－2x＋88(24≤x≤44).
本节课我们应理解并掌握一次函数、正比例函数以及它们的关系：函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数.一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k、b是常数，k≠0.特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx（常数k≠0）叫做正比例函数.正比例函数是一次函数的特例.
(共14张PPT)
某国家森林公园的一个旅游景点的电梯运行时，以3m/s的速度上升，运行总高度为300m.
（1）你能求出电梯运行高度h(m)随运行时间t(s)而变化的函数表达式吗？ （2）你能画出这个函数的图象吗？
画出正比例函数y=2x的图象.
列表：先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值，
列成表格如下：
x … -3 -2 -1 0 1 2
y … -6 -4 -2 0 2 4
3 …
6 …
描点：建立平面直角坐标系，以自变量值为横坐标，
相应的函数值为纵坐标，描出这些点，如图4-6.
类似地，数学上已经证明：正比例函数y=kx （k 为
常数，k≠0）的图象是一条直线. 由于两点确定一条直线，
因此画正比例函数的图象，只要描出图象上的两个点，
然后过这两点作一条直线即可. 我们常常把这条直线叫作
“直线y=kx”.
一般地，直线y=kx(k为常数，k≠0) 是一条经过原点的直线.
当k>0时，直线y=kx经过第三、一象限从左向右上升， 即随x的增大y也增大；
当k<0时，直线y= kx 经过第二、四象限从左向右下降，即随x的增大y反而减小.
例2：已知正比例函数y=-kx的图象经过第一、三象限，P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)三点在函数y=(k-2)x的图象上，且x1＞x3＞x2，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A.y1＞y3＞y2 B.y1＞y2＞y3 C.y1＜y3＜y2 D.y3＞y2＞y1
(共19张PPT)
在平面直角坐标系中， 先画出函数y = 2x 的
图象，然后探索y = 2x+3 的图象是什么样的图形，
猜测y = 2x+3的图象与y = 2x的图象有什么关系？
先取自变量x的一些值，算出y = 2x，y = 2x+3
对应的函数值，列成表格如下：
y = 2x+3
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -6 -4 -2 0 2 4 6 …
… -3 -1 1 3 5 7 9 …
x
y = 2x
从上表可以看出，横坐标相同，y = 2x+3的
点的纵坐标比y = 2x的点的纵坐标大3，于是将
y = 2x的图象向上平移3 个单位，就得到y = 2x+3
的图象，如图4-11.
由于平移把直线变成与它平行的直线，因此
y = 2x+3的图象是与y = 2x平行的一条直线.
类似地，可以证明，一次函数y = kx+b的图
象是一条直线，它与正比例函数y = kx 的图象平
行，一次函数y = kx+b （k，b为常数，k≠0）的
图象可以看作由直线y = kx平移│b│个单位长度
而得到（当b＞0时，向上平移； 当b＜0时，向下平移）.
由于两点确定一条直线，因此画一次函数的
图象，只要描出图象上的两个点，然后过这两点
作一条直线即可. 我们常常把这条直线叫作“直线
y = kx+b”.
观察画出的一次函数y = 2x+3 ，y = -2x-3的图象，
你能发现当自变量x的取值由小变大时，对应的函数
值如何变化吗？
一般地， 一次函数y = kx+b （k，b为常数，k≠0）具有如下性质：
y = kx+b
k ＞ 0
k ＜ 0
函数值y
的变化
函数值 y 随
自变量 x 的
增大而减小
函数值 y 随
自变量 x 的
增大而增大
图象
解：由于y=2x,y=2x+2,y=2x-2的图象都是直线，故只需各取两个点即可，列表：
过点（0，0）和（1，2）画直线得到y=2x的图象；
过点（0，2）和（1，4）画直线得到y=2x+2的图象；过点（0，-2）和（1，0）画直线得到y=2x-2的图象.
从图中可以看出：y=2x+2的图象是把y=2x的图象向上平移2个单位长度得到的；y=2x-2的图象是把y=2x的图象向下平移2个单位长度得到的.
(共16张PPT)
许多实际问题的解决都需要求出一次函数的
表达式. 怎样才能简便地求出一次函数的表达式呢？
如图4-14，已知一次函数的图象经过P（0，-1），
Q（1，1）两点. 怎样确定这个一次函数的表达式呢？
图4-14
因为一次函数的一般形式是y=kx+b（k，b为常数，k≠0），要求出一次函数的表达式，关键是要确定k和b的值（即待定系数）.
选取
解出
画出
选取
因为P（0，-1） 和Q（1，1）都在该函数图象上，
因此它们的坐标应满足y=kx+b ， 将这两点坐标代入该
式中，得到一个关于k，b的二元一次方程组：
所以，这个一次函数的表达式为y = 2x- 1.
像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模型），
再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求出函数
的表达式的方法称为待定系数法.
例3：元旦前布置教室，八（1）班的同学自己动手，用彩色纸条粘成一环套一环的彩色纸链.细心的小明测量了同学们制作好的彩色纸链的部分长度，得到的数据如下表：
小明发现y与x符合一次函数关系.
（1）求出此函数表达式；
（2）教室屋顶对角线长为12m,现需沿教室屋顶对角线各拉一条彩色纸链，每条彩色纸链至少要用多少个纸环？
分析：（1）根据表格中的数据，任意选择两组对应值，用待定系数法即可求出这个一次函数表达式；（2）将y=12m（1200cm）代入求得的函数表达式中，得到一个不等式，即15x+5≥1200，求出x的最小值即可.
例4：如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图示的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐摆放在桌面上的饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数表达式；
（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
分析：（1）此问题是一次函数的应用题，可设函数表达式为y=kx+b，把x=4，y=10.5与x=7，y=15分别代入即可求出其表达式；（2）将x=11代入表达式求出y值即可.
(共14张PPT)
某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价
制度. 规定每户居民每月用电量不超过160kW·h，则按
0.6元/（kW·h）收费；若超过160kW·h，则超出部分
每1kW·h加收0.1元.
（1）写出某户居民某月应缴纳的电费y(元)与所用的
电量x(kW·h)之间的函数表达式；
（2）画出这个函数的图象；
（3）小王家3月份，4 月份分别用电150kW·h和200kW·h，
应缴纳电费各多少元？
（2） 该函数的图象如图4-16.
图4-16
分段函数：对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫作分段函数.在确定分段函数的函数值时，首先应确定自变量属于哪个范围，然后按该段的表达式去求值.
注意：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）分界点左右的函数表达式不一样.
分段函数的图象：分段函数有几段，它的图象就由几条直线（或线段）组成，作图的关键是根据每段函数自变量的取值范围和表达式在同一坐标系中作出其图象.作图时要注意每段端点的虚实，横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点.
解：（1）小明所用时间为xh，由“路程=速度×时间”可知y1=8x,自变量x的取值范围是0≤x≤5.由于小红比小明晚出发2h，因此，小红所用时间为（x-2）h.从而y2=40(x-2)，自变量x的取值范围是2≤x≤3.
（2）将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，如图所示.
过点M（0，40）作射线l与x轴平行，它先与射线y2=40(x-2)相交，这表明小红先到达乙地.
例2：我国是世界上严重缺水的国家之一，为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费：月用水10t以内（包括10t）的用户，每吨收水费a元；月用水超过10t的用户，10t水仍按每吨a元收费，超过10t的部分，按每吨b元（b＞a）收费.设某户居民月用水xt，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示.
（1）求a的值，并求出该户居民上月用水8t应收的水费；
（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数表达式；
（3）已知上月居民甲比居民乙多用4t水，两家共收水费46元.他们上月分别用水多少吨？
分析：（1）用水量不超过10t时，设其函数表达式为y=ax，由上图可知图象经过点（10，15），从而求得a的值；再将x=8代入即可求得应收的水费；（2）可知图象过点（10，15）和（20，35），利用待定系数法可求得b的值和函数表达式；（3）分别判断居民甲和居民乙用水比10t多还是比10t少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量.
（3）因为10×1.5+10×1.5+4×2=38＜46，所以居民乙用水比10t多，设居民乙上月用水xt，则居民甲上月用水（x+4）t.y甲=2（x+4）-5，y乙=2x-5，由题意，得[2(x+4)-5]+（2x-5）=46，解得x=12.即居民甲用水16t，居民乙用水12t.
(共15张PPT)
国际奥林匹克运动会早期，男子撑杆跳高的纪录近似值如下表所示：
观察这个表中第二行的数据，可以为奥运会的撑杆跳高纪录与时间的关系建立函数模型吗？
年 份 1900 1904 1908
高度(m) 3.33 3.53 3.73
上表中每一届比上一届的纪录提高了0.2m，可以
试着建立一次函数的模型.
年 份 1900 1904 1908
高度(m) 3.33 3.53 3.73
解得 b = 3.3， k=0.05.
公式①就是奥运会早期男子撑杆跳高纪录y与时间t
的函数关系式.
当t = 8时， y = 3.73，这说明1908年的撑杆跳高
纪录也符合公式①.
实际上，1912 年奥运会男子撑杆跳高纪录约为3.93 m. 这表明用所建立的函数模型，在已知数据邻近做预测，结果与实际情况比较吻合.
y=0.05×12+3.33=3.93.
然而，1988年奥运会的男子撑杆跳高纪录是5.90 m，
远低于7.73 m. 这表明用所建立的函数模型远离已知数据
做预测是不可靠的.
y=0.05×88+3.33=7.73.
预测类题型通常会以表格的形式给出一系列数据，一般情况下，我们需先从表格中选取两组数据，用待定系数法求出函数表达式，再将问题中所给变量的数值代入表达式计算，求出另一个变量相应的值，即可达到预测的目的.
注意：用所建立的函数模型远离已知数据做预测是不可靠的.
分析：（1）根据图象中已知点的坐标，分别设y甲=k1x+b和y乙=k2x，用待定系数法分别求出甲、乙两种收费方式的函数表达式；（2）根据（1）中所得函数表达式，分y甲＞y乙，y甲=y乙，y甲＜y乙三种情况列不等式和方程确定x的取值范围，根据x的取值范围选择合算的印刷方式.
分析：（1）先设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，再从表格中选取两组数据代入上式，解方程组求出k、b的值；（2）预测生产数量为70台时每台机器的成本，实质是根据（1）的表达式求x=70时y的值.
(共16张PPT)
一次函数y = 5 - x的图象如图4-18所示.
（1） 方程x + y = 5 的解有多少个？ 写出其中的几个.
（2） 在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，
它们在一次函数y = 5 - x的图象上吗？
图4-18
（3） 在一次函数y = 5 - x的图象上任取一点，它的
坐标满足方程x + y = 5吗？
（4） 以方程x + y = 5 的解为坐标的所有点组成的
图象与一次函数y = 5 - x的图象相同吗？
图4-18
事实上， 以二元一次方程x + y = 5的解为坐标
的点所组成的图形与一次函数y = 5 - x的图象完全相同.
我们知道二元一次方程x + y = 5的解有无数组，
以这些解为坐标的点在一次函数y = 5 - x的图象上.
将方程x + y = 5化成一次函数的形式：y = 5 - x ，
易知该一次函数的图象上任意一点的坐标也满足
方程x + y = 5.
一般地， 一次函数y = kx + b 图象上任意一点
的坐标都是二元一次方程kx-y + b = 0 的一个解，
以二元一次方程kx- y + b = 0的解为坐标的点都在
一次函数y = kx + b的图象上.
你能找到下面两个问题之间的联系吗？
（1） 解方程： 3x - 6 = 0.
（2） 已知一次函数y = 3x - 6，问x取何值时，y = 0？
从图中可以看出，一次函数y = 3x - 6的图象与
x 轴交于点（2，0）， 这就是当y = 0 时，得x = 2， 而x = 2正是方程3x - 6 = 0的解.
（1） 方程3x - 6 = 0的解为x = 2.
（2） 画出函数y = 3x - 6的图象（如图4-19），
一般地，一次函数y = kx + b （k≠0） 的图象
与x 轴的交点的横坐标是一元一次方程kx + b = 0的解.
任何一个一元一次方程kx + b = 0 的解， 就是一次
函数y = kx + b 的图象与x 轴交点的横坐标.
