知识网络建构与学科素养提升
一、圆周运动中的多解问题
匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。因匀速圆周运动具有周期性，使得在一个周期中发生的事件在其他周期同样可能发生，这就要求我们在解决此类问题时，必须考虑多解的可能性，一般处理这类问题时，要把一个物体的运动时间t，与圆周运动的周期T建立起联系才会较快的解决问题。
[例1] 如图所示，水平放置的圆筒绕其中心对称轴OO′匀速转动，筒壁上P处有一小圆孔，桶壁很薄，桶的半径R＝2 m，圆孔正上方h＝3.2 m处有一小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半径。已知小球刚好能从孔中进入圆筒，并且与圆筒不发生碰撞离开圆筒。求：
(1)小球在圆筒中运动的时间？
(2)圆筒转动的角速度是多大？(空气阻力不计，g取10 m/s2)。
解析 (1)据自由落体运动规律，有h＝gt，
解得t1＝0.8 s，
h＋2R＝gt，解得t2＝1.2 s，故小球在圆筒中运动的时间Δt＝t2－t1＝0.4 s；
(2)根据小球在圆筒中运动时间与圆筒自转的时间相等，则有θ＝ωΔt＝(2k－1)π(k＝1，2，3，…)，解得ω＝(k＝1，2，3，…)。
答案 (1)0.4 s (2)(k＝1，2，3，…)
[针对训练1] 如图所示是一种子弹测速器，甲、乙两圆盘均以角速度ω旋转，甲、乙两圆盘相距d，一个子弹P从甲盘某条半径O1A射入，从乙盘O2B′半径上射出，测得跟O1A平行的半径O2B与O2B′之间夹角为θ，子弹穿过盘时的阻力不计，求子弹的速度。
解析 子弹在两盘间运动的时间为t＝
在子弹穿过两盘的时间t内，盘子转过的角度为2kπ＋θ(k＝0，1，2，3…)
由题意可得：＝(k＝0，1，2，3…)
解得：v＝(k＝0，1，2，3…)
答案 (k＝0，1，2，3，…)
二、圆周运动中的临界问题
当物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临界状态。出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”。
1.水平面内的圆周运动的临界问题
在这类问题中，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列方程求解。常见情况有以下两种：
(1)与绳的弹力有关的圆周运动临界问题。
(2)因静摩擦力存在最值而产生的圆周运动临界问题。
2.竖直面内的圆周运动的临界问题
(1)用绳子系物体或物体沿轨道内侧运动(如图所示)。
此种情况下，如果物体恰能通过最高点，即绳子的拉力或轨道对物体的支持力等于零，只有重力提供向心力，即mg＝，得临界速度v0＝。当物体的速度大于等于v0时，才能经过最高点。
(2)用杆固定物体在竖直平面内做圆周运动。
此种情况下，由于物体所受的重力可以由杆给它的向上的支持力来平衡，所以在最高点时的速度可以为零。当物体在最高点的速度v≥0时，物体就可以完成一个完整的圆周运动。
[例2] 如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，g为重力加速度。求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度。
(2)当角速度为时，绳子对物体拉力的大小。
解析 (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，转速达到绳子拉力为零时的最大值，设此时转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mωr，得ω0＝。
(2)当ω＝时，ω>ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时有F＋μmg＝mω2r，即F＋μmg＝m··r，得F＝μmg。
答案 (1) (2)μmg
[针对训练2] 如图所示，轻杆长为L，一端固定在水平轴上的O点，另一端系一个小球(可视为质点)。小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，且能通过最高点，g为重力加速度。下列说法正确的是( )
A.小球通过最高点时速度可能小于
B.小球通过最高点时所受轻杆的作用力不可能为零
C.小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而增大
D.小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而减小
解析 小球在最高点时，杆对球可以表现为支持力，由牛顿第二定律得mg－F＝m，则得v＜，故A正确；当小球速度为时，由重力提供向心力，杆的作用力为零，故B错误；轻杆在最高点可以表现为拉力，此时根据牛顿第二定律有mg＋F＝m，则知v越大，F越大，即随小球速度的增大，杆的拉力增大；小球通过最高点时杆对球的作用力也可以表现为支持力，当表现为支持力时，有mg－F＝m，则知v越大，F越小，即随小球速度的增大，杆的支持力减小，故C、D错误。
答案 A
课件16张PPT。知识网络建构与学科素养提升一、圆周运动中的多解问题
匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。因匀速圆周运动具有周期性，使得在一个周期中发生的事件在其他周期同样可能发生，这就要求我们在解决此类问题时，必须考虑多解的可能性，一般处理这类问题时，要把一个物体的运动时间t，与圆周运动的周期T建立起联系才会较快的解决问题。[例1] 如图所示，水平放置的圆筒绕其中心对称轴OO′匀速转动，筒壁上P处有一小圆孔，桶壁很薄，桶的半径R＝2 m，圆孔正上方h＝3.2 m处有一小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半径。已知小球刚好能从孔中进入圆筒，并且与圆筒不发生碰撞离开圆筒。求：(1)小球在圆筒中运动的时间？
(2)圆筒转动的角速度是多大？(空气阻力不计，g取10 m/s2)。[针对训练1] 如图所示是一种子弹测速器，甲、乙两圆盘均以角速度ω旋转，甲、乙两圆盘相距d，一个子弹P从甲盘某条半径O1A射入，从乙盘O2B′半径上射出，测得跟O1A平行的半径O2B与O2B′之间夹角为θ，子弹穿过盘时的阻力不计，求子弹的速度。二、圆周运动中的临界问题
当物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临界状态。出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”。
1.水平面内的圆周运动的临界问题
在这类问题中，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列方程求解。常见情况有以下两种： (1)与绳的弹力有关的圆周运动临界问题。
(2)因静摩擦力存在最值而产生的圆周运动临界问题。
2.竖直面内的圆周运动的临界问题(2)用杆固定物体在竖直平面内做圆周运动。
此种情况下，由于物体所受的重力可以由杆给它的向上的支持力来平衡，所以在最高点时的速度可以为零。当物体在最高点的速度v≥0时，物体就可以完成一个完整的圆周运动。[例2] 如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，g为重力加速度。求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度。[针对训练2] 如图所示，轻杆长为L，一端固定在水平轴上的O点，另一端系一个小球(可视为质点)。小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，且能通过最高点，g为重力加速度。下列说法正确的是( )答案 A章末检测(三)
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分。其中1～7题为单项选择题，8～10题为多项选择题)
1.对于做匀速圆周运动的物体，以下说法正确的是( )
A.速度不变
B.受到平衡力作用
C.除受到重力、弹力、摩擦力之外，还受到向心力的作用
D.所受合力大小不变，方向始终与线速度垂直并指向圆心
解析 做匀速圆周运动的物体速度方向不断变化，A错误；又因为做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，所以所受合力不为零，B错误；向心力是效果力，受力分析时不考虑，C错误；做匀速圆周运动的物体，合力充当向心力，所以其大小不变，方向始终与线速度垂直并指向圆心，D正确。
答案 D
2.建造在公路上的桥梁大多是凸桥，较少是水平桥，更少有凹桥，其主要原因是( )
A.为了节省建筑材料，以减少建桥成本
B.汽车以同样的速度通过凹桥时对桥面的压力要比对水平桥或凸桥压力大，故凹桥易损坏
C.建造凹桥的技术特别困难
D.无法确定
解析 汽车通过水平桥时，对桥的压力大小等于车的重力，汽车通过凸桥时，在最高点时，对桥的压力F1＝mg－m，而汽车通过凹桥的最低点时，汽车对桥的压力F2＝mg＋m。综上可知，汽车通过凹桥时，对桥面的压力较大，因此对桥的损坏程度较大。这是不建凹桥的原因。
答案 B
3.如图所示，洗衣机的脱水筒采用电机带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中不正确的是( )
A.脱水过程中，大部分衣物紧贴筒壁
B.在人看来水会从桶中甩出是由于水滴受到离心力很大的缘故
C.加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
D.靠近中心的衣物脱水效果不如四周的衣物脱水效果好
解析 水滴随衣物一起做圆周运动时，水滴与衣物间的附着力提供水滴所需的向心力。当脱水筒转得比较慢时，水滴与衣物间的附着力足以提供水滴做圆周运动所需的向心力，使水滴做圆周运动；脱水筒转动角速度加快时，根据向心力公式F＝mω2r可知，水滴做圆周运动所需的向心力将增大，当水滴与物体间的附着力不足以提供水滴做圆周运动所需的向心力时，水滴做离心运动，穿过网孔，飞到脱水筒外面。故选B选项。
答案 B
4.如图所示，一辆卡车在水平路面上行驶，已知该车轮胎半径为R，轮胎转动的角速度为ω，关于各点的线速度大小下列说法错误的是( )
A.相对于地面，轮胎与地面的接触点的速度为0
B.相对于地面，车轴的速度大小为ωR
C.相对于地面，轮胎上缘的速度大小为ωR
D.相对于地面，轮胎上缘的速度大小为2ωR
解析 因为轮胎不打滑，相对于地面，轮胎与地面接触处保持相对静止，该点相当于转动轴，它的速度为零，车轴的速度为ωR，而轮胎上缘的速度大小为2ωR，故选项A、B、D正确，C错误。
答案 C
5.如图所示，一圆盘可绕通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)。某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是( )
解析 橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向圆周的内侧。由于做加速圆周运动，动能不断增加，故合力与速度的夹角小于90°，故选C。
答案 C
6.小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示，将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点( )
A.P球的速度一定大于Q球的速度
B.P球的动能一定小于Q球的动能
C.P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D.P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
解析 两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有重力做功，机械能守恒，取轨迹的最低点为零势能点，则由机械能守恒定律得mgL＝mv2，v＝，因LP＜LQ，则vP＜vQ，又mP＞mQ，则两球的动能无法比较，选项A、B错误；在最低点绳的拉力为F，则F－mg＝m，则F＝3mg，因mP＞mQ，则FP＞FQ，选项C正确；向心加速度a＝＝2g，选项D错误。
答案 C
7.如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时与水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算知该女运动员( )
A.受到的拉力为G B.受到的拉力为2G
C.向心加速度为3g D.向心加速度为2g
解析 如图所示，F1＝Fcos 30°，F2＝Fsin 30°，F2＝G，F1＝ma，所以a＝g，F＝2G。选项B正确。
答案 B
8.如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，正确的说法是( )
A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B.小球在最高点时绳子的拉力有可能为零
C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为0
D.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
解析 设在最高点小球受的拉力为F1，最低点受到的拉力为F2，则在最高点F1＋mg＝m，即向心力由拉力F1与mg的合力提供，A错误；当v1＝ 时，F1＝0，B正确；v1＝ 为小球经过最高点的最小速度，即小球在最高点的速率不可能为0，C错误；在最低点，F2－mg＝m，F2＝mg＋m，所以经最低点时，小球受到绳子的拉力一定大于它的重力，D正确。
答案 BD
9.如图所示，长0.5 m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3 kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2 m/s。g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A.小球通过最高点时，对杆的拉力大小是24 N
B.小球通过最高点时，对杆的压力大小是6 N
C.小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24 N
D.小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54 N
解析 设小球在最高点时受杆的弹力向上，则mg－N＝m，得N＝mg－m＝6 N，故小球对杆的压力大小是6 N，A错误，B正确；小球通过最低点时N′－mg＝m，得N′＝mg＋m＝54 N，小球对杆的拉力大小是54 N，C错误，D正确。
答案 BD
10.如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在地面上，圆锥筒的轴线竖直。一个小球贴着筒的内壁在水平面内做圆周运动，由于微弱的空气阻力作用，小球的运动轨迹由A轨道缓慢下降到B轨道，则在此过程中( )
A.小球的向心加速度逐渐减小
B.小球运动的角速度逐渐减小
C.小球运动的线速度逐渐减小
D.小球运动的周期逐渐减小
解析 以小球为研究对象，对小球受力分析，小球受力如图所示。
由牛顿第二定律得：
＝ma＝＝mrω2
可知在A、B轨道的向心力大小相等，a＝，向心加速度不变，故A错误；角速度ω＝，由于半径减小，则角速度变大，故B错误；线速度v＝，由于半径减小，线速度减小，故C正确；周期T＝，角速度增大，则周期减小，故D正确。
答案 CD
二、计算题(本题共4小题，共50分)
11.(10分)如图所示，两根长度相同的轻绳，连接着相同的两个小球，让它们穿过光滑的杆在水平面内做匀速圆周运动，其中O为圆心，两段细绳在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比为多少？
解析 设每段绳子长为l，对球2有F2＝2mlω2
对球1有：F1－F2＝mlω2，由以上两式得：F1＝3mlω2
故F1∶F2＝3∶2 。
答案 3∶2
12.(12分)有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
解析 (1)72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有
N＝m＝ N＝105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105 N。
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的弹力的合力正好提供向心力，如图所示，
则mgtan θ＝m
由此可得tan θ＝＝0.1。
答案 (1)105 N (2)0.1
13.(12分)如图所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1 g的小球，试管的开口端与水平轴O连接。试管底与O相距5 cm，试管在转轴带动下在竖直平面内做匀速圆周运动。g取10 m/s2，求：
(1)转轴的角速度达到多大时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍？
(2)转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况？
解析 (1)当试管匀速转动时，小球在最高点对试管的压力最小，在最低点对试管的压力最大。
在最高点：F1＋mg＝mω2r
在最低点：F2－mg＝mω2r
F2＝3F1
联立以上方程解得ω＝＝20 rad/s。
(2)小球随试管转到最高点，当mg＞mω2r时，小球会与试管底脱离，即ω＜。
答案 (1)20 rad/s (2)ω＜
14.(14分)如图所示，一内壁光滑的圆弧形轨道ACB固定在水平地面上，轨道的圆心为O，半径R＝0.5 m，C为最低点，其中OB水平，∠AOC＝37°，质量m＝2 kg的小球从轨道左侧距地面高h＝0.55 m的某处水平抛出，恰好从轨道A点沿切线方向进入圆弧形轨道，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)小球抛出点到A点的水平距离；
(2)小球运动到B点时对轨道的压力大小。
解析 (1)小球做平抛运动，
竖直方向：h－R(1－cos 37°)＝gt2，解得t＝0.3 s，
竖直分速度：vy＝gt＝10×0.3 m/s＝3 m/s，
水平分速度：v0＝＝ m/s＝4 m/s，
抛出点距A点的水平距离
L＝x＝v0t＝4×0.3 m＝1.2 m。
(2)小球从抛出到B点过程，由动能定理得
mg(h－R)＝mv－mv，
在B点，由牛顿第二定律得F＝m，
解得F＝68 N，
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小
F′＝F＝68 N。
答案 (1)1.2 m (2)68 N
