第二章 平面向量单元测试卷（B）（含答案解析）

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平面向量单元测试卷（B）
一、单选题
1．已知平面向量与的夹角为，若，，则（ ）
A．3 B．4 C． D．2
2．在中，，，.D是BC边上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量，满足，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若=x+y，则x=（　　）

A．2 B． C． D．
5．如图，在中，，，，则（ ）

A． B． C． D．
6．若向量，满足条件，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
7．非零向量，互相垂直，则下面结论正确的是( )
A． B．
C． D．
8．设是两个非零向量，的夹角，若对于任意实数t，得最小值为1，则下列判断正确的是（ ）
A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则确定
9．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
10．已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（　　）
A． B．2 C． D．1
11．已知点为线段上一点，为直线外一点，是的角平分线，为上一点，满足，，，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
12．已知平面向量不共线，且，，记与 的夹角是，则最大时，（ ）
A． B． C． D．







二、填空题
13．已知点M是所在平面内的一点，若满足，且，则实数的值是______.
14．在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．

15．已知是单位圆上的两点，，点是平面内异于的动点，是圆的直径．若，则的取值范围是________．
16．已知点在的边上，且，若，则的最大值为____________．
17．已知的面积为16，，则的取值范围是______．

三、解答题
18．已知，是互相垂直的两个单位向量，，.
（1）求和的夹角；
（2）若，求的值.
19．已知向量的夹角为，且，设，
（1）若，求实数的值
（2）当时，求与的夹角
（3）是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20．四边形中，，，．
（1），试求与满足的关系式；
（2）满足（1）的同时又有，求的值和四边形的面积．
21．已知向量，，且，求：
（1）和的取值范围；
（2）函数的最小值.
22．已知，对于任意点，点关于点的对称点为点，点关于点的对称点为点.
（1）用，表示向量；
（2）设，求与的夹角的取值范围.



参考答案
1．A【解析】根据题设条件，平方化简，得到关于的方程，即可求解结果.
详解：由题意，且向量与的夹角为，
由，则，
整理得，解得，故选A.
2．A【解析】假设，根据向量的加法、减法运算，用表示分别出，结合数量积公式以及函数单调性，可得结果.
【详解】
设，所以

又，可知

所以

化简可得

又，，
所以

则
即，
又在递增
所以

故故选：A
3．D【解析】

因为，所以，即，由余弦定理可得，如图，建立平面直角坐标系，则，由题设点在以为圆心，半径为的圆上运动，结合图形可知：点运动到点时，，应选答案D。
4．C【解析】 在正方形中，，分别是边，的中点，
，，，
，

解得：故选：．
5．D【解析】∵，∴，
又∵，∴，
∴，故选．
6．C【解析】由，可知点是的外心，
又，可知点是的重心，
所以点既是的外心，又是的重心，
故可判断该三角形为等边三角形，
故选：C
7．C【解析】由题意，非零向量与垂直，即，
则 ， ，
所以，故选C.
8．D【解析】解法一,一般法：,则令,
可得判别式,
由二次函数的性质,可得恒成立.
当且仅当时,最小,且最小为1.
即,
故当若确定,则唯一确定；
9．A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.

设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则 ，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
10．C
【解析】由-（）?+=0得：（）?（-）=0，即（）⊥（-），
设=，=，=，
则=，-=，
则点C在以AB为直径的圆O上运动，

由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，
设∠ADC=θ，
则|DC|=|DO|+|AO|=sinθ+cosθ=sin（），
所以当时，|DC|取最大值，故选C．
11．B【解析】由可得，
所以I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，
过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△PAB的内切圆，

如图，分别切PA，PB于E，F，
，则，
，
在直角三角形BIH中,，
所以.
故选：B.
12．C【解析】设，则，，
所以.易得，
，
当时，取得最小值，取得最大值，
此时.故选C.
13．【解析】记

，.
又
，从而有.

14．【解析】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知， ，可得，，由可得，，故答案为.
15．【解析】因为是单位圆的直径，
所以.
在中，，，
所以，.
因为，所以点在以为直径的圆上，
其圆心为的中点，半径为.

易得，又点异于，
所以且.
所以且，
即且.
所以的取值范围是.
16．【解析】如图所示，以CD的中点为坐标原点，AB所在的直线为轴建立直角坐标系，
不妨设
因为，所以，
又由，所以，
整理得，
又由，
当且仅当向量与向量共线时取等号，
所以的最大值为。

17．【解析】由于为定值，故点到的距离为定值，由面积得.点在平行于的直线上运动.当位于的垂直平分线上时，由于，此时三角形为等腰直角三角形，且.点在其它位置时.故.

18．（1）；（2）.
【解析】（1）因为，是互相垂直的单位向量，所以 ， ，
设与的夹角为，故， 又 ，故
（2）由得 ，即，又
故
19．（1） ； （2） ；（3）存在，理由见解析
【解析】(1)因为故,所以,
故
(2)当时, ,故,此时
故夹角为
(3)由则成立,所以.
因为不共线,故 ,即存在使
20．(1) (2) 或；．
【解析】（1）依题意：
∵ ∴，
即：，得；
（2），
当时，，得：，
代入，解方程得：或，故或；
当时，则，
此时求得：；
②当时，则，
此时求得：；
∴．
21．（1），；（2）.
【解析】（1）因为，
所以
化简得：，因为
所以
则
所以
则的取值范围是
又，，
所以
故，又
所以，则
所以
（2）由（1）可知

令
所以，
令
则
由在单调递减
所以
所以的最小值为
22．（1）；（2）
【解析】（1）依题意，为的中点，为的中点，所以.
所以.
（2）因为，所以.由（1）得，
所以，所以，所以.
因为，所以.因为，所以.





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