第1节 匀速圆周运动快慢的描述
核心素养
物理观念
科学探究
科学思维
1.知道什么是圆周运动，什么是匀速圆周运动。
2.知道线速度的物理意义、定义式、矢量性，知道匀速圆周运动线速度的特点。
3.知道角速度的物理意义、定义式及单位，了解转速和周期的意义。
4.掌握线速度与角速度的关系，掌握角速度与转速、周期的关系。
各种传动装置中线速度、角速度的关系。
线速度与角速度的关系，掌握角速度与转速、周期的关系。
知识点一 线速度和角速度
[观图助学]
观察上图，齿轮与过山车的运动轨迹有什么共同特点？地球绕太阳运动1 s走过的弧长为29.79 km，月球绕地球运动1 s走过的弧长为1.02 km。而地球一年才绕太阳转一圈，月球27.3天就能绕地球转一圈，它们谁运动的快呢？
1.匀速圆周运动
在任意相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动。
2.线速度
(1)大小：做匀速圆周运动的物体通过的弧长与所用时间的比值。
(2)方向：其方向沿圆周的切线方向。
(3)计算公式：v＝。单位：国际单位为m/s。
3.角速度
(1)定义：做匀速圆周运动的物体，连接物体和圆心的半径转过的角度与所用时间的比值。
(2)计算公式：ω＝。
(3)角速度的国际单位是弧度每秒，符号rad/s。
[思考判断]
(1)匀速圆周运动是变速曲线运动。(√)
(2)匀速圆周运动的线速度恒定不变。(×)
(3)匀速圆周运动的角速度恒定不变。(√)
(4)线速度是位移与发生这段位移所用时间的比值。(×)
对圆周运动快和慢的问题应该从两个方面来认识：一个是物体与圆心的连线绕圆心转动的快慢；另一个是物体沿圆弧运动的快慢。
做匀速圆周运动的物体相同的时间内发生的位移并不相同。
匀速圆周运动中的“匀速”是指“匀速率”。
匀速圆周运动是角速度不变的运动。
知识点二 周期、频率和转速；线速度、角速度、周期的关系
1.周期、频率和转速
周期
周期性运动每重复一次所需要的时间，符号T，单位s
频率
单位时间内运动重复的次数，f＝，单位Hz
转速
单位时间内的转动圈数，符号n，单位r/min或r/s
2.线速度、角速度、周期的关系
(1)线速度和角速度关系：v＝rω。
(2)线速度和周期的关系：v＝。
(3)角速度和周期的关系：ω＝。
[思考判断]
(1)匀速圆周运动的周期相同，角速度大小及转速都相同。(√)
(2)匀速圆周运动的物体周期越长，转动越快。(×)
(3)做匀速圆周运动的物体在角速度不变情况下，线速度与半径成正比。(√),
r/min或r/s都不是国际单位制中的单位，在运算时往往要把它们换成弧度每秒。
角速度相同的情况下，A与B线速度与半径成正比。
在没确定半径相同的情况下，不能说线速度v与角速度ω成正比，但是角速度ω与周期T成反比。
核心要点 描述圆周运动的各物理量的关系
[情景探究]
打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技。如图所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度大小相同吗？
答案 篮球上各点的角速度是相同的。但由于不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，由v＝ωr可知不同高度的各点的线速度大小不同。
[探究归纳]
1.描述圆周运动的各物理量间的关系
2.描述匀速圆周运动的物理量之间关系的理解
(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。
(2)线速度与角速度关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r。
[经典示例]
[例1] 做匀速圆周运动的物体，在10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100 m，试求该物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小。
解析 (1)由线速度的定义式得v＝＝ m/s＝10 m/s。
(2)由v＝ωr得ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s。
(3)由ω＝得T＝＝ s＝4π s。
答案 (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s
[针对训练1] 关于做匀速圆周运动物体的线速度、角速度、周期之间的关系，下列说法中正确的是( )
A.线速度大的角速度一定大
B.线速度大的周期一定小
C.角速度大的半径一定小
D.角速度大的周期一定小
解析 由v＝ωr得ω＝，故只有当半径r一定时，角速度ω才与线速度大小v成正比；只有当线速度大小v一定时，角速度ω才与半径r成反比，选项A、C错误；由v＝知，只有当半径r一定时，线速度大小v才与周期T成反比，选项B错误；由ω＝知，角速度ω与周期T成反比，即角速度大的周期一定小，选项D正确。
答案 D
核心要点 常见三种转动装置
[情景探究]
如图所示，跷跷板的支点位于板上的中点，A、B是板的两个点，两点到支点的距离rA>rB，试比较在运动的某一时刻，A、B的线速度vA、vB的大小关系及角速度ωA、ωB的大小关系。
答案 根据题意，A、B绕同一支点转动，所以角速度相等，即ωA＝ωB；又有rA>rB，根据v＝ωr得线速度vA>vB。
[探究归纳]
同轴传动
皮带传动
齿轮传动
装置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点(两齿轮的齿数分别n1、n2)
特点
角速度、周期相同
线速度大小相同
线速度大小相同
转动方向
相同
相同
相反
规律
线速度大小与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝。
周期与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝＝。
周期与半径成正比：＝＝
[经典示例]
[例2] 如图所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中A、B、C三轮的半径关系为3rA＝2rC＝4rB，设皮带不打滑，求三轮边缘上的点A、B、C的线速度之比、角速度之比、周期之比。
解析 由题意可知，A、B两轮由皮带传动，皮带不打滑，故vA＝vB，B、C在同一轮轴上，同轴转动，故ωB＝ωC。由v＝ωr得vB∶vC＝rB∶rC＝2∶4＝1∶2，所以vA∶vB∶vC＝1∶1∶2；由ω＝得ωA∶ωB＝rB∶rA＝3∶4，所以ωA∶ωB∶ωC＝3∶4∶4；由ω＝可知，周期与角速度成反比，即TA∶TB∶TC＝4∶3∶3。
答案 vA∶vB∶vC＝1∶1∶2 ωA∶ωB∶ωC＝3∶4∶4 TA∶TB∶TC＝4∶3∶3
方法总结 三种传动问题的求解方法
(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ω r，即v∝r；
(2)在皮带不打滑的情况下，传动皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝，即ω∝；
(3)齿轮传动与皮带传动具有相同的特点。
[针对训练2] 如图所示，两个小球a和b用轻杆连接，并一起在水平面内做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A.a球的线速度比b球的线速度小
B.a球的角速度比b球的角速度小
C.a球的周期比b球的周期小
D.a球的转速比b球的转速大
解析 两个小球一起转动，周期相同，所以它们的转速、角速度都相等，B、C、D错误；而由v＝ωr可知b的线速度大于a的线速度，所以A正确。
答案 A
1.(对匀速圆周运动的理解)(多选)做匀速圆周运动的物体，下列不变的物理量是 ( )
A.速度 B.速率
C.角速度 D.周期
解析 物体做匀速圆周运动时，速度的大小虽然不变，但它的方向在不断变化，选项B、C、D正确。
答案 BCD
2.(对描述匀速圆周运动的物理量间关系的理解)关于匀速圆周运动的线速度v、角速度ω和半径r，下列说法正确的是( )
A.若r一定，则v与ω成正比
B.若r一定，则v与ω成反比
C.若ω一定，则v与r成反比
D.若v一定，则ω与r成正比
解析 根据v＝ωr知，若r一定，则v与ω成正比；若ω一定，则v与r成正比；若v一定，则ω与r成反比。故只有选项A正确。
答案 A
3.(圆周运动的传动问题)如图所示，A、B是两个依靠摩擦传动的靠背轮，A是主动轮，B是从动轮，它们的半径RA＝2RB，a和b两点在轮的边缘，c和d在各轮半径的中点，下列判断正确的是( )
A.va＝2vb B.ωb＝2ωa
C.vc＝va D.ωb＝ωc
解析 由于A、B两轮之间通过摩擦传动，故A、B两轮边缘的线速度大小相同，故va＝vb，故A错误；根据v＝ωR可得ωaRA＝ωbRB，ωa∶ωb＝RB∶RA＝1∶2，即ωb＝2ωa，故B正确；又由于a与c在同一个圆上，故ωa＝ωc，则ωb＝2ωc，由v＝ωR得va∶vc＝2∶1，即va＝2vc，C、D错误。
答案 B
4.(皮带传动问题)(多选)自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如图所示。在自行车正常骑行时，下列说法正确的是( )
A.A、B两点的线速度大小相等
B.B、C两点的角速度大小相等
C.A、B两点的角速度与其半径成反比
D.A、B两点的角速度与其半径成正比
解析 大齿轮与小齿轮类似于皮带传动，所以两轮边缘的点A、B的线速度大小相等，A正确；小齿轮与后轮类似于同轴传动，所以B、C的角速度大小相等，B正确；A、B两点的线速度大小相等，由v＝ωr知A、B两点的角速度与半径成反比，C正确，D错误。
答案 ABC
5.(圆周运动的物理量间的关系)一汽车发动机的曲轴每分钟转2 400周，求：
(1)曲轴转动的周期与角速度；
(2)距转轴r＝0.2 m点的线速度。
解析 (1)由于曲轴每秒钟转＝40(周)，周期T＝ s；而每转一周为2π rad，因此曲轴转动的角速度ω＝2π×40 rad/s＝80π rad/s。
(2)已知r＝0.2 m，因此这一点的线速度v＝ωr ＝80π×0.2 m/s＝16π m/s。
答案 (1) s 80π rad/s (2)16π m/s
基础过关
1.(多选)下列关于匀速圆周运动的说法中正确的是( )
A.匀速圆周运动是匀速运动
B.匀速圆周运动是变速运动
C.匀速圆周运动的线速度不变
D.匀速圆周运动的角速度不变
解析 匀速圆周运动的线速度大小不变，方向时刻改变，故A、C错误，B正确；匀速圆周运动的角速度是不变的，故D正确。
答案 BD
2.一物体做匀速圆周运动的半径为r，线速度大小为v，角速度为ω，周期为T。关于这些物理量间的关系，下列说法正确的是( )
A.v＝ B.v＝
C.ω＝ D.v＝ωr
解析 根据匀速圆周运动知识知v＝rω，ω＝，v＝，因此A、B、C错误，D正确。
答案 D
3.(多选)如图所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，a是位于赤道上的一点，b是位于北纬30°的一点，则下列说法正确的是( )
A.a、b两点的运动周期都相同
B.它们的角速度是不同的
C.a、b两点的线速度大小相同
D.a、b两点线速度大小之比为2∶
解析 如题图所示，地球绕自转轴转动时，地球上各点的周期及角速度都是相同的。地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处物体做圆周运动的半径是不同的，b点半径rb＝，由v＝ωr，可得va∶vb＝2∶。
答案 AD
4.有一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯树梢，根据树梢的运动情形就能判断大树正在朝哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤。从物理知识的角度来解释，以下说法正确的是( )
A.树木开始倒下时，树梢的角速度最大，易于判断
B.树木开始倒下时，树梢的线速度最大，易于判断
C.树木开始倒下时，树梢的周期较大，易于判断
D.伐木工人的经验缺乏科学依据
解析 树木开始倒下时，树各处的角速度一样大，故A项错误；由T＝知，树各处的周期也一样大，故C项错误；由v＝ωr知，树梢的线速度最大，易判断树倒下的方向，故B项正确。
答案 B
5.甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则( )
A.ω1＞ω2，v1＞v2 B.ω1＜ω2，v1＜v2
C.ω1＝ω2，v1＜v2 D.ω1＝ω2，v1＝v2
解析 由于甲、乙在相同时间内各自跑了一圈，v1＝，v2＝，v1＜v2。由v＝rω，得ω＝，ω1＝＝，ω2＝＝，ω1＝ω2，故C正确。
答案 C
6.如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦转动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )
A. B.
C. D.
解析 甲、丙两轮边缘的线速度大小相等，即ω1r1＝ω3r3，故丙轮的角速度ω3＝ω1，A正确。
答案 A
7.(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )
A.它们的半径之比为2∶9
B.它们的半径之比为1∶2
C.它们的周期之比为2∶3
D.它们的周期之比为1∶3
解析 由v＝ωr，得r＝，＝＝，A正确，B错误；由T＝，得T甲∶T乙＝∶＝，C错误，D正确。
答案 AD
8.如图所示，一绳系一球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，绳长L＝0.1 m，当角速度为ω＝20 rad/s时，绳断开，试分析绳断开后：
(1)小球在桌面上运动的速度；
(2)若桌子高1.00 m，小球离开桌面时速度方向与桌面平行。求小球离开桌子后运动的时间和落点与桌子边缘的水平距离。(不计空气阻力)
解析 (1)v＝ωr＝20×0.1 m/s＝2 m/s。
(2)小球离开桌面后做平抛运动，
竖直方向：h＝gt2，
所以t＝＝ s＝0.45 s。
水平方向：x＝vt＝2×0.45 m＝0.9 m。
答案 (1)2 m/s (2)0.45 s 0.9 m
能力提升
9.(多选)如图所示，一个匀速转动的半径为r的水平圆盘上放着两个木块M和N，木块M放在圆盘的边缘处，木块N放在离圆心r的地方，它们都随圆盘一起运动。比较两木块的线速度和角速度，下列说法正确的是( )
A.两木块的线速度相等
B.两木块的角速度相等
C.M的线速度是N的线速度的3倍
D.M的角速度是N的角速度的3倍
解析 由于M、N在圆盘上同轴转动，则有ωM＝ωN，由v＝ωr知vM∶vN＝rM∶rN＝3∶1，故选项B、C正确。
答案 BC
10.甲、乙两物体均做匀速圆周运动，甲的转动半径为乙的一半，当甲转过60°时，乙在这段时间里正好转过45°，则甲、乙两物体的线速度之比为( )
A.1∶4 B.2∶3
C.4∶9 D.9∶16
解析 由题意知r甲＝r乙，由ω＝得＝＝，由v＝ωr得＝＝，故选项B正确。
答案 B
11.两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图所示，当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则转轴O到小球2的距离为( )
A. B.
C. D.
解析 设小球1、2做圆周运动的半径分别为r1、r2，则v1∶v2＝ωr1∶ωr2＝r1∶r2，又因r1＋r2＝L，所以小球2到转轴O的距离r2＝，B正确。
答案 B
12.无级变速是指在变速范围内任意连续地变换速度，其性能优于传统的挡位变速器，很多高档汽车都应用了“无级变速”。如图所示为一种“滚轮—平盘无级变速器”的示意图，它由固定在主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成。由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动，如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴的转速n1、从动轴的转速n2、滚轮半径r以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x之间的关系是( )
A.n2＝n1 B.n1＝n2
C.n2＝n1 D.n2＝n1
解析 由滚轮不会打滑可知，主动轴上的平盘与可随从动轴转动的圆柱形滚轮在接触点处的线速度相同，即v1＝v2，由此可得x·2πn1＝r·2πn2，所以n2＝n1，选项A正确。
答案 A
13.如图所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，(不计空气阻力)求：
(1)B球抛出时的水平初速度；
(2)A球运动的线速度最小值。
解析 (1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则R＝v0t①
在竖直方向上做自由落体运动，则h＝gt2②
由①②得v0＝＝R。
(2)设相碰时，A球转了n圈，则A球的线速度
vA＝＝＝2πRn
当n＝1时，其线速度有最小值，即vmin＝2πR。
答案 (1)R (2)2πR
14.一半径为R的雨伞绕柄以角速度ω匀速旋转，如图所示。伞边缘距地面高h，甩出的水滴在地面上形成一个圆，则此圆的半径r为多少？(不计空气阻力)
解析 水滴飞出的速度大小v＝ωR，
水滴做平抛运动，故：
竖直方向有h＝gt2
水平方向有l＝vt
由题意画出俯视图，如图所示。
由几何关系知，水滴形成圆的半径r＝
联立以上各式得r＝R。
答案 R
课件28张PPT。第1节 匀速圆周运动快慢的描述知识点一 线速度和角速度[观图助学]观察上图，齿轮与过山车的运动轨迹有什么共同特点？地球绕太阳运动1 s走过的弧长为29.79 km，月球绕地球运动1 s走过的弧长为1.02 km。而地球一年才绕太阳转一圈，月球27.3天就能绕地球转一圈，它们谁运动的快呢？1.匀速圆周运动
在任意相等时间内通过的 都相等的圆周运动。
2.线速度
(1)大小：做匀速圆周运动的物体通过的 与所用 的 。
(2)方向：其方向 。
(3)计算公式：v＝ 。单位：国际单位为 。弧长弧长时间比值沿圆周的切线方向m/s3.角速度
(1)定义：做匀速圆周运动的物体，连接物体和圆心的半径转过的 与所用 的比值。
(2)计算公式： 。
(3)角速度的国际单位是 ，符号 。角度时间弧度每秒rad/s[思考判断]
(1)匀速圆周运动是变速曲线运动。( )
(2)匀速圆周运动的线速度恒定不变。( )
(3)匀速圆周运动的角速度恒定不变。( )
(4)线速度是位移与发生这段位移所用时间的比值。( )√×√×知识点二 周期、频率和转速；线速度、角速度、周期的关系1.周期、频率和转速时间次数转动圈数2.线速度、角速度、周期的关系
(1)线速度和角速度关系：v＝ 。
(2)线速度和周期的关系：v＝ 。
(3)角速度和周期的关系：ω＝ 。rω[思考判断]
(1)匀速圆周运动的周期相同，角速度大小及转速都相同。( )
(2)匀速圆周运动的物体周期越长，转动越快。( )
(3)做匀速圆周运动的物体在角速度不变情况下，线速度与半径成正比。( )√×√描述圆周运动的各物理量的关系核心要点[情景探究]
打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技。如图所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度大小相同吗？答案 篮球上各点的角速度是相同的。但由于不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，由v＝ωr可知不同高度的各点的线速度大小不同。[探究归纳]
1.描述圆周运动的各物理量间的关系2.描述匀速圆周运动的物理量之间关系的理解[经典示例]
[例1] 做匀速圆周运动的物体，在10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100 m，试求该物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小。答案 (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s[针对训练1] 关于做匀速圆周运动物体的线速度、角速度、周期之间的关系，下列说法中正确的是( )
A.线速度大的角速度一定大
B.线速度大的周期一定小
C.角速度大的半径一定小
D.角速度大的周期一定小答案 D常见三种转动装置[情景探究]
如图所示，跷跷板的支点位于板上的中点，A、B是板的两个点，两点到支点的距离rA>rB，试比较在运动的某一时刻，A、B的线速度vA、vB的大小关系及角速度ωA、ωB的大小关系。核心要点答案 根据题意，A、B绕同一支点转动，所以角速度相等，即ωA＝ωB；又有rA>rB，根据v＝ωr得线速度vA>vB。[探究归纳][经典示例]
[例2] 如图所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中A、B、C三轮的半径关系为3rA＝2rC＝4rB，设皮带不打滑，求三轮边缘上的点A、B、C的线速度之比、角速度之比、周期之比。答案 vA∶vB∶vC＝1∶1∶2 ωA∶ωB∶ωC＝3∶4∶4 TA∶TB∶TC＝4∶3∶3[针对训练2] 如图所示，两个小球a和b用轻杆连接，并一起在水平面内做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( ) A.a球的线速度比b球的线速度小
B.a球的角速度比b球的角速度小
C.a球的周期比b球的周期小
D.a球的转速比b球的转速大解析 两个小球一起转动，周期相同，所以它们的转速、角速度都相等，B、C、D错误；而由v＝ωr可知b的线速度大于a的线速度，所以A正确。
答案 A
