第六章 平面向量及其应用
6.3.1平面向量基本定理
理解平面向量基本定理及其意义；
会用平面向量基本定理解决有关向量问题.
平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任一向量，__________实数，使__________.
基底：若__________，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个__________.
在中，，，若分别在边上，且，.则向量表示（ ） A. B. C. D.
如图，向量，的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底表示为（ ）
A. B. C. D.
下面三种说法：
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量．
其中正确的说法是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与.
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
如图所示，向量可用向量表示为___________.
中，D为重心，以，为一组基底，可表示___________.
已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，设，试用基底表示和.
答案
基础梳理
不共线；有且只有一对；.
不共线；基底.
随堂训练
答案：A
解析：如图所示，，
因为，所以.
所以.
所以.故选A.
答案：C
解析：如图，.故选C.
答案：B
解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故选B.
答案：B
解析：①与不共线；②，则与共线；③与不共线；④，则与共线.由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意.故选B.
答案：
解析：由图可知，.
6.答案：
解析：根据D是三角形重心，可得D是三角形中线BE的一个三等分点，即，由此结合平面向量的线性运算法则，可得，再根据E是AC中点化简整理，即可得到用，表示的式子.
7.解：，，
，
，
，
.
第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
教学目标
理解平面向量基本定理及其意义；
会用平面向量基本定理解决有关向量问题.
教学重难点
教学重点
平面向量基本定理及其应用.
教学难点
平面向量基本定理的理解及应用.
教学过程
新课导入
复习：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
根据这一定理，我们知道，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.那么，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？
探索新知
已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.如图，通过作平行四边形，可以将力分解为多组大小、方向不同的分力.
问题1 类比力的分解，能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和？
问题2 如图（1），设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量.如图（2），在平面内任取一点O，作.将按的方向分解，能发现什么？
如图，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，则.由与共线，与共线可得，存在实数，使得，所以.也就是说，与都不共线的向量都可以表示成的形式.
问题3 当是与或共线的非零向量时，是否也可以表示成的形式？当是零向量呢？（可以）
平面内任一向量都可以按的方向分解，表示成的形式，而且这种表示形式是唯一的.事实上，如果还可以表示成的形式，那么.可得.假设，不全为0，不妨假设，则.由此可得共线.这与已知不共线矛盾，由此可推出，全为0，即，.也就是说，有且只有一对实数，使.
平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.
基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
任一向量都可以由同一个基底唯一表示.
例1（课本P26）
例2（课本P26）
（三）课堂练习
在中，，，若分别在边上，且，.则向量表示( ) A. B. C. D.
答案：A
解析：如图所示，，
因为，所以.
所以.
所以.故选A.
设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与.
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
答案：B
解析：①与不共线；②，则与共线；③与不共线；④，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．故选B.
已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，设，试用基底表示和.
答案：，，
，
，
，
.
小结作业
小结：
平面向量基本定理及其应用.
作业：
板书设计
6.3.1 平面向量基本定理
平面向量基本定理；
基底.
课件14张PPT。6.3 平面向量基本定理及坐标表示第六章 平面向量及其应用6.3.1 平面向量基本定理学习目标：
1. 理解平面向量基本定理及其意义；
2.会用平面向量基本定理解决有关向量问题.
教学重点：
平面向量基本定理及其应用.
教学难点：
平面向量基本定理的理解及应用.想一想：??思考 根据这一定理，我们知道，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.那么，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？???????平面向量基本定理：?基底：任一向量都可以由同一个基底唯一表示.????练一练?A?练一练??B练一练??课堂小结
——你学到了那些新知识呢？平面向量基本定理；
基底.
