人教版九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程导全章学案(无答案)

第21章 一元二次方程
第1课时 一元二次方程
一、课前预习
1．自学导航 (阅读课本内容,并完成预习内容．)
（1）方程①②③有什么共同特点?
____________________________________．
（2）什么叫一元二次方程？
_________________________________________．
（3）一元二次方程的一般形式是怎样的？
______________________________．
（4）为什么？可以等于0吗？
__________________________________．
(5)将一元二次方程化为一般形式后，指出二次项系数、一次项系数、常数项要注意什么？
__________________________________________．
2．诊断检测
(1) 下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
(2)下面的一元二次方程中，是一般形式的是（ ）
A． B． C． D．
(3)把一元二次方程化成一般形式为_________________,其二次项为_______,一次项系数为________,常数项为____________．
(4) 一个矩形的长比宽多2，面积为80，求矩形的长．若设矩形的长为，则可列方程为_____________,化为一般形式为______________．
（5）在数：，，，，，，，，中，是方程的根是_________．
二、例题解析
例1．判断下列方程是不是一元二次方程？
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
例2．课本的例题
例3． 关于的一元二次方程
的常数项为0，求的值．




三、小结提炼（本节课涉及到的思想方法、重点、难点都有哪些？）
____________________________________________________________________________________．
四、课后练习
【基础训练】
1．下列命题：①方程 一定是关于的一元二次方程；②方程
是一元二次方程； ③方程是一元二次方程；④不是一元二次方程，其中正确的命题是（ ）
A． ①③ B． ②③ C． ③④ D． ③
2．方程的二次项系数、一次项系数、
常数项分别为( )
A． B．
C． D．
3．当 时，方程是一元二次方程；当 时，该方程是一元一次方程．
4．将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1) (2)
(3) (4)








5．有个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，这样共发送了756条信息．
(1)列出关于的方程；
(2)写出方程中的二次项系数、一次项系数和常数项




【能力提升】
6．若是方程的一个根，求
的值．




7．关于的一元二次方程
=0有一根为0，求的值．






【拓展探究】
8．小丽为校合唱队购买服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加一件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元，请问她购买了多少件这种服装？请根据题意列出方程，并化为一元二次方程的一般形式．








9．已知是方程的一个实数根，求代数式的值．










第2课时 配方法（1）
一、课前预习
1．自学导航（阅读课本练习前内容，并完成预习内容．）
（1）书上问题1方程化简后根据什么得出了方程的解？为什么要验证？
__________________________________________．
（2）解一元二次方程的基本思想是什么？_________________________________________．
（3）什么叫直接开平方法解一元二次方程？要把一元二次方程化成怎样的形式？
__________________________________________．
（4）能用直接开平方法求解的一元二次方程的特征是____________________________________．
2．诊断检测
（1）方程的解是_______________．
（2）方程的解是___________．
（3）方程的解是____________．
二、例题解析
例1．解方程：
(1) (2)





例2．解方程：
（1） （2）



例3．解方程：






三、小结提炼（本节课涉及到的思想方法、重点、难点都有哪些？）
____________________________________________________________________________________．
四、课后练习
【基础训练】
1．方程的解是_________________．
2．方程的解是________________．
3．方程的解是________________．
4．解方程：
（1） (2)





（3） (4)




5．解方程：





【能力提升】
6．解下列方程
（1） （2）




（3） （4）




（5）y2＋2y＋1＝24； （6）9n2－24n＋16＝11．



【拓展探究】
7．如果实数满足,那么的值为___________．
8．若为实数，满足
，则关于的方程 的解是______．


第3课时 配方法（2）
一、课前预习
1．自学导航（阅读课本练习前内容，并完成预习内容）
（1）什么叫配方法？
__________________________________________．
（2）对于二次项系数为1的一元二次方程，配方的关键做法是怎样的？
__________________________________________．
(3) 对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配方法解又怎么办？
_________________________________________．
（4）用配方法解一元二次方程的步骤是怎样的？
________________________________________．
_______________________________________．
_________________________________________．
_________________________________________．
2．诊断检测
(1)填空：①
②
③
④
(2)当时，是完全平方式．
(3)用配方法解方程时配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
(4)方程经过配方后为，那么此方程___________(填“有实数解”或“无实数解”)．
二、例题解析
例1、 课本的例1




例2．用配方法比较代数式的值与零的大小关系。






变式1：求证关于代数式的值始终为正。



三、小结提炼（本节课涉及到的思想方法、重点、难点都有哪些？）
____________________________________________________________________________________．
四、课后练习
【基础训练】
1．填空：
①
②
③
④
2．用配方法解方程配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列配方有错误的是（ ）
A．化为
B．化为
C．化为
D．
4．用配方法解方程：
① ②






③ ④







5．已知三角形两边长分别为2和4，第三边的长是方程的解，求这个三角形的周长．

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？





【能力提升】
7． 若一元二次方程的两根为，且，则的值为________
8．已知二次方程有一个根为0．求另一根并确定的值．
【拓展探究】
9． 若,则＝______．
10．二次三项式的值一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定

第4课时 公式法(1)
一、课前预习
1．自学导航（阅读课本练习前内容，并完成预习内容）
（1）什么叫一元二次方程根的判别式？它有什么作用？
_____________________________________________________________________________________．
(2) 一元二次方程的求根公式有怎样的限制条件？
_________________________________________．
(3)什么叫公式法？
___________________________________________
________________________．
（4）用公式法解一元二次方程要注意些什么？
__________________________________________．
（5）用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的？
__________________________________________,_________________________________________．
__________________________________________．
2．诊断检测
（1）用公式法解方程的步骤是：
①化为一般式为______________；
②计算；
③代入求根公式： ；
④写出方程的解：．
（2）方程的解为_______________．
二、例题解析
例1． 用配方法解方程：






例2．课本的例2

三、小结提炼（本节课涉及到的思想方法、重点、难点都有哪些？）
____________________________________________________________________________________．
四、课后练习
【基础训练】
1．当时，代数式的值是-4．
2．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是_______________．
3．将方程化为一般形式是 _______ ，用求根公式求得= ___ ，= ．
4． 用公式法解下列方程:
(1)
(2)



（3）




(4)




(5)




（6）







【能力提升】
关于的一元二次方程为
．（1）求出方程的根(可用含的式子示)；
（2）为何整数时，此方程的两个根都为正整数．












第5课时 公式法(2)
一、课前预习
1．回顾
（1）一元二次方程根的判别式是_________．
当时，______________________________;
当＜0时，_____________________________;
当=0时，________________________________．
2．诊断检测
不解方程，判断方根的情况：
（1） （2）




二、例题解析
例1．（1）下列一元二次方程中无实数解的方程是（ ）
A． B．
C． D．
（2）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．





例2．求证：方程
没有实数根．






例3．若关于的一元二次方程没有实数根，求的取值范围．








三、小结提炼（本节课涉及到的思想方法、重点、难点都有哪些？）
____________________________________________________________________________________．
四、课后练习
【基础训练】
1 ．一元二次方程的根的情况是( )
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
2．关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_________．
3 ．不解方程，判断下列方程根的情况：
（1） （2）




（3） （4）




4．已知关于的方程，求证：方程有两个不相等的实数根．






6．当为何值时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？





【能力提升】
7．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．






【拓展探究】
8．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是_____________________．
9 ．如果关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根，求的取值范围．










第6课时 因式分解法（1）
一、课前预习
1．自学导航（阅读课本练习前内容，完成预习内容）
（1）什么叫因式分解法？
__________________________________________________________________________________．
(2)用因式分解法解一元二次方程，最终要将方程化为怎样的形式？
__________________________________________．
（3）因式分解法的步骤是：_________________
_________________________________________________________________________________________________________________________________2．诊断检测
(1)方程的解是______________．
(2) 方程的根是（ ）
A． 1，-2 B．3，-2 C．0，-2 D．3
(3)用因式分解法解方程时，若将分解为，则的值分别是（ ）
A．3,10 B． C． D．
(4)下列说法正确的是（ ）
A．解方程时，可以两边同除以得方程的解为；
B．解方程时，对比方程两边有，所以；
C．解方程时，只要将两边开平方，方程就变形为，解得；
D．若一元二次方程的常数项为0，则必是它的一个根．
(5) 解一元二次方程用_______法和__________法都较简便．
二、例题解析
例1．课本例3
例2．解方程：
（1）




（2）



（3）





三、小结提炼（本节课涉及到的思想方法、重点、难点都有哪些？）
____________________________________________________________________________________．
四、课后练习
【基础训练】
1．方程 的解是___________．
2．已知关于的方程的一个根是2，则方程的另一个根是______．
3．解方程用______法较简便．
4．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_______．
5．用因式分解法解方程：
(1) (2)




(3) (5)




(4) (6)




【能力提升】
6．关于的两个方程与
有一个解相同，求a的值。




7． 若为实数，且，则．
【拓展探究】
8． 若为实数，且，则．
9． 阅读下列材料, 解答问题:
为解方程, 我们可以将视为一个整体, 然后设 , 则, 原方程化为①
解①得 ， ；当 时,
, ∴ , ∴ =
当 时, , ∴ = 4,
∴= ． ∴原方程的解为:

解答问题 ：
(1)填空：在由原方程得到①的过程中, 利用____法达到了降次的目的，体现了_____的数学思想．
(2)解方程








第7课时 因式分解法（2）
一、课前预习
1．思考：一元二次方程的解法有几种？各种解法你如何根据方程特征进行选择？
2．诊断检测
(1)方程4()= 化成一般形式为______________,其中二次项系数为 ___ ，一次项为 ___ ，常数项为 ___ ．
(2) 若方程有实数解，则的取值范围是_____；用_______法解较简便．
(3)方程用___________法解较简便．
(4)方程用_________法解较简便．
(5)方程一般选择_______法求解．
二、例题解析
例1．灵活选择解法：（填序号）
① ② ③
④⑤ ⑥
⑦ ⑧
⑨
适宜用直接开平方法的是：_____________；
适宜用因式分解法的是：_______________；
适宜用公式法的是 ： _________________；
适宜用配方法的是：___________________．
例2． 用适当的方法解方程：
(1) (2)




(3) (4)





(5)(6)








三、小结提炼（本节课涉及到的思想方法、重点、难点都有哪些？）
____________________________________________________________________________________．
四、课后练习
【基础训练】
1． 方程的解为_______________．
2． 方程的根是____________．
3． 已知在有理数范围内能分解成两个因式的积，则正整数的值是 ___ ．
4． 如果,那么的值是______．
5． 对于任意实数,多项式的值是一个（ ）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定
6．用适当的方法解方程：
(1) (2)




(3) (4)




(5)




【能力提升】
7． 把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
8． 已知在有理数范围内能分解成两个因式的积，则正整数的值是 ．
【拓展探究】
9． 如果,那么的值是______．
10．若规定两数 通过“※”运算, 得到, 即 ※ = , 例如2※6 = 4×2×6 = 48．
(1) 求 3※5的值是________．
(2) 求※ + 2 ※ －2※4 = 0 中的值．





第8课时 一元二次方程的根与系数的关系
一、课前预习
1．自学导航（阅读课本的内容，完成预习内容）
（1）一元二次方程根与系数的关系是怎样的？是由什么推导出来的？
__________________________________________．
(2)韦达定理的结构特征是怎样的？
____________________________________________________________________________________．
2．诊断检测
(1)一元二次方程的两根为和，则，．
（2）已知和是方程的两根，则
的值是_______
(3) 若和是一元二次方程的两根，则的值是_________
(4)已知方程的一个根是，则另一个根是______,的值是______．
(5) 已知的两根，则 ．
二、例题解析
例1．课本的例4
例2． 设、是方程的两个实数根，求：（1）； （2）．










例3．已知是方程的一个根，则方程的另一根是多少？








例4． 已知、是一元二次方程
的两个实数根．（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(2)求使为负整数的实数的整数值．




三、小结提炼（本节课涉及到的思想方法、重点、难点都有哪些？）
____________________________________________________________________________________．
四、课后练习
【基础训练】
1． 若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是________．
2． 若是一元二次方程的两根，且,则的值分别是________．
3． 已知是方程的两根，则代数式的值为( )．
A． 9 B． C． 3 D．5
4． 设，是方程的两个不相等的实数根，的值 ．
5．以3和为根的一元二次方程是___________．
6．方程的两根之比为3:1，则．
7． 已知一元二次方程中,下列命题是真命题的有（ ）个．
①若，则；②若方程两根为－1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根．
A．1 B．2 C．3 D．0
8．已知是关于的方程
的两个不相等的实数根，且满足=
，求的值．









【能力提升】
9．已知是方程的两实数根，求：
（1） （2）


（3）
【拓展探究】
10． 已知满足，
，则＋的值为______．
11．已知关于的一元二次方程
．
（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若是原方程的两根，且，求的值，并求出此时方程的两根．













第9课时 实际问题与一元二次方程（1）
一、课前预习
1．自学导航（阅读课本的内容，完成预习内容）
（1）列方程解应用题的步骤是怎样的？
__________________________________________．
(2)预习探究1，你对类似的传播问题中的数量关系有哪些新的认识？
__________________________________________．
(3)预习探究2，思考：你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应该怎样全面地比较几个对象的变化情况？
__________________________________________________________________________________．


2．诊断检测
(1) 有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有49人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传播了________个人．
（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，那么参加聚会的有_______人．
(3) 某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是________．
(4)某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为,则所列方程为_________________．
二、例题解析
例1．课本的探究1
例2．课本的探究2
例3． 为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9．5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
(1)求每年市政府投资的增长率；
(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．









三、小结提炼（本节课涉及到的思想方法、重点、难点都有哪些？）
____________________________________________________________________________________．
四、课后练习
【基础训练】
1． 某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今、明两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为，则可列方程为_______________________________．
2．某商品连续两次降价10%后的价格为元，该商品的原价应为 ．
3．参加一次足球联赛的每两队之间都要进行两次比赛，共要比赛90场，那么共有____支队伍参赛．
4．已知：问题1，某厂用2年时间把总产值增加了原来的倍，求每年平均增长的百分数；问题2，某厂的总产值用2年的时间在原来万元的基础上增加了万元，求每年平均增长的百分数，问题3，某厂用2年的时间把总产值增加到原来的倍，求每年平均增长的百分数．
设每年平均增长的百分数，那么下面的三个方程：①=， ②=+，
③=+1， 按问题1、2、3的序号排列，相对应的是（ ）．
A．①②③ B．③②① C．①③② D．②①③
5．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？







6． 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？











【能力提升】
7．据某市交通部门统计，2013年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2015年底，全市的汽车拥有量已达21．6万辆。
（1）求2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2016年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2017年底全市汽车拥有量不超过23．196万辆；另据估计，该市从2016年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%。假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。












【拓展探究】
8．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉
机一月份的产量．















第10课时 实际问题与一元二次方程（2）
一、课前预习
1．自学导航（阅读课本的内容，完成预习内容）
（1）回忆：学过几何图形的面积公式：
__________________________________________
__________________________________________．
(2)预习探究3，思考：方程两个根都是正数，它都符合题意吗？为什么？
__________________________________________．
2．诊断检测
(1)梯形的下底比上底长3，高比上底短1，面积为26，如果设上底为，那么可列出的方程_______．
(2)一块长80、宽60的矩形薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为的小正形，然后做成底面积为1500的没有盖的长方体盒子，根据题意列方程并整理成一般形式为___________．　
(3) 如图21-1所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144平方米,求甬路的宽度?




图21-1









二、例题解析
例1．课本上的探究3
例2． 如图21-2，要设计一幅宽20，长30的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:1，如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？













例3．如图21-3，有长为32米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），围成一个长方形花圃，并在与墙平行的一边开一个1米宽的门。
（1）设长方形靠墙的宽为米，试用表示长方形的长，并写出的取值范围；
（2）现在建一个面积为130m2的花圃，求的值；（3）当为多少时，花圃的面积最大？

图21-3










三、小结提炼（本节课涉及到的思想方法、重点、难点都有哪些？）
____________________________________________________________________________________．
四、课后练习
【基础训练】
1．直角三角形的两条直角边的和为15，面积为25，则斜边为_________．
2．从一块正方形的木板上锯掉一块宽的长方形木条，若剩下部分的面积为48，则原正方形木板的面积为（ ）．
A．8 B．48 C．64 D．96
3．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为步，列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．餐桌桌面是长160、宽100的长方形，妈妈设计了一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．小妹设四周垂下的边宽为，则应列方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．如图21-4,某农户为了发展养殖业,准备利用一段墙( 墙长18米)和55米长的竹篱笆围成三个相连且面积相等的长方形鸡、鸭、鹅场各一个．问:( 1)如果鸡、鸭、鹅场总面积为150米2,那么有几种围法?；(2)如果需要围成的养殖场的面积尽可能大,那么又应怎样围,最大面积是多少?

图21-4











6．已知：如图21-5所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=7．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4？
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2?说明理由．

图21-5






【能力提升】
7．如图21-6,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作AF∥BD,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF． AG=13,CF=6,四边形BDFG周长是_______．





图21-6
【拓展探究】
2．如图21-7，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=
30°，OB=8，以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E，再将四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长。





图21-7








第11课时 实际问题与一元二次方程（3）
一、课前预习
1．诊断检测
(1)一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是______________．
(2)一个多边形有14条对角线，则这个多边形是________边形．
（3）李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程11公里，应收29．10元”．出租车司机说：“请付29．10元．”该城市的出租车收费标准按下表计算:
里程（公里） 06
价格（元） N
请求出起步价N（N<12）是_______元．
二、例题解析
例1．重百商场服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？












例2．某电厂规定：该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月每户只要交10元用电费，如果超过A度，则这个月除了仍要交10元用电费，超过部分还要按每度元交费．
（1）该厂某户居民王东2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应交电费_______元（用A表示）．
（2）下表是这户居民3月、4月份的用电情况和交费情况．
月份 用电量（度） 交电费总数（元）
3月 80 25
4月 45 10
根据上表的数据，求该厂规定的A度为多少？




例3．某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出汽车的进价均降低0．1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0．5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元。
（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为________元．
（2）如果汽车的销售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？
（盈利=销售利润+返利）













三、小结提炼（本节课涉及到的思想方法、重点、难点都有哪些？）
____________________________________________________________________________________．
四、课后练习
【基础训练】
1．一个产品原价为元，受市场经济的影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_____%．
2．某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，最后总共用4天完成了任务，则改进操作方法后，每天生产_____件产品．
3．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量．试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量会减少2个，如果要使产量增加15．2%，那么应多种______棵桃树．
4．一个容器盛满纯药液63升，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28升，设每次倒出液体升，则列出的方程是________．
5．某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小西瓜每降价0．1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共24元。该经营户要想每天盈利200元，则应将每千克的小型西瓜的售价降低多少元？












6．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．
（1）填表(不需要化简)
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价(元) 80 40
销售量(件) 200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？










【能力提升】
7．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为元（＞40），请你分别用的代数式来表示销售量件和销售该品牌玩具获得利润元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元）
销售量（件）
销售玩具获得利润（元）
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价应定为多少元．
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？







【拓展探究】
利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7．5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。
（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。





第12课时 一元二次方程复习（1）
一、前测
1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为 (? ?)
A．?? B．?
C? D．
2．关于x的一元二次方程x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．－1 C．1或－1 D．0．5
3．一元二次方程x2-4=0的解是（ ）
A．x=2 B．x=-2
C．x1=2，x2=-2 D．x1=，x2=
二、知识梳理
知识点一：一元二次方程定义
概念：只含有一个未知数，并且可以化为 (为常数，)的整式方程叫一元二次方程。
构成一元二次方程的三个重要条件：
①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。
②、只含有一个未知数。
③、未知数的最高次数是2次。

知识点二：方程的解法
1、明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；
2、根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；

3、开平方法：
对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解．
形如的方程的解法：
当时，;
当时，;当时，方程无实数根。
4、配方法：
通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；
④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。
5、公式法：
一元二次方程的根
当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；
当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为；
当时，方程无实数根．
公式法的一般步骤：
①把一元二次方程化为一般式；
②确定a,b,c的值；
③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；
④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）
6、因式分解法：
①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则；
②因式分解法的一般步骤：
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。
三、典例解析
例1．已知关于x的方程．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．






例2．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad-bc，上述记号就叫做2阶行列式．若=6，则x=? ???．
例3．用适当的方法解下列方程：
（1）x2-8x=20； （2）2x2-6x-1=0：



（3）； （4）（x-2）2-4（x-2）=-4．






四、小结提炼（本节课涉及到的思想方法、重点、难点都有哪些？）
____________________________________________________________________________________．
五、课后练习
【基础训练】
1、已知关于x的方程：（1）ax2+bx+c=0；（2）x2-4x=8+x2；（3）1+（x-1）（x+1）=0；（4）（k2+1）x2+kx+1=0中，一元二次方程的个数为（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2、关于x的方程ax2-3x+3=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a≠0 C．a=1 D．a≥0
3、若m是一元二次方程x2-5x-2=0的一个实数根，则2014-m2+5m的值是（ 　）
A、2012 B、2013 C、2014 D、2015
4、关于x的方程(m＋1)x2＋2mx－3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．任意实数 B．m≠－1 C．m＞1 D．m＞0
5、用配方法解方程x2-6x+2=0时，下列配方正确的是（ ）
A．（x-3）2=9 B．（x-3）2=7
C．（x-9）2=9 D．（x-9）2=7
6、已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为（　　）
A．10 B．14
C．10或14 D．8或10
7、已知点A（m2-5，2m+3）在第三象限角平分线上，则m=（ ）
A．4 B．-1 C．4或-2 D．-2
8．解方程：
（1）（x+1）2-4=0 （2）3（x-2）=5x（x-2）．




（3）2x2-5x+1=0 （4）x2-4x+3=0．




【能力提升】
9． 已知关于x的一元二次方程ax2-bx-6=0与ax2+2bx-15=0都有一个根是3，试求出a、b的值，并分别求出两个方程的另一个根．





【拓展探究】
10．试证明关于x的方程（a2-8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．









11．x2a+b-2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值．










第13课时 一元二次方程复习（2）
一、前测
1、某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为 （ ）
A．15%?? B．20%??? C．5%??? D．25%
2． 同学聚会，大家见面，所有人互赠小礼物，共有礼物90件．设x人参加聚会，列方程为（ ）
A． B． C．x（x+1）=90 D．x（x-1）=90
3． 元旦期间，一个小组有若干人，他们之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则这个小组共有（? ?）人
A．11 B．12 C?．13??? D、14
4． 商场服装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六?一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装共盈利1200元，设每件童装降价x元，那么应满足的方程是（ ）
A．（40+x）（20-2x）=1200
B．（40-2x）（20+x）=1200
C．（40-x）（20+2x）=1200
D．（40+2x）（20-x）=1200
二、知识梳理
知识点一：由实际问题抽象出一元二次方程
一元二次方程在生活和生产中有着广泛的应用。
在应用一元二次方程解决实际问题时，关键是注意数量关系的分析后找出相等关系。再设适当的未知数列出方程。得到方程的解后，还必须检验是否符合题意。
知识点二：方程应用题
列一元二方程解应用题的一般步骤：
①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式
④“解”就是求出说列方程的解；
⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程
注意：在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。
知识点三：常考应用题类型
（1）增长率问题：一般有变化前的基数（），增长率（），变化的次数（），变化后的基数（）,这四者之间的关系可以用公式表示。
（2）传播问题：
（3）比赛问题：
（4）销售问题：1、单件利润=单件进价
2、总利润=单件利润销售量
（5）面积问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。
（6）运动问题、动点问题 ; （7）其它问题：
三、典例解析
例1．广东省某市政府为了做到“居者有其屋”，加快了廉租房的建设力度，2016年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2018年底三年共累计投资9．5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
①求每年市政府投资的增长率．
②若这两年内的建设成本不变，求到2018年底共建设了多少平方米廉租房．






变式练习：
某市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商给予以下两种优惠方案供其选择：①打9．8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费每平方米每月1．5元，请问哪种方案更优惠？
例2． 某超市在销售中发现：某种新年吉祥物品平均每天可售出20套，每套盈利40元。为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套。要想平均每天在销售这种吉祥物上盈利1200元，那么每套应降价多少？





变式练习：
某商场进价为每件40元的商品，按每件50元出售时，每天可卖出500件．如果这种商品每件涨价1元，那么平均每天少卖出10件．当要求售价不高于每件70元时，要想每天获得8000元的利润，那么该商品每件应涨价多少元？







例3． 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m）另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m2吗？
（2）鸡场的面积能达到250m2吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．








四、小结提炼（本节课涉及到的思想方法、重点、难点都有哪些？）
____________________________________________________________________________________．
五、课后练习
【基础训练】
1． 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x2）=196
B．50+50（1+x2）=196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196
D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196
2． 某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（? ?）
A．19%????B．20%????C．21%?? D．22%
3．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．如果不及时控制，将按与前面相同的速率递增，则第三轮将又有?? ?人被传染?．
4． 若干个同学在一起聚会，彼此互相握手问候，共握了36次手，那么参加这次聚会的共有?? ??个同学．
5．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0．1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低（　　）元．
A．0．2或0．3 B．0．4
C．0．3 D．0．2
6． 某市为争创全国文明卫生城，2016年市政府对市区绿化工程投入的资金是2 000万元，2018年投入的资金是2 420万元，且从2016年到2018年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同．
（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；
（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2020年需投入多少万元




7． 随着人们生活水平的提高，老百姓对高档水果的需求是越来越高，某超市通调查发现某种进货价为40元/千克的进口水果按50元/千克出售时，能售500千克，而该进口水果每千克涨价1元，其销售量就减少10千克，为了赚8000元利润，并使顾客尽量获得实惠．该种进口水果的售价应定为多少元/千克？这时应进货多少千克？





8． 如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为???? 米．




【能力提升】
9． 经市场调查发现，某种进货价格为30元的书包以40元的价格出售时，平均每月售出600个，并且书包的售价每提高1元，某月销售量就减少10个，某商场计划购进一批这种书包．当商场每月有10000元的销售利润时，
（1）书包的售价应为多少元？
（2）书包的月销售量为多少个？
（3）为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？








【拓展探究】
10． 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：
（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．



图21-2