（新教材）2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：8.5.2 直线与平面平行

8．5.2　直线与平面平行
考点
学习目标
核心素养
直线与平面平行的判定
理解直线与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号
语言准确描述直线与平面平行的判定定理，会用直线与平面平
行的判定定理证明一些空间线面位置关系
直观想象、逻辑推理
直线与平面平行的性质
理解并能证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的条件，
能利用直线与平面平行的性质定理解决有关的平行问题
直观想象、逻辑推理
问题导学
预习教材P135－P138的内容，思考以下问题：
1．直线与平面平行的判定定理是什么？
2．直线与平面平行的性质定理是什么？
1．直线与平面平行的判定定理
文字语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言
a?α，b?α，且a∥b?a∥α
图形语言
■名师点拨 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线a在平面α外，即a?α.
(2)直线b在平面α内，即b?α.
(3)两直线a，b平行，即a∥b.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?
2．直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言
a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
图形语言
■名师点拨 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)线面平行的性质定理成立的条件有三个：
①直线a与平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；
③直线a在平面β内，即a?β.
以上三个条件缺一不可．
(2)定理的作用：
①线面平行?线线平行；
②画一条直线与已知直线平行．
(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　)
(2)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.(　　)
(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．(　　)
(4)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.(　　)
(5)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
能保证直线a与平面α平行的条件是(　　)
A．b?α，a∥b
B．b?α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b?α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D．a?α，b?α，a∥b
答案：D
如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)
A．EF与BC相交　　　　　　 B．EF∥BC
C．EF与BC异面 D．以上均有可能
解析：选B.因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC.
已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m?α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．
解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l?α”．
答案：l?α
　　　　　　　　直线与平面平行的判定
　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
【证明】　连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.
又ABA1B1D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④成比例线段法．　
[提醒]　线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．
1．如图，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是(　　)
解析：选C.在题图A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，MN?平面MNP，AB?平面MNP，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，PN?平面MNP，AB?平面MNP，所以AB∥平面MNP.
2．已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.
证明：如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，
＝，＝.
因为EA＝BD，AP＝DQ，
所以EP＝BQ.
又因为AB＝CD，所以PMQN，
所以四边形PMNQ是平行四边形，
所以PQ∥MN.
又因为PQ?平面CBE，MN?平面CBE，
所以PQ∥平面CBE.
　　　　　　　　线面平行性质定理的应用
　如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
【证明】　如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以点O是AC的中点．
又因为点M是PC的中点，
所以AP∥OM.
又因为AP?平面BDM，OM?平面BDM，
所以AP∥平面BDM.
因为平面PAHG∩平面BDM＝GH，
AP?平面PAHG，所以AP∥GH.
　
　如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA＝3.F在棱PA上，且AF＝1，E在棱PD上．若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．
解：过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，
连接FO.
因为EG∥FD，EG?平面BDF，
FD?平面BDF，
所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG?平面CGE，CE?平面CGE，
所以平面CGE∥平面BDF，
又CG?平面CGE，
所以CG∥平面BDF，
又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG?平面PAC，
所以FO∥CG.又O为AC的中点，
所以F为AG的中点，
所以FG＝GP＝1，
即G是PF的中点，又EG∥FD，
所以E为PD的中点，所以PE∶ED＝1∶1.
1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是(　　)
A．b与α内的一条直线不相交
B．b与α内的两条直线不相交
C．b与α内的无数条直线不相交
D．b与α内的所有直线不相交
解析：选D.若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.
2．给出下列命题：
①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；
②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；
③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．
其中正确命题的个数为(　　)
A．0　　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：选B.①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错．
3．三棱台ABC-A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．不确定
解析：选B.在三棱台ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，AB?平面A1B1C1，A1B1?平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1.
4．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.
因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
[A　基础达标]
1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是(　　)
A．直线m在平面α外
B．直线m与平面α内的两条直线平行
C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D．直线m与平面α内的一条直线平行
解析：选C.选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m?α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．
2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　)
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
解析：选B.因为GH∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.
3．已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，则a与b(　　)
A．相交　　　　　　　　　　 B．平行
C．异面 D．共面或异面
解析：选B.因为直线a∥α，a∥β，所以在平面α，β中分别有一直线平行于a，不妨设为m，n，所以a∥m，a∥n，所以m∥n.又α，β相交，m在平面α内，n在平面β内，所以m∥β，所以m∥b，所以a∥b.
4．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是　(　　)
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
解析：选D.由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
5．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为(　　)
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：选A.因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
6．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別是对角线A1D、B1D1的中点，则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有________________．
解析：如图，连接A1C1，C1D，
所以F为A1C1的中点，
在△A1C1D中，EF为中位线，
所以EF∥C1D，又EF?平面C1CDD1，
C1D?平面C1CDD1，所以EF∥平面C1CDD1.
同理，EF∥平面A1B1BA.
故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.
答案：平面C1CDD1和平面A1B1BA
7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2.又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，
所以F为DC的中点，
所以EF＝AC＝.
答案：
8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：因为EF∥平面AB1C，EF?平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，
所以EF∥AC，又E为AD的中点，AB＝2，
所以EF＝AC＝×＝.
答案：
9．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，E为PC的中点，PF＝2FD，求证：BE∥平面AFC.
证明：如图，连接BD，交AC于点O，取PF的中点G，连接EG，ED，ED交CF于点M，连接MO.
在△PCF中，E，G分别为PC，PF的中点，
则EG∥FC.
在△EDG中，MF∥EG，且F为DG的中点，则M为ED的中点．
在△BED中，O，M分别为BD，ED的中点，
则BE∥MO.
又MO?平面AFC，BE?平面AFC，所以BE∥平面AFC.
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1.
解：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB.
因为OFB1C1，BEB1C1，
所以OFBE，所以四边形OFEB是平行四边形，所以EF∥BO.
因为EF?平面BDD1B1，BO?平面BDD1B1，
所以EF∥平面BDD1B1.
[B　能力提升]
11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　　　　　 B．相交
C．异面 D．不确定
解析：选A.因为EH∥FG，FG?平面BCD，EH?平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH?平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.
12．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于a的直线(　　)
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，一定不在α内
C．只有一条，一定在α内
D．有无数条，一定在α内
解析：选C.若这样的直线不只一条，由基本事实4知，这些直线互相平行，这与这些直线都过点P矛盾，因此只有一条．又由直线与平面平行的性质定理知，这条直线一定在α内．
13.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM?平面PCD，且OM?平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交．
14.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.
证明：因为EF∥AB，
FG∥BC，EG∥AC，
∠ACB＝90°，所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°，由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.如图，连接AF，
由于FG∥BC，FG＝BC，在?ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝BC，
因此FG∥AM且FG＝AM，
所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA.
又FA?平面ABFE，GM?平面ABFE，
所以GM∥平面ABFE.
[C　拓展探究]
15．如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D1为A1C1上的点．当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
解：如图，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.
连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
所以OD1∥BC1.
又因为OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.