8．6 空间直线、平面的垂直
8．6.1 直线与直线垂直
8．6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定
考点
学习目标
核心素养
异面直线所成的角
会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线
所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角
直观想象、逻辑推理、
数学运算
直线与平面垂直的定义
理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中
“任意”两字的重要性
直观想象
直线与平面垂直
的判定定理
掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关
线面垂直的问题
直观想象、逻辑推理
问题导学
预习教材P146－P150的内容，思考以下问题：
1．异面直线所成的角的定义是什么？
2．异面直线所成的角的范围是什么？
3．异面直线垂直的定理是什么？
4．直线与平面垂直的定义是什么？
5．直线与平面垂直的判定定理是什么？
1．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b．
(3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.
■[名师点拨]
当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．
?
2．直线与平面垂直
定义
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关
概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
及画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
■名师点拨
(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．
(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．
?
3．直线与平面垂直的判定定理
文字
语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
图形
语言
符号
语言
l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α
■名师点拨
判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．
?
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．( )
(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )
(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．平行 ．垂直
C．在平面α内 ．无法确定
答案：D
已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则( )
A．a∥α ．a?α
C．a⊥α ．a是α的斜线
答案：C
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为________．
解析：连接AB1，B1C，因为AC∥A1C1，所以∠B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角．
又因为AB1＝B1C，O为AC的中点，所以B1O⊥AC，
故∠B1OC＝90°，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.
答案：90°
异面直线所成的角
如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心．
求：(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
【解】 (1)如图，因为CG∥BF.
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．
所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点，
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.
1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．
解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，
所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.
2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．
解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BFCG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BMNG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°.
求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．
[提醒] 求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.
如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角．
解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，
所以EG∥CD，GF∥AB，
且EG＝CD，GF＝AB.
所以∠GFE(或其补角)就是异面直线EF与AB所成的角，EG＝GF.
因为AB⊥CD，所以EG⊥GF.
所以∠EGF＝90°.
所以△EFG为等腰直角三角形．
所以∠GFE＝45°，
即EF与AB所成的角为45°.
直线与平面垂直的定义
(1)直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( )
A．平行 ．相交
C．异面 ．垂直
(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【解析】 (1)因为直线l⊥平面α，所以l与α相交．
又因为m?α，所以l与m相交或异面．
由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.
故l与m不可能平行．
(2)对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．
【答案】 (1)A (2)B
对线面垂直定义的理解
(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．
(2)由定义可得线面垂直?线线垂直，即若a⊥α，b?α，则a⊥b.
下列命题中，正确的序号是________．
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．
解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．
答案：③④
直线与平面垂直的判定
如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.
(1)求证：PC⊥平面AEF；
(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.
【证明】 (1)因为PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，
所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，
所以AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，
所以AE⊥PC.
又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，
所以PC⊥平面AEF.
(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG?平面AEF，
所以PC⊥AG，
同理CD⊥平面PAD，AG?平面PAD，
所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，
所以AG⊥平面PCD，PD?平面PCD，
所以AG⊥PD.
1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.
证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，
BD?平面ABCD，
所以BD⊥PA，
因为PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC，又FH?平面PAC，
所以BD⊥FH.
2．[变条件]若本例中PA＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG.
证明：因为PA⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以DC⊥PA，
又因为ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又PA∩AD＝A，
所以DC⊥平面PAD，又AG?平面PAD，
所以AG⊥DC，
因为PA＝AD，G是PD的中点，
所以AG⊥PD，又DC∩PD＝D，
所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG，
又因为PC⊥AF，AG∩AF＝A，
所以PC⊥平面AFG.
3．[变条件]本例中的条件“AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F”，改为“E，F分别是AB，PC的中点，PA＝AD”，其他条件不变，求证：EF⊥平面PCD.
证明：取PD的中点G，连接AG，FG.
因为G，F分别是PD，PC的中点，
所以GFCD，又AECD，所以GFAE，
所以四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF.
因为PA＝AD，G是PD的中点，
所以AG⊥PD，所以EF⊥PD，
易知CD⊥平面PAD，AG?平面PAD，
所以CD⊥AG，所以EF⊥CD.
因为PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD.
(1)线线垂直和线面垂直的相互转化
(2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
[提醒] 要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．
如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明：(1)因为AB为⊙O的直径，
所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.
又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM，所以BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，
所以AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB?平面PBM，所以AN⊥PB.
又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
所以PB⊥平面ANQ.
又NQ?平面ANQ，所以NQ⊥PB.
1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是( )
A．a⊥b，且a与b相交
B．a⊥b，且a与b不相交
C．a⊥b
D．a与b不一定垂直
解析：选C.过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c?α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C ．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1 ．平面A1DB
解析：选B.因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.
3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线( )
A．相交且垂直 ．不相交也不垂直
C．相交不垂直 ．不相交但垂直
解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD.
4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．
解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°.
答案：60°
[A 基础达标]
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )
A．α∥β，且m?α ．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n?β ．m⊥n，且n∥β
解析：选B.A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m?β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.
2．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是( )
A．b⊥β ．b∥β
C．b?β ．b?β或b∥β
解析：选A.因为a⊥α，a∥b，所以b⊥α.又α∥β，所以b⊥β.
3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是( )
解析：选D.对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选D.
4.如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析：选B.由PB⊥α，AC?α得PB⊥AC，
又AC⊥PC，PC∩PB＝P，
所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 ( )
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上．
6.如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是______．
解析：连接AD1，则AD1∥BC1.
所以∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，
所以∠CAD1＝60°，
即AC与BC1所成的角为60°.
答案：60°
7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有__________________；
(2)与AP垂直的直线有__________________．
解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.
(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，
AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP?平面PAC，所以BC⊥AP.
答案：(1)AB，AC，BC (2)BC
8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．
解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.
若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，PA∩PQ＝P，
则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥AQ.
在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.
所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.
答案：2
9.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.
证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以AD⊥BC.①
又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
而AD?平面ABC，所以AD⊥BB1.②
由①②得AD⊥平面BB1C1C.
由点E在棱BB1上运动，得C1E?平面BB1C1C，
所以AD⊥C1E.
10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
解：取AC的中点F，连接EF，BF，
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，
所以EF∥CD，
所以∠BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD所成的角．
在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，
所以AB＝AC＝1，
在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，
所以BE＝.
在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，
所以EF＝.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，所以BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，
所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
[B 能力提升]
11．已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有且仅有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选B.过空间一点P，作a′∥a，b′∥b.由a′、b′两交线确定平面α，a′与b′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a′、b′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a′、b′成30°的角，即与a、b成30°的角且过点P的直线有两条．
在a′、b′相交另一个130°的角部分内不存在与a′、b′成30°角的直线．故应选B.
12．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角．因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝，DB1＝＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，得
cos∠MOD＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，下列结论正确的有( )
①ED⊥平面ACD；②CD⊥平面BED；③BD⊥平面ACD；④AD⊥平面BED.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A.因为在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，
所以在折起过程中，D点在平面ABCE上的投影如图．
因为DE与AC所成角不能为直角，
所以DE不会垂直于平面ACD，故①错误；
只有D点投影位于Q2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，
才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面AECB，
故CD与平面BED不垂直，故②错误；
BD与AC所成角不能为直角，
所以BD不能垂直于平面ACD，故③错误；
因为AD⊥ED，并且在折起过程中，有AD⊥BD，
所以存在一个位置使AD⊥BE，
所以在折起过程中有AD⊥平面BED，故④正确．故选A.
14．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF＝4且EF∥AB，EF⊥FB.
(1)求证：GH∥平面EAD；
(2)求证：FG⊥平面ABCD.
证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.
因为EF∥AB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MG∥EF.
因为H为EF的中点，EF＝4，AB＝2，
所以EH＝AB＝MG，所以四边形EMGH为平行四边形，所以GH∥EM，
又因为GH?平面EAD，EM?平面EAD，
所以GH∥平面EAD.
(2)因为EF⊥FB，EF∥AB，所以AB⊥FB.
在正方形ABCD中，AB⊥BC，所以AB⊥平面FBC.
又FG?平面FBC，所以AB⊥FG.
在正三角形FBC中，FG⊥BC，所以FG⊥平面ABCD.
[C 拓展探究]
15．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC.
又因为DE?平面A1CB，BC?平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB.
(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.
因为DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.
而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE.
所以A1F⊥BE.
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，
则PQ∥BC.
又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEQP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，
所以A1C⊥平面DEQP.即A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
第2课时 直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理
考点
学习目标
核心素养
直线与平面所成的角
了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法
直观想象、逻辑推理、
数学运算
直线与平面垂直的性质
理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题
直观想象、逻辑推理
问题导学
预习教材P151－P155的内容，思考以下问题：
1．直线与平面所成的角的定义是什么？
2．直线与平面所成的角的范围是什么？
3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？
4．如何求直线到平面的距离？
5．如何求两个平行平面间的距离？
1．直线与平面所成的角
(1)定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°.
(3)范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．
■名师点拨
把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
?
2．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
?a∥b
图形语言
作用
①线面垂直?线线平行
②作平行线
■名师点拨
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．
(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．
?
3. 线面距与面面距
(1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果直线l与平面α所成的角为60°，且m?α，则直线l与m所成的角也是60°.( )
(2)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.( )
(3)若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α.( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
下列命题：
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：D
若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．可能存在也可能不存在
C．有无数多个
D．一定不存在
解析：选B.当a⊥b时，这样的平面存在，当a和b不垂直时，这样的平面不存在．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．
解析：(1)由已知知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.
(2)连接A1D，AD1，BC1，交点为O，则易证A1D⊥平面ABC1D1，所以A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，
所以A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO，
因为A1O＝A1B，所以∠A1BO＝30°.
(3)因为A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，
又因为AB1∩B1C1＝B1，
所以A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90°.
答案：(1)45° (2)30° (3)90°
直线与平面所成的角
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．
【解】 取AA1的中点M，连接EM，BM.
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，
则EM＝AD＝2，BE＝ ＝3.
于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
如图所示，在Rt△BMC 中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的长为4，∠MBC＝60°，求直线MC与平面CAB所成的角的正弦值．
解：由题意知，A是M在平面ABC内的射影，所以MA⊥平面ABC，
所以MC在平面CAB内的射影为AC.
所以∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．
又因为在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.
在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.
即直线MC与平面CAB所成的角的正弦值为.
线面垂直的性质定理的应用
如图，已知正方体A1C.
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，
求证：MN∥A1C.
【证明】 (1)如图，连接A1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，
B1D1?平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1.
因为四边形A1B1C1D1是正方形，
所以A1C1⊥B1D1.
又因为CC1∩A1C1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C.
又因为A1C?平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C.
(2)如图，连接B1A，AD1.
因为B1C1AD，
所以四边形ADC1B1为平行四边形，
所以C1D∥AB1，
因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.
又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，
所以MN⊥平面AB1D1.
由(1)知A1C⊥B1D1.
同理可得A1C⊥AB1.
又因为AB1∩B1D1＝B1，
所以A1C⊥平面AB1D1.
所以A1C∥MN.
(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．
(2)直线与平面垂直的其他性质
①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；
②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；
③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP?α；
④垂直于同一条直线的两个平面平行；
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
证明：(1)因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
(2)如图，连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，
所以ONCD.
因为CDAB，
所以ON∥AM.
又因为MN∥OA，
所以四边形AMNO为平行四边形．
所以ON＝AM.
因为ON＝AB，
所以AM＝AB.
所以M是AB的中点．
求点到平面的距离
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P-ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．
【解】 (1)证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO.
因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点．
又点E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC.
(2)V＝AP·AB·AD＝AB.
由V＝，可得AB＝.
作AH⊥PB于点H.
由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离．
因为PB＝＝，所以AH＝＝，
所以点A到平面PBC的距离为.
从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解．
已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝.S是△ ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离．
解：法一：如图，连接PA，PB，易知SA⊥AC，BC⊥AC.分别取AB，AC的中点E，F，连接PE，EF，PF，则EF∥BC，PF∥SA.
所以EF⊥AC，PF⊥AC.
因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF，所以PE⊥AC.
易证△SAC≌△SBC，所以PA＝PB.
又E是AB的中点，所以PE⊥AB.
因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.
从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．
因为P是SC的中点，所以在Rt△APE中，AP＝SC＝，AE＝AB＝，所以PE＝＝＝，
即点P到平面ABC的距离为.
法二：如图，过点A作BC的平行线，
过点B作AC的平行线，两直线交于点D.
因为AC＝BC＝1，AB＝，所以AC⊥BC.所以四边形ADBC为正方形，连接SD.
易知AC⊥SA，又AC⊥AD，SA∩AD＝A，
所以AC⊥平面SDA，所以AC⊥SD.
易知BC⊥SB，又BC⊥BD，SB∩BD＝B，
所以BC⊥平面SDB，所以BC⊥SD.
因为BC∩AC＝C，所以SD⊥平面ADBC.
所以SD的长即点S到平面ABC的距离，
在Rt△SAD中，易得SD＝.
因为点P为SC的中点，故点P到平面ABC的距离为
SD＝.
1．若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为( )
A．60° B．45°
C．30° D．90°
解析：选A.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线段与平面所成的角．又AB＝2BO，所以cos∠ABO＝＝，所以∠ABO＝60°.
2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
解析：选C.PA⊥平面ABCD?PA⊥BD，D正确；
?
BC⊥平面PAB?BC⊥PB.
故A正确；同理B正确；C不正确．
3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数条
解析：选A.显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB.又AB∥C1D1，则l⊥C1D1.
又B1C1∩C1D1＝C1，所以l⊥平面B1C1D1.
同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又l与DD1都过M，这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件．
4.如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D是FG的中点，AF＝AG，EF＝EG.
求证：BC∥FG.
证明：连接DE.
因为AD⊥AB，AD⊥AC，
所以AD⊥平面ABC.
又BC?平面ABC，
所以AD⊥BC.又AE⊥BC，
所以BC⊥平面ADE.
因为AF＝AG，D为FG的中点，
所以AD⊥FG.
同理ED⊥FG.又AD∩ED＝D，
所以FG⊥平面ADE.
所以BC∥FG.
[A 基础达标]
1．下列说法中正确的是( )
①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直；
②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直；
③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；
④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直．
A．①②③ B．①③④
C．②③ D．②③④
解析：选A.由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③正确；④错，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是( )
A．AD1⊥DP B．AP⊥B1C
C．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C
解析：选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
因为B1C⊥BC1，B1C⊥AB，
BC1∩AB＝B，
所以B1C⊥平面ABC1D1，
因为点P是线段BC1上任意一点，
所以AP⊥B1C.故选B.
3．下列命题正确的是( )
①?b⊥α； ②?a∥b；
③?b∥α； ④?b⊥α.
A．①② B．①②③
C．②③④ D．①④
解析：选A.对于命题①，a⊥α，则a垂直于平面α内的任意两条相交直线，又因为a∥b，所以b也垂直于平面α内的任意两条相交直线，所以b⊥α，①正确；由线面垂直的性质定理可知a∥b，所以②正确；因为a⊥α，当a⊥b时，则b可能在平面α内，也可能与平面α平行，所以③错误；当a∥α，a⊥b时，b与平面α的三种位置都有可能出现，所以④错误．
4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α
B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE
D．PQ⊥FH
解析：选B.因为EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
5．已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
解析：选B.如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC.
所以PO⊥平面ABC.因为PA＝PB＝PC，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，
所以△PAO≌△PBO≌△PCO，
所以AO＝BO＝CO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心．
6．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________．
解析：如图，设C在平面α内的射影为点O，
连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则AB＝，
所以CM＝，CO＝，所以sin∠CMO＝＝，所以∠CMO＝45°.
答案：45°
7．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有______条．
解析：因为PO⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以PO⊥AC.又AC⊥BO，PO∩BO＝O，所以AC⊥平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，所以图中共有4条直线与AC垂直．
答案：4
8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________．
解析：如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD.
因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
又PD∩PA＝P，
所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC.
在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.
在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝＝4.
答案：4
9．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.
(1)求证：AB1⊥平面A1BC1；
(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．
解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，所以AB1⊥BA1.
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，
所以A1C1⊥平面AA1B1B，
又因为AB1?平面AA1B1B，
所以A1C1⊥AB1，
又因为BA1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1BC1.
(2)连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1，
因为AA1⊥平面A1B1C1，所以∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．
在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点，所以A1D＝B1C1＝.
在Rt△A1DA中，AD＝＝.
所以sin∠A1DA＝＝，
即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
10.如图，已知四棱锥S-ABCD中ABCD为矩形，SA⊥平面AC，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.
证明：(1)因为SA⊥平面AC，BC?平面AC，
所以SA⊥BC.因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC.
又因为SA∩ AB＝A，
所以BC⊥平面SAB.
所以BC⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，
所以AE⊥平面SBC.
又因为SC?平面SBC，
所以AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩ AE＝E，
所以SC⊥平面AEF.
因为AF?平面AEF，所以AF⊥SC.
(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC.
又AD⊥DC，AD∩SA＝A，所以DC⊥平面SAD.
又AG?平面SAD，所以DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF，
所以SC⊥AG.又SC∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC.
因为SD?平面SDC，所以AG⊥SD.
[B 能力提升]
11．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，∠PBA＝θ1，∠PBC＝θ2，∠ABC＝θ3.则下列关系一定成立的是( )
A．cos θ1cos θ2＝cos θ3 B．cos θ1cos θ3＝cos θ2
C．sin θ1sin θ2＝sin θ3 D．sin θ1sin θ3＝sin θ2
解析：选B.
?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，
所以cos θ1＝，cos θ2＝，cos θ3＝.
则有cos θ1cos θ3＝cos θ2.
12.如图，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD.
又SA＝SB，所以△ADS≌△BDS.
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为BA＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥平面ABC，
所以BD?平面ABC，
所以SD⊥BD.
因为AC∩SD＝D.
所以BD⊥平面SAC.
[C 拓展探究]
13．如图(1)，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图(2)所示)，连接AP，PF，其中PF＝2.
(1)求证：PF⊥平面ABED；
(2)在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．
(3)求点A到平面PBE的距离．
解：(1)证明：连接EF，由题意知，PB＝BC＝6，PE＝CE＝9，
在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，
所以PF⊥BF.
易得EF＝＝，
在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF.
又BF∩EF＝F，BF?平面ABED，EF?平面ABED，所以PF⊥平面ABED.
(2)存在，当Q为PA的三等分点(靠近P)时，FQ∥平面PBE.
理由如下：
因为AQ＝AP，AF＝AB，所以FQ∥BP，
又FQ?平面PBE，PB?平面PBE，所以FQ∥平面PBE.
(3)由(1)知PF⊥平面ABED，连接AE，则PF为三棱锥P-ABE的高．
设点A到平面PBE的距离为h，由等体积法得VA-PBE＝VP-ABE，
即×S△PBE×h＝×S△ABE×PF.
又S△PBE＝×6×9＝27，S△ABE＝×12×6＝36，
所以h＝＝＝，
即点A到平面PBE的距离为.
