10.1.4 概率的基本性质
(教师独具内容)
课程标准：结合实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则．
教学重点：随机事件概率的运算法则．
教学难点：利用随机事件概率的运算法则解题.
知识点 概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
推广 如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5 如果A B，那么P(A)≤P(B)，易得0≤P(A)≤1.
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
1．如何应用互斥事件的概率加法公式
(1)将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件，分别求出各个事件的概率，然后利用互斥事件的概率加法公式求出结果．
(2)运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏．
(3)常用步骤：①确定各事件彼此互斥；②求各个事件分别发生的概率，再求其和．
2．对立事件与P(A)＋P(B)＝1的关系
(1)若A，B是对立事件，则P(A)＋P(B)＝1.
(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A和B不一定对立．例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝＋＝1，显然事件A与事件B不互斥，也不对立．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在同一试验中的两个事件A与B，一定有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．( )
(2)对于互斥事件A与B，一定有P(A)＋P(B)＝1.( )
(3)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B一定是对立事件．( )
答案 (1)× (2)× (3)×
2．做一做
(1)若A，B为互斥事件，则( )
A．P(A)＋P(B)<1
B．P(A)＋P(B)>1
C．P(A)＋P(B)＝1
D．P(A)＋P(B)≤1
(2)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( )
A.
B.
C.
D.
(3)一种计算机芯片可以正常使用的概率为0.994，则它不能正常使用的概率是( )
A．0.994
B．0.006
C．0
D．1
答案 (1)D (2)A (3)B
题型一
互斥事件与对立事件的概率
例1 某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：
人数
0
1
2
3
4
大于等于5
概率
0.1
0.16
0.3
0.2
0.2
0.04
(1)求派出医生至多2人的概率；
(2)求派出医生至少2人的概率．
[解] 设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)解法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
解法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
互斥、对立事件概率的求解步骤
解决事件概率问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．
一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
解 解法一：(利用互斥事件求概率)
记事件A1＝{任取1球为红球}，
A2＝{任取1球为黑球}，
A3＝{任取1球为白球}，
A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意，知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得
(1)取出1球是红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
解法二：(利用对立事件求概率)
(1)由解法一，知取出1球是红球或黑球的对立事件为取出1球是白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球是红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝＝.
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.
所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
题型二
概率基本性质的应用
例2 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率．
[解] (1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，
所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P，则
P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
[变式探究] 在本例中，如果公务员选乘一种或几种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
解 由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
复杂事件概率的求法
求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率，这也就是我们常说的“正难则反”．
在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在80～89分(包括89分)的概率是0.51，在70～79分(包括79分)的概率是0.15，在60～69分(包括69分)的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：
(1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率；
(2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率．
解 小明的成绩不低于70分可以看作互斥事件“在70～79分”“在80～89分”“不低于90分”的并事件，小明数学考试及格可以看作互斥事件“在60～69分”“在70～79分”“在80～89分”“不低于90分”的并事件，又可以看作“不及格(在60分以下)”这一事件的对立事件．
于是分别记小明的成绩“不低于90分”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩不低于70分的概率是P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＝0.84.
(2)解法一：小明数学考试及格的概率是
P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
解法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.
1．从一批羽毛球产品中任取一个，如果其质量小于4.8
g的概率为0.3，质量不小于4.85
g的概率为0.32，那么质量在[4.8,4.85)
g范围内的概率是( )
A．0.62
B．0.38
C．0.70
D．0.68
答案 B
解析 质量在[4.8,4.85)
g
范围内的概率P＝1－0.3－0.32＝0.38.
2．掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 记“出现奇数点或2点”为事件C，因为事件A与事件B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.故选D.
3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有一名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．
答案
解析 ∵所选3人中没有女生即都是男生与至少有一名女生为对立事件，∴所选3人中都是男生的概率P＝1－＝.
4．同时掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为，则至少有一个5点或6点的概率是________．
答案
解析 记没有5点或6点的事件为A，则P(A)＝，至少有一个5点或6点的事件为B.因A∩B＝ ，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，
则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
故至少有一个5点或6点的概率为.
5．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率．
解 (1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.故事件A，B，C的概率分别为，，.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．
设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.知识系统整合
规律方法收藏
1．随机事件在现实世界中是广泛存在的，要注意结合生活实例，分析何为必然事件、不可能事件和随机事件，要充分理解概率的意义，并学会解释生活中的一些常见的概率问题，把自己所学的概率知识应用到实际生活中去．
(1)对随机事件的理解应包括的两个方面
①随机事件是指一定条件下出现的某种结果，即随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件在相同的条件下进行研究；②随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验中，随机事件的发生是有规律的．
(2)频率与概率的联系与区别
随机事件的频率，是指事件发生的次数与试验总次数的比值．它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，但随着试验次数的不断增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫作这个事件的概率．概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．在大量重复试验的前提下，可以用频率来估计这个事件的概率．
(3)要辩证地看待“随机事件”“不可能事件”“必然事件”．一个随机事件的发生，既有随机性(对某次试验来说)，又存在着统计规律性(对大量重复试验来说)，这是偶然性与必然性的对立统一．
(4)对概率的统计定义应注意的几点
①求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验进行估计；②只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫作事件的概率；③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；④概率反映了随机事件发生的可能性的大小．
(5)互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不能同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
2．应用互斥事件的概率的加法公式时，要注意首先确定诸事件彼此互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．
3．对于古典概型概率的计算，关键是分清样本点总数n与事件中包含的样本点数m，有时需用列举法把样本点一一列举出来，再利用公式P(A)＝求出事件的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须做到不重复、不遗漏．
4．利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)P(B))可以判定两个事件是否相互独立，这是用定量方法进行分析的定量计算，可以较为准确、果断地判断两个事件是否相互独立．因此我们必须熟练掌握这种方法，但需要注意的是互斥事件与相互独立事件之间有一定的关系，也就是若两个事件相互独立，则一定不能互斥(对立)；反之，若两个事件互斥(对立)，则不能相互独立．
5．本章用到较多的是化归思想，而化归思想是数学中最基本的思想方法之一，在数学研究和学习中有着广泛的应用，化归的核心是把一个生疏复杂的问题转化为熟悉的问题．
学科思想培优
事件间的运算
事件间的运算包含互斥事件的概率加法、对立事件的概率加法，要时刻结合Venn图用集合的思想理解．其中不能同时发生的是互斥事件，反映在集合上就是两事件的交集为空．在互斥的基础上必有一个发生的是对立事件，互为对立的两个事件概率之和为1.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的关键．
其中互斥事件的概率加法公式可以推广到有限个事件，即如果事件A1，A2，…，An是两两互斥关系，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
[典例1] 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解 (1)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(1)，知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
因为P(A1)>P(A2)，所以甲应选择路径L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
因为P(B2)>P(B1)，所以乙应选择路径L2.
古典概型
古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概率的基础．在高考题中，经常出现此种概型的题目．用古典概型计算概率时，一定要验证所构造的基本事件是否是等可能的，同时要弄清事件A所包含的等可能出现的结果(基本事件)的个数．
[典例2] 在人流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3个黄色、3个白色的乒乓球(各球的体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写着摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
(1)求摸出的3个球都为白球的概率；
(2)求摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率；
(3)假定一天中有100人参与摸球游戏，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱．
解 把3个黄色乒乓球分别标记为A，B，C,3个白色乒乓球分别标记为1,2,3.从6个球中随机摸出3个球的样本空间Ω＝{ABC，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，BC1，BC2，BC3，A12，A13，A23，B12，B13，B23，C12，C13，C23,123}，共20个样本点，这20个样本点发生的可能性是相等的．
(1)设事件E＝{摸出的3个球都为白球}，则事件E包含的样本点有1个，即摸出123，则P(E)＝＝0.05.
(2)设事件F＝{摸出的3个球为2个黄球1个白球}，则事件F包含的样本点有9个，P(F)＝＝0.45.
(3)设事件G＝{摸出的3个球为同一颜色}＝{摸出的3个球都为白球或摸出的3个球都为黄球}，则事件G包含的样本点有2个，故P(G)＝＝0.1.
假定一天中有100人参与摸球游戏，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件“摊主送给摸球者5元钱”发生10次，事件“摸球者付给摊主1元钱”发生90次，故可估计该摊主一天可赚90×1－10×5＝40(元)，每月可赚1200元．
(1)解决古典概型的关键问题是分析样本点总数和某事件所包含的样本点数，通常用列举法或树状图表达．
(2)当含有“至多”“至少”“不含”等词语时，从正面突破比较困难时，可以考虑反面，即对立事件．
事件的相互独立性
判断事件是否相互独立的方法有：
(1)定义法：事件A，B相互独立 P(AB)＝P(A)·P(B)．
(2)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
[典例3] 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手被淘汰的概率；
(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．
解 设“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.
(1)解法一：该选手被淘汰的概率为
P＝P(1∪A12∪A1A23∪A1A2A34)＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)·P(A3)P(4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.
解法二：P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)P(A2)·P(A3)P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.
(2)解法一：所求概率P＝P(A12∪A1A23∪A1A2A34)＝P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.
解法二：所求概率P＝1－P(1)－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.
频率与概率
依据概率的定义，可以用事件发生的频率去估计概率．
频率的计算公式为fn(A)＝，其中nA是事件A出现的频数，n为重复试验次数．
[典例4] 下表分别表示从甲、乙两厂随机抽取的某批乒乓球的质量检查情况．
甲厂抽取的乒乓球的质量检查情况
抽取球数n
50
100
200
500
1000
2000
优等品数m
45
92
194
470
954
1902
优等品频率
乙厂抽取的乒乓球的质量检查情况
抽取球数n
70
130
310
700
1500
2000
优等品数m
60
116
282
639
1339
1806
优等品频率
(1)分别计算两个表中乒乓球优等品的频率(结果保留到小数点后第三位)；
(2)从甲、乙两厂分别抽取一个乒乓球，质检结果为优等品的概率分别是多少？
(3)若甲、乙两厂的乒乓球价格相同，你打算从哪个厂家购货？
解 (1)表中甲厂优等品的频率依次为0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951；表中乙厂优等品的频率依次为0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.
(2)由(1)可知，抽取的球数不同，计算得到的频率值也不同，因为表中甲厂的频率在常数0.95的附近波动，所以从甲厂抽取一个乒乓球检测时，质检结果为优等品的概率近似为0.95；因为表中乙厂的频率在常数0.90的附近波动，所以在乙厂抽取一个乒乓球检测时，质检结果为优等品的概率近似为0.90.
(3)因为概率反映了一个事件发生的可能性的大小，P甲>P乙表示甲厂生产优等乒乓球的可能性更大，因此应选购甲厂生产的乒乓球．10.3.1 频率的稳定性
10.3.2 随机模拟
(教师独具内容)
课程标准：结合实例，会用频率估计概率．
教学重点：了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．
教学难点：1.频率与概率的区别与联系.2.理解用模拟方法估计概率的实质.
知识点一 频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
知识点二 随机数的概念
1．随机数：要产生1～n(n∈N
)之间的随机整数，把n个质地和大小相同的小球分别标上1,2,3，…，n，放入一个容器中，充分搅拌后取出一个球，这个球上的数就称为随机数．
2．伪随机数：计算机或计算器产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．
3．产生随机数的方法：教材中给出了两种产生随机数的方法：①利用带有PRB功能的计算器产生随机数；②用计算机软件产生随机数，比如用Excel软件产生随机数．我们只要按照它的程序一步一步执行即可．
4．用随机模拟估计概率的步骤
(1)建立概率模型；
(2)进行模拟试验，可用计算器或计算机进行模拟试验；
(3)统计试验结果．
1．频率随着试验次数的变化而变化；概率却是一个常数，是客观存在的，与试验次数无关．
2．在实际应用中，只要试验的次数足够多，所得的频率就可以近似地当作随机事件的概率．
3．概率是频率的稳定值，根据概率的定义我们可知，概率越接近于1，事件A发生的频数就越多，此事件发生的可能性就越大；反之，概率越接近于0，事件A发生的频数就越少，此事件发生的可能性就越小．
4．应用随机数计算事件的概率，在设计随机试验方案时，一定要注意先确定随机数的范围和每个随机数所代表的试验结果，其次要注意用几个随机数为一组时，每组中的随机数是否能够重复．对于一些较为复杂的问题，要建立一个适当的数学模型，转换成计算机或计算器能操作的试验．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)频率是概率的估计值．( )
(2)概率是频率的稳定值．( )
(3)对于满足“有限性”，但不满足“等可能性”的概率问题我们可采取随机模拟方法．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√
2．做一做
(1)下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1]之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
(2)下列说法正确的是( )
A．某事件A发生的概率为1.09
B．不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1
C．随机事件发生的频率是一个确定的值
D．随机事件发生的概率随着试验次数的变化而变化
(3)历史上有些学者做了成千上万次掷硬币试验，结果如下表：
试验者
抛掷次数(n)
正面朝上次数(m)
频率
德·摩根
2048
1061
0.5181
蒲丰
4040
2048
0.5069
费勒
10000
4979
0.4979
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
由上表可知，掷硬币试验中，正面朝上的概率为( )
A．0.51
B．0.49
C．0.50
D．0.52
答案 (1)C (2)B (3)C
题型一
频率与概率的关系
例1 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组
频数
频率
[500,900)
48
[900,1100)
121
[1100,1300)
208
[1300,1500)
223
[1500,1700)
193
[1700,1900)
165
[1900，＋∞)
42
(1)求各组的频率；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．
[解] (1)频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中寿命不足1500小时的频率是＝0.6.
即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.
估算法求概率
(1)在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值．
(2)在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率．
有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表：
一发次数n
10
20
50
100
200
500
甲一发成功次数
9
17
44
92
179
450
一发成功的频率
一发次数n
10
20
50
100
200
500
乙一发成
功次数
8
19
44
93
177
453
一发成功
的频率
请根据以上表格中的数据回答下列问题：
(1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格；
(2)根据(1)中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率．
解 (1)
一发次数n
10
20
50
100
200
500
甲一发成功次数
9
17
44
92
179
450
一发成功的频率
0.9
0.85
0.88
0.92
0.895
0.9
一发次数n
10
20
50
100
200
500
乙一发成功次数
8
19
44
93
177
453
一发成功的频率
0.8
0.95
0.88
0.93
0.885
0.906
(2)由(1)中的数据可知，随着一发次数的增多，两位运动员一发成功的频率都越来越集中在0.9附近，所以估计两人一发成功的概率均为0.9.
题型二
随机模拟法估计概率
例2 天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，请设计一个模拟试验计算下个星期恰有2天涨潮的概率．
[解] 利用计算机产生0～9之间取整数值的随机数，用1,2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数：
7032563 2564586 3142486 5677851
7782684 6122569 5241478 8971568
3215687 6424458 6325874 6894331
5789614 5689432 1547863 3569841
2589634 1258697 6547823 2274168
相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486,5241478,3215687,1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为＝.
随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：(1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；(3)当每次试验
结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．假设产生30组随机数．
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
据此估计乙获胜的概率约为________．
答案
解析 相当于做了30次试验．如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707，共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为.
1．下列说法正确的是( )
A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是
B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上
C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率
答案 D
解析 注意概率与频率的区别及正确理解概率的含义是解题的关键．A的结果是频率，不是概率；B，C两项都没有正确理解概率的含义，D正确．
2．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
10
11
8
8
6
10
18
9
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53
B．0.5
C．0.47
D．0.37
答案 A
解析 取到的卡片号码为奇数的频数为10＋8＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为＝0.53.故选A.
3．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：
812,832,569,683,271,989,730,537,925,907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
答案 A
解析 由10组随机数，知4～9中恰有三个的随机数有569,989两组，故所求的概率为P＝＝0.2.
4．给出下列三个命题，其中正确的个数为________．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次掷硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
答案 0
解析 ①根据概率的意义可知，100件产品中，次品数可能是10件，未必一定是10件，错误；②7次试验中，正面出现了3次，得频率为，错误；③频率只是概率的估计值，错误．故正确的个数为0.
5．某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域(不考虑指针落在分界线上的情况)就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据．
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率
(1)计算并完成表格；
(2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？
(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？
解 (1)
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
(2)当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.
(3)获得铅笔的概率约是0.7.A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两弹都击中飞机}，B＝{两弹都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是( )
A．A D
B．B∩D＝
C．A∪C＝D
D．A∪C＝B∪D
答案 D
解析 由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，故有A D，故A正确．由于事件B，D是互斥事件，故B∩D＝ ，故B正确．再由A∪C＝D成立可得C正确．A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而B∪D为必然事件，故D不正确．
2．抽查10件产品，设A＝{至少有2件次品}，则等于( )
A．{至多有2件次品}
B．{至多有两件正品}
C．{至少有两件正品}
D．{至多有一件次品}
答案 D
解析 “至少有2件次品”表示事件包含次品数最少是2，对立事件则应该为“至多有一件次品”，故选D.
3．一人连续掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是( )
A．至多有一次为正面
B．两次均为正面
C．只有一次为正面
D．两次均为反面
答案 D
解析 对于A，至多有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于B，两次均为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于C，只有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于D，两次均为反面与至少有一次为正面，不能够同时发生，是互斥事件．故选D.
4．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是( )
A．①
B．②④
C．③
D．①③
答案 C
解析 从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数．故选C.
5．从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥而不对立的两个事件的是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少一个红球；都是白球
D．至多一个红球；都是红球
答案 B
解析 A中至少有一个红球包含两种情形：一红一白，两个红，至少有一个白球包含：一红一白，两个白，这两个事件不互斥，C，D中的两个事件互斥且对立．
二、填空题
6．在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A∪表示________．
答案 出现的点数为2,4,5,6
解析 因为表示“出现大于等于5的点数”，即“出现5,6点”，所以A∪表示“出现的点数为2,4,5,6”．
7．同时掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2,3，4，…，11,12中的一个．记事件A为“点数之和是2,4,7,12”，事件B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为________．
答案 A∩B∩
解析 ∵事件A＝{2,4,7,12}，事件B＝{2,4,6,8,10,12}，∴A∩B＝{2,4,12}．又C＝{9,10,11,12}，∴A∩B∩＝{2,4}．
8．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，给出如下四组事件：
①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”；
②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；
③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”；
④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”，
其中互为对立事件的有________(写出所有正确的编号)．
答案 ②④
解析 从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，
①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；
②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；
③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件；
④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”是互斥事件，也是对立事件．
故答案为②④.
三、解答题
9．甲、乙、丙三人独立破译密码，用事件的运算关系表示：
(1)密码被破译；(2)至少有一人破译；
(3)至多有一人破译；(4)恰有一人破译；
(5)只有甲破译；(6)密码未被破译．
解 用A，B，C分别表示甲、乙、丙破译密码，则
(1)A∪B∪C；(2)A∪B∪C；(3)A∩∩＋∩B∩＋∩∩C＋∩∩；(4)A∩∩＋∩B∩＋∩∩C；(5)A∩∩；(6)∩∩.
B级：“四能”提升训练
判断下列各事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)恰有1名男生和恰有2名男生；
(2)至少有1名男生和至少有1名女生；
(3)至少有1名男生和全是男生；
(4)至少有1名男生和全是女生．
解 (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出“1名男生、1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．
(2)既不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，他们可能同时发生．
(3)既不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．
(4)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以他们是对立事件．(共51张PPT)
解析
答案
解析
答案
答案
答案
答案
答案
解析
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列概率模型中，是古典概型的个数为( )
①从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率；
②从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；
③在一个正方形ABCD内画一点P，求点P刚好与点A重合的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 A
解析 古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可能性相等，故②是古典概型；④由于硬币质地不均匀，样本点发生的可能性不一定相等，故不是古典概型；①和③中的样本空间中的样本点的个数不是有限的，故不是古典概型．故选A.
2．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，则这个集合恰是集合{a，b，c}的子集的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 集合{a，b，c，d，e}共有25＝32个子集，而集合{a，b，c}的子集有23＝8个，所以所求概率为＝.
3．某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设两款优惠套餐分别为A，B，列举样本点如图所示．
由图可知，共有8个样本点，这8个样本点发生的可能性是相等的．其中甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐包括(A，A，A)，(B，B，B)，共2个样本点，故所求概率为P＝＝.
4．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，共有16个样本点，这16个样本点发生的可能性是相等的．其中满足|a－b|≤1的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为＝.
5．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一学生中进行了抽样调查．已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，则至多有1人喜欢甜品的概率为( )
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
答案 D
解析 记2名喜欢甜品的学生分别为a1，a2,3名不喜欢甜品的学生分别为b1，b2，b3.
从这5名数学系学生中任取3人的所有可能结果共10个，分别为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，这10种结果发生的可能性是相等的．
记事件A表示“至多有1人喜欢甜品”，则事件A所包含的样本点有(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，共7个．根据古典概型的概率计算公式，得至多有1人喜欢甜品的概率P(A)＝＝0.7，故选D.
二、填空题
6．同时掷两枚相同的骰子，则两枚骰子向上的点数之积等于12的概率为________．
答案
解析 同时掷两枚相同的骰子的样本点总数为36，这36个样本点发生的可能性是相等的，满足两枚骰子向上的点数之积为12的样本点有(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4个，故所求概率为＝.
7．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．
答案
解析 抽取的a，b组合有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共15种情况，这15种情况发生的可能性是相等的．其中(1,2)，(1,3)，(2,3)满足b>a，故所求概率为＝.
8．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．
答案
解析 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个，这24个数出现的可能性是相等的．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为＝.
三、解答题
9．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(2)有人认为：两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
解 (1)所有可能的摸出结果是(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)．
(2)不正确，理由如下：
由(1)，知所有可能的摸出结果共12种，且这12种结果发生的可能性是相等的．其中摸出的2个球都是红球的结果有{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝，故不中奖的概率比较大．
B级：“四能”提升训练
小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．
解 (1)将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.
从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20个样本点，这20个样本点发生的可能性是相等的．
设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12个，所以P(A)＝＝0.6.
(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25个样本点，这25个样本点发生的可能性是相等的．
设事件B为“所选的题不是同一种题型”，则事件B包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12个，所以P(B)＝＝0.48.(共20张PPT)
答案
解析
答案
解析
答案
答案
答案
答案
解析
答案
答案
答案
答案
答案第十章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中，随机事件的个数是( )
①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4
℃时结冰；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0.
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 B
解析 ①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．故选B.
2．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
答案 A
解析 由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件．
3．如果从一个不透明的口袋中摸出白球的概率为，已知袋中有红球和白球，红球有3个，那么袋中球的总个数为( )
A．16
B．18
C．20
D．24
答案 B
解析 设袋中有x个球，因为摸出白球的概率为，故摸到红球的概率为，且袋中红球有3个，所以＝.所以x＝18.
4．将数字1,2,3填入标号为1,2,3的三个方格里，每格填上一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 将数字1,2,3填入标号为1,2,3的三个方格里有6种不同的填法，这6种情况发生的可能性是相等的．而每个方格的标号与所填的数字均不相同只有两种不同的填法．故所求概率P＝＝.
5．对于同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是
( )
A．互斥不对立
B．对立不互斥
C．互斥且对立
D．不互斥、不对立
答案 C
解析 ∵事件A，B不可能同时发生，但必有一个发生，∴事件A，B的关系是互斥且对立．
6．若“A＋B”发生(A，B中至少有一个发生)的概率为0.6，则，同时发生的概率为( )
A．0.6
B．0.36
C．0.24
D．0.4
答案 D
解析 “A＋B”发生指A，B中至少有一个发生，它的对立事件为A，B都不发生，即，同时发生．故选D.
7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，抽得次品的概率为
( )
A．0.01
B．0.02
C．0.03
D．0.04
答案 D
解析 设“抽得次品”为事件A，“抽得乙级品”为事件B，“抽得丙级品”为事件C，由题意，知事件B与事件C是互斥事件，且A＝B∪C，所以P(A)＝P(B∪C)＝[P(B)＋P(C)]＝0.03＋0.01＝0.04.
8．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )
A．0.6
B．0.5
C．0.4
D．0.3
答案 D
解析 设2名男同学为A1，A2,3名女同学为B1，B2，B3，从以上5名同学中任选2人总共有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10种等可能的情况，选中的2人都是女同学的情况共有B1B2，B1B3，B2B3
3种可能，则选中的2人都是女同学的概率为P＝＝0.3.故选D.
9．甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 列出乙、丙、丁三人分别得到的钱数，有(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(4,2,3)，(4,3,2)，(5,2,2)，共有10种等可能的情况．而丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的情况有(2,4,3)，(2,5,2)，(3,3,3)，(3,4,2)，共4种，故所求概率为＝，故选C.
10．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个图形颜色不全相同的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 每一个图形有2种涂法，总的涂色种数为23＝8，三个图形颜色完全相同的有2种(全是红或全是蓝)，则三个图形颜色不全相同的涂法种数为8－2＝6.所以三个图形颜色不全相同的概率为＝.故选A.
11．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为的是( )
A．颜色相同
B．颜色不全相同
C．颜色全不相同
D．无红球
答案 B
解析 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为＝；颜色不全相同的结果有24种，其概率为＝；颜色全不相同的结果有6种，其概率为＝；无红球的结果有8种，其概率为.故选B.
12．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量(单位：个)，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2名进行培训，则这2名工人不在同一组的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 根据频率分布直方图可知，生产产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2，5×0.04×20＝4.设生产产品的数量在[10,15)内的2人分别是A，B，[15,20)内的4人分别为C，D，E，F，则从生产低于20件产品的工人中随机选取2名工人的样本点有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个，且这15个样本点发生的可能性是相等的.2名工人不在同一组的样本点有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8个，则选取的2名工人不在同一组的概率为.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1,2,3,4,5，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为________．
答案
解析 画树状图如下：
，共20种等可能的结果，其中摸出的两个球的编号之和大于6的结果有8种，故所求概率为＝.
14．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录落在桌面的数字，得到如下频数表：
落在桌面的数字
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
则落在桌面的数字不小于4的频率为________．
答案 0.35
解析 落在桌面的数字不小于4，即4,5的频数共13＋22＝35，所以所求频率＝＝0.35.
15．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
答案 0.03
解析 设“一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎”为事件A，由频率的稳定性，知事件A发生的频率为＝＝0.03，即是概率的近似值．
16．A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，则A或B在边上的概率为________．
答案
解析 A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，样本点总数为24，如下图所示．
这24个样本点发生的可能性是相等的．其中A，B都不在边上共4个样本点，所以A或B在边上的概率为P＝1－＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解 (1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
(3)与(1)同理，可得
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
18．(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表(单位：人)：
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
解 (1)设“该同学至少参加上述一个社团”为事件A，
则P(A)＝＝.
所以该同学至少参加上述一个社团的概率为.
(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有样本点有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)，共15个，且这15个样本点发生的可能性是相等的．其中A1被选中且B1未被选中的有(A1，B2)，(A1，B3)共2个，所以A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.
19．(本小题满分12分)某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(单位：分)整理后，得到如下频率分布直方图(其中分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[90,100])：
(1)求成绩在[70,80)的频率，并补全此频率分布直方图；
(2)求这次考试平均分的估计值；
(3)若从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．
解 (1)第四小组的频率＝1－(0.005＋0.015＋0.020＋0.030＋0.005)×10＝0.25.
(2)依题意可得，
平均分＝(45×0.005＋55×0.015＋65×0.020＋75×0.025＋85×0.030＋95×0.005)×10＝72.5.
故这次考试平均分的估计值为72.5.
(3)[40,50)与[90,100]的人数分别是3和3，所以从成绩在[40,50)与[90,100]内的学生中选两人，将[40,50)分数段的3人编号为A1，A2，A3，将[90,100]分数段的3人编号为B1，B2，B3从中任取两人，则样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共有15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的．其中，在同一分数段内的事件所含样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共6个，故所求概率P＝＝.
20．(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字不同外其他完全相同．现随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解 (1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种，且这27种结果发生的可能性是相等的．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P(A)＝＝.因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)＝1－P()＝1－＝.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
21．(本小题满分12分)已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为，，，且三人是否通过测试互不影响．求：
(1)3人都通过体能测试的概率；
(2)只有2人通过体能测试的概率；
(3)只有1人通过体能测试的概率．
解 设事件A＝“甲通过体能测试”，事件B＝“乙通过体能测试”，事件C＝“丙通过体能测试”，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)设M1表示“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即M1＝ABC，则由A，B，C相互独立，可得P(M1)＝P(A)·P(B)P(C)＝××＝.
(2)设M2表示“只有2人通过体能测试”，则M2＝AB＋AC＋BC，由于事件A与B，A与C，B与C均相互独立，且事件AB，AC，BC两两互斥，则
P(M2)＝P(AB∪AC∪BC)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝＋＋＝.
(3)设M3表示事件“只有1人通过体能测试”．
则M3＝A＋B＋C，由于事件A、、，、B、，、、C均相互独立，并且事件A，B，C两两互斥，所以所求的概率为
P(M3)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()·P()P(C)
＝××＋××＋××＝.
22．(本小题满分12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数(不考虑指针落在分界线上的情况)．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解 (1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}．
因为Ω中元素的个数是4×4＝16.
所以样本点总数n＝16.
记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3
则事件B包含的样本点共6个，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
所以P(B)＝＝.
事件C包含的样本点共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(C)＝.
因为>，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．10.1.1 有限样本空间与随机事件
(教师独具内容)
课程标准：1.结合实例，理解样本点和有限样本空间的含义.2.理解随机事件与样本点的关系．
教学重点：通过实例，理解样本点、样本空间的含义并能写出试验的样本空间及随机事件包含的样本点．
教学难点：写出随机事件包含的样本点.
知识点一 随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
知识点二 样本点与样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点．
②样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间．
一般地，用Ω表示样本空间，用w表示样本点．
③有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间．
知识点三 随机事件
随机事件：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，一般用大写字母A，B，…表示．
基本事件：只包含一个样本点的事件称为基本事件．
必然事件：包含了所有样本点的事件．
不可能事件：不包含任何样本点的事件．
注：每个事件都是样本空间的子集．
建立样本空间，事实上就是建立随机现象的数学模型．因此，一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题．在具体问题的研究中，描述随机现象的第一步就是建立样本空间．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形的内角和为180°是必然事件．( )
(2)“掷硬币三次，三次正面朝上”是不可能事件．( )
(3)“下次李华英语考试成绩在95分以上”是随机事件．( )
答案 (1)√ (2)× (3)√
2．做一做
(1)下列事件：
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取3个，3个都是次品；
④下周六是晴天．
其中，是随机事件的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
(2)李晓同学一次掷出3枚骰子，这一事件包含________个样本点．( )
A．36
B．216
C．72
D．81
答案 (1)D (2)B
题型一
样本空间的概念
例1 根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间．
(1)任意抽取1张，记录它的花色；
(2)任意抽取1张，记录它的点数；
(3)在同一种花色的牌中一次抽取2张，记录每张的点数；
(4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张点数之和．
[解] (1)一副扑克牌有四种花色，所以样本空间为Ω＝{红心，方块，黑桃，草花}．
(2)扑克牌的点数是从1～6，所以样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}．
(3)一次抽取2张，点数不会相同，则所有结果如下表所示．
故样本空间为
Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)}．
(4)一次抽取2张，计算两张点数之和，样本空间为Ω＝{3,4,5,6,7,8,9,10,11}．
理解样本点与样本空间应注意的几个方面
(1)由于随机试验的所有结果是明确的，从而样本点也是明确的．
(2)样本空间与随机试验有关，即不同的随机试验有不同的样本空间．
(3)随机试验、样本空间与随机事件的关系：
随机试验―→样本空间随机事件．
写出下列试验的样本空间．
(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币的结果；
(2)某人射击一次命中的环数(均为整数)；
(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取两个元素．
解 (1)样本空间为Ω＝{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}．
(2)样本空间为Ω＝{0环，1环，2环，3环，4环，5环，6环，7环，8环，9环，10环}．
(3)样本空间为Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}.
题型二
随机事件的判断
例2 指出下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．
(1)函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称；
(2)y＝kx＋6是定义在R上的增函数；
(3)若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同号．
[解] (1)是必然事件；(2)(3)是随机事件．
对于(2)，当k>0时是R上的增函数；当k<0时是R上的减函数；当k＝0时函数不具有单调性．
对于(3)，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，有两种可能：一种可能是a，b同号，即ab>0；另一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab＝0.
必然事件和不可能事件具有确定性，在一定条件下能确定其是否发生，随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．当然，条件的不同以及条件的变化都可能影响事件发生的结果，要注意从问题的背景中体会条件的特点．
在12件同类产品中，有10件正品，2件次品，从中任意抽出3件，下列事件中：①3件都是正品；②至少有1件是次品；③3件都是次品；④至少有1件是正品．其中随机事件有________，必然事件有________，不可能事件有________．(填上相应的序号)
答案 ①② ④ ③
解析 抽出的3件可能都是正品，也可能不都是正品，故①②是随机事件；这12件产品中共有2件次品，那么抽出的3件不可能都是次品，其中至少有1件是正品，故③是不可能事件，④是必然事件.
题型三
事件与样本空间
例3 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)(不考虑指针落在分界线上的情况)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)写出事件A：“x＋y＝5”和事件B：“x<3且y>1”的集合表示；
(4)说出事件C＝{(1,4)，(2,2)，(4,1)}，D＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)}所表示的含义．
[解] (1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)样本点的总数为16.
(3)事件A＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}；
事件B＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}．
(4)事件C表示“xy＝4”，事件D表示“x＝y”．
(1)用样本点表示随机事件，首先弄清试验的样本空间，不重不漏列出所有的样本点．然后找出满足随机事件要求的样本点，从而用这些样本点组成的集合表示随机事件．
(2)随机事件可以用文字表示，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的本质，且更便于今后计算事件发生的概率．
甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．
(1)写出这个游戏对应的样本空间；
(2)写出这个游戏的样本点总数；
(3)写出事件A：“甲赢”的集合表示；
(4)说出事件B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}所表示的含义．
解 (1)用(锤，剪)表示甲出锤，乙出剪，其他样本点用类似方法表示，则这个游戏对应的样本空间为Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．
(2)这个游戏的样本点总数为9.
(3)事件A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．
(4)事件B表示“平局”.
1．以下现象是随机现象的是( )
A．标准大气压下，水加热到100
℃，必会沸腾
B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为ab
D．实系数一次方程必有一实根
答案 B
解析 标准大气压下，水加热到100
℃，必会沸腾，是必然事件；走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；长和宽分别为a，b的矩形，其面积为ab，是必然事件；实系数一次方程必有一实根，是必然事件．故选B.
2．在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是( )
A．必然事件
B．不可能事件
C．随机事件
D．以上选项均有可能
答案 A
解析 从十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字的和的最小值为1＋2＋3＝6，所以事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件．故选A.
3．同时掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
答案 D
解析 因为事件A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)}，共包含6个样本点．故选D.
4．先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则事件：log2xy＝1包含的样本点有________．
答案 (1,2)，(2,4)，(3,6)
解析 先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数有36种结果．解方程log2xy＝1得y＝2x，则符合条件的样本点有(1,2)，(2,4)，(3,6)．
5．随意安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每天1人值班，试写出值班顺序的样本空间．
解 样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}.(共40张PPT)
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答案A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．某人将一枚质地均匀的硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次．若用A表示正面朝上这一事件，则事件A的( )
A．概率为
B．频率为
C．频率为6
D．概率接近0.6
答案 B
解析 事件A＝{正面朝上}的概率为，因为试验次数较少，所以事件A的频率为，与概率值相差太大，并不接近．故选B.
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷100次，那么第99次出现正面朝上的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 ∵第99次抛掷硬币出现的结果共有两种不同的情形，且这两种情形等可能发生，∴所求概率为P＝.
3．袋子中有四个小球，分别写有“东”“方”“骄”“子”四个字，从中任取一个球，取后放回，再取，直到取出“骄”字为止，用随机模拟的方法，估计第二次就停止的概率．且用1,2,3,4表示取出的小球上分别写有“东”“方”“骄”“子”这四个字，每两个随机数为1组代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
23 14 12 31 33
41 44 22 31 43
12 13 24 42 32
23 11 43 31 24
则第二次停止的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由20组随机数，知直到第二次停止的有：23,43,13,23,43，共5组，故所求概率为P＝.故选A.
4．通过模拟实验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740
4422 7884 2604 3346 0952
6807 9706 5774 5725 6576
5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数，在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中目标，则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 表示恰有三次击中目标的有：3013,2604,5725,6576,6754，共5组，随机数总共20组，故四次射击恰有三次击中目标的概率约为＝.
5．一个样本量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
组别
[0,10]
(10,20]
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
(60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在(10,40]上的频率为( )
A．0.13
B．0.39
C．0.52
D．0.64
答案 C
解析 (10,40]包含(10,20]，(20,30]，(30,40]三部分．所以数据在(10,40]上的频数为13＋24＋15＝52，由fn(A)＝可得频率为0.52.故选C.
二、填空题
6．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶．在这次练习中，这个人中靶的频率是________，中9环的频率是________．
答案 0.9 0.3
解析 打靶10次，9次中靶，1次脱靶，所以中靶的频率为＝0.9；其中有3次中9环，所以中9环的频率是＝0.3.
7．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么可能共进行了________次试验．
答案 500
解析 设进行了n次试验，则有＝0.02，解得n＝500，故共进行了500次试验．
8．样本量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，计算样本数据落在[6,10)内的频数为________，估计数据落在[2,10)内的概率约为________．
答案 64 0.4
解析 样本数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，样本数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率，知所求概率约为0.4.
三、解答题
9．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：
从这100个螺母中任意抽取一个，求：
(1)事件A(6.92(2)事件B(6.90(3)事件C(d>6.96)的频率；
(4)事件D(d≤6.89)的频率．
解 (1)事件A的频率f(A)＝＝0.43.
(2)事件B的频率f(B)＝＝0.93.
(3)事件C的频率f(C)＝＝0.04.
(4)事件D的频率f(D)＝＝0.01.
B级：“四能”提升训练
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量
1～4件
5～8件
9～12件
13～16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
解 (1)由已知，得解得
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个样本量为100的样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本的平均值估计，其估计值为
＝1.9(分钟)．
(2)在这100位顾客中，一次购物的结算时间不超过2分钟的共有15＋30＋25＝70(人)，根据频率与概率的关系，估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为＝0.7.(共45张PPT)
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课后课时精练A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列事件中，随机事件的个数为( )
①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③明年长江武汉段的最高水位是29.8
m；④三角形中任意两边的和大于第三边．
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 B
解析 其中①是随机事件，②是不可能事件，③是随机事件，④是必然事件．
2．一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是( )
A．随机事件
B．必然事件
C．不可能事件
D．不能确定
答案 A
解析 一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是随机事件．故选A.
3．掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是( )
A．一枚是3点，一枚是1点
B．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．两枚都是2点
答案 B
解析 掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．故选B.
4．在10名学生中，男生有x名，现从这10名学生中任选6名去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为( )
A．5
B．6
C．3或4
D．5或6
答案 C
解析 由题意，知10名学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，∴x＝3或x＝4.故选C.
5．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
答案 B
解析 从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)4个样本点，选B.
二、填空题
6．“函数y＝ax(a>0，且a≠1)在定义域(－∞，1]上是增函数”是________事件．
答案 随机
解析 当a>1时，y＝ax在(－∞，1
]上是增函数．当07．将一枚骰子掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为________．
答案 19
解析 一枚骰子掷两次，先后出现的点数构成的样本点共36个．其中方程有关根的充要条件为b2≥4ac，共有1＋2＋4＋6＋6＝19个样本点．
b
1
2
3
4
5
6
b2≥4ac样本点数
0
1
2
4
6
6
8．同样抛三枚均匀的硬币，则样本点的总个数和恰有2个正面朝上的样本点个数分别为________．
答案 8,3
解析 由题意，样本点的总个数为23＝8，恰好有2个正面朝上的样本点为正正反、正反正、反正正，共3个．
三、解答题
9．已知集合M＝{－1,0,1,2}，从集合M中有放回地任取两元素作为点P的坐标．
(1)写出试验的样本空间；
(2)求“点P落在坐标轴上”的样本点个数．
解 (1)样本空间Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}．
(2)用事件A表示“点P落在坐标轴上”这一事件，则A包含的样本点有(－1,0)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(2,0)，共7个．
B级：“四能”提升训练
做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出事件A：“第1次取出的数字是2”的集合表示；
(4)说出事件B＝{(0,1)，(0,2)}所表示的实际意义．
解 (1)这个试验的样本空间为Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．
(2)易知这个试验的样本点的总数是6.
(3)A＝{(2,0)，(2,1)}．
(4)事件B表示“第1次取出的数字是0”．(共20张PPT)
答案
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答案
答案
答案
解析
答案
答案
答案
答案
答案
答案(教师独具内容)
课程标准：1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.2.结合古典概型，利用独立性计算概率．
教学重点：相互独立事件的含义和相互独立事件同时发生的概率公式．
教学难点：对事件独立性的判定，以及能正确地将复杂的概率问题转化为几类基本概率模型.
知识点 相互独立事件的定义和性质
(1)定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．
(2)性质：①如果A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
1．n个事件相互独立
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
2．独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
3．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
相互独立事件A，B同时发生，记作AB
互斥事件A，B中有一个发生，记作A∪B(或A＋B)
计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( )
(2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )
(3)若事件A，B相互独立，则P()＝P()P()．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√
2．做一做
(1)一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是( )
A．相互独立事件
B．不相互独立事件
C．互斥事件
D．对立事件
(2)一个学生通过一种英语能力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )
A.
B.
C.
D.
(3)在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
答案 (1)A (2)C (3)
题型一
事件独立性的判断
例1 判断下列事件是否为相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．
[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．
(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“一个节能灯泡能用1000小时”，B＝“一个节能灯泡能用2000小时”
(2)甲、乙两名射击手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
答案 (1)A (2)A
解析 (1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B事件应为互斥事件，不相互独立；D中事件B受事件A的影响，故选A.
(2)对同一目标射击，甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射击手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件，故选A.
题型二
相互独立事件概率的计算
例2 根据资料统计，
某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙两种保险相互独立，
各车主间相互独立．
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．
[解] 记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意，得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，
则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
求相互独立事件同时发生概率的步骤
(1)①首先确定各事件之间是相互独立的；
②确定这些事件可以同时发生；
③求出每个事件的概率，再求积．
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
甲、乙两人独立地破译某密码，他们能破译的概率分别为和.求：
(1)两人都能破译的概率；
(2)两人都不能破译的概率；
(3)恰有一人能破译的概率；
(4)至多有一人能破译的概率．
解 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A，B相互独立，从而A与、与B、与均相互独立．
(1)“两人都能破译”为事件AB，则
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)“两人都不能破译”为事件，则
P()＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝×＝.
(3)“恰有一人能破译”为事件A∪B，
又A与B互斥，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
(4)“至多一人能破译”为事件A∪B∪，而A，B，互斥，故P(A∪B∪)＝P(A)＋P(B)＋P()＝P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()＝×＋×＋×＝.
题型三
相互独立事件概率的实际应用
例3 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．
[解] 记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，
∴不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)P(A1)＝[1－P(2)P(3)]P(A1)＝×＝.
求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意，得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由题意，知P甲＝＝，P乙＝，由于甲、乙中靶是相互独立事件，所以P同时中靶＝P甲P乙＝.
2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是( )
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．对立事件
D．不相互独立事件
答案 D
解析 事件A的结果对事件B有影响．根据相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．
3．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，则其中恰有一人击中目标的概率为( )
A．0.64
B．0.32
C．0.56
D．0.48
答案 B
解析 设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，则“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中(即A)，另一种是甲未击中、乙击中(即B)，根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A与B是互斥的，所以所求概率为P＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.32.故选B.
4．加工某零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
答案
解析 加工出来的零件的正品率为××＝，所以次品率为1－＝.
5．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与.
(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
(2)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率．
解 (1)设“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，P()＝，P()＝.
∴恰好命中一次的概率为P＝P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()P(B)＝×＋×＝＝.
(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为P1，则P1＝P()＝P()P()P()·P()＝2×2＝.
∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少一次命中的概率为P＝1－P1＝.(共36张PPT)
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课后课时精练A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．甲、乙两队举行足球比赛，若甲队获胜的概率为，则乙队不输的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 乙队不输的概率为1－＝.
2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )
A．0.95
B．0.97
C．0.92
D．0.08
答案 C
解析 设事件“抽检一件是甲级”为事件A，“抽检一件是乙级”为事件B，“抽检一件是丙级”为事件C，由题意可得事件A，B，C为互斥事件，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为乙级品和丙级品均属次品，且P(B)＝0.05，P(C)＝0.03，所以P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.92.故选C.
3．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝( )
A．0.3
B．0.6
C．0.7
D．0.9
答案 C
解析 ∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，∴P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.选C.
4．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
答案 B
解析 设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.故选B.
5．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意，知表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝＝.
二、填空题
6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．
答案 120
解析 设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－＝.再由题意，知n－n＝12，解得n＝120.
7．给出命题：(1)对立事件一定是互斥事件；(2)若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(3)若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；(4)若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件．
其中错误命题的个数是________．
答案 3
解析 由互斥事件与对立事件的定义可知(1)正确；只有当事件A，B为两个互斥事件时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故(2)不正确；只有事件A，B，C两两互斥，且A∪B∪C＝Ω时，才有P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，故(3)不正确；由对立事件的定义可知，事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1且A∩B＝ 时，A，B才互为对立事件，故(4)不正确．
8．甲射击一次，中靶的概率是P1，乙射击一次，中靶的概率是P2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶的概率为________；乙射击一次，不中靶的概率为________．
答案
解析 由P1满足方程x2－x＋＝0知，
P－P1＋＝0，解得P1＝；
因为，是方程x2－5x＋6＝0的根，
所以·＝6，解得P2＝.
因此甲射击一次，不中靶的概率为1－＝，乙射击一次，不中靶的概率为1－＝.
三、解答题
9．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n解 先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，这16个结果出现的可能性是相等的．
又满足条件n≥m＋2的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝，
故满足条件nB级：“四能”提升训练
某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率；
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．
解 (1)记“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.
由已知得P(B)＝，P(C＋D)＝.
又事件A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－－＝.
所以甲的停车费为6元的概率为.
(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，这16种情况发生的可能性是相等的；而“停车费之和为28元”的事件有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个．
所以所求概率为.(共23张PPT)
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答案(共16张PPT)
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答案(共37张PPT)
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课后课时精练(共18张PPT)
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答案A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．若A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 ∵A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则A与也是相互独立事件，∴P(A)＝P(A)·P()＝×＝.故选A.
2．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率？( )
A．事件A，B同时发生
B．事件A，B至少有一个发生
C．事件A，B至多有一个发生
D．事件A，B都不发生
答案 C
解析 P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1－P(A)P(B)是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．
3．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为( )
A．0.12
B．0.88
C．0.28
D．0.42
答案 D
解析 P＝(1－0.3)×(1－0.4)＝0.42.
4．袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次，则3次全是红球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 有放回地抽取3次，每次可看作一个独立事件．每次取出的球为红球的概率为，“3次全是红球”为三个独立事件同时发生，其概率为××＝.
5．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.
二、填空题
6．某人有8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门．一次该人醉酒回家，每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是________．
答案
解析 由已知每次打开家门的概率为，则该人第三次打开家门的概率为×＝.
7．一道数学竞赛试题，甲同学解出它的概率为，乙同学解出它的概率为，丙同学解出它的概率为，由甲、乙、丙三人独立解答此题，则只有一人解出的概率为________．
答案
解析 只有一人解出的概率P＝××＋××＋××＝.
8．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
答案
解析 因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，.因此，他们不去北京旅游的概率分别为，，，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－××＝.
三、解答题
9．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
解 设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有
P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为
P(A)＋P(B)＋P(C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为
1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.
B级：“四能”提升训练
某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13
s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
解 设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．
(1)三人都合格的概率为
P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)三人都不合格的概率为
P0＝P()＝P()P()P()＝××＝.
(3)恰有两人合格的概率为
P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝.
恰有一人合格的概率为
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
综合(1)(2)可知P1最大．
所以出现恰有一人合格的概率最大．(共34张PPT)
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课后课时精练(共17张PPT)
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答案10.1.2 事件的关系和运算
(教师独具内容)
课程标准：1.了解随机事件的并、交、互斥与对立的含义.2.能结合实例进行随机事件的并、交运算．
教学重点：随机事件的并、交、互斥与对立的含义．
教学难点：随机事件的关系与集合关系的解释.
知识点一 事件的关系及运算
事件A与事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，对立事件是指在一次试验中，两个事件不会同时发生，且必然要有一个事件发生，因此，对立事件是互斥事件的特例，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．从集合的观点来判断：设事件A与B所含的样本点组成的集合分别是A，B，若A，B互斥，则A∩B＝ ，若A，B对立，则A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，即 ΩB＝A， ΩA＝B.互斥事件A与B的和A＋B可理解为集合A∪B.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若A＝B，则A，B同时发生或A，B同时不发生．( )
(2)两个事件的和指两个事件至少一个发生．( )
(3)互斥事件一定是对立事件．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)×
2．做一做
(1)掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( )
A．A B
B．A∩B＝{出现的点数为2}
C．事件A与B互斥
D．事件A与B是对立事件
(2)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品．
并给出以下结论：
①A∪B＝C；
②D∪B是必然事件；
③A∩B＝C；
④A∩D＝C.
其中正确结论的序号是( )
A．①②
B．③④
C．①③
D．②③
(3)下列各对事件：
①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；
②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；
③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；
④甲、乙两运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与“甲射中目标但乙没有射中目标”．
其中是互斥事件的有________，是包含关系的有________．
答案 (1)B (2)A (3)①③ ④
题型一
事件关系的判断与集合表示
例1 对一箱产品进行随机抽查检验，如果查出2个次品就停止检查，最多检查3个产品．
(1)写出该试验的样本空间Ω，并用样本点表示事件：A＝{有2个产品是次品}，B＝{至少有2个正品}；
(2)用集合的形式表示事件A∪B；
(3)试判断事件C＝{至少1个产品是正品}与事件B的关系．
[解] (1)依题意，检查是有序地逐个进行，至少检查2个，最多检查3个产品．如果以“0”表示查出次品，以“1”表示查出正品，那么样本点至少是一个二位数，至多是一个三位数的有序数列．样本空间Ω＝{00,010,011,100,101,110,111}．
A＝{00,010,100}．
B＝{011,101,110,111}．
(2)A∪B＝Ω＝{00,010,011,100,101,110,111}．
(3)∵C＝{010,011,100,101,110,111}，∴B C.
概率论与集合论之间的对应关系
记号
概率论
集合论
Ω
样本空间(必然事件)
全集
不可能事件
空集
w
基本事件(样本点)
元素
A
随机事件
子集
A的对立事件
A的补集
A B
A发生导致B发生
A是B的子集
A∪B
A与B事件的和事件
并集
A∩B
A与B事件的积事件
交集
A∩B＝
互斥，不同时发生
没有相同元素
如果事件A，B互斥，那么( )
A．A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.与一定不互斥
答案 B
解析 可由Venn图判断，易得与分别表示集合A，B的补集，则∪＝Ω，B正确．
题型二
事件的运算
例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题．
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
[解] (1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5，E＝F＋G，E＝D2＋D3.
事件间运算的方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A B
B．A＝B
C．A∪B表示向上的点数是1或2或3
D．A∩B表示向上的点数是1或2或3
答案 C
解析 设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.
题型三
对立事件与互斥事件的辨析
例3 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
[解] (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
互斥事件与对立事件间的关系
互斥事件和对立事件的判定是针对两个事件而言的．一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．
某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
解 (1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.
1．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是( )
A．A与C互斥
B．B与C互斥
C．任何两个都互斥
D．任何两个都不互斥
答案 D
解析 由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．
2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品
B．至多有1件次品
C．至多有2件正品
D．至少有2件正品
答案 B
解析 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
3．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是下列事件中的哪几个？( )
①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球．
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
答案 A
解析 ①根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”不可能同时发生，故它们是互斥事件．但这两个事件不是对立事件，因为它们的和事件不是必然事件．②事件“两球都为白球”和事件“两球恰有一个白球”是互斥而非对立事件．③事件“两球都为白球”和事件“两球至少有一个白球”可能同时发生，故它们不是互斥事件．故选A.
4．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是________．
答案 2次都中靶
解析 事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其对立事件是“2次都中靶”．
5．一个射击手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6,7,8,9或10环．
解 A∩B＝{10环}≠ ，故A与B不是互斥事件；
显然A∩C＝ ，“大于7环”与“小于6环”是不可能同时发生的，故A与C是互斥事件．又A∪C≠Ω，即A与C不是必有一个发生，还可能有6环或7环，因此A与C不是对立事件；
A∩D＝{8环，9环，10环}≠ ，故A与D不是互斥事件；
显然B∩C＝ ，所以B与C是互斥事件．
又因为B∪C≠Ω，因此B与C不是对立事件；
B∩D＝{10环}≠ ，因此B与D不是互斥事件；
显然C∩D＝ ，因此C与D是互斥事件，又C∪D＝Ω，即C，D必有一个发生，因此C与D还是对立事件．10.1.3 古典概型
(教师独具内容)
课程标准：1.了解概率的含义.2.结合具体实例，理解古典概型.3.能计算古典概型中随机事件的概率．
教学重点：古典概型的定义及其概率公式．
教学难点：会用列举法计算随机事件所包含的样本点数及其发生的概率.
知识点一 概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
知识点二 古典概型的概念
如果试验具有以下两个特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
知识点三 古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
1．从集合的角度理解古典概型的概率公式
用集合的观点来考察事件A的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件A与基本事件的关系，有利于理解公式P(A)＝.如图所示．
把一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合I，其中每一个结果就是I中的一个元素，把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合，则集合A是集合I的一个子集，故有P(A)＝.
2．求解古典概型问题的一般思路
(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)．
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性．
(3)计算样本点总个数n及事件A包含的样本点个数k，求出事件A的概率．
P(A)＝＝.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验符合古典概型．( )
(2)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．( )
(3)若一个古典概型的样本点总数为n，则每一个样本点出现的可能性均为.( )
答案 (1)× (2)× (3)√
2．做一做
(1)下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①试验样本空间的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝.
A．②④
B．①③④
C．①④
D．③④
(2)掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率是( )
A.
B.
C.
D.
(3)从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )
A.
B.
C.
D．1
答案 (1)B (2)A (3)C
题型一
样本点的计数方法
例1 (1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点数为( )
A．2
B．3
C．4
D．6
(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
①写出这个试验的所有样本点；
②求这个试验的样本点的总数；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？
[解析] (1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．
(2)①这个试验包含的样本点有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
②这个试验包含的样本点的总数是8.
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
[答案] (1)C (2)见解析
样本点的两个探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．
口袋中有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，求样本点的总数．
解 把2个白球和2个黑球分别编号为1,2,3,4，所有可能结果如树状图所示，共24个样本点．
题型二
古典概型的判定
例2 袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球．
(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型？
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，有多少个样本点？以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型？
[解] (1)因为样本点个数有限，而且每个样本点发生的可能性相同，所以是古典概型．
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，可得到“取得一个白色球”“取得一个红色球”“取得一个黄色球”，共3个样本点．这些样本点个数有限，但“取得一个白色球”的概率与“取得一个红色球”或“取得一个黄色球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型．
判断一个试验是古典概型的依据
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——样本点的有限性和等可能性．
下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；
④一只使用中的灯泡的寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
其中属于古典概型的是________．
答案 ③
解析 ①不属于．原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于．原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于．原因是显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于．原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于．原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性.
题型三
古典概型的求法
例3 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：
(1)事件A＝{三个数字中不含1或5}；
(2)事件B＝{三个数字中含1或5}．
[解] 这个试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，样本点总数n＝10，这10个样本点发生的可能性是相等的．
(1)因为事件A＝{(2,3,4)}，
所以事件A包含的样本点数m＝1.
所以P(A)＝＝.
(2)因为事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，
所以事件B包含的样本点数m＝9.
所以P(B)＝＝.
1.古典概型概率的求法步骤
(1)确定等可能样本点总数n；
(2)确定所求事件包含的样本点数m；
(3)P(A)＝.
2．使用古典概型概率公式的注意点
(1)首先确定是否为古典概型；
(2)A事件是什么，包含的样本点有哪些．
甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．
(1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)；
(2)若以B表示事件“和大于4且小于9”，求P(B)；
(3)这个游戏公平吗？请说明理由．
解 将所有的样本点列表如下：
甲乙
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
由上表可知，该试验共有25个等可能发生的样本点，属于古典概型．
(1)事件A包含了(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，故P(A)＝＝.
(2)事件B包含了(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共16个样本点，
所以P(B)＝.
(3)这个游戏不公平．因为“和为偶数”的概率为，“和为奇数”的概率是，二者不相等，所以游戏不公平.
题型四
较复杂的古典概型的概率计算
例4 有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时．
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；
(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．
[解] 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：
如上图所示，共24个等可能发生的样本点，属于古典概型．
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝.
(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝＝.
(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝＝.
(1)当样本点个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．
(2)在求概率时，若样本点可以表示成有序数对的形式，则可以把全部样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．
现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，这个试验的样本空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，共18个样本点．由于每一个样本点被抽取的机会均等，因此这些样本点的发生是等可能的．
用M表示“A1被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，共6个样本点，因此P(M)＝＝.
(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，共有3个样本点，而N∪＝Ω，且N∩＝ ，
故事件N包含的样本点个数为18－3＝15，
所以P(N)＝＝.
1．若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由题意知书架上共有10本书，其中外文书为英文书和日文书的和，即3＋2＝5(本)．所以由书架上抽出一本外文书的概率P＝＝，故选D.
2．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，这个试验的样本空间Ω＝{(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)}，共10个样本点，这10个样本点发生的可能性是相等的．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的样本点有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4个，故所求概率P＝＝.
3．甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 因为甲、乙、丙三人在3天节日中，每人值班1天，所以样本空间Ω＝{甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲}，共6个样本点，而甲紧接着排在乙的前面值班的情况为{甲乙丙，丙甲乙}，共2个样本点．所以甲紧接着排在乙的前面值班的概率是.选C.
4．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
答案
解析 三张卡片的排列方法有BE1E2，BE2E1，E1BE2，E1E2B，E2E1B，E2BE1，共6种，这6种情况发生的可能性是相等的．其中恰好排成英文单词BEE的有2种，故恰好排成英文单词BEE的概率为.
5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．
(1)共有多少个样本点？
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？
解 (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1,2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．因此，共有10个样本点．
(2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故
P(A)＝.
故摸出2只球都是白球的概率为.(共34张PPT)
核心概念掌握
答案
核心素养形成
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
随堂水平达标
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
答案
课后课时精练