(共41张PPT)
第2章 圆
2.1 圆的对称性
【知识再现】
1.轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两
旁的部分能够完全_________,这样的图形叫作轴对称
图形.?
重合
2.中心对称图形:在同一平面内,如果把一个图形绕某
一点旋转________度,旋转后的图形能和原图形完全重
合,那么这个图形就叫作中心对称图形.?
180
【新知预习】阅读教材P43-45,学习圆的有关概念并
填空:
1.圆的定义
(1)圆的动态定义:在一个平面内,线段
OA绕它固定的一个端点O_____________,
另一个端点A所形成的图形.?
旋转一周
①固定的端点O叫作_________,线段OA的长度叫作
_________.?
②圆的记法和读法:以点O为圆心的圆记作“________”,
读作“________”.?
(2)圆的静态定义:圆可以看成是到_________的距离等
于_________的点的集合.?
圆心
半径
☉O
圆O
定点
定长
2.圆的相关概念
3.点与圆的位置关系
若点P与圆心的距离为d,圆的半径为r,则点与圆的三种位置关系如表:
<
<
=
=
>
>
点与圆的位置关系 数量关系 数学语言描述
点在圆内 d______r? d______r ?点在圆内?
点在圆上 d______r? d______r ?点在圆上?
点在圆外 d______r? d______r ?点在圆外?
4.圆的对称性
(1)圆是中心对称图形,_________是它的对称中心.?
(2)圆是轴对称图形,任意一条_________所在的直线都是圆的对称轴.?
圆心
直径
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.以已知点O为圆心,已知线段长a为半径作圆,可以
作 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.无数个
A
2.下列命题中正确的有 ( )
①弦是圆上任意两点之间的部分;②半径是弦;③直径是最长的弦;④弧是半圆,半圆是弧.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
3.已知☉O的半径是5,点A到圆心O的距离是7,则点A与
☉O的位置关系是 ( )
A.点A在☉O上
B.点A在☉O内
C.点A在☉O外
D.点A与圆心O重合
C
知识点一 圆的有关概念及应用(P44探究拓展)
【典例1】如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.
【自主解答】连接OC,OD,∵OC=OD,
∴∠C=∠D,又∵CE=DF.
∴△OCE≌△ODF,∴OE=OF,
∴△OEF是等腰三角形.
【学霸提醒】
圆中易混概念
1.弦与直径的区别:直径是最长的弦,但弦不一定是直径,半径不是弦.
2.弧与半圆的区别:半圆是弧,是整圆的一半,但不是最长的弧,同时弧不一定是半圆.
【题组训练】
1.(2019·通州区模拟)☉O中,直径AB=a,弦CD=b,则a
与b大小为 ( )
A.a>b B.a≥b C.a
B
★2.如图,在☉O中,弦的条数是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.以上均不正确
C
★3.如图,☉O的半径为1,分别以☉O的
直径AB上的两个四等分点O1,O2为圆心,
为半径作圆,则图中阴影部分的面
积为( )
A.π B. π C. π D.2π
B
★4.如图,AB是半圆O的直径,D是半圆上的一点,∠DOB =75°,DC交BA的延长线于E,交半圆于C,且CE=AO,求∠E
的度数.
解:连接OC,如图,
∵CE=AO,
而OA=OC,∴OC=EC,
∴∠E=∠1,
∴∠2=∠E+∠1=2∠E,
∵OC=OD,∴∠D=∠2=2∠E,
∵∠BOD=∠E+∠D,
∴∠E+2∠E=75°,∴∠E=25°.
★★5.如图,在☉O中,AB为弦,C,D在AB上,且AC=BD,请问图中有几个等腰三角形?把它们分别写出来,并说明理由.
解:等腰三角形有两个:△OAB,△OCD.
理由:∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.
∴∠A=∠B.又∵AC=BD,OA=OB,
∴△OAC≌△OBD.∴OC=OD.
∴△OCD是等腰三角形.
知识点二 点与圆的位置关系(P46T3拓展)
【典例2】如图,☉M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),
点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交
于A,B两点,若点A,点B关于原点O对称,则AB的最小值
为 ( )
C
A.3 B.4 C.6 D.8
【思路点拨】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,连接OM,交☉M于点P′,当点P位于P′位置时,OP′取得最小值,据此求解可得.
【学霸提醒】
判断点与圆的位置关系的步骤
1.求点到圆心的距离d.
2.比较d与r的大小.
【题组训练】
1.到圆心的距离不大于半径的点的集合是( )
A.圆的外部 B.圆的内部
C.圆 D.圆的内部和圆
D
★2.若点B(a,0)在以点A(-1,0)为圆心,2为半径的圆
外,则a的取值范围为 ( )
A.-3C.a>1 D.a<-3或a>1
D
★3.已知矩形ABCD的边AB=6,AD=8.如果以点A为圆心作
☉A,使B,C,D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点,
那么☉A的半径r的取值范围是( )
A.6C.6A
★★4.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3 cm,AC=4 cm,以B为圆心,以BC为半径作☉B,问点A,C及AB,AC的中点D,E与☉B有怎样的位置关系?
略
【火眼金睛】
若☉O的半径为4,点P到☉O上一点的最短距离为2,求点P到☉O上一点的最长距离.
正解:如图所示:当点P在☉O内时,点P到☉O上一点的最长距离为4×2-2=6;当点P在☉O外时,点P到☉O上一点的最长距离为4×2+2=10.
【一题多变】
如图,点M,N在半圆的直径AB上,点P,Q在 上,四边形
MNPQ为正方形.若半圆的半径为 ,则正方形的边长
为______.?
2
【母题变式】
【变式一】(变换问法)如图,已知半圆O的半径为 .
正方形DEFG和正方形ECNM彼此相邻且内接于半圆O,则
这两个正方形的边长分别是________,其面积之和为
______.?
2,1
5
【变式二】如图1,半圆O的半径r=5 cm,点N是半径AO上的一个动点,N从点A出发,沿AO方向以1 cm/s的速度向点O运动,过点N作MN⊥AB,交半圆O于点M,设运动时间为t s.
(1)当t等于多少时,MN=3 cm.
(2)如图2,以MN为边在半圆O内部作正方形MNPQ,使得点P落在AB上,点Q落在半圆内(或半圆上),设正方形MNPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.
解:(1)如图,连接OM,
由题意知AN=t,
则ON=5-t,
∴MN=
当MN=3时,得 =3,
解得:t=1或t=9,又∵t≤5,∴t=1.
答:当t等于1时,MN=3 cm.
(2)由(1)知,MN= ,
∴S=MN2=-t2+10t,
如图,连接OM,OQ,
则OM=OQ,
在Rt△OMN和Rt△OQP中,
∵
∴Rt△OMN≌Rt△OQP,
∴ON=OP= NP= MN,即2ON=MN,
∴2(5-t)= ,
解得:t=5+ >5(舍)或t=5- ,又∵t>0,
∴0(共30张PPT)
2.2 圆心角、圆周角
2.2.1 圆心角
【知识再现】
(1)圆是轴_________图形,任何一条_________所在直
线都是它的对称轴.?
(2)圆又是_________对称图形,它的对称中心是_____.?
对称
直径
中心
圆心
(3)等圆概念:能够_________的圆叫作等圆,同圆或等
圆的半径_________.?
重合
相等
【新知预习】阅读教材P47-48,学习相关知识点并填空:
如图,在☉O中,若∠AOB=∠BOC,则_______________?
若 ,则________________,__________.?
若AB=BC,则__________,________________.?
∠AOB=∠BOC
AB=BC
∠AOB=∠BOC
1.圆心角
顶点在_________,角的两边与圆相交的角叫作圆心角.?
圆心
2.圆心角、弧、弦的关系
(1)在同圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧
_________,所对的弦也_________.?
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧和两
条弦中有一组量_________,那么它们所对应的其余各
组量都分别_________.?
相等
相等
相等
相等
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列说法中,正确的是 ( )
A.等弦所对的弧相等
B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等,所对的弦相等
D.弦相等,所对的圆心角相等
B
2.如图,A,B,C,D是☉O上的四点,且AD=BC,则AB与CD的
大小关系为 ( )
A.AB>CD
B.AB=CD
C.ABD.不能确定
B
知识点一 弧、弦、圆心角之间的关系(P47动脑筋
拓展)
【典例1】已知,如图,∠AOB=∠COD,
下列结论不一定成立的是( )
D
A.AB=CD
B.
C.△AOB≌△COD
D.△AOB,△COD都是等边三角形
【思路点拨】根据圆心角、弧、弦之间的关系,由∠AOB=∠COD,可得弦相等,弧相等以及三角形全等.
【学霸提醒】
“知一推二”及三限定
1.“知一推二”
在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦这三组量中有一组量相等,其余的各组量也相等,简称“知一推二”.
2.三限定
(1)当知两个圆心角相等时,必须限定同圆或等圆.
(2)当两弦相等推圆心角相等时,必须限定同圆或等圆.
(3)当两弦相等推弧相等时,除了限定同圆或等圆之外,还要限定两弧是同一类弧.
【题组训练】
1.下面四个图中的角,是圆心角的是( )
D
2.(易错警示题)下列说法:
①相等的圆心角所对的弧相等;
②长度相等的弧所对的弦相等;
③相等的弦所对的弧相等;
④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的个数
有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
知识点二 弧、弦、圆心角之间的关系的应用 (P49练习1拓展)
【典例2】如图,已知点D,E分别为半径
OA,OB的中点,点C为 的中点.试问CD
与CE是否相等?说明你的理由.
【自主解答】相等.理由如下:
连接OC.
∵点D,E分别为☉O的半径OA,OB的中点,
∴OD= AO,OE= BO.
∵OA=OB,∴OD=OE.
∵点C是 的中点,
∴
∴∠AOC =∠BOC.
∴△DCO ≌△ECO(SAS).∴CD=CE.
【题组训练】
1.如图,AB是☉O的直径, ∠COD=38°,
则∠AEO的度数是 ( )
A.52° B.57° C.66° D.78°
B
2.如图,在☉O中,点C是 的中点,∠A=50°,则∠BOC
等于_______度.?
40
★3.如图,已知☉O的半径为5,弦AB,
CD所对的圆心角分别是∠AOB,∠COD,
若∠AOB与∠COD互补,弦CD=6,则弦
AB的长为 ( )
A.6 B.8 C.5 D.5
B
【我要做学霸】
同一圆中证明两弦相等的“四种方法”
1.若两弦位于两个不同的三角形,证明两弦所在的三角
形_________.?
全等
2.若两弦位于同一个三角形中,根据_______________
证明两弦相等.?
3.证明两弦所对的_______相等.?
4.证明两弦所对的___________相等.?
等角对等边
弧
圆心角
【火眼金睛】
在☉O中,若AB=2CD,则 的大小关系是( )
正解:选A.如图所示,CD=DE,AB=2CD,
在△CDE中,
∵CD=DE,
∴CE即CE<2CD=AB,
∴CE∴
【一题多解】
如图所示,已知AB是☉O的直径,M,N分别是OA,OB的中
点,CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M,N.求证:
【证明】方法一(利用三角形全等):如图①所示,连接OC,OD,
则OC=OD.
∵OA=OB,
又∵M,N分别是OA,OB的中点,
∴OM=ON.
又∵CM⊥AB,DN⊥AB,
∴∠CMO=∠DNO=90°.
∴Rt△CMO≌Rt△DNO.
∴∠1=∠2.∴
方法二(利用圆的对称性):
略
(共27张PPT)
2.2.2 圆 周 角
第1课时
【知识再现】
在同圆或等圆中,如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中
有一组量_________,那么它们所对应的其余各组量也
分别相等.?
相等
如图所示,在☉O中,AC,BC是弦,根据条件填空:
(1)若AC=BC,则_______________________.?
(2)若 则______________________.?
(3)若∠AOC=∠BOC,则_________________.?
AC=BC,∠AOC=∠BOC
【新知预习】阅读教材P49-52,学习相关知识点并填空:
圆上
相交
一半 ?
相等
圆周角概念 顶点在_________,并且两边都与
圆_________的角?
圆周角定理 圆周角的度数等于它所对的弧上
的圆心角度数的_________
圆周角与弧之间的关系 在同圆或等圆中,同弧或等弧所
对的圆周角_________,相等的圆
周角所对的弧相等?
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图所示,点A,B,C在圆O上,∠A=64°,则∠BOC的
度数是 ( )
A.26° B.116°
C.128° D.154°
C
2.如图,☉O中,弦AB,CD相交于点P,若∠A=30°,
∠APD=70°,则∠B等于 ( )
A.30° B.35°
C.40° D.50°
C
知识点一 圆周角定理(P52例2拓展)
【典例1】如图,点A,B,C,D在☉O上,
∠AOC=140°,点B是 的中点,则
∠D的度数是 ( )
A.70° B.55° C.35.5° D.35°
D
【题组训练】
1.如图,点A,B,C在☉O上,∠ACB=35°,
则∠AOB的度数是 ( )
A.75° B.70°
C.65° D.35°
B
★2.(2019·甘肃中考)如图,AB是
☉O的直径,点C,D是圆上两点,且
∠AOC=126°,则∠CDB= ( )
A.54° B.64° C.27° D.37°
C
★3.(2019·武威中考)如图,点A,B,S在圆上,若弦AB的
长度等于圆半径的 倍,则∠ASB的度数是 ( )
A.22.5° B.30° C.45° D.60°
C
★★4.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,且∠APD= 60°,∠COB=30°.求∠ABD的度数.
解:∵∠COB=30°,
∴∠CDB= ∠COB=15°.
∵∠APD=∠CDB+∠ABD=60°,
∴∠ABD=45°.
【我要做学霸】
求圆周角的两种方法
1.利用圆周角等于它所对的弧上的_________角度数
的_________求解.?
2.利用同弧所对的圆周角_________进行角与角之间
的相互转化.?
圆心
一半
相等
知识点二 圆周角与弧的关系(P52练习第2题拓展)
【典例2】如图,点A,B,C,D在☉O上, ∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=_________.?
70°
【学霸提醒】
利用圆周角与弧的关系证明时常用的思路
1.在同圆或等圆中,要证两条弧相等,考虑证明这两条弧所对的圆周角相等.
2.在同圆或等圆中,要证两个圆周角相等,考虑证明这两个圆周角所对的弧相等.
【题组训练】
1.如图,A,B,C,D是☉O上的四个点,
∠A=60°, ∠B=24°,则∠C的度
数为 ( )
A.84° B.60° C.36° D.24°
D
2.如图,点A,B,C,D分别在☉O上, 若∠AOB=
40°,则∠ADC的大小是_______度.?
20
★3.如图,在☉O中,A,C,D,B是☉O上
四点,OC,OD交AB于E,F,且AE=BF.下
列结论不正确的是 世纪金榜导
学号( )
A.OE=OF B.
C.AC=CD=DB D.CD∥AB
C
★★4.如图,点A,B,C三点在☉O上,过C作CD∥AB与☉O
相交于D点,E是 上一点,且满足AD=DE,连接BD与AE
相交于点F.求证:△AFD∽△ABC.
【证明】∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.
∵AD=DE,∴ .∴∠DAE=∠AED.
∴∠DAE=∠AED=∠ACD=∠BAC.
∵∠ADF=∠ACB,∠DAE=∠BAC,
∴△AFD∽△ABC.
【火眼金睛】
已知A,B,C三点都在☉O上,若☉O的半径为4 cm,弦BC为4 cm,求∠A的度数.
正解:当点A在优弧 上时,
如图,连接OB,OC.
过点O作OD⊥BC于点D.
则BD= BC=2 cm.
∵OB=4 cm,BD=2 cm,
∴∠BOD=30°,∴∠BOC=60°,
∴∠A= ∠BOC= ×60°=30°.
当点A在劣弧 上时,此时∠BAC=150°,
∴∠A的度数是30°或150°.
【一题多变】
如图,☉O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若
∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是( )
A.25° B.27.5° C.30° D.35°
D
【母题变式】
【变式一】如图,☉O的半径为5,AB为弦,
点C为 的中点,若∠ABC=30°,则弦
AB的长为 ( )
A. B.5 C. D.5
D
【变式二】如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半
径为1的☉O在格点上,则∠AED的正切值为____.?
【变式三】如图,将☉O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心
O,点P是优弧 上一点,则∠APB的度数为_______. ?
60°
(共32张PPT)
2.2.2 圆 周 角
第2课时
【知识再现】
(1)多边形内角和公式是_______________,外角和为
__________.?
180°(n-2)
360°
(2)在同一圆中,一条弧所对的圆周角等于_________
_________圆心角_______________.?
(3)在同圆或等圆中,_______________所对的圆周角
_________.?
它所对
弧上的
度数的一半
同弧或等弧
相等
【新知预习】阅读教材P53-55,学习相关知识点并填空:
1.直径与90°的圆周角的关系
(1)直径所对的圆周角是_________.?
(2)90°的圆周角的所对的弦是_________.?
直角
直径
2.圆内接四边形的相关概念
如果一个多边形的___________
都在同一个圆上,这个多边形叫作
_________________,这个圆叫作
这个多边形的___________.如图中的四边形ABCD叫
作☉O的_______________,而☉O叫作四边形ABCD的
___________.?
所有顶点
圆内接多边形
外接圆
内接四边形
外接圆
3.圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角_________.?
互补
【基础小练】
请自我检测一下预习效果吧!
1.如图,在以AB为直径的半圆O中,C是它的中点,若
AC=2,则△ABC的面积是 ( )
A.1.5 B.2
C.3 D.4
B
2.已知圆内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,
则∠D的大小是 ( )
A.45° B.60°
C.90° D.135°
C
知识点一 直径与圆周角的关系(P54例3拓展)
【典例1】如图,☉C过原点,与x轴、y轴
分别交于A、D两点.已知∠OBA=30°,点D
的坐标为(0,2),则☉C的半径是( )
B
【学霸提醒】
直径和圆周角关系的解题技巧
1.见到直径想直角.
2.圆中直角对直径.
3.在解题中注意与勾股定理、锐角三角函数等的综合应用.
【题组训练】
1.如图,BC是☉O的直径,A是☉O上的一点,∠OAC=32°,
则∠B的度数是 ( )
A.58° B.60° C.64° D.68°
A
★2.(2019·聊城中考)如图,BC是半圆
O的直径,D,E是 上两点,连接BD,CE
并延长交于点A,连接OD,OE.如果∠A=
70°,那么∠DOE的度数为 ( )
A.35° B.38° C.40° D.42°
C
★3.(2019·北京一模)如图,AB为☉O的直径,C,D,E为
☉O上的点, ,∠ABD=60°,则∠CEB=_______°. ?
60
★★4.AB为半圆O的直径,现将一块等腰直角三角板如
图放置,锐角顶点P在半圆上,斜边过点B,一条直角边交
该半圆于点Q,若AB=2,则线段BQ的长为_____. 世纪金
榜导学号?
知识点二 圆内接四边形(P55例4拓展)
【典例2】如图,四边形ABCD内接于☉O,AC与BD为对角线,∠BCA=∠BAD,过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E.求证:EC=AC.
【尝试解答】∵BC∥AE,
∴∠ACB= ∠EAC , ………………平行线性质?
∵∠ACB=∠BAD,
∴∠EAC= ∠BAD , …………………等量代换?
∴∠EAD=∠CAB,
∵∠ADE+∠ADC=180°, ……………………平角定义
∠ADC+∠ABC= 180° , ………圆内接四边形性质?
∴∠ADE= ∠ABC , ………………………等式性质?
∵∠EAD+∠ADE+∠E= 180° ,?
……………………………………三角形内角和定理
∠BAC+∠ABC+∠ACB= 180° ,?
……………………………………三角形内角和定理
∴∠E=∠ACB=∠EAC, ……………………等式性质
∴CE=CA. …………………………等腰三角形判定
【题组训练】
1.如图所示,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BCD =120°,则∠BOD的大小是 ( )
A.80° B.120° C.100° D.90°
B
★2.(2019·青岛模拟)如图,四边形ABCD内接于☉O,F
是 上一点,且 ,连接CF并延长交AD的延长线
于点E,连接AC,若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度
数为 ( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
B
★★3.如图,ABCD是圆O的内接四边形,BC是圆O的直
径,∠ACB=20°,点D为 的中点,求∠DAC的度数.
解:∵BC为圆O的直径,
∴∠BAC=90°,∵∠ACB=20°,
∴∠B=90°-20°=70°.
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形,
∴∠B+∠D=180°,
∴∠D=110°.
∵点D为 的中点,
∴
∴∠DAC=35°.
【我要做学霸】
圆内接四边形的角的“三种关系”
1.对角_________,若四边形ABCD为☉O的内接四边形,
则∠A+∠C=__________,?
∠B+∠D=__________.?
互补
180°
180°
2.四个角的和是__________,若四边形ABCD为☉O的内
接四边形,则∠A+∠B+∠C+∠D=__________.?
3.任一外角与其相邻的内角的对角_________,简称圆
内接四边形的外角_________其内对角.?
360°
360°
相等
等于
【火眼金睛】
如图,已知∠AOB=90°,点C是圆上的一个动点,求∠ACB的度数.
正解:当点C在劣弧上时,∠ACB=135°;
当点C在优弧上时,∠ACB=45°.
【一题多变】
如图:四边形ABCD内接于☉O,E为BC延长线上一点,若
∠A=n°,则∠DCE=________.?
n°
【母题变式】
如图,四边形ABCD内接于☉O,∠B=50°,∠ACD=25°, ∠BAD=65°.求证:
(1)AD=CD.
(2)AB是☉O的直径.
【证明】(1)∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠ADC=180°-∠B=130°.∵∠ACD=25°,
∴∠DAC=180°-∠ACD-∠D=25°.
∴∠DAC=∠ACD.∴AD=CD.
(2)∵∠BAC=∠BAD-∠DAC=40°,∠B=50°,
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=90°.
∴AB是☉O的直径.
(共35张PPT)
﹡2.3
垂 径 定 理
【知识再现】
1.圆上各点到圆心的距离都等于_________,到圆心的
距离等于半径的点都在_________.?
半径
圆上
2.如图,_______是直径,_______是弦,_______是劣
弧,_______是优弧,_______是半圆.?
AB
AC
3.圆的半径是4,则弦长x的取值范围是__________.?
4.确定一个圆的两个条件是_________和_________.?
0 圆心
半径
【新知预习】阅读教材P58-59,学习垂径定理及其推论并填空:
1.如图是一个圆形的纸片,把该纸片沿直径CD折叠,其中点A和点B是一组对称点.
(1)∵OA=OB,________________,∴△OAM≌△OBM,?
∴∠OMA=__________=_________,∴CD和AB的位置关系
是_________.?
(2)又∵点A和点B是一组对称点,∴AM=_______,即点M
是AB的中点.?
(3)根据折叠可得: =____, =____.?
OM=OM,MA=MB
∠OMB
90°
垂直
BM
2.垂径定理
(1)语言叙述:垂直于弦的直径_________这条弦,并且
_________弦所对的两条弧.?
(2)符号表示:在☉O中,直径CD⊥弦AB.
则①AM=_______=_____AB;② =_____=__ ;?
③ =_____=___ .?
平分
平分
BM
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图,在☉O中,弦AB=6,圆心O到AB的距
离OC=2,则☉O的半径长为( )
B
2.一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半
径OB=10,截面圆圆心O到水面的距离OC是6,则水面宽AB
是 ( )
A.16 B.10
C.8 D.6
A
3.如图,在☉O中,直径CD垂直于弦AB,若∠C=25°,则
∠BOD的度数是 ( )
A.25° B.30° C.40° D.50°
D
知识点一 垂径定理 (P59例2拓展)
【典例1】已知☉O的直径CD=10 cm,AB是☉O的弦,AB⊥
CD,垂足为M,且AB=8 cm,则AC的长为( )
C
【思路点拨】先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论.
【学霸提醒】
垂径定理常作的两条辅助线及解题思想
1.两条辅助线:一是过圆心作弦的垂线,二是连接圆心和弦的一端(即半径),这样把半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建在一个直角三角形中,运用勾股定理求解.
2.方程的思想:在直接运用垂径定理求线段的长度时,常常将未知的一条线段设为x,利用勾股定理构造关于x的方程解决问题.这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路.
【题组训练】
1.下列说法正确的是 ( )
A.平分弦的直径垂直于弦
B.垂直于弦的直线必过圆心
C.垂直于弦的直径平分弦
D.平分弦的直径平分弦所对的弧
C
★2.(2019·眉山中考)如图,☉O的直
径AB垂直于弦CD,垂足是点E,∠CAO=
22.5°,OC=6.则CD的长为 世纪金
榜导学号( )
A.6 B.3 C.6 D.12
A
★3.如图,点A,B,C,D都在半径为2的☉O上,若OA⊥BC于
点H,∠CDA=30°,则弦BC的长为 ( )
A.4 B.2 C. D.2
D
★★4.(2019·上海奉贤区一模)如图,已知Rt△ABC, ∠BAC=90°,BC=5,AC=2 ,以A为圆心,AB为半径画
圆,与边BC交于另一点D,连接AD.
(1)求BD的长.
(2)求∠DAC的正弦值.
解:(1)如图,作AH⊥BD于H.
∵Rt△ABC,∠BAC=90°,BC=5,AC=2 ,
∴AB=
∵ ·AB·AC= ·BC·AH,
∴AH=
∴BH= =1,
∵AB=AD,AH⊥BD,
∴BH=HD=1,∴BD=2.
(2)作DM⊥AC于M.
∵S△ACB=S△ABD+S△ACD,
∴
∴DM=
∴sin∠DAC=
知识点二 垂径定理的应用(P60T3拓展)
【典例2】(2019·北部湾中考)《九章算术》作为古代
中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希腊
的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算
术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中,不知大小.
以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”小辉同学
根据原文题意,画出圆材截面图如图所示,已知:锯口
深为1寸,锯道AB=1尺(1尺=10寸),则该圆材的直径为
_______寸.?
26
【学霸提醒】
垂径定理基本图形的四变量、两关系
1.四变量:如图,弦长a,圆心到弦的距离d,
半径r,弧的中点到弦的距离(弓形高)h,这
四个变量知任意两个可求其他两个.
2.两关系:(1) +d2=r2.(2)h+d=r.
【题组训练】
1.把球放在长方体纸盒内,球的一部分
露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD
=4 cm,则球的半径长是 世纪金榜导学
号( )
A.2 cm B.2.5 cm C.3 cm D.4 cm
B
★2.(生活情境题)如图,王强为了帮助爸爸确定残破轮
子的直径,先在轮子上画出一个弓形(如图中阴影部分),
然后量得弦AB的长为4 cm,这个弓形的高为1 cm,则这
个轮子的直径长为______cm.?
5
★★3.如图,某条河上有一座圆弧形拱桥ACB,桥下面水面宽度AB为7.2 m,桥的最高处点C离水面的高度是2.4 m.现在有一艘宽3 m,船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里,问:这艘货船能否通过这座拱桥?说明理由.
略
【火眼金睛】
如图,底面半径为5 cm的圆柱形油桶横放在水平地面上,向桶内加油后,量得长方形油面的宽度为8 cm,求油的深度(指油的最深处即油面到水平地面的距离).
正解:如图,当油面位于AB的位置时,
∵OC⊥AB,根据垂径定理可得,∴AD=4 cm,
在Rt△OAD中,根据勾股定理可得OD=3 cm,此时油的深度为2 cm;
当油面位于A′B′的位置时,CD′=5+3=8(cm).
此时油的深度为8 cm.
综上,油的深度为2 cm或8 cm.
【一题多变】
如图,☉O的半径为2,点A为☉O上一点,OD⊥弦BC于D,如
果∠BAC=60°,那么OD的长是 ( )
C
【母题变式】
【变式一】如图,在半径为10的☉O中,
AB,CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,
且AB=CD=16,则OP的长为( )
A.6 B.6 C.8 D.8
B
【变式二】如图,AB是☉O的弦,若☉O的半径长为
6,AB=6 ,在☉O上取一点C,使得AC=8 ,则弦BC
的长度为____________.?
8±2
(共44张PPT)
2.4
过不共线三点作圆
【知识再现】
1.三角形两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点
的距离_________.?
相等
2.若在△ABC中,边AC与边BC的垂直平
分线交于点P,则PA=_______=_______ .?
3.位置和大小确定一个圆.
决定圆的大小的是圆的_________,决定圆的位置的
是_________.?
PB
PC
半径
圆心
【新知预习】阅读教材P61-62,学习相关知识点并填空:
1.确定一个圆的关键:_________和_________.?
圆心
半径
2.确定圆的条件
过一点的圆 过两点的圆 过不在同一条直线上的三点的圆
图形
垂直
平分线
垂直平分线
过一点的圆 过两点的圆 过不在同一条直线上的三点的圆
圆心 圆心不
确定 圆心在线段
AB的_______
_________上,
不确定? 圆心是线段AB,BC
的_____________
的交点,圆心确
定?
半径 半径不
确定 半径不确定 半径OA=OB=OC,半径确定
结论:过一点可以作_________个圆,过两点可以作
_________个圆,过___________________的三点确定
一个圆.过在同一直线上的三点_________作圆.?
无数
无数
不在同一直线上
不能
3.三角形的外接圆
三角形的_____________确定的圆.?
三个顶点
4.三角形的外心
(1)定义:三角形的外接圆的_________,即三角形的三
边_______________的交点.?
(2)性质:三角形的外心到三角形___________________
_____.?
圆心
垂直平分线
三个顶点的距离相
等
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列条件,可以画出唯一一个圆的是 ( )
A.已知圆心
B.已知半径
C.已知不在同一直线上的三点
D.已知直径
C
2.三角形的外心是 ( )
A.三角形三角平分线的交点
B.三角形三边的垂直平分线的交点
C.三角形三条高的交点
D.三角形三条中线的交点
B
3.如图,☉O是△ABC的外接圆,∠OCB=40°,则∠A的度
数是 ( )
A.40° B.50°
C.60° D.100°
B
4.若三角形的三边长分别为6,8,10,则此三角形的外
接圆半径是 ( )
A.5 B.4
C.3 D.2
A
知识点一 确定圆的条件(P63练习T2拓展)
【典例1】在直角坐标系中,已知点A(0,4),B(4,4)和C(6,2).
(1)点A,B,C能确定一个圆吗?说明理由.
(2)如果能,用尺规作图的方法,作出过这三点的圆的轨迹.
(3)写出圆心P的坐标,并求出☉P的半径.
【自主解答】(1)点A,B,C能确定一个圆,理由是:点A,B,C不在同一条直线上.
(2)如图:
(3)由AB的垂直平分线,BC的垂直平分线的交点,得圆心
的坐标是(2,0),半径的长为2 .
【学霸提醒】
确定已知弧所在圆的圆心的方法
1.利用圆的轴对称性,将圆对折,确定圆的两条直径,两直径的交点即为圆心.
2.利用圆周角定理的推论,根据90°的圆周角所对的弦为直径,确定直径,然后确定两直径的交点或一条直径的中点即为圆心.
3.根据不在同一直线上的三个点确定一个圆的方法确定圆心.
【题组训练】
1.下列说法正确的是 ( )
A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B.过两点A,B的圆的圆心在一条直线上
C.过三点A,B,C的圆的圆心有且只有一点
D.过四点A,B,C,D的圆不存在
B
★2.如图,已知平面直角坐标系内三点A(3,0), B(5,0),C(0,4),☉P经过点A,B,C,则点P的坐标
为 ( )
A.(6,8) B.(4,5)
C
★3.如图,是一把T字形木工尺,已知AD垂直平分BC, AD=BC=40 cm,则过A,B,C三点的圆的半径是_______cm.
?
25
知识点二 三角形的外接圆(P63习题2.4T3拓展)
【典例2】如图,D是△ABC的BC边上一点,连接AD,作
△ABD的外接圆,将△ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E
落在 上.
(1)求证:AE=AB.
(2)若∠CAB=90°,cos∠ADB= ,BE=2,
求BC的长.
【思路点拨】(1)由折叠得出∠AED=∠ACD,
AE=AC,结合∠ABD=∠AED知∠ABD=∠ACD,
从而得出AB=AC,据此得证.
(2)作AH⊥BE,由AB=AE且BE=2知BH=EH=1,根据∠ABE= ∠AEB=∠ADB知cos∠ABE=cos∠ADB= ,据此得AC=
AB=3,利用勾股定理可求解.
【自主解答】(1)由折叠的性质可知,
△ADE≌△ADC,
∴∠AED=∠ACD,AE=AC,
∵∠ABD=∠AED,
∴∠ABD=∠ACD,
∴AB=AC,∴AE=AB.
(2)如图,过A作AH⊥BE于点H,
∵AB=AE,BE=2,∴BH=EH=1,
∵∠ABE=∠AEB=∠ADB,cos∠ADB= ,
∴cos∠ABE=cos∠ADB= ,∴
∴AC=AB=3,
∵∠BAC=90°,AC=AB=3,
∴BC=3 .
【学霸提醒】
三角形的外接圆的应用
1.在判断四边形的形状时,利用三角形外接圆的性质和垂径定理,推导有关的边角来证明.
2.三角形的边就是其外接圆的一条弦,过圆心作弦的垂线段是解决圆中问题常用的辅助线.
【题组训练】
1.对于三角形的外心,下列说法错误的是 ( )
A.它到三角形三个顶点的距离相等
B.它是三角形外接圆的圆心
C.它是三角形三条边垂直平分线的交点
D.它一定在三角形的外部
D
★2.如图,若△ABC内接于半径为R的☉O,且∠A=60°,
连接OB,OC,则边BC的长为 ( )
D
★3.如图.在△ABC中,∠A=60°,BC=5 cm.能够将△ABC
完全覆盖的最小圆形纸片的直径是______cm.世纪金榜
导学号?
★★4.如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,连
接CD,若☉O的半径r=5,AC=5 .
(1)求CD的长.
(2)求∠B的度数.
解:(1)∵AD是☉O的直径,
∴∠ACD=90°,
∴在Rt△ACD中,
由勾股定理得CD=
(2)在Rt△ACD中,
∵sin D=
∴∠D=60°,
∴∠B=∠D=60°.
【火眼金睛】
如图,请你作出△ABC的外接圆(保留作图痕迹),并回答:三角形的外心一定在三角形的外部吗?
正解:不一定.锐角三角形的外心在它的内部;直角三角形的外心在斜边中点上;钝角三角形的外心在它的外部.
【一题多变】
如图,在△ABC中,O是它的外心,BC=24 cm,O到BC的距离是5 cm,求△ABC的外接圆的半径.
解:连接OB,过点O作OD⊥BC于D,则OD=5 cm,BD= BC =
12 cm.在Rt△OBD中,OB= =13(cm).
即△ABC的外接圆的半径为13 cm.
【母题变式】
【变式一】已知△ABC的三边a,b,c,满足a2+b2+|c-6| +50=10a+10b,则△ABC的外接圆半径为 ( )
B
【变式二】如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AD是中线,E为边AC的中点,过B,D,E三点的☉O交AC于另一点F,连接BF.
(1)求证:BF=BC.
(2)若BC=4,AD=4 ,求☉O的直径.
解:(1)如图1,连接DE.
∵在等腰△ABC中,AB=AC,AD是中线,
∴AD⊥BC,∵E为边AC的中点,
∴DE= AC=AE=CE,DE∥AB,
∴∠C=∠EDC.
∵∠DEC与∠FBC所对的弧均为 ,
∴∠DEC=∠FBC,
在△BCF与△ECD中,
∠DEC=∠FBC,∠BCF=∠ECD,
∴∠BFC=∠EDC,
∵∠C=∠EDC,
∴∠BFC=∠C,∴BF=BC.
(2)略
(共27张PPT)
2.5 直线与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
【知识再现】点与圆的位置关系
设☉O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:
(1)点P在圆外?________.?
(2)______________?d=r.?
(3)点P在圆内?________.?
d>r
点P在圆上
d【新知预习】阅读教材P64【观察】,解决以下问题:
1.探究直线与圆的位置关系
(1)如图(a),直线l和圆有两个公共点,这时我们说这条
直线和圆_________,这条直线叫作圆的_________.?
相交
割线
(2)如图(b),直线和圆只有一个___________,这时我们
说这条直线和圆________,这条直线叫作圆的________,
这个点叫作_________.?
(3)如图(c),直线和圆没有___________,这时我们说这
条直线和圆_________.?
相切
切线
切点
公共点
相离
公共点
2.通过比较圆的半径和圆心到直线的距离与直线与圆的位置关系,完成下列表格
1
0
dd=r
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 __ __?
圆心到直线的距离d与r的关系 ____ ____ d>r
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.行驶在水平路面上的汽车,若把路面看成直线,则此
时转动的车轮与地面的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
B
2.已知☉O的半径为4 cm,如果圆心O到直线l的距离为
3.5 cm,那么直线l与☉O的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
A
3.已知☉O的半径为4,点O到直线m的距离为d,若直线m
与☉O公共点的个数为2个,则d可取 ( )
A.5 B.4.5 C.4 D.3
D
4.已知在直角坐标平面内,以点P(-2,3)为圆心,2为半
径的圆P与x轴的位置关系是 ( )
A.相离
B.相切
C.相交
D.相离、相切、相交都有可能
A
知识点 直线与圆的位置关系(P65例1拓展)
【典例】如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm, BC=8 cm,以C为圆心,r为半径的圆与直线AB有何位置
关系?为什么?
(1)r=4 cm.(2)r=4.8 cm.(3)r=6 cm.
【自主解答】根据圆心到直线的距离d与r的关系得解,
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,
∴AB=
设AB边上的高为d,
则 d·AB= AC×BC,
d= =4.8(cm).
(1)当r=4 cm,d>r,则AB与☉C相离.
(2)当r=4.8 cm,d=r,则AB与☉C相切.
(3)当r=6 cm,d【学霸提醒】
判断直线和圆的位置关系的“三个步骤”
提醒:针对直角三角形,通过等积法求出斜边上的高,得出点到直线的距离.
【题组训练】
1.(2019·泰州期末)☉O的直径为7,圆心O到直线l的
距离为3,则直线l与☉O的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.相切或相交
C
★2.(易错警示题) (2019·南岗区一模)如图,在
Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心作圆,如
果圆A与线段BC没有公共点,那么圆A的半径r的取值范
围是 ( )
A.5≥r≥3 B.3C.r=3或r=5 D.05
D
★3.(2019·唐山路北区模拟)已知☉O的半径OA=5 cm,
延长OA到B,AB=2 cm,以OB为一边作∠OBC=45°,那么BC
所在直线与☉O的位置关系是_________. 世纪金榜导
学号?
相交
★★4. (2019·长沙天心区月考)如图,矩形ABCD
中,AB=4,AD=6,以A为圆心,R长为半径作圆,☉A仅与直
线BC,CD中一条相离,R的取值范围是___________.
?
4≤R<6
【火眼金睛】
已知☉O的半径是3 cm,点A为直线l上一点,若OA=5 cm,判断直线l与圆的位置关系.
正解:∵垂线段最短,∴圆心到直线的距离小于等于5.此时和半径3的大小不确定,则直线和圆相交、相切、相离都有可能.
【一题多变】
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,若以C为圆心,r为半径作圆,那么:
(1)当直线AB与☉C相切时,求r的取值范围.
(2)当直线AB与☉C相离时,求r的取值范围.
解:(1)作CD⊥AB于D,
在Rt△ABC中,AC=3,AB=5,
∴BC=4,
∴CD=d=
∵当直线AB与☉C相切时,d=r,
∴r=2.4.
(2)由(1)知,d=
∵当直线AB与☉C相离时,d>r,
∴0【母题变式】
【变式一】(变换条件)如图所示,∠AOB
=30°,P是OA上的一点,OP=12 cm,以r
为半径作☉P.
(1)当r=7 cm时,试判断☉P与OB的位置关系.
(2)若☉P与OB相离,试求出r需满足的条件.
略
【变式二】(变换问法)如图,在平面
直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的
圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴
正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为 ( )
A.1 B.1或5 C.3 D.5
B
(共42张PPT)
2.5.2
圆的切线
【知识再现】
1.如果一条直线与圆相切,那么它们有______个公共
点;?
2.已知☉O的半径为r,圆心到直线l的距离为d,直线l
与☉O相切?________.?
1
d=r
【新知预习】
1.切线的判定定理:经过半径的外端并且___________
_________的直线是圆的切线.?
2.切线的性质定理:圆的切线___________过切点的半径.?
垂直于这
条半径
垂直于
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
如图,在☉O中,AB为直径,BC为弦,CD为
切线,连接OC.若∠BCD=50°,则∠AOC
的度数为 ( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
C
知识点一 切线的判定(P67例2拓展)
【典例1】如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,D为BC的中点.
以AC为直径的☉O交AB于点E.
(1)求证:DE是☉O的切线.
(2)若AE∶EB=1∶2,BC=6,求AE的长.
【尝试解答】(1)如图所示,连接OE,CE.
∵AC是☉O的直径,
∴∠AEC=∠BEC=90°.
…………直径所对的圆周角是90°
∵D是BC的中点,
∴ED= BC=DC.
∴∠1=∠2.∵OE=OC,∴∠3=∠4.
…………………………………………等边对等角
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD.
∵∠ACD=90°,∴∠OED= 90° ,即OE⊥DE.?
又∵E是☉O上一点,
∴DE是☉O的切线. ……………………切线的判定
(2)由(1)知∠BEC=90°.
在Rt△BEC与Rt△BCA中,∠B为公共角,
∴△BEC∽ △BCA .∴
…………………………相似三角形对应边成比例
即BC2=BE·BA.∵AE∶EB=1∶2,设AE=x,
则BE=2x,BA=3x.
又∵BC=6,∴62=2x·3x.
∴x=? ,即AE= .?
【学霸提醒】
证明切线的常用方法
1.若图形中已给出直线与圆的公共点,但未给出过点的半径,则可先作出过此点的半径,再证其与直线垂直;
2.若图形中未给出直线与圆的公共点,则需先过圆心作该直线的垂线,再证垂足到圆心的距离等于半径.
【题组训练】
1.如图,AB是☉O的直径,点P是☉O外
一点,PO交☉O于点C,连接BC,PA,若
∠P=40°,当∠B等于多少时,PA与
☉O相切 ( )
A.20° B.25° C.30° D.40°
B
★★2.(2019·廊坊模拟)如图,AB是☉O的弦,OP⊥OA交
AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为 ,OP=1,求BC的长.
解: (1)连接OB.∵OP⊥OA,
∴∠A+∠OPA=90°,∵CP=CB,
∴∠CPB=∠CBP,又∵∠APO=∠CPB,
∴∠APO=∠CBP.
∵OA=OB,∴∠OAP=∠OBP,
∴∠OBA+∠PBC=90°,即∠OBC=90°,
∴OB⊥BC,∴BC是☉O的切线;
(2)略
知识点二 切线的性质(P68例3拓展)
【典例2】(2019·宿州一模)已知AB是☉O的直径,弦CD与AB相交,∠BCD=25°.
(1)如图1,求∠ABD的大小.
(2)如图2,过点D作☉O的切线,与AB的延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD的度数.
【自主解答】(1)∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,且∠BCD=25°,∴∠ACD=65°,
∵∠ACD=∠ABD,∴∠ABD=65°.
(2)连接OD,
∵DP是☉O的切线,
∴∠ODP=90°,
∵∠DOB=2∠DCB,
∴∠DOB=2×25°=50°,∴∠P=40°,
∵AC∥DP,∴∠P=∠OAC=40°,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=40°,
∴∠OCD=∠ACD-∠OCA=65°-40°=25°.
【学霸提醒】
切线的三条性质及辅助线的作法
1.三条性质:
(1)切线和圆只有一个公共点.
(2)圆心到切线的距离等于圆的半径.
(3)圆的切线垂直于过切点的半径.
2.辅助线的作法:
连切点、圆心,得垂直关系.
【题组训练】
1. (2019·张家港期中)如图,点P在
☉O外,PA是☉O的切线,点C在☉O上,
PC经过圆心O,与圆交于点B,若∠P=
46°,则∠ACP= ( )
A.46° B.22° C.27° D.54°
B
★2.如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延长线于点C.
(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数.
(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.
略
知识点三 切线的判定与性质的综合应用
【典例3】如图,已知BC是☉O的直径,AC切☉O于点C,AB交☉O于点D,E为AC的中点,连接DE.
(1)若AD=DB,OC=5,求切线AC的长.
(2)求证:ED是☉O的切线.
【尝试解答】(1)连接CD,如图1.
∵BC是☉O的直径,∴∠BDC= 90° ,即CD⊥ AB ,?
…………直径所对的圆周角为直角,
∵AD=DB,OC=5,∴CD是AB的垂直平分线,?
∴AC=BC=2OC=10;
……线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
(2)连接OD,如图2所示,
∵∠ADC=90°,E为AC的中点,
∴DE=EC= AC, ……………直角三
角形斜边的中线等于斜边的一半,
∴∠1= ∠2 , ………………………等边对等角?
∵OD=OC,∴∠3= ∠4 , ……………等边对等角?
∵AC切☉O于点C,∴AC⊥OC, …………切线的性质
∴∠1+∠3=∠2+∠4= 90° , …………等量代换?
即DE⊥OD,
∴ED是☉O的切线. ……………………切线的判定
【学霸提醒】
切线判定与性质综合应用
证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题.即已知切线,根据切线的性质有:见切点,连半径,证垂直;关于证明圆的切线的判定,常常是作垂直证半径或是连半径证垂直.
提醒:若问题中同时出现切线的性质与判定时,要明确区分,若题目中没有给出公共点时,不能人为地设出公共点再连接.
【题组训练】
1.已知AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证:DC是☉O的切线.
略
★2.如图,DE是☉O的直径,过点D作☉O的切线AD,C是AD
的中点,AE交☉O于点B,且四边形BCOE是平行四边形.
(1)BC是☉O的切线吗?若是,给出证明;若不是,请说明
理由.
(2)若☉O半径为1,求AD的长.
略
★★3.(2019·雅安中考)如图,已知AB是☉O的直径,AC,BC是☉O的弦,OE∥AC交BC于E,过点B作☉O的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证:DC是☉O的切线.
(2)若∠ABC=30°,AB=8,求线段
CF的长.
略
【火眼金睛】
如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,☉P与OA相切于D,求证:OB与☉P相切.
正解:连接PD,过点P作PF⊥OB于点F.
∵OA与☉P相切于点D,∴PD⊥OA,
又∵OC平分∠AOB,PF⊥OB,
∴PF=PD,∴OB与☉P相切.
【一题多变】
如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,D为BC延长线上一点,且BC=CD,CE⊥AD于点E.
(1)求证:直线EC为圆O的切线.
(2)设BE与圆O交于点F,AF的延长线与CE交于点P,已知∠PCF=∠CBF,PC=5,PF=4,求sin∠PEF的值.
略
【母题变式】
(变换条件)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作☉O,使☉O经过点A和点D.
(1)求证:直线BC是☉O的切线.
(2)若AC=3,∠B=30°,求☉O的半径.
解: (1)连接OD,则OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD,
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AC,∵∠C=90°,
∴∠ODB=90°,∴直线BC是☉O的切线;
(2)∵∠B=30°,∴∠BAC=60°,
∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD=30°,
∴AD=
过点O作OM⊥AD垂足为M,
则AM=
OA=
∴☉O的半径为2.
(共27张PPT)
﹡2.5.3
切线长定理
【知识再现】
1.圆的切线_________过切点的半径.?
2.经过半径的外端并且___________________的直线是圆的切线.?
垂直
垂直于这条半径
【新知预习】阅读教材P70～71,并完成下列问题:
1.动手画一画,过圆上一点能够画圆的几条切线呢?过
圆外一点呢?
总结:过圆上一点只能作圆的_________切线;过圆外一
点可以作圆的_________切线.?
一条
两条
2.请找图形中存在哪些等量关系?
归纳总结:①切线长定义:从圆外一点作圆的切线,这
点和_________之间的线段的长,叫作这点到圆的
___________,如图中的线段_________________就是点
P到☉O的切线长.②切线长定理:从圆外一点引圆的两
条切线,它们的切线长_________,这一点和圆心的连线
_________两条切线的夹角.?
切点
切线长
PA、PB的长度
相等
平分
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图,PA,PB是☉O的切线,且∠APB=40°,下列说法
不正确的是 ( )
A.PA=PB B.∠APO=20°
C.∠OBP=70° D.∠AOP=70°
C
2.如图,从☉O外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切
点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长
是( )
A.4 B.8 C.4 D.8
B
知识点一 利用切线长定理求线段的长
(P72练习1拓展)
【典例1】(2019·唐山丰南区月考)如
图,AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G.
且AB∥CD.BO=6 cm,CO=8 cm.
(1)求证:BO⊥CO.
(2)求BE和CG的长.
【自主解答】(1)略
(2)连接OF,则OF⊥BC,
∴Rt△BOF∽Rt△BCO,
∴
∵在Rt△BOF中,
BO=6 cm,CO=8 cm,
∴BC= =10(cm),
∴ ,∴BF=3.6(cm).
∵AB,BC,CD分别与☉O相切,
∴BE=BF=3.6 cm,CG=CF.
∵CF=BC-BF=10-3.6=6.4(cm),
∴CG=CF=6.4 cm.
【学霸提醒】
利用切线长求线段长的一般途径
切线长定理经常用来证明线段相等,通过连接圆心与切点构造直角三角形来求解.
【题组训练】
1.(2019·常州金坛区期中)如图,AB、
AC、BD是☉O的切线,切点分别是P、C、
D.若AB=5,AC=3,则BD的长是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
C
★2.(2019·沧州黄骅质检)如图,在矩
形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与
☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切
线交BC于点M,切点为N,则DM的长为?? . ?
知识点二 利用切线长确定角之间的关系
(P72练习第2题拓展)
【典例2】(2019·淮安区期中)已知:PA,PB,CD分别切☉O于A,B,E三点,若∠P=50°, 求∠COD的度数.
【思路点拨】连接OE,根据切线的性质得出∠P+∠AOB =180°,由切线长定理得出∠COD= ∠AOB,即可得出
结果.
【自主解答】连接OE,如图所示:
由切线的性质得,OA⊥PA,
OB⊥PB,OE⊥CD,
∴∠OAC=∠OEC=∠OED=∠OBD=90°,
∴∠AOB+∠P=180°,
∴∠AOB=180°-∠P=130°,
由切线长定理得:∠AOC=∠EOC,
∠EOD=∠BOD,
∴∠COD= ∠AOB= ×130°=65°.
【学霸提醒】
利用切线长求角的度数常见方法
1.利用圆心和圆外一点的连线,平分从这点出发的两条切线的夹角.
2.连接圆心与切点构建直角三角形,在直角三角形中求角的度数.
3.利用过圆外一点所画的圆的两条切线长相等,去构造等腰三角形,利用等边对等角和三角形内角和求角的度数.
【题组训练】
1.如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E,
若点D是AB的中点,则∠DOE=_______°.?
60
★2.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,AC,PB的延长线相交于点D.
(1)若∠1=20°,求∠APB的度数.
(2)当∠1为多少度时,OP=OD,并说明理由.
略
【火眼金睛】
已知:PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,点C是 上的一个动点,若∠P=40°,求∠ACB的度数.
正解:(1)当点C在优弧 上时,同原解中过程,∠ACB=70°.
(2)当点C在劣弧 上时,
∠ACB=180°-70°=110°.
故∠ACB等于70°或110°.
【一题多变】
如图,菱形ABCD的边AB=20,面积为
320,∠BAD<90°,☉O与边AB,AD都
相切,AO=10,则☉O的半径长等于( )
A.5 B.6 C.2 D.3
C
【母题变式】
(变换条件)如图,以菱形ABCD的边AB为
直径的☉O交对角线AC于点P,过P作PE
⊥BC,垂足为E.
(1)求证:PE是☉O的切线.
(2)若菱形ABCD的面积为24,tan∠PAB= ,
求PE的长.
解:(1)连接OP,∵OA=OP,
∴∠OAP=∠APO.
∵四边形ABCD为菱形,
∴∠ACB=∠CAB.
∴∠APO=∠ACB.
∴PO∥BC.∵PE⊥BC,
∴∠OPE=∠CEP=90°.∴PE是☉O的切线.
(2)略
(共32张PPT)
2.5.4
三角形的内切圆
【知识再现】
1.经过三角形三个_________的圆叫作这个三角形的外
接圆.三角形外接圆的圆心叫作这个三角形的_________,
三角形的外心就是三角形三条边的_______________的
交点.?
顶点
外心
垂直平分线
2.圆外一点所画的圆的两条切线的_____________.?
长度相等
【新知预习】阅读教材P72-73,归纳结论:
1.三角形内切圆的相关概念:与三角形_________都
_________的圆,叫作三角形的内切圆,圆心叫作三角
形的_________,三角形叫作圆的_________三角形.?
三边
相切
内心
外切
2.三角形的内心的位置:三角形三条_____________的
交点.?
3.三角形的内心的性质:到三角形三边的距离都_____.?
角平分线
相等
4.三角形内切圆的作法:先作三角形的两个内角的
___________线,并交于点P,过P向任意一边作_________
PM,以点P为圆心,PM为半径作圆,所得的圆就是三角
形的内切圆.?
角平分
垂线段
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.正三角形的内切圆半径为1,那么它的边长为 ( )
A.2 B.2
C. D.3
B
2.如图,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接
OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是_________.?
70°
知识点一 三角形的内切圆(P74,练习3拓展)
【典例1】 (2019·南京高淳区期中)如图,☉I是△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F.
(1)若∠B=50°,∠C=70°,则∠DFE的度数为 .?
(2)若∠DFE=50°,求∠A的度数.
【思路点拨】(1)直接利用切线的性质结合三角形内角和定理以及圆周角定理得出答案.
(2)利用圆周角定理得出∠DIE的度数,进而得出∠A的度数.
【自主解答】(1)连接ID,IE,
∵∠B=50°,∠C=70°,
∴∠A=60°,
∵☉I是△ABC的内切圆,
切点分别是D,E,F,
∴∠IDA=∠IEA=90°,
∴∠DIE=180°-60°=120°,
∴∠DFE的度数为60°.
(2)∵∠DFE=50°,∴∠DIE=100°,
∵AB,AC分别与☉I相切于点D,E,
∴∠ADI=∠AEI=90°,∴∠A=80°.
【学霸提醒】
直角三角形内切圆的半径的“两种求法”
已知直角三角形直角边为a,b,斜边为c,直角三角形内
切圆半径为r.
(1)切线长定理:根据切线长定理推得,a-r+b-r=c,即
r=
(2)面积法:根据三角形面积等于三角形的周长与三角
形内切圆半径乘积的一半,得 ab= (a+b+c)r,即
r=
【题组训练】
1.(2019·昆明官渡区期末)如图,☉O是
△ABC的内切圆,D,E是切点,∠A=50°,
∠C=60°,则∠DOE=( )
A.70° B.110° C.120° D.130°
B
2.(2019·娄底中考)如图,边长为2 的等边△ABC的
内切圆的半径为 ( )
A.1 B. C.2 D.2
A
知识点二 内心(P74例6拓展)
【典例2】(2019·南京玄武区期中)如图,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,∠ABC=60°,∠ACB=70°.
(1)求∠BOC的度数.
(2)求∠EDF的度数.
【思路点拨】(1)由题意可知BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠OBC和∠OCB的度数可求出,进而可求出∠BOC的度数.
(2)连接OE,OF.由三角形内角和定理可求得∠A=50°,由切线的性质可知:∠OFA=90°,∠OEA=90°,从而得到∠A+∠EOF=180°,故可求得∠EOF=130°,由圆周角定理可求得∠EDF=65°.
【自主解答】(1)∵☉O是△ABC的内切圆,
切点分别为D,E,F,
∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,
∴∠OBC= ∠ABC=30°,
∠OCB= ∠ACB=35°,
∴∠BOC=180°-30°-35°=115°.
(2)略
【学霸提醒】
三角形的内切圆和内心
(1)一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数多个外切三角形.
(2)三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部,三角形的内心到三边的距离相等.
【题组训练】
1. (2019·河北一模)如图,点O是
△ABC的内心,M,N是AC上的点,且
CM=CB,AN=AB,若∠ABC=100°,则
∠MON= ( )
A.60° B.70° C.80° D.100°
C
★★2.(2019·川汇区期末)如图,点I是△ABC的内心,AI的延长线交BC于点D,与△ABC的外接圆相交于点E,连接BE.
(1)求证:BE=IE.
(2)若AD=6,DE=2,求AI的长.
略
【火眼金睛】
如图,在△ABC中,∠A=45°,O是内心,则∠BOC=
°.?
正解:∵☉O是△ABC的内切圆,
∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,
∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB=
∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=
(∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A),
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°- (180°-
∠A)=90°+ ∠A=90°+ ×45°=112.5°.
答案:112.5°
【一题多变】
在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=8,CB=6,则△ABC内切圆的
周长为________.?
4π
【母题变式】
【变式一】(变换条件)如图,在△ABC
中,AB=5,AC=4,BC=3,按以下步骤作
图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,
分别交AB,AC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于
MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线AE;
④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O,连接OC,则
OC=? .?
【变式二】(变换问法)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠B=60°,内切圆O与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,
则∠DEF的度数为_________.?
75°
(共22张PPT)
2.6 弧长与扇形面积
第1课时
【知识再现】
1.圆的周长计算公式___________.?
2.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧_________.?
C=2πr
相等
【新知预习】阅读教材P77,回顾我们小学学过的圆的
周长的计算公式,回答.
1.在半径为r的圆中,因为360°的圆心角所对的弧就是
圆周长C=2πr,则1°的圆心角所对的弧长是? ,
即? .?
2.n°的圆心角所对的弧长是? .?
总结:半径为r,圆心角为n°的弧长公式为:l=
? .?
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.(2019·长沙芙蓉区期末)在半径为1的圆中,圆心角
为120°所对的弧长是 ( )
A
2.在☉O中,60°的圆心角所对的弧长是3π,则☉O的半
径是 ( )
A.9 B.18 C.9r D.18r
A
知识点 弧长公式及其应用(P78例1拓展)
【典例】 (2019·宁波慈溪市期末)如图,A,B,C是☉O
上三点,若∠ABC=120°,☉O的半径为2,则劣弧 的
长为_____.?
【思路点拨】在优弧 上取一点D,连接AD,CD,根据圆内接四边形的性质得到∠ADC=60°,根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ADC=120°,根据弧长的公式计算即可.
【学霸提醒】
求弧长的“三个步骤”
第一步:从问题中找出公式所涉及的三个量(弧长l、弧所对的圆心角、半径)中的两个;
第二步:把已知的两个量代入弧长公式;
第三步:求出公式中的未知量.
【题组训练】
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,以
点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB于点D,则 的
长为 ( )
C
★2.(2019·泰州兴化市月考)如图,△ABC中,AC=AB =9,∠C=65°,以点A为圆心,AB长为半径画 ,若
∠1=∠2,则 的长为____.(结果保留π)?
★★3.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与BC边相交于点D,连接AD,过点D作☉O的切线,交AC边于点E,交AB边的延长线于点F.
(1)求证:∠AEF=90°.
(2)若∠F=30°,BF=5,求 的长.
解:(1)连接OD,如图,
∵EF为☉O的切线,
∴OD⊥EF,∵OD=OB,
∴∠OBD=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,
∴AC⊥EF,∴∠AEF=90°.
(2)由(1)知OD⊥DF,∴∠ODF=90°,
∵∠F=30°,∴OF=2OD,即OB+5=2OD,
而OB=OD,∴OD=5,
∵∠AOD=90°+∠F=90°+30°=120°,
∴ 的长度为
【火眼金睛】
边长为1的等边△ABC在直线l上,按如图所示的方式进行两次旋转,在两次旋转过程中,点C经过的路径长是多少?
正解:∵第一次旋转时,点C旋转到点C′的位置,第二次
旋转时,点C未动.
∵△ABC是等边三角形,∴∠CBC′=120°,∴在两次旋
转过程中,点C经过的路径长为
【一题多变】
如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫作正三角形的渐开
线,其中 的圆心依次是A,B,C,如果AB=1,那
么曲线CDEF的长为________.?
4π
【母题变式】
【变式一】(变换条件)(2019·门头
沟区一模)如图,在平面直角坐标系
xOy中,以原点O为旋转中心,将△AOB
顺时针旋转90°得到△A′OB′,其中点A′与点A对应,
点B′与点B对应.如果A(-3,0),B(-1,2).那么点A′的
坐标为__________,点B经过的路径 的长度为
______.(结果保留π)?
(0,3)
【变式二】(变换问法)如图,把直角三
角形ABC的斜边AB放在定直线l上,按顺
时针方向在l上转动两次,使它转到
△A″B″C″的位置.若BC=1,AC= ,则顶点A运动
到点A″的位置时,点A两次运动所经过的路程
为____________.(计算结果不取近似值)?
(共33张PPT)
2.6 弧长与扇形面积
第2课时
【知识再现】
1.圆的面积公式:__________.?
2.圆具有旋转不变性,即将圆绕圆心旋转任意角度,都
能与它自身_________.?
S=πr2
重合
【新知预习】阅读教材P79,归纳结论:
1.圆的一条弧和经过这条弧的端点的_____________所围成的图形叫作扇形.?
两条半径
2.圆心角为1°的扇形面积等于圆的面积的 ,即
__________.那么,在半径为r的圆中,圆心角为n°的
扇形面积的计算公式为_______________.?
3.扇形的弧长为l,半径为r,则扇形面积的计算公式
为___________.?
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.(1)在半径为6 cm的圆中,圆心角为60°的扇形的面
积是___________.?
(2)已知扇形的半径为2 cm,面积为2π cm2,则扇形的
圆心角是__________.?
6π cm2
180°
(3)若扇形的弧长为10π cm,面积为20π cm2,则扇形
的半径为_________.?
2.已知扇形的半径为6 cm,弧长为4π cm,则扇形的面
积为_________cm2.?
4 cm
12π
知识点一 扇形面积的计算(P79例3拓展)
【典例1】(2019·海淀区月考)在附中
中心花园的草坪上,有一些自动旋转喷
泉水装置,它的喷灌区域是一个扇形,
小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积,他
测量出了相关数据,并画出了示意图,如图,这种旋转喷水装置的旋转角度为240°,喷灌起终点A,B两点的距离为12米,求这种装置能够喷的草坪面积.
【思路点拨】过O作OC⊥AB于C,求出∠AOB的度数,求出∠OAB,解直角三角形求出OA,根据扇形的面积公式求出即可.
【自主解答】过O作OC⊥AB于C,则∠ACO=90°,
∵AB=12米,
∴AC=BC=6米,
∵旋转喷水装置的旋转角度为240°,
∴∠AOB=120°,
∵OA=OB,
∴∠OAC=∠OBC= ×(180°-120°)=30°,
∴OA=
∴这种装置能够喷的草坪面积是
=32π(平方米).
【学霸提醒】
计算扇形面积的两个量
1.半径:图形中某一线段的长可能是圆的半径.
2.圆心角:一般情况下,扇形的圆心角为常见的特殊角的度数,若题目已知中没有直接给出,还需认真分析题目的隐含条件.
提醒:根据扇形的面积公式和弧长公式,已知S扇形, l,n,r四个量之间的任意两个量,都可以求出另外两个量.
【题组训练】
1. (2019·邯郸邯山区质检)如图,☉O的半径等于1,弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积.(结果保留π)
略
★2.如图,点C是以AB为直径的半圆O的
三等分点,AC=2,则图中阴影部分的面
积是( )
A
★★3.(2019·盐城大丰区月考)如图所示,菱形ABCD,∠ABC=120°,AD=1,扇形BEF的半径为1,圆心角为60°,求图中阴影部分的面积.
略
知识点二 弓形面积的计算(P80例4拓展)
【典例2】 (2019·广安岳池县模拟)如图是一把折
扇,∠O=120°,AB交 于点E,F,已知AE=20,EF=4,则
扇面(阴影部分)的面积为__________.?
160π
【学霸提醒】
弓形面积的计算方法
在一圆中,由弧和它所对的弦组成的图形叫作弓形,用所学知识表示弓形的面积.如图所示,分三种情况讨论:
①当弓形所含的弧是劣弧时,如图(1)所示,S弓形=S扇形-
S△AOB;②当弓形所含的弧是优弧时,如图(2)所示,S弓形
=S扇形+S△AOB;③当弓形所含的弧是半圆时,如图(3)所
示,S弓形= S圆.
【题组训练】
1.如图,水平放置的圆柱形油桶的截面半径是R,油面
高为 R,求截面上有油的弓形(阴影部分)的面积.
解:设油面所在的弦为AB,圆心是O,
过点O作OC⊥AB于点C.连接OA,OB,
在Rt△AOC中,AO=R,
OC=
∴AC=
∴AB= R,∠AOC=60°.∴△AOB的面积是
∵∠AOB=2∠AOC=120°,∴扇形OAB的面积是
∴上面没油的部分的面积是 ,阴影部分的面
积是πR2-
★2.如图,AB为半圆O的直径,C为AO
的中点,CD⊥AB交半圆于点D,以C为
圆心,CD为半径画弧交AB于E点,若
AB=4,则图中阴影部分的面积是
( )
A
★★3.如图,等腰△ABC为☉O的内接三角形,且顶角∠BAC=30°,☉O的半径r=6,求:
(1) 的长度.
(2)阴影部分弓形的面积.
略
【火眼金睛】
如图所示,半圆O中,直径AB长为4,C,D为半圆O的三等分点,求阴影部分的面积.
正解:连接OC,OD.
∵C,D为半圆O的三等分点,
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°,
又∵OC=OD,∴△OCD是等边三角形,
∴∠OCD=∠AOC=60°,OC=CD=2,
∴CD∥AB,∴S△ACD=S△OCD,
∴S阴影=S扇形OCD=
【一题多变】
如图,在正方形ABCD中,AB=12,点E为BC中点,以CD为直
径作半圆CFD,点F为半圆的中点,连接AF,EF,图中阴影
部分的面积是 ( )
A.18+36π B.24+18π
C.18+18π D.12+18π
C
【母题变式】
【变式一】(变换条件)如图,Rt△ABC, ∠B=90° ,∠C=30°,O 为AC上一点,
OA=2,以O为圆心,以OA为半径的圆与
CB相切于点E,与AB相交于点F,连接OE,OF,则图中阴影
部分的面积是___________.?
【变式二】(变换问法)如图,在△ABC
中,CA=CB,∠ACB=90°,以AB的中点D
为圆心,作圆心角为90°的扇形DEF,
点C恰在弧EF上,设∠BDF=α(0°<α<90°),当α由小
到大变化时,图中阴影部分的面积
( )
C
A.由小变大 B.由大变小
C.不变 D.先由小变大,后由大变小
(共31张PPT)
2.7
正多边形与圆
【知识再现】
常见的正多边形有正三角形、正方形、正六边形,都
是___________图形.?
轴对称
【新知预习】阅读教材P83-85,结合等边三角形、正方形、正五边形、正六边形的特征回答下列问题:
1.正多边形是各边_________,各角也_________的多边形.?
相等
相等
2.正多边形与圆:将一个圆n(n≥3)_________,依次连
接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形,
这个圆是这个正多边形的外接圆,正多边形的外接圆的
圆心叫作这个正多边形的_________.?
等分
中心
3.作正n边形的步骤:(1)用圆规作圆;(2)利用量角器将
圆n_________;(3)顺次________________,即可得正n
边形.?
4.正多边形都是_______________,一个正n边形的每个
顶点与_____________连线所在的直线都是这个正n边
形的对称轴.?
等分
连接n等分点
轴对称图形
它的中心
5.一个正n边形,当n为偶数时,正n边形绕它的中心旋转
180°所得图形与这个正n边形重合.因此正n边形(n为
偶数)也是_________________,它的对称中心就是这个
__________________.?
中心对称图形
正n边形的中心
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的
有( )
①正三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形;⑤线
段;⑥圆;⑦菱形;⑧平行四边形.
C
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
2.在半径为R的圆上依次截取长度等于R的弦,顺次连接
各分点得到的多边形是 ( )
A.正三角形 B.正四边形
C.正五边形 D.正六边形
D
3.若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径
的大小分别为 ( )
A.6,3 B.3 ,3
C.6,3 D.6 ,3
B
知识点一 正多边形的相关计算
(P86习题2.7A组第2题拓展)
【典例1】如图,正六边形ABCDEF内接于
☉O,若☉O的内接正三角形ACE的面积为
48 ,试求正六边形的周长.
【思路点拨】本题解题关键是正六边形的边长等于其外接圆的半径,再利用正三角形的特征求解.
【自主解答】略
【题组训练】
1.(2019·宜昌伍家岗区期末)从一个半径为10的圆形
纸片上裁出一个最大的正六边形,此正六边形的边长
是 ( )
A.10 B.5 C.5 D.10
A
★2.(2019·宁波模拟)如图,☉O是正六边形ABCDEF的
外接圆,P是 上一点,则∠BPD的度数是( )
A.30° B.60° C.55° D.75°
B
★★3.(2019·石家庄裕华区月考)如图,
已知☉O的周长等于6π cm,则它的内接
正六边形ABCDEF的面积是 世纪金榜
导学号( )
C
【我要做学霸】
正n边形中存在的“三个量”和 “两个等式”
1.与正n边形有关的角.
(1)中心角:每一个中心角度数为______.?
(2)内角:每个内角度数为____________.?
(3)外角:每个外角的度数为_______.?
2.正多边形的半径R、边心距r、边长a的关系:
+r2=______.?
3.正n边形周长l与边长a,面积S与边长a、边心距r的关
系:周长l=_______;面积S=______.?
R2
na
知识点二 正多边形的作法及应用(P84例题拓展)
【典例2】已知☉O和☉O上的一点A,作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形.
【思路点拨】1.圆的内接正方形的对角线是外接圆的直径,并且对角线垂直平分,所以我们可以利用尺规作出圆的内接正方形;
2.内接正六边形的边长等于圆的半径,据此我们可以作出圆的内接正六边形.
【自主解答】如图所示,
作法:①作直径AC;
②作直径BD⊥AC,依次连接AB,BC,
CD,DA,则四边形ABCD是☉O的内接
四边形;
③分别以A,C为圆心,OA为半径画弧,交☉O于点E,H,F,G,顺次连接AE,EF,FC,CG,GH,HA,则六边形AEFCGH为☉O的内接正六边形.
【学霸提醒】
正多边形的作法
在圆中作正多边形,可以采用平分圆周的方法,同时要结合各正多边形的不同特征进行分析,从而得到所需的正多边形.
【题组训练】
1.已知:如图,P是☉O上的一点,过点P作一个圆的内
接正十二边形.
略
★2.在学习圆与正多边形时,嘉嘉、琪琪两位同学设计了一个画圆的内接正三角形的方法:
(1)作直径AD;
(2)作半径OD的垂直平分线,交☉O于B,C两点;(3)连接AB,AC,BC,那么△ABC为所求的三角形.
请你判断两位同学的作法是否正确,如果正确,请你按照两位同学设计的画法,画出△ABC,然后给出△ABC是等边三角形的证明过程;如果不正确,请说明理由.
略
★3.如图,用等分圆周的方法在右边方框中画出左图.
略
【火眼金睛】
线段AB是圆内接正十边形的一条边,则AB所对的圆周角的度数是 .?
正解:圆内接正十边形的边AB所对的圆心
角∠1=360°÷10=36°,则∠2=360°-36°
=324°,根据圆周角等于同弧所对圆心角
的一半,AB所对的圆周角的度数是36°× =18°或
324°× =162°.
答案:18°或162°
【一题多变】
以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的
边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( )
A
【母题变式】
【变式一】(变换条件)一个圆的内接正六边形的边长
为4,则该圆的内接正方形的边长为 ( )
B
【变式二】(变换问法)半径相等的圆的内接正三角
形、正方形、正六边形的边长之比为 ( )
B
(共11张PPT)
单元复习课
第2章 圆
考点1 圆周角的性质定理(考查方式:同弧所对的圆心角与圆周角的关系)
【教材这样教】(P56习题2.2第4题)
如图,点A,B,C在☉O上,∠A=72°,求
∠BOC和∠OBC的度数.
解:∠BOC=2∠A=2×72°=144°,
∠OBC= (180°-144°)
= ×36°=18°.
【中考这样考】
(2018·广州中考)如图,AB是☉O的弦,
OC⊥AB,交☉O于点C,连接OA,OB,BC,若
∠ABC=20°,则∠AOB的度数是( )
A.40° B.50° C.70° D.80°
D
【专家这样说】
牢记“在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半”
专家支招:在有关圆的问题中,要善于利用圆周角与圆心角之间的相互转化,同时直径所对的圆周角都等于90°.
考点2 三角形的内切圆(考查方式:给出三角形的边长求内切圆的半径)
【教材这样教】(P74练习3)
已知等边三角形ABC的边长为a,求它的内切圆的半径.
解: 如图,∵△ABC为等边三角形,
而BD平分∠ABC,∴BD⊥AC,AD=CD=
AC= a,
∵OC平分∠ACB,
∴∠OCD= ∠ACB=30°,
在Rt△OCD中,∵tan∠OCD= ,∴OD= a×
tan 30°= a,即△ABC的内切圆的半径为 a.
【中考这样考】
(2018·大庆中考)在△ABC中,∠C=90°,AB=10,且AC=6,
则这个三角形的内切圆半径为______.?
2
【专家这样说】
根据三角形内心的特殊性,可以求出特殊三角形(如正三角形、直角三角形)的边长、内切圆的半径等.
