(共50张PPT)
第3章 投影与视图
3.1 投 影
【知识再现】
两个三角形相似,对应角_________,对应边
___________.?
相等
成比例
【新知预习】阅读教材P95-98,解决以下问题:
1.投影的相关概念
(1)投影:用光线照射物体,在某个平面(如地面、
墙壁等)上得到的_________.?
(2)投影线:_____________.?
(3)投影面:_________所在的平面.?
影子
照射光线
投影
2.投影的类型
(1)平行投影:由_________光线形成的投影.如果
投影线与投影面互相垂直,就称为___________.?
(2)中心投影:由___________________发出的光线形成的投影.?
平行
正投影
同一点(点光源)
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.如图所示,夜晚路灯下同样高的旗杆,离路灯越近,
它的影子 ( )
A.越长 B.越短
C.一样长 D.无法确定
B
2.(2019·石家庄藁城区一模)一个长方形的正投影
不可能是 ( )
A.正方形 B.矩形
C.线段 D.点
D
知识点一 平行投影及性质(P99T3拓展)
【典例1】如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,
已知AB=5 m,某一时刻AB在太阳光下的影子长BC=3 m.
(1)在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF.
(2)在测量AB的影子长时,同时测量出EF=6 m,计算DE的长.
【思路点拨】(1)利用平行投影的性质得出EF即可;
(2)利用同一时刻物体影子与实际高度的比值相等进而得出答案.
【自主解答】(1)如图所示:EF即为所求.
(2)由题意可得:
解得:DE=10.
答:DE的长为10 m.
【学霸提醒】
1.平行投影的两个“特征”
(1)平行投影中,形成影子的光线是平行的,平行物体在地面上形成的影子平行或在同一直线上.
(2)同一时刻,太阳光下,物高与影长成正比例.
2.画平行投影的两个“步骤”
第一步:画出经过一个物体顶端和影子顶端的一条光线;
第二步:经过另一物体的顶端画出平行于上述直线的光线,从而得到这个物体的影子.
【题组训练】
1.在阳光照射下的广场的旗杆从上午九点到十一点
的影子长的变化规律为 ( )
A.逐渐变长 B.逐渐变短
C.影子长度不变 D.影子长短变化无规律
B
★2.(2019·邯郸邯山区期末)如图,太阳光线与地面成
60°的角,照在地面的一只排球上,排球在地面的投影
长是14 cm,则排球的直径是( )
A.7 cm B.14 cm
C.21 cm D.21 cm
C
★★3.如图所示,一幢楼房AB背后有一台阶CD,台阶每
层高0.2米,且AC=17.2米,设太阳光线与水平地面的夹
角为α,当α=60°时,测得楼房在地面上的影长AE=
10米,现有一只小猫在台阶的MN这层上晒太阳.
(1)求楼房的高度约为多少米?(结果精确到0.1米)
(2)过了一会儿,当α=45°时,小猫能不能晒到太阳?
(参考数据: ≈1.73)
略
知识点二 中心投影及性质(P100T5拓展)
【典例2】如图,花丛中有一路灯杆AB,灯光下,李华在D点处的影长DE=3米,沿BD方向行走到达G点,DG=5米,这时李华的影长GH=5米.如果李华的身高为2米,求路灯杆AB的高度.
【尝试解答】∵CD∥AB,
∴△EAB∽__________, …………三角形相似的判定?
∴ =____,即 ①,?
……………………………………相似三角形的性质
△ECD
∵FG∥AB,
∴△HFG∽__________, …………三角形相似的判定?
∴ =_____,即 ②,?
……………………………………相似三角形的性质
△HAB
由①②得 ………………等量代换
解得BD=________, 解方程?
∴ ,……………………………等量代换
解得:AB=______. …………………………解方程?
答:路灯杆AB的高度为7米.
7.5
7
【学霸提醒】
中心投影的“三个特点”
1.等高物体垂直地面放置
(1)离点光源越近,影子越短.
(2)离点光源越远,影子越长.
2.等长物体平行地面放置
(1)离点光源越近,影子越长.
(2)离点光源越远,影子越短,但不会小于物体本身的长度.
3.点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上.
【题组训练】
1.(2019·北京平谷区一模)小明家的客厅有一张直径
为1.2米,高0.8米的圆桌BC,在距地面2米的A处有一盏
灯,圆桌的影子为DE,依据题意建立平面直角坐标系,
其中D点坐标为(2,0),则点E的坐标是__________.?
(4,0)
★2.如图,路灯下一墙墩(用线段AB表示)的影子是BC,小明(用线段DE表示)的影子是EF,在M处有一棵大树,它的影子是MN.
(1)指出路灯灯泡的位置(用点P表示).
(2)在图中画出表示大树高的线段.
解:(1)如图所示,点P是灯泡的位置.
(2)如图所示,线段MG是大树的高.
【解题策略】点光源确定方法
确定中心投影的点光源时,分别过两个物体的顶端及其影子的顶端作两条直线,这两条直线的交点即为点光源的位置.
知识点三 正投影(P98例拓展)
【典例3】画出如图摆放的正三棱柱在投影面P上的正投影.
【思路点拨】正三棱柱的一个面CDFE与投影面平行,而面ABEF、面ABCD倾斜于投影面,依题意画出正投影.
【自主解答】如图,正三棱柱的正投影为矩形C1D1F1E1.这个矩形的长为正三棱柱的高,宽等于正三棱柱上下底面的边长.矩形上、下两边中点连线A1B1是正三棱柱侧棱AB的投影.
【学霸提醒】
立体图形的正投影作图可分解转化为点、线段、面的正投影作图.其中被遮挡的轮廓线应画成虚线,没被遮挡的轮廓线画成实线.
【题组训练】
1.如图,长方体的一个底面ABCD在投影面P上,M,N分别
是侧棱BF,CG的中点,矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是
矩形ABCD,设它们的面积分别是S1,S2,S,则S1,S2,S的
关系是___________(用“=”“>”或“<”连起来)?
S1=S★2.一根长8厘米的木棒AB,已知AB平行于投影面α,投影线垂直于α.
(1)求影长A1B1的长度(如图(1)).
(2)若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°.求旋转后木棒的影长A2B2(如图(2)).
解:(1)A1B1=AB=8厘米.
(2)略
【火眼金睛】
王明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上,如图,此时测得地面上的影长为8米,坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为30°,同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,求树的高度.
正解:如图,延长AC交BF的延长线于D点,
则∠CFD=30°.
作CE⊥BD于E,在Rt△CFE中,
∠CFE=30°,CF=4,
∴CE=2,EF=4cos 30°=2 ,
在Rt△CED中,CE=2,
∵同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,∴DE=4.
∴BD=BF+EF+ED=12+2 .
∵△DCE∽△DAB,且CE∶DE=1∶2,
∴在Rt△ABD中,
AB= BD= ×(12+2 )=6+ .
∴树的高度为(6+ )米.
【一题多变】
如图,电线杆上有盏路灯O,王明从点F出发,沿直线FM运动,当他运动2 m到达点D处时,测得影长DN=0.6 m,再前进2 m到达点B处时,测得影长MB=1.6 m.(图中线段AB,CD,EF表示王明的身高)
(1)请画出路灯O的位置和王明位于F处时,在路灯灯光下的影子.
(2)求王明位于F处的影长.
略
【母题变式】
(变换条件和问法)学习投影后,王明、王颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律.如图,在同一时间,身高为1.6 m的王明(AB)的影子BC长是3 m,而王颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点,并测得HB=6 m.
(1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G.
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH.
略
(共45张PPT)
3.2
直棱柱、圆锥的侧面展开图
【知识再现】
扇形弧长公式为:l=_____;扇形面积公式为
S扇形=______或S扇形=______.?
【新知预习】阅读教材P101-103,归纳结论:
1.直棱柱
(1)特征:①有两个面互相_________,且完全相同称
为底面;?
②其余各个面均为_________,称它们为侧面;?
③侧棱_________于底面.?
平行
矩形
垂直
(2)命名:根据底面图形的_________,命名直棱柱.?
(3)正棱柱:底面是_____________的棱柱叫作正棱柱.?
(4)侧面展开图:是一个_________,长是直棱柱的底面
_________,宽是棱柱的___________.?
边数
正多边形
矩形
周长
侧棱长
2.圆锥及其侧面展开图
(1)圆锥
①圆锥的组成:圆锥是由一个底面和一个_________
围成的;?
②圆锥的母线:连接圆锥_________和底面圆周上
任意一点的线段叫作圆锥的母线.?
(2)圆锥的侧面积:S侧=________.?
侧面
顶点
πrl
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.(2019·金华婺城区模拟)下列图形中,可以作
圆锥侧面展开图的是 ( )
A
2.(2019·山西中考)某正方体的每个面上都有一个
汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与
“点”字所在的面相对的面上的汉字是 ( )
A.青 B.春
C.梦 D.想
B
知识点一 直棱柱及其侧面展开图(P102例1拓展)
【典例1】(2019·南京鼓楼区期末)下列四张正方形
硬纸片,剪去阴影部分后,如果沿虚线折叠,可以围成
一个封闭的长方体包装盒的是 ( )
A
【思路点拨】从实物出发,然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形.
【学霸提醒】
直棱柱侧面展开图的特点
1.形状:都是矩形.
2.组成:n棱柱,则侧面展开图由n个小矩形组成.
3.面积:底面周长×高.
【题组训练】
1.(2019·泉州南安期末)如图,从左到右的三个图形
是由立体图形展开得到的,则相应的立体图形依次
是 ( )
C
A.正方体、圆柱、圆锥
B.正方体、圆锥、三棱锥
C.正方体、圆柱、三棱柱
D.三棱锥、圆柱、正方体
★2.如图所示是某长方体形状包装盒的表面展开图,根
据图中的数据,该包装盒的容积是(包装盒材料的厚度
忽略不计) ( )
A
A.40×70×80 B.80×80×40
C.40×40×70 D.70×70×80
★★3.(2019·沧州期末)如图所示是长方体的平面展开图,设AB=x,若AD=4x,AN=3x.
(1)求长方形DEFG与长方形ABMN的周长(用字母x进行表示).
(2)若长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8,求x的值.
(3)在第(2)问的条件下,求原长方体的容积.
解:(1)∵AB=x,AD=4x,AN=3x,
∴长方形DEFG的周长为2(x+2x)=6x,
长方形ABMN的周长为2(x+3x)=8x.
(2)依题意,8x-6x=8,
解得:x=4.
(3)原长方体的容积为x·2x·3x=6x3,
将x=4代入,可得容积6x3=384.
知识点二 圆锥及其侧面展开图(P103例2拓展)
【典例2】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.
(1)以直线BC为轴,把△ABC旋转一周,求所得圆锥的底面圆周长.
(2)以直线AC为轴,把△ABC旋转一周,求所得圆锥的侧面积.
【思路点拨】(1)易得底面半径为6,直接利用圆的周长公式求得底面圆的周长即可.
(2)利用勾股定理求得母线的长,然后求得圆锥的侧面积即可.
【自主解答】(1)2π×6=12π.∴圆锥的底面圆的
周长为12π.
(2)∵∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴AB= =10,
∴以直线AC为轴,把△ABC旋转一周,得到的圆锥的
侧面积= ×10×2π×8=80π.
【学霸提醒】
圆锥和其侧面展开图之间转换的“两个对应”
1.圆锥的母线与展开后扇形的半径的对应.
2.展开后扇形的弧长与圆锥底面周长的对应,根据这两个对应关系列方程求解是解决这两者转换问题的主要方法.
【题组训练】
1.由立体图形展开的平面图中,没有长方形的几何体
是 ( )
A.正方体 B.圆锥
C.圆柱 D.棱柱
B
★2.已知一个圆锥的底面半径为3 cm,母线长为
10 cm,则这个圆锥的侧面积为 ( )
A.15π cm2 B.30π cm2
C.60π cm2 D.3 cm2
B
★3.(2019·聊城月考)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm,弧长为12π cm的扇形,求这个圆锥的侧面积及高.
解:这个圆锥的侧面积为: ×12×12π=72π(cm2),
设底面圆的半径为r,则2πr=12π,
解得:r=6.
故这个圆锥的高为:
★★4.(2019·聊城月考)已知扇形的圆心角为120°,面积为300π cm2.
(1)求扇形的弧长.
(2)若把此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的体积是多少?
解:(1)设扇形的半径为r.
则有: =300π,
解得r=30 cm,
∴扇形的弧长= =20π cm.
(2)设圆锥的底面圆的半径为x.
则有:2π·x=20π,∴x=10 cm,
∴圆锥的高为
∴圆锥的体积为
【火眼金睛】
已知圆锥的侧面展开图的圆心角为180°,底面面积为15 cm2,求圆锥的侧面积.
正解:设圆锥的底面半径为r,
∵S底=15 cm2,∴πr2=15,
∴r=
圆锥底面圆周长为C=2πr=2 (cm),
圆锥侧面展开图的圆心角为180°,
则圆锥的侧面展开图为半圆,
所求侧面积为
【一题多变】
如图,正方体的下半部分漆上了黑色,在如图的正方体表面展开图上把漆黑色的部分涂黑(图中涂黑部分是正方体的下底面).
解:根据正方体展开图找出下底面和上底面,再把漆黑色的部分涂黑.如图所示:
【母题变式】
【变式一】(变换条件)如图,一个几何体上半部为正四
棱锥,下半部为立方体,且有一个面涂有颜色.下列图形
中,是该几何体的表面展开图的是 ( )
B
【变式二】(变换问法)如图,透明的圆柱形容器(容器
厚度忽略不计)的高为12 cm,底面周长为10 cm,在容器
内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁
正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm与饭粒相对的点A
处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ( )
A
A.13 cm B.2 cm
C. cm D.2 cm
(共45张PPT)
3.3
三 视 图
【知识再现】
1.物体的正投影是指投影线_________照射在投影面
上的物体投影.?
2.从不同方向,可以发现物体的正投影也_________.?
垂直
不同
【新知预习】阅读教材P105-108,归纳结论:
1.视图:我们从某一个角度观察物体在这种
___________下的像就称为该物体的一个视图.?
2.三视图包括:_______视图;_______视图;
_______视图.?
正投影
主
左
俯
3.三个视图之间的位置关系:三视图的位置是有规定的,
主视图要在左_________,它的_________是俯视图,左视
图在主视图的_________.?
上边
下方
右边
4.三视图的画法规则:遵循主视图与俯视图的
___________,主视图与左视图的___________,
左视图与俯视图的___________的原则.?
长对正
高平齐
宽相等
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.(2019·宝安区二模)如图,是由5个大小相同的小立
方体搭成的几何体,主视图和左视图相同的是 ( )
D
2.(2019·河池中考)某几何体的三视图如图所示,
该几何体是 ( )
A.圆锥
B.圆柱
C.三棱锥
D.球
A
知识点一 几何体的三视图及其画法
(P108例3拓展)
【典例1】一种机器上有一个零件叫燕尾槽(如图),为了准确测出这个零件,请画出它的三视图.
【思路点拨】认真观察实物,可得主视图为矩形上去掉一个等腰梯形,左视图为矩形,矩形中应有虚线即为看不见的部分,俯视图为有两条实线和两条虚线的矩形.
【自主解答】燕尾槽的三视图如图所示
【学霸提醒】
画三视图的原则
1.先画主视图,在主视图正下方画俯视图,注意与主视图“长对正”,在主视图正右方画左视图,注意与主视图“高平齐”,与俯视图“宽相等”.
2.看得见部分的轮廓线画成实线,看不见部分的轮廓线画成虚线.
【题组训练】
1.(2019·山西模拟)如图所示几何体的左视图
是( )
B
★2.(2019·合肥一模)如图是由7个同样大小的正方体
摆成的几何体,将正方体①移走后,所得几何体( )
A.主视图改变,左视图改变
B.主视图改变,左视图不变
C.俯视图改变,左视图改变
D.俯视图不变,左视图不变
B
★★3.(2019·铁岭期末)画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图.
略
知识点二 由三视图判断几何体(P109例4拓展)
【典例2】如图①②分别是两个物体的三种视图,试比较两者的区别与联系,并想象它们各自的实物形状.
【思路点拨】观察这两个物体的三种视图:它们的俯视图、左视图完全一致;主视图基本一致,只有图形中相同位置的轮廓线有实线、虚线的区别,因此它们各自的形状有明显不同.
【自主解答】图①的主视图上是实线,可判断为一块三棱柱形几何体摆在物体的正中间;图②的主视图上是虚线,可判断为两块三棱柱形几何体分开摆放,一块在前一块在后.它们的实物形状如图③④.
【学霸提醒】
由三视图想象几何体的形状,可以通过如下途径进行分析:
(1)根据主视图、俯视图、左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长宽高.
(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线.
(3)熟记一些简单几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助.
【题组训练】
1.(2019·荆州中考)某几何体的三视图如图所示,
则下列说法错误的是 ( )
A.该几何体是长方体
B.该几何体的高是3
C.底面有一边的长是1
D.该几何体的表面积为18平方单位
D
2.如图,是由几个相同的小正方体搭成的几何体的
左视图,这个几何体的摆搭方式可能是 ( )
A
★★3.(2019·梅州期末)如图是某几何体从不同方向
看到的图形.
(1)写出这个几何体的名称.
(2)若从正面看的高为10 cm,从上面看的圆的直径为
4 cm,求这个几何体的侧面积.(结果保留π)
解:(1)这个几何体是圆柱.
(2)∵从正面看的高为10 cm,从上面看的圆的直径
为4 cm,∴该圆柱的底面直径为4 cm,高为10 cm,
∴该几何体的侧面积为2πrh=2π×2×10=40π(cm2).
【火眼金睛】
画出如图所示几何体的三视图.
正解:左视图与主视图图形一样,俯视图漏画线.
【一题多变】
(2019·安庆一模)如图分别是某校体育运动会的颁奖
台和它的主视图,则其俯视图是 ( )
A
【母题变式】
【变式一】(变换条件)几个相同的小正方体所搭成的
几何体的俯视图如图所示,小正方形中的数字表示在
该位置小正方体的个数,其主视图是 ( )
D
【变式二】(变换问法)某加工厂要加工一批密封罐,设计者给出了密封罐的视图如图所示,请按照视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积.
解:S=2S六边形+6S长方形
=2×6× +6×50×50
=7 500 +15 000.
故每个密封罐所需钢板的面积为7 500 +15 000.
【解题总结】在本题中先由视图得出该几何体是正六棱柱,再由视图中的数据确定正六棱柱的底面边长和高,充分体现了数形结合思想.
(共19张PPT)
单元复习课
第3章 投影与视图
考点1 圆锥的有关计算(考查方式:根据题目所给数据,直接求圆锥的侧面积)
教材这样教(P104习题第4题)
如图,已知一个圆锥的母线AB=10 cm,底面半径OB=5 cm,求圆锥的侧面积.
解:圆锥的侧面积=π×5×10=50π.
中考这样考
(2018·遵义中考)若要用一个底面直径为10,高为12的
实心圆柱体,制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和
高相同的圆锥,则该圆锥的侧面积为 ( )
A.60π B.65π C.78π D.120π
B
专家这样说
此题主要考查了圆锥侧面展开图的形状及扇形面积的计算,关键是掌握扇形面积的计算公式及圆锥中各个量与扇形中各个量的关系.
考点2 确定几何体的三视图(考查方式:根据几何体确定它的三视图形状)
教材这样教(P108练习第1题)
画出如图摆放的正三棱柱的三视图.
解:三视图如图所示.
中考这样考
(2019·天门中考)如图所示的正六棱柱的主视图
是 ( )
B
专家这样说
画简单组合体的三视图时,要把组合体分割成圆柱、圆锥等规则几何体来画视图的长、宽、高,应满足“长对正,高平齐,宽相等”.一般地,看得见的轮廓线都画成实线,看不见的画成虚线,不能漏掉.
考点3 根据三视图判断几何体及相关的计算(考查方式:由几何体的三视图还原几何体,并根据给定的数据进行相关的计算)
教材这样教(P116复习题第6题)
一个物体的三视图如图,其中主视图和左视图都是腰长为3,底边为2的等腰三角形,根据三视图求这个物体的表面积,并画出该物体的侧面展开图.
解:S表= ×2π×1×3+π=4π,侧面展开图如图所示
中考这样考
(2018·东营中考)已知一个圆锥体的三视图如图所示,
则这个圆锥的侧面积为_________.?
20π
专家这样说
本题考查了简单空间几何体的三视图,由三视图还原原几何体,首先是看俯视图,然后结合主视图和左视图得原几何体,解答的关键是明白三种视图都是图形在与目光视线垂直面上的投影,此题是基础题.
