知识网络建构与学科素养提升
一、天体(卫星)运动问题的处理
分析处理天体运动问题，要抓住“一个模型”“两个思路”，区分“三个不同”。
1.一个模型：无论是自然天体(如行星等)，还是人造天体(如人造卫星、空间站等)，只要天体的运动轨迹为圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动。
2.两个思路
(1)所有做圆周运动的天体，所需的向心力都来自万有引力。因此，向心力等于万有引力，据此所列方程是研究天体运动的基本关系式，即
G＝m＝mω2r＝mr＝ma。
(2)不考虑地球或其他天体自转影响时，物体在地球或其他天体表面受到的万有引力约等于物体的重力，即G＝mg，变形得GM＝gR2。
3.三个不同
(1)不同公式中r的含义不同。在万有引力定律公式(F＝G)中，r的含义是两质点间的距离；在向心力公式(F＝m＝mω2r)中，r的含义是质点运动的轨道半径。当一个天体绕另一个天体做匀速圆周运动时，两式中的r相等。
(2)运行速度、发射速度和宇宙速度的含义不同。
(3)卫星的向心加速度a、地球表面的重力加速度g、在地球表面的物体随地球自转做匀速圆周运动的向心加速度a′的含义不同。
[例1] 土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动，其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为rA＝8.0×104 km和rB＝1.2×105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用(结果可用根式表示)。
(1)求岩石颗粒A和B的线速度之比；
(2)求岩石颗粒A和B的周期之比；
(3)土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出它距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N。已知地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？
解析 (1)设土星质量为M0，岩石颗粒质量为m，距土星中心距离为r，线速度为v，根据牛顿第二定律和万有引力定律可得G＝，解得v＝。
对于A、B两颗粒分别有vA＝和vB＝，
得＝。
(2)设岩石颗粒绕土星做圆周运动的周期为T，由开普勒第三定律＝
得＝。
(3)设地球质量为M，半径为r0，地球上物体的重力可视为等于万有引力，探测器上物体质量为m0，在地球表面重力为G0，跟土星中心相距r0′＝3.2×105 km处的引力为G0′，根据万有引力定律得
G0＝，G0′＝，解得＝95。
答案 (1) (2) (3)95倍
[针对训练1] “静止”在赤道上空的地球同步气象卫星将气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料。设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是( )
A.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的
B.同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的
C.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的
D.同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的
解析 同步卫星绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力，则G＝ma＝m＝mω2r＝mr，得同步卫星的运行速度v＝，又第一宇宙速度v1＝，所以＝＝，故选项A错误，C正确；a＝，g＝，所以＝＝，故选项D错误；同步卫星与地球自转的角速度相同，则v＝ωr，v自＝ωR，所以＝＝n，故选项B错误。
答案 C
二、天体运动中的追及相遇问题
在天体运动的问题中，我们常遇到一些这样的问题，比如a、b两物体都绕同一中心天体做圆周运动，某时刻a、b相距最近，问a、b下一次相距最近或最远需要多长时间，或“至少”需要多长时间等问题。而对于此类问题的解决和我们在直线运动中的追及相遇问题在思维上有一些相似的地方，但它也有其自身的特点。两天体由这次相距最近到下次相距最近，周期小的天体比周期大的天体多转一周，解决天体运动中的追及相遇问题时，要紧紧的抓住这一条件。
[例2] 设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，某人造卫星在赤道上空做匀速圆周运动，轨道半径为r，且r＜5R，飞行方向与地球的自转方向相同，在某时刻，该人造卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下一次通过该建筑物正上方所需要的时间为( )
A.2π B.
C.2π D.
解析 因为同步卫星的轨道半径大约为6.6R，根据卫星的运行特点知，轨道半径越大，卫星运行角速度越小，而同步卫星与地球自转的角速度相同，故该人造卫星运行的角速度比地球上建筑物运行的角速度大，因此再次出现在建筑物上方时，说明卫星已经比建筑物多走了一圈。故θ卫－θ地＝2π，θ卫＝ω1t，θ地＝ω0t，由于卫星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有＝mrω，根据黄金代换GM＝gR2，联立得D项正确。
答案 D
[针对训练2] 两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，如图所示，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，则：
(1)a、b两卫星周期之比Ta∶Tb是多少？
(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？
解析 (1)设a卫星运行轨道的半径为Ra，b卫星运行轨道的半径为Rb，由题可知，Ra＝2R，Rb＝4R，
由开普勒行星运动规律知＝
所以Ta∶Tb＝Ra∶Rb＝1∶2①
(2)设经过t时间二者第一次相距最远，若两卫星同向运转，此时a比b多转半圈，即－＝，
解得t＝②
这段时间a经过的周期数为n＝③
由①②③可得n＝
若两卫星反向运转，二者共同转过半圈时，相距最远，有
＋＝④
这段时间a经过的周期数为n′＝⑤
由①④⑤得n′＝。
答案 (1)1∶2 (2)或
课件17张PPT。知识网络建构与学科素养提升轨道面积周期质点分布均匀分布均匀7.911.216.7一、天体(卫星)运动问题的处理
分析处理天体运动问题，要抓住“一个模型”“两个思路”，区分“三个不同”。
1.一个模型：无论是自然天体(如行星等)，还是人造天体(如人造卫星、空间站等)，只要天体的运动轨迹为圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动。2.两个思路3.三个不同[例1] 土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动，其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为rA＝8.0×104 km和rB＝1.2×105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用(结果可用根式表示)。
(1)求岩石颗粒A和B的线速度之比；
(2)求岩石颗粒A和B的周期之比；
(3)土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出它距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N。已知地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？[针对训练1] “静止”在赤道上空的地球同步气象卫星将气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料。设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是( )答案 C二、天体运动中的追及相遇问题
在天体运动的问题中，我们常遇到一些这样的问题，比如a、b两物体都绕同一中心天体做圆周运动，某时刻a、b相距最近，问a、b下一次相距最近或最远需要多长时间，或“至少”需要多长时间等问题。而对于此类问题的解决和我们在直线运动中的追及相遇问题在思维上有一些相似的地方，但它也有其自身的特点。两天体由这次相距最近到下次相距最近，周期小的天体比周期大的天体多转一周，解决天体运动中的追及相遇问题时，要紧紧的抓住这一条件。[例2] 设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，某人造卫星在赤道上空做匀速圆周运动，轨道半径为r，且r＜5R，飞行方向与地球的自转方向相同，在某时刻，该人造卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下一次通过该建筑物正上方所需要的时间为( )答案 D[针对训练2] 两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，如图所示，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，则：(1)a、b两卫星周期之比Ta∶Tb是多少？
(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？解析 (1)设a卫星运行轨道的半径为Ra，b卫星运行轨道的半径为Rb，由题可知，Ra＝2R，Rb＝4R，若两卫星反向运转，二者共同转过半圈时，相距最远，有章末检测(四)
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。其中1～8题为单项选择题，9～12题为多项选择题)
1.关于万有引力定律和引力常量的发现，下列说法中正确的是( )
A.万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由伽利略测定的
B.万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
C.万有引力定律是由伽利略发现的，而引力常量是由牛顿测定的
D.万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
解析 万有引力定律是牛顿在开普勒等前人的基础上总结出来的，不是开普勒，也不是伽利略；引力常量是由卡文迪许通过扭秤实验测定的，综合知D正确，A、B、C错误。
答案 D
2.已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，它们绕太阳的公转均可看成匀速圆周运动，则可判定( )
A.金星的质量大于地球的质量
B.金星到太阳的距离大于地球到太阳的距离
C.金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离
D.金星的半径大于地球的半径
解析 根据开普勒第三定律＝k，因为金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，所以金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离，C正确。
答案 C
3.如图所示，某卫星绕行星沿椭圆轨道运行，其轨道的半长轴为r，周期为T，图中S1、S2两部分阴影面积大小相等。则( )
A.行星可以不在椭圆的焦点上
B.卫星从a到b的速率逐渐增大
C.卫星从a到b的运行时间大于从c到d的运行时间
D.椭圆轨道半长轴的三次方与周期的二次方的比值只与卫星的质量有关
解析 根据开普勒第一定律知，卫星绕行星做椭圆运动，行星处于椭圆的一个焦点上，故A错误；卫星从a到b的过程中，万有引力做正功，根据动能定理知，速率增大，故B正确；根据开普勒第二定律知，S1、S2两部分阴影面积大小相等，则卫星从a到b的运行时间等于从c到d的运行时间，故C错误；根据开普勒第三定律知，椭圆轨道半长轴的三次方与周期的二次方的比值是定值，只与中心天体有关，与卫星的质量无关，故D错误。
答案 B
4.北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。关于这些卫星，以下说法正确的是( )
A.5颗同步卫星的轨道半径不都相同
B.5颗同步卫星的运行轨道不一定在同一平面内
C.导航系统所有卫星的运行速度一定小于第一宇宙速度
D.导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越小
解析 同步卫星位于赤道平面内，轨道半径都相同，A、B错误；第一宇宙速度是最大的环绕速度，故导航系统所有卫星的运行速度都小于第一宇宙速度，C正确；根据G＝mr，得T＝，导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越大，D错误。
答案 C
5.若“嫦娥二号”探月卫星在环月圆轨道绕行n圈所用的时间为t1，已知“嫦娥一号”探月卫星在环月圆轨道绕行n圈所用的时间为t2，且t1A.“嫦娥二号”运行的线速度较小
B.“嫦娥二号”运行的角速度较小
C.“嫦娥二号”运行的向心加速度较小
D.“嫦娥二号”距月球表面的高度较小
解析 根据T＝可知，“嫦娥二号”的周期T1小于“嫦娥一号”的周期T2，由G＝mr得T＝，则“嫦娥二号”的半径r1小于“嫦娥一号”的半径r2，故“嫦娥二号”距月球表面的高度较小，D正确；根据G＝mω2r＝m＝ma可得，ω＝，v＝，a＝，所以A、B、C错误，D正确。
答案 D
6.宇航员聂海胜悬浮在太空舱内“太空打坐”的情景如图所示。若聂海胜的质量为m，飞船距离地球表面的高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，则聂海胜在太空舱内受到的重力大小为( )
A.0 B.mg
C. D.
解析 飞船在距地面高度为h处，由万有引力等于重力得G′＝mg′＝，故D正确，A、B、C错误。
答案 D
7.在同一轨道平面上绕地球做匀速圆周运动的卫星A、B、C，某时刻恰好在同一过地心的直线上，如图所示，当卫星B经过一个周期时( )
A.A超前于B，C落后于B
B.A超前于B，C超前于B
C.A、C都落后于B
D.各卫星角速度相等，因而三颗卫星仍在同一直线上
解析 由G＝mr可得T＝2π，故轨道半径越大，周期越大。当B经过一个周期时，A已经完成了一个多周期，而C还没有完成一个周期，所以选项A正确，B、C、D错误。
答案 A
8.星球上的物体在星球表面附近绕星球做匀速圆周运动所必须具备的速度v1叫做第一宇宙速度，物体脱离星球引力所需要的最小发射速度v2叫做第二宇宙速度，v2与v1的关系是v2＝v1。已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的。若不计其他星球的影响，则该星球的第一宇宙速度v1和第二宇宙速度v2分别是( )
A.v1＝，v2＝
B.v1＝，v2＝
C.v1＝，v2＝
D.v1＝，v2＝
解析 对于贴着星球表面运行的卫星有mg′＝m，解得v1＝＝，又由v2＝v1，可求出v2＝。
答案 B
9.“嫦娥二号”卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100 km，周期为118 min的工作轨道，开始对月球进行探测，则( )
A.卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小
B.卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大
C.卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比在轨道Ⅰ上小
D.卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大
解析 月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面做匀速圆周运动的速度，卫星在轨道Ⅲ上的半径大于月球半径，根据G＝m，得卫星的速度v＝，可知卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，故A正确；卫星在轨道Ⅰ上经过P点若要进入轨道Ⅲ，需减速，即知卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时小，故B错误；根据开普勒第三定律＝k，可知卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比在轨道Ⅰ上小，故C正确；卫星从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，在P点需减速，动能减小，而它们在各自的轨道上机械能守恒，所以卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大，故D正确。
答案 ACD
10.一行星绕恒星做圆周运动，由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A.恒星的质量为
B.行星的质量为
C.行星运动的轨道半径为
D.行星运动的加速度为
解析 由＝＝mr得M＝＝，A正确；无法计算行星的质量，B错误；r＝＝＝，C正确；a＝ω2r＝ωv＝ v，D正确。
答案 ACD
11.如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M、半径为R。下列说法正确的是( )
A.地球对一颗卫星的引力大小为
B.一颗卫星对地球的引力大小为
C.两颗卫星之间的引力大小为
D.三颗卫星对地球引力的合力大小为
解析 应用万有引力公式及力的合成规律分析。
地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为r，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为，选项C正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D错误。
答案 BC
12.科学家发现一颗迄今为止与地球最类似的太阳系外的行星，与地球的相似度为0.98，并且可能拥有大气层和流动的水，这颗名叫Kepler 452b的行星距离地球约1 400光年，公转周期约37年，它的半径大约是地球的1.6倍，重力加速度与地球相近。已知地球表面第一宇宙速度为7.9 km/s，则下列说法正确的是( )
A.飞船在Kepler 452b表面附近运行时的速度大于7.9 km/s
B.该行星的质量约为地球质量的1.6倍
C.该行星的平均密度约是地球平均密度的
D.在地球上发射航天器到达该星球，航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度
解析 设Kepler 425b行星的半径为R，飞船的质量为m，第一宇宙速度为v，由万有引力定律得，mg＝m，解得v＝，则＝＝>1，故vK>7.9 km/s，选项A正确；设Kepler 425b行星的质量为M，由万有引力近似等于重力得，G＝mg，解得M＝，则＝＝2.56，选项B错误；行星的密度ρ＝＝，则＝＝，选项C错误；第三宇宙速度是卫星脱离太阳引力束缚的发射速度，由于该行星是太阳系以外的行星，因此发射航天器到达该星球，航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度，选项D正确。
答案 AD
二、计算题(本题共3小题，共40分)
13.(12分)在物理学中，常常用等效替代法、类比法、微小量放大法等来研究问题。如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了引力常量G的数值。卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量”的实验，因为由G的数值及其他已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为“第一个称量地球的人”。如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图。
(1)若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m1、m2且球心相距为r的两个小球之间引力的大小为F，求万有引力常量G；
(2)若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式。
解析 (1)根据万有引力定律得F＝G
得G＝。
(2)设地球质量为M，质量为m的任一物体在地球表面附近满足G＝mg
得GM＝R2g
解得地球的质量M＝
地球的体积V＝πR3
解得地球的平均密度＝。
答案 (1) (2)M＝ ＝
14.(12分)在某个半径为R＝105 m的行星表面，对于一个质量m＝1 kg的砝码，用弹簧测力计称量，其重力的大小G＝1.6 N。则：
(1)请您计算该星球的第一宇宙速度v1；
(2)请计算该星球的平均密度。(球体体积公式V＝πR3，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留两位有效数字)
解析 (1)g＝＝1.6 m/s2，
m′g＝m′，
解得：v1＝，
代入数值得第一宇宙速度：v1＝400 m/s。
(2)由mg＝G得M＝，
又V＝πR3，
所以ρ＝＝，
代入数据解得ρ＝5.7×104 kg/m3。
答案 (1)400 m/s (2)5.7×104 kg/m3
15.(16分)如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G。
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2和T1两者平方之比。(结果保留3位小数)
解析 (1)A和B绕O做匀速圆周运动，它们的环绕半径分别为r和R，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A、B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。因此有：mω2r＝Mω2R，
r＋R＝L，
联立解得R＝ L，r＝ L
对A星根据牛顿第二定律和万有引力定律得：
＝mL
解得：T＝2π。
(2)将地月看成双星，由第一问所求有：
T1＝2π
将月球看做绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得
＝mL
解得T2＝2π
所以两种周期的平方比值为
＝＝＝1.012。
答案 (1)2π (2)1.012
