(共15张PPT)
1. 锐角三角函数
北师版·九年级数学·下册
第一课时
1.经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程,理解正切的意义.
2.能够用表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度,并能够用正切进行简单的计算.
重点：理解锐角三角函数正切的意义,用正切表示倾斜程度、坡度.
难点：从现实情境中理解正切的意义.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
随之变化
陡
AC
陡
BC
对边
邻边
在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其它的边和角吗？猜一猜,这座古塔有多高？那你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗？
A
1
2
B
探究：从梯子的倾斜程度谈起
问题1：小明的问题,如图（1）梯子AB和DE
哪个更陡？你是怎样判断的？
问题2：小亮的问题,如图（2）梯子AB和DE
哪个更陡？你是怎样判断的？
小明和小亮这样想,如图（3）：
小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子AB1的倾斜程度；
而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子AB1的倾斜程度.
你同意小亮的看法吗？
问题3:(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
探究：从梯子的倾斜程度谈起
直角三角形中边与角的关系：锐角的三角函数——正切函数.
总结：
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
在Rt△ABC中,锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记
作tanA,即tanA=
探究：从梯子的倾斜程度谈起
问题4：如图,梯子AB1的倾斜程度与tanA
有关吗？与∠A有关吗？
与tanA有关：tanA的值越大,梯子AB1越陡.
D
C
D
B
例1：下图表示两个自动扶梯,
那一个自动扶梯比较陡？
解：
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.山坡垂直高度为h m与水平长度为l m的比叫做坡面的坡度(或坡比)
坡面与水平面
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
的夹角称为坡角,记做α ，于是
显然,坡度（i=tanα）越大,坡角a就越大,坡面就越陡。
例2：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求tanA和tanB.
解：
D
C
C
解：
反本节课从梯子的倾斜程度谈起,通过探索直角三角形中边角关系,得出了直角三角形中的锐角确定后,它的对边比与邻边的比也随之确定,在直角三角形中定义了正切的概念,接着,了解了坡面的倾斜程度与正切的关系.
(共14张PPT)
1. 锐角三角函数
北师版·九年级数学·下册
第二课时
1.经历探索知道直角三角形中某锐角确定后,它的对边、邻边和斜边的比值也随之确定,理解角度与数值之间一一对应的函数关系.
2.能够正确地运用sinA,cosA,tanA表示直角三角形中两边之比.
重点：正确地运用三角函数值表示直角三角中两边之比.
难点：理解角度与数值之间一一对应的函数关系.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
三角函数
小
大
对边
斜边
锐角
斜边
邻边
直角三角形中边与角的关系：锐角的三角函数——正切函数.
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
在Rt△ABC中,锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A的正切,
记作tanA,即tanA=
当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗？
在Rt△ABC中,如果锐角A确定时,那么∠A的对边与斜边的比,邻边与斜边的比也随之确定.
在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦
记作sinA,即
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,
记作cosA,即
锐角A的正弦、余弦和正切都是做∠A的三角函数.
D
C
10
D
A
D
例1：如图：在Rt△ABC,∠B=90°,
AC=200,sinA=0.6.求BC的长.
解：
请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值.你敢应战吗?
∴BC=200×0.6=120.
例2：如图:Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,
解：
求AB和sinB的值.
A
B
B
解：
锐角三角函数定义：
定义中应该注意的几个问题：
1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA、cosA、tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；
3.sinA、cosA、tanA是一个比值,注意比的顺序,且sinA、cosA、tanA均＞0,无单位.
4.sinA、cosA、tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
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2. 30°,45°,60°角的三角函数值
北师版·九年级数学·下册
1.运用三角函数的概念,自主探究求出角的三角函数值.
2.熟记三个特殊角的三角函数值,并能准确的加以运用,即给出特殊角能说出它的三角函数值,反过来,给出特殊角的数值,能说出相应的锐角的度数.
重点：三个特殊角的三角函数值及其运用.
难点：特殊角三角函数值的应用.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
60°
45°
30°
45°
<
直角三角形中边与角的关系：锐角三角函数.
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边、邻边和斜边之间的比值也随之确定.
观察一副三角板：
它们其中有几个锐角？分别是多少度？
(1)sin30°,sin45°,sin60°等于多少？
(2)cos30°,cos45°,cos60°等于多少？
(3)tan30°,tan45°,tan60°等于多少？
你能对一直伴随我们学习的这副三角尺所具有的功能来个重新认识和评价？
根据上面的计算,完成右表:〈特殊角的三角函数值表〉
三角函数锐角α 正弦sin α 余弦cos α 正切tan α
30°
45 °
60 °
A
C
A
C
A
B
10°
例1：计算：
(1)sin30°＋cos45°；
(2)sin260＋cos260°－tan45°.
解：
提示：sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2,其余类推.
例2：计算：
(1)sin230°－cos45°·tan60°；
解：
解析：
把特殊角的三角函数值代入计算即可.
例3：一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60度,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
解：
所以,最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
B
C
0
解：
解：
解：
1.要熟记特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.
2.本节课从我们应该熟记的三个特殊角的三角函数值开始进行探究,找出两个互余锐角的正余弦之间的关系,并应作这个性质可以进行一些简单的运算.
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3.三角函数的计算
北师版·九年级数学·下册
1.熟练运用计算器,求出锐角的三角函数值,或是根据三角函数值求出相应的锐角.
2.能够进行简单的三角函数式的运算,理解正弦值与余弦值都在0与1之间.
重点：学会应用计算器求三角函数值.
难点：能够进行简单的三角函数式的运算.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
sin
万分位
cos
tan
sin-1
cos-1
tan-1
2ndf
° ’ ”
特殊角30,45,60角的三角函数值：
三角函数锐角α 正弦sin α 余弦cos α 正切tan α
30°
45 °
60 °
特殊三角函数值我们都已熟记,那不是特殊角三角函数我们该怎么去求呢？
比如这样的问题：当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°,那么缆车垂直上升的距离是多少?
在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=ABsin16°,你知道sin16°等于多少？
我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值？
怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢？
请与同伴交流你是怎么做的？
☆用科学计算器求锐角的三角函数值
例如,求sin16°,cos42°,tan85°和sin72 °38′ 25″的按键盘顺序如下：
显示
结果 按键的顺序
sin16° sin 1 6 0.275637355
cos42° cos 4 2 0.743144825
tan85° tan 8 5 11.4300523
sin72°38’25” sin 7 2 DMS 3 0.954450312
8 DMS 2 5 DMS
特殊三角函数值我们都已熟记,那不是特殊角三角函数我们该怎么去求呢？
比如这样的问题：当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°,那么缆车垂直上升的距离是多少?
对于本节一开始提出问题,利用科学计算器可以求得：
BC=ABsin16°≈200×0.2756≈55.12
当缆车继续从点B到达D时,它又走过了200m.缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°,由此你还能计算什么?
提示：
用计算器求三角函数值时,结果一般有10个数位.本书约定,如无特别声明,计算结果一般精确到万分位.
请同学们计算：sin0°,cos0°,tan0°,sin90°,
cos90°,tan90°的值,并观察其正余弦数值的特点.
特点：正余弦值都在0到1之间.
注意：0,90的三角函数值我们也要牢记.
那么如果已知三角函数值能利用计算器求出角的度数吗?
已知三角函数值求角度,要用到
sin
cos
tan
sin-1
cos-1
tan-1
2ndf
C
A
B
tan
2
8
D·M’S
3
4
D·M’S
=
C
C
86°34’9”
86°34’9”
C
12
例1：已知三角函数值,用计算器求锐角A：
sinA=0.9816,cosA=0.8607,tanA=0.1890,tanA=56.78
按键的顺序 显示结果
sinA=0.9816 2ndf sin 0 . 9 8 1 6 = 78.99184039
cosA=0.8607 2ndf cos 0 . 8 6 0 7 = 30.60473007
tanA=0.1890 2ndf tan 0 . 1 8 9 0 = 10.70265749
tanA=0.56.78 2ndf tan 5 6 . 7 8 = 88.99102049
例2：(1)用计算器求下列各式的值：
①sin56°, ②sin15°49′, ③cos20°, ④tan29°,
⑤tan44°59′59″, ⑥sin15°＋cos61°＋tan76°
(2)根据下列条件求∠θ的大小：
①tanθ=2.9888；②sinθ=0.3957；
③cosθ=0.7850；④tanθ=0.8972
(3)一个人由山底爬到山顶,需先爬40°的山坡300m,再爬30°的山坡100m,求山高(结果精确到0.1m)
解析：
(3)作出图形,根据行走的距离和山坡与水平地面的夹角即可求得AB、DE,再计算AB+DE即得到山的高度。
解：
(3)如图，∠ACB＝40°， ∠DAE＝ 30°
∴AB＝AC·sinC＝ 300sin40 °≈192.8
∴山高为AB+DE= 192.8+50＝242.8(m).
12.6
67°
解：
（1）0.7314
解：
（2）0.2164
解：
（3）0.9041
解：
（4）-0.7817
解：
（1）∠A≈47°3′46″
解：
（2）∠A≈77°22′2″
解：
（3）∠A≈74°10′14″
本节课我们学习了怎样应用计算器进行三角函数的相关运算,并牢记0°,90°的三角函数值,以及了解正余弦值都在0到1之间.
(共17张PPT)
4.解直角三角形
北师版·九年级数学·下册
1.熟练掌握直角三角形除直角外五个元素之间的关系.
2.学会根据题目要求正确地选用这些关系式解直角三角形.
重点：会利用已知条件解直角三角形.
难点：根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
∠A+ ∠B＝90°
a2+b2=c2
*直角三角形三边的关系：勾股定理a2＋b2=c2.
直角三角形两锐角的关系：两锐角互余∠A＋∠B=90°.
?*直角三角形边与角之间的关系：锐角三角函数：
?*互余两角之间的三角函数关系：sinA=cosB.
?*同角之间的三角函数关系：
?*特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.
我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后,就可求出其余的元素。这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念,同时又陷入思考,为什么两个已知元素中必有一条边呢？
“为什么两个已知元素中至少有一条边？”
［如果知道了五个元素中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出其余的三个元素。在直角三角形中,除直角外,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形］
60°
30°
60°
30°
1
8
D
D
5
例1：在Rt△ABC中 ,∠C=90°,∠B=42°6′,c=287.4,
解这个三角形.
解：
∠A=90°－42°6′=47°54′
由cosB=ac,得a=c·cosB=287.4×0.7420=213.3
b=c·sinB=287.4×0.6704=192.7
例2：在△ABC中,A=55°,b=20cm,c=30cm,求三角形的面积S△ABC(精确到0.1cm2)
解：
如图,作AB上的高CD,在Rt△ACD中,
CD=AC·sinA=b·sinA.
当∠A=55°,b=20cm,c=30cm时,有
例3：如图所示,在△ABC中,∠CAB=120°,AB=4, AC=2,AD⊥BC,D是垂足,求AD的长.
分析：
由∠CAB=120°,构造含60°角的直角三角形,解直角三角形再求出AD的长.
如图所示,过点C作AB边上的高CE,则∠CAE=180°-∠CAB=60°.
解法一：
E
在Rt△CEA中,∠CEA=90°
∴BE=AB＋AE=5,在Rt△CEB中,∠CEB=90°.
∴BC2=CE2+BE2=3+25=28,
∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
例3：如图所示,在△ABC中,∠CAB=120°,AB=4, AC=2,AD⊥BC,D是垂足,求AD的长.
分析：
由∠CAB=120°,构造含60°角的直角三角形,解直角三角形再求出AD的长.
同解法一求出
解法二：
E
B
6
A
解：
解：
在Rt△ABC中,因为
所以∠CAD＝30°,
因为AD平分∠BAC,所以∠BAC＝2∠CAD＝60°,
所以∠B＝90°－∠BAC＝30°,
本节课主要学习了如何利用已知条件,选用合适的三角关系式解直角三角形,这是需要我们熟练掌握的,为后面学习解决实际问题提供打下基础。
(共15张PPT)
5. 三角函数的应用
北师版·九年级数学·下册
第一课时
1.理解航海方位角的概念,并学会画航行方位图,将航海问题转化成数学问题.
2.通过航海问题的解决让学生体会船只在海上航行的实际情景,从而培养空间想象力.
重点：学会画航行的方位图,将航海问题转化成数学问题.
难点：将航海的实际情景用航行方位图表现出来.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
方向角
北偏东
南偏东
东南
方向
南偏西
北偏西
如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定,CD与地面成40°角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m)
指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角.如图中的目标方向线OA、OB、OC分别表示北偏东60°,南偏东30°,北偏西70°.特别地,若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角,如图的目标方向线OD与正南方向成45角,通常称为西南方向.
1.方向角
(1)审题.按题意画出正确的平面或截面示意图,并通过图形弄清已知和未知；
2.解题时一般有以下三个步骤：
(2)将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题.如果没有现成的直角三角形可供使用,可通过作辅助线产生直角三角形,再把条件和问题转化到这个直角三角形；
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形.
105°
200m
没有
例1：如图所示,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(精确到0.01海里)
解析：
因为△APB不是一个直角三角形,所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形,△ACP与△PCB.PC是东西走向的一条直线.AB是南北走向的一直线,所以AB与PC是相互垂直的,即∠ACP与∠BCP均为直角.再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC互余的关系求∠BPC.
解：
如图,在Rt△APC中,PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos25°
≈80×0.91=72.8.
在Rt△BPC中,∠B=34°,
例2：甲、乙两船同时从港口O出发,甲船
以16.1海里/小时的速度向东偏南32°方向航
行,乙船向西偏南58°,方向航行,航行了两小时,
甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正
西方向,求乙船的速度V.(精确到0.1海里/小时)
(参考数据：sin32°≈0.53,cos32°≈0.85,tan32°≈0.62)
解：
由题意可知：OA=16.1×2=32.2(海里)∠1=32°,∠2=58°.
∴OB=OA·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964(海里).
∴∠AOB=180°－(∠1＋∠2)=180°－(32°＋58°)=90°.
由B在A的正西方向,可得：∠A=∠1=32°.
又∵在Rt△AOB中,
即：乙船的速度约为10.0海里/小时.
例3：如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图:请与同伴交流你是怎么想的?怎么去做?
要知道货轮继续向东航行途中有无触礁
的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD＞10海里,则无触礁的危险.
解：
根据题意可知,∠BAD=55°,∠CAD=25°,BC=20海里.设AD=x,
答：货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
D
B
7.（2014,泸州）海中有两个灯塔A、B,其中B位于A的正东方向上,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点C处测得灯塔A在西北方向上,灯塔B在北偏东30°方向上,渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D,这时测得灯塔A在北偏西60°方向上.求灯塔A、B间的距离（计算结果用根号表示,不取近似值）.
由题意可得出：∠FCA＝∠ACN＝45°,
∠NCB＝30°,∠ADE＝60°,
解：
过点A作AF⊥FD,垂足为F,
F
N
∠FAC＝∠FCA＝45°,∠ADF＝30°,
∴AF＝FC＝AN＝NC,设AF＝FC＝x,
答：灯塔A、B间的距离为
则∠FAD＝60°,
本节课我们学习了航海方位角的概念,并学会根据航海实际情景来画航行方位图,将航海问题转化成数学问题来解决.
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5. 三角函数的应用
北师版·九年级数学·下册
第二课时
1.加强对坡度、坡 角、坡面概念的理解,了解坡度与坡面陡峭程度的关系。
2.能解决堤坝等关于斜坡的实际问题,提高解决实际问题的能力。
重点：对堤坝等关于斜坡的实际问题的解决.
难点：对坡度、坡角、坡面概念的理解.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
坡度
坡角
tanα
修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面坡度
(或坡比).记作i,即
坡度通常写成1：m的形式,如
i=1：6.坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,有
显然,坡度越大,坡角α就越大,坡面就越陡.
如图(１),在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)
1.探究活动一
解析：
(1)例题中出现许多术语——株
距,倾斜角,这些概念学生未接触过,比
较生疏,而株距概念又是学生易记错
之处,因此教师最好准备教具：用木
板钉成一斜坡,再在斜坡上钉几个铁钉,利用这种直观教具更容易说明术语,符合学生的思维特点；(2)引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图(2)).已知：Rt△ABC中,∠C=90°,
AC=5.5,∠A=24°,求AB.
解：
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米.
如图,沿AC方向开山修渠,为了加快施工速度,要从小山的另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=52０m,∠D=50°,那么开挖点E离D多远(精确到0.1m),正好能使A、C、E成一条直线？
2.探究活动二
解析：
(1)这是实际施工中经常遇到
的问题.应首先引导学生将实际问题
转化为数学问题；
(2)由题目的已知条件,∠D=50°,
∠ABD=140°,BD=520米,求DE为多少时,A、C、E在一条直线上；
(3)学生观察图形,不难发现,∠E=90°,这样此题就转化为解直角三角形的问题了,全班学生应该能独立准确地完成.
解：
要使A、C、E在同一直线上,则∠ABD是△BDE的一外角.
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°.
∴DE=BD·cosD=520×0.6428=334.25≈334.3(米).
答：开挖点E离D 334.3米,正好能使A、C、E成一直线.
A
A
1:2
A
例1：如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°.
(1)求坡角∠ABC的大小；
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝
共需要多少土石方(结果精确到0.01m3)
解：
如图,过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.
(1)则EC=DE=DCsin45°=
∴∠ABC≈17°8′.
答：坡角ABC约为17°8′.
答：修建这个大坝共需土石方约10182.34m3.
例2：如图,已知缆车行驶线与水平间的夹
角α=30°,β=47°.小明乘缆车上山,从A到B,
再从B到D都走了200米(AB=BD=200米),请根据
所给的数据计算缆车垂直上升的距离.(计算结
果保留整数,以下数据供选用：sin47°≈0.7314,cos47°≈0.6820,tan47°≈1.0724)
分析：
缆车垂直上升的距离分成两段：BC与DF.分别在Rt△ABC和Rt△DBF中求出BC与DF,两者之和即为所求.
在Rt△ABC中,AB=200米,∠BAC=α=30°,
解：
∴BC=AB·sinα=200sin30°=100(米)
在Rt△BDF中,BD=200米,∠DBF=β=47°,
∴DF=BD·sinβ=200·sin47°
≈200×0.7314=146.28(米).
∴BC＋DF=100＋146.28=246.28(米).
答：缆车垂直上升了246.28米.
B
A
作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,
解：
E
F
则四边形BCFE为矩形,BC＝EF＝6,BE＝CF＝20,
在Rt△ABE中,AE＝50米,在Rt△CFD中,
∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋203≈90.6米
解：
本节课从对坡度、坡角、坡面概念的复习,了解坡度与坡面陡峭程度的关系.学会解决堤坝等关于斜坡的实际问题,提高解决实际问题的能力.
(共17张PPT)
6. 利用三角函数测高
北师版·九年级数学·下册
1.了解仰角、俯角的概念,并弄清它们的意义.
2.能将实际问题转化成数学问题,并会利用解直角三角形的知识来解决测量物体的高度等问题.
重点：利用直角三角形的边角关系测量物体的高度.
难点：实际情景和平面图形之间的转化.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
仰角
俯角
(1)如图①,身高1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度,当他站在旗杆影子的顶端B′处时,测得BC=2米,B′C′=8米,则旗杆的高度是6.4米.
(2)如图②,为了测量旗杆的高度,小丽在距离旗杆20m的D处立了一根高3m的标杆CD,然后后奶5m到B处,发现标杆刚好完全遮住了旗杆.若小丽的眼睛离地面高1.5m,则旗杆的高度是9m.
(3)如图③是身高1.4米的小贝设计用手电来测量旗杆高度的示意图.在点E处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜发射后,刚好射到旗杆CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测E=2.1米,ED=12米.那么该旗杆CD的高度是8米.
在测量物体(旗杆)的高度时,除了上述的几种方法处,你还知道有其他的方法吗?能否利用锐角三角函数的知识测量呢?
例如,如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明1m)
你能完成这个任务吗?
解：
如图,根据题意可知,
∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m.求CD的长.
请与同伴交流你是怎么想的?
准备怎么去做?
设CD=x,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,
∴AC=xtan60°,BC=xtan30°,
∴xtan60°－xtan30°=50.
∴43＋1=44(m)
例如,如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明1m)
你能完成这个任务吗?
提示：解决这个问题的方法,我们称为实际问题数学化,这是解决实际问题常用的方法.
请与同伴交流你是怎么想的?
准备怎么去做?
在进行高度测量时,视线与水平线所成角中,当视线在水平线上方时叫做仰角,当视线在水平线下方时叫做俯角.
A
3.5
7tanα
18.5
例1：如下图,已知A、B两点间的距离是160米,从A点看B点的仰角是11°,AC长为1.5米,求BD的高及水平距离CD.
解析：
由A作一条平行于CD的直线交BD于E,构造出Rt△ABE,然后进一步求出AE、BE,进而求出BD与CD.设置此题,既使成绩较好的学生有足够的训练,同时对较差学生又是巩固,达到分层次教学的目的.
过A作AE∥CD,于是有AC=ED,AE=CD.
∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53(米).
∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1(米).
解：
∴BD=BE＋ED=BE＋AC=30.53＋1.5=32.03(米).
CD=AE=157.1(米)
答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米,157.1米.
例2：某商场准备改善原有楼梯的安全性
能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯
的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯
多占多长一段地面?(结果精确到0.1m).
这个问题我们也应该数学化,根据题意可以画图.
解：
如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4m.
(1)AB－BD的长；(2)AD的长.
∴BC=BDsin40°.
∴AB－BD≈4.48－4=0.48(m).
答：调整后的楼梯会加长约0.48m.
例2：某商场准备改善原有楼梯的安全性
能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯
的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯
多占多长一段地面?(结果精确到0.1m).
这个问题我们也应该数学化,根据题意可以画图.
解：
如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4m.
(1)AB－BD的长；(2)AD的长.
答：楼梯多占约0.61米长的一段地面.
由题意可知：BE＝CD＝1.5m,CE＝BD＝17m,
∴AB＝AE＋BE＝29.4＋1.5≈31（m）.
答：茶树王AB的高度约为31m.
解：
根据题意中条件知,∠BDC＝45°,
故设BC＝x米,则CD＝x米,
解：
在Rt△ACD中,∠ADC＝60°,
所以
利用三角函数解应用题时,首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的边和角,然后再运用三角函数知识解题.
