第二章 平面向量 单元测试卷（A）（含答案解析）

中小学教育资源及组卷应用平台


平面向量单元测试卷（A）
一、单选题
1．在△ABC中，=（2，3），=（1，k）,若△ABC为直角三角形，则k的值为 （ ）
A．－ B． C．－或 D．－、或
2．下列命题中正确的个数是 ( 　)
（1）若为单位向量，且，则； （2）若且，则；
（3）； （4）若平面内有四点A、B、C、D，则必有.
A．0 B．1 C．2 D．3
3．在中，设，则动点M的轨迹必通过的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
4．已知向量满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
5．已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
6．向量＝(－1,1)，且与＋2方向相同，则的取值范围是 (　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
7．如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）

B． C． D．

8．已知△ABC是正三角形,若a=-λ与向量的夹角大于90°,则实数λ的取值范围是(　　)
A．λ< B．λ<2 C．λ> D．λ>2
9．若，则实数k的值为 （ ）
A．-6 B．6 C．-3 D．3
10．如图，过点的直线与函数的图象交于A，B两点，则等于（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知向量，如果，那么
A．且与同向 B．且与反向
C．且与同向 D．且与反向
12．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．


二、填空题
13．（理）在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标为_____________________．
14． 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.


15．已知与的夹角为90°，||＝2，||＝1，＝λ＋μ (λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________．
16．已知，，且，则向量在向量的方向上的投影为__________．
17．若平面向量满足平行于轴，，则__________．

三、解答题
18．在平面直角坐标系xOy中，已知向量，
求证：且．
设向量，，且，求实数t的值．
19．已知，=3，=5，=7．
（1）求与的夹角；
（2）是否存在实数k，使与垂直？
20．设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)求c在a方向上的投影；
21．已知，，与夹角是．
（1）求的值及的值；
（2）当为何值时，？
22．已知是夹角为的两个单位向量，，.
（1）求；
（2）求与的夹角.



参考答案
1．D【解析】当A为直角时，=0，所以，
当B为直角时，=0，=0,所以，
当C为直角时，=0，=0,
所以，
综上，选D.
2．B
【解析】若为单位向量，且，则；(1)错，
若，则但不一定成立；（2）错，
因为，所以（3）错，
因为,所以（4）对，
选B.
3．D【解析】


设为中点，则

为的垂直平分线
轨迹必过的外心
本题正确选项：
4．B因为
所以选B.
5．D【解析】由题意可知：，
则，
，
据此可得向量在向量方向上的投影为.
本题选择D选项.
6．B【解析】
因为与＋2方向相同，可设＋2(t>0),所以，
因此，选B.
7．B【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为，
由此，，故，
解得.故选B.
8．D【解析】由已知可得a·<0,即(-λ)·<0,因此||2-λ<0,若设正三角形ABC边长为m,则有m2-m2λ<0,解得λ>2.
故答案为：D
9．B【解析】因为所以=0，
因为，所以，
因此选B.
10．B【解析】由正弦函数图像中心对称可知，点为点的中点．由向量加法的平行四边形法则可得,所以.故B正确.
11．D
【解析】与不共线，所以
此时，即与反向，选D.
12．A【解析】

，
所以，故选A.
13．
【解析】由题意可设
所以，
因为||＝2，所以,即的坐标为.
14．.
【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，。
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为。
由得，，
所以。
所以。

15．
【解析】

根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，所以＝(0,2)，＝(1,0)，＝(1，－2)．设M(x，y)，则＝(x，y)，所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又＝λ＋μ，即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以=.
答案：.
16．
【解析】，，且
设，的夹角为，则
向量在向量的方向上的投影
17．（-1,1）或（-3,1）
【解析】设，则
平行于轴,得出,解得
又
解得,或
或
故答案为:.
18．（1）详见解析；（2）或4．
【解析】证明：，所以，
因为，所以；
（2）因为，所以；
由得：
，所以，
解得或4．
19．(1) .
(2) k=时，与垂直．
【解析】（1）由，得，所以，即，则，所以=，则==，所以；
（2）由于（）·（）===0，
所以k=时，与垂直．


20．（1）；（2）.
【解析】(1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，a·b＝－1×4＋1×3＝－1，|a|＝，|b|＝5，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
(2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7，∴c在a方向上的投影为＝＝－.
21．（1）；（2）
【解析】（1）由向量的数量积的运算公式，可得，
.
（2）因为，所以，
整理得，解得．
即当值时，．
22．(1) ;(2) 与的夹角为.
【解析】（1）向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开=0.
∵是夹角为的两个单位向量，∴，
(1)
(2) ,
,
∴，
∴与的夹角为.








试卷第1页，总3页


HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)