知识网络建构与学科素养提升
一、“绳(杆)关联物体”的速度分解问题
1.模型特点
沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2.思路与方法
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v
分速度→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则。
3.解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
[例1] (多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时( )
A.人拉绳行走的速度为vcos θ
B.人拉绳行走的速度为
C.船的加速度为
D.船的加速度为
解析 船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v人＝v∥＝vcos θ，选项A正确，B错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcos θ－f＝ma，解得a＝，选项C正确，D错误。
答案 AC
[针对训练1] A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示。物体B的运动速度vB为(绳始终有拉力)( )
A. B.
C. D.
解析 设物体B的运动速度为vB，此速度为物体B合运动的速度。根据它的实际运动效果，两分运动分别为沿绳收缩方向的分运动，设其速度为v绳B；垂直绳方向的圆周运动，速度分解如图甲所示，则有vB＝ ①；物体A的合运动对应的速度为v1，它也产生两个分运动效果，分别是沿绳伸长方向的分运动，设其速度为v绳A；垂直绳方向的圆周运动，它的速度分解如图乙所示，则v绳A＝v1cos α ②；由于对应同一根绳，其长度不变，故v绳B＝v绳A ③；根据①②③解得vB＝，选项D正确。
答案 D
二、平抛运动的临界和极值问题
1.常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
2.求解平抛运动中的临界问题的三个关键点
(1)确定运动性质——匀变速曲线运动。
(2)确定临界状态。确定临界状态一般用极限法分析，即把平抛运动的初速度增大或减小，使临界状态呈现出来。
(3)确定临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图。画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，更可以使有些隐藏于问题深处的条件暴露出来。
[例2] 如图所示，水平屋顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离L＝3 m，墙外马路宽x＝10 m，小球从房顶水平飞出，落在墙外的马路上，不计空气阻力，g＝10 m/s2。求：
(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；
(2)小球落在马路上的最小速度。
解析 (1)设小球恰好落到马路的右侧边缘时，水平初速度为v01，则L＋x＝v01t1
竖直位移H＝gt
联立解得v01＝(L＋x) ＝13 m/s
设小球恰好越过围墙的边缘时，水平初速度为v02，则
水平位移L＝v02t2
竖直位移H－h＝gt
联立解得v02＝5 m/s
所以小球抛出时的速度大小范围为5 m/s≤v0≤13 m/s。
(2)小球落在马路上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在马路上时，落地速度最小。
竖直方向v＝2gH
又有vmin＝
解得vmin＝5 m/s。
答案 (1)5 m/s≤v0≤13 m/s (2)5 m/s
[针对训练2] 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.＜v＜L1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
解析 设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间。
则竖直方向上有3h－h＝gt，①
水平方向上有＝v1t1。②
由①②两式可得v1＝。
设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，
在竖直方向有3h＝gt，③
在水平方向有＝v2t2。④
由③④两式可得v2＝。
则v的最大取值范围为v1＜v＜v2，故选项D正确。
答案 D
课件19张PPT。知识网络建构与学科素养提升平行四边形实际效果v0v0tgt重力加速度g初速度大小一、“绳(杆)关联物体”的速度分解问题
1.模型特点
沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2.思路与方法3.解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。[例1] (多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时( )答案 AC[针对训练1] A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示。物体B的运动速度vB为(绳始终有拉力)( )答案 D二、平抛运动的临界和极值问题
1.常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。2.求解平抛运动中的临界问题的三个关键点
(1)确定运动性质——匀变速曲线运动。
(2)确定临界状态。确定临界状态一般用极限法分析，即把平抛运动的初速度增大或减小，使临界状态呈现出来。
(3)确定临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图。画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，更可以使有些隐藏于问题深处的条件暴露出来。 [例2] 如图所示，水平屋顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离L＝3 m，墙外马路宽x＝10 m，小球从房顶水平飞出，落在墙外的马路上，不计空气阻力，g＝10 m/s2。求：(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；
(2)小球落在马路上的最小速度。解析 (1)设小球恰好落到马路的右侧边缘时，水平初速度为v01，则L＋x＝v01t1设小球恰好越过围墙的边缘时，水平初速度为v02，则水平位移L＝v02t2所以小球抛出时的速度大小范围为5 m/s≤v0≤13 m/s。
(2)小球落在马路上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在马路上时，落地速度最小。[针对训练2] 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )解析 设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间。设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，则v的最大取值范围为v1＜v＜v2，故选项D正确。
答案 D章末检测(二)
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分。其中1～7题为单项选择题，8～10题为多项选择题)
1.一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内( )
A.速度一定在不断地改变，加速度也一定不断地改变
B.速度一定在不断地改变，加速度可以不变
C.速度可以不变，加速度一定不断地改变
D.速度可以不变，加速度也可以不变
解析 物体做曲线运动，其运动轨迹上各点的切线方向不同，速度方向一定变化，即速度一定发生变化，物体必受力的作用，若所受力为恒力，则加速度不变，反之，则加速度变化，故B正确。
答案 B
2.下列说法正确的是( )
A.各分运动互相影响，不能独立进行
B.合运动的时间一定比分运动的时间长
C.合运动和分运动具有等时性，即同时开始、同时结束
D.合运动的位移大小等于两个分运动位移大小之和
解析 各分运动具有独立性，A错误；合运动与分运动具有等时性，B错误，C正确；合运动的位移与分运动的位移满足矢量合成的法则，D错误。
答案 C
3.若已知物体运动的初速度v0的方向及它受到的恒定的合外力F的方向，图中M、N、P、Q表示物体运动的轨迹，其中正确的是( )
解析 物体运动的速度方向与运动轨迹一定相切，而且合外力F的方向一定指向轨迹的凹侧，故只有B正确。
答案 B
4.如图所示，在水平地面上匀速运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度大小分别为v1和v2，则下列说法中正确的是( )
A.物体在做匀速运动且v2＝v1
B.物体在做加速运动且v2＞v1
C.物体在做加速运动且v2＜v1
D.物体在做减速运动且v2＜v1
解析 对v1速度分解如图所示，得v2＝v1cos θ，所以v2＜v1；由于v1不变，θ角变小，cos θ变大，故v2变大，只有选项C正确。
答案 C
5.物体做平抛运动时，下列描述物体的速度变化量大小Δv随时间t变化的图像中，可能正确的是( )
解析 平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为定值，由a＝知，D正确。
答案 D
6.在不考虑空气阻力的情况下，以相同大小的初速度，抛出甲、乙、丙三个手球，抛射角为30°、45°、60°，则射程较远的手球是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.不能确定
解析 不考虑空气阻力情况下，三个小球的运动可看作斜抛运动，然后根据斜抛运动的射程公式s＝分析。
答案 B
7.如图所示，在距水平地面分别为H和4H的高度处，同时将质量相同的a、b两小球以相同的初速度v0水平抛出，则以下判断正确的是( )
A.a、b两小球同时落地
B.两小球落地速度的方向相同
C.a、b两小球水平位移之比为1∶2
D.a、b两小球水平位移之比为1∶4
解析 由H＝gt，4H＝gt可得tb＝2ta，A错误；由x＝v0t可知，xa∶xb＝1∶2，C正确，D错误；设落地时速度与水平方向夹角为θ，则由tan θ＝可知，tan θa∶tan θb＝1∶2，θa≠θb，B错误。
答案 C
8.小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度(即静水速度)大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则( )
A.越接近河岸水流速度越小
B.越接近河岸水流速度越大
C.无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短
D.该船渡河的时间会受水流速度变化的影响
解析 由船的运动轨迹可知，小船渡河过程是先做加速运动后做减速运动，河流的中心水流速度最大，越接近河岸水流速度越小，故A正确，B错误；由于船头垂直河岸，则这种方式过河的时间最短，C正确；船过河的时间与水流速度无关，D错误。
答案 AC
9.如图所示，从地面上方某点，将一小球以5 m/s的初速度沿水平方向抛出，小球经过1 s落地。不计空气阻力，g取10 m/s2，则可求出( )
A.小球抛出时离地面的高度是5 m
B.小球从抛出点到落地点的水平位移大小是5 m
C.小球落地时的速度大小是15 m/s
D.小球落地时的速度方向与水平地面成30°角
解析 由竖直方向有y＝gt2＝5 m知，A正确；由x＝v0t＝5 m知，B正确；由v＝＝5 m/s知，C错误；由tan θ＝＝2知，D错误。
答案 AB
10.如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( )
A.球的速度v等于L
B.球从击出至落地所用时间为
C.球从击球点至落地点的位移等于L
D.球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
解析 由平抛运动规律知，在水平方向上有L＝vt，在竖直方向上有H＝gt2，联立解得t＝，v＝＝L，A、B正确；球从击球点至落地点的位移为s＝，与球的质量无关，C、D错误。
答案 AB
二、非选择题(共5个题，共50分)
11.(6分)(1)研究平抛运动，下面哪些做法可以减小实验误差________。
A.使用密度大、体积小的钢球
B.尽量减小钢球与斜槽间的摩擦
C.实验时，让小球每次都从同一高度由静止开始滚下
D.使斜槽末端切线保持水平
(2)某同学在做“研究平抛运动”的实验中，忘记记下小球做平抛运动的起点位置O，A为小球运动一段时间后的位置，根据图所示，求出小球做平抛运动的初速度为________ m/s。
解析 (1)研究平抛运动时，钢球体积越小，所受空气阻力越小，使记录小球通过的位置越准确，A正确；小球每次从斜槽上的同一位置由静止开始滚下，可保证小球的初速度不变，与钢球和斜槽间的摩擦无关，B错误，C正确；实验时必须使斜槽末端的切线水平，以确保小球水平飞出做平抛运动，D正确。
(2)因为xAB＝xBC＝0.20 m，所以小球从A运动到B运动到C的时间相同，设此时间为t。
据yBC－yAB＝gt2得
t＝＝ s＝0.10 s
又因为xAB＝v0t
所以v0＝＝ m/s＝2.0 m/s。
答案 (1)ACD (2)2.0
12.(8分)如图所示为一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分，图中背景方格的边长均为5 cm，如果g取10 m/s2，那么：
(1)照相机的闪光频率是________ Hz；
(2)小球运动中水平分速度的大小是________ m/s；
(3)小球经过B点时的速度大小是________ m/s。
解析 (1)因为xAB＝xBC，所以tAB＝tBC。在竖直方向上，由Δy＝gT2得5×0.05－3×0.05＝10T2，
解得T＝0.1 s，
故闪光频率为10 Hz。
(2)水平分速度v＝＝ m/s＝1.5 m/s。
(3)vBy＝＝ m/s＝2.0 m/s
又知vBx＝1.5 m/s
所以vB＝＝ m/s＝2.5 m/s。
答案 (1)10 (2)1.5 (3)2.5
13.(10分)小船匀速渡过一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸。求：
(1)水流的速度；
(2)船在静水中的速度、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α。
解析 (1)船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示。
由s＝v2t1得v2＝＝ m/s＝0.2 m/s①
(2)船头保持与岸成α角航行时，如图乙所示。
由(1)可得d＝v1t1②
v2＝v1cos α③
d＝v1t2sin α④
联立解得α＝53°，v1＝0.33 m/s，d＝200 m。
答案 (1)0.2 m/s (2)0.33 m/s 200 m 53°
14.(12分)一座炮台置于距地面60 m高的山崖边，以与水平方向成45°角的方向发射一颗炮弹，炮弹离开炮口时的速度大小为120 m/s，g取10 m/s2，求：
(1)炮弹能达到的最大高度h；
(2)炮弹的水平射程s。
解析 (1)炮弹离开炮口时的竖直分速度为
vy＝v0sin 45°＝60 m/s
从抛出点到最高点的竖直位移为
h1＝＝360 m
则炮弹离地面的最大高度为h＝h1＋60 m＝420 m。
(2)从抛出到达到最高点所用的时间为
t1＝＝6 s
从最高点落回地面所用的时间为t2＝，
则t2＝2 s
那么，炮弹的射程为
s＝v0cos 45°(t1＋t2)＝720 m＋120 m≈1 497.7 m。
答案 (1)420 m (2)1 497.7 m
15.(14分)如图所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m＝1 kg的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25。现小滑块以某一初速度v从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一小球以v0水平抛出，经过0.4 s，小球恰好垂直斜面方向落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中。(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，g取10 m/s2。求：
(1)小球水平抛出的速度v0；
(2)小滑块的初速度v。
解析 (1)设小球落入凹槽时竖直速度为vy，则
vy＝gt＝10×0.4 m/s＝4 m/s
v0＝vytan 37°＝3 m/s。
(2)小球落入凹槽时的水平位移
x＝v0t＝3×0.4 m＝1.2 m
则滑块的位移为s＝ m＝1.5 m
滑块上滑时，mgsin 37°＋μmgcos 37°＝ma
解得a＝8 m/s2
根据公式s＝vt－at2
解得：v＝5.35 m/s。
答案 (1)3 m/s (2)5.35 m/s
