1.3.2 线段的垂直平分线 导学案
课题
1.3.2 线段的垂直平分线
课型
新授课
学习目标
1、能熟练运用线段的垂直平分线的性质定理和判定定理；
2、掌握过点作已知直线的垂线的方法。
重点难点
能熟练运用线段的垂直平分线的性质定理和判定定理
感知探究
自自主学习
阅读课本24、25页，回答下列问题：
怎样过点作已知直线的垂线，并与同伴交流?
自自学检测
1、如图，在△ABC中，作边BC的垂直平分线，与线段AB交于点E(不与点A重合)，请比较大小：AB______AC(用“>”，“=”或“<”填空)
2、如图，在中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，．
求证：DF是线段AB的垂直平分线；
当，时，求及的度数．
合合作探究
探究一：
求证： 三角形三条边的垂直平分线相交于一
点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知：如图 1-19，在 △ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 BC 的垂直平分线相交于点 P.
求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P，
且 PA =PB = PC.
探究二：
议一议
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？
已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.
已知：如图 1-20（1），线段 a，h.求作：△ABC，使 AB = AC，且BC = a，高 AD = h.
探究三：
做一做
已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.
如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流.
四、
当堂检测
1、下列命题中正确的命题有( )
①线段垂直平分线上任一点到线段两端点的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端点的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外，且PA= PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的垂直平分线．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE.判断线段DE和BF是否相等？请说明你的理由．
3、已知：在平面直角坐标xoy中，等边的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰的顶点C在第四象限，，． 如图1，连接BC，求证：BC垂直平分线段OA ?当时，在x轴上存在点D，使得是以O点为顶角所在顶点的等腰三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标； 如图2，现有，其两边分别与OB，AB交于点M，N，连接使得M，N始终在边OB和边AB上，且求的周长．
作业：
必做题：
课本P26练习第1、2题
跟踪练习册
选做题：
课本P27练习第3、4题
课堂小结：师生互动，本节课你学到了什么
参考答案：
自学检测
1、解：连接EC， 是边BC的垂直平分线， ， 在中，， ，即， 故答案为：．
2、证明：(1)∵∠A=∠ABE，
∴EA=EB，
∵AD=DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
(2)∵∠A=46°，
∴∠ABE=∠A=46°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=21°，
∠F=90°-∠ABC=23°．
探究一：
证明：∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，
∴ PA = PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.
同理，PB = PC. ∴ PA = PB = PC.
∴ 点 P 在线段 AC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），
即 边 AC 的垂直平分线经过点 P.
探究二：
作法：
（1）作线段 BC = a（如图 1-20（2））.
（2）作线段 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于点 D.
（3）在 l 上作线段 DA，使 DA = h.
（4）连接 AB，AC. △ABC 为所求的等腰三角形.
作法：
1、以点P为圆心，以任意长为半径画弧，与直线l相交于点A、B；
2、分别以AB为圆心，以大于 AB的长度为半径画弧，两弧相交于点MN，连接MN，即可得出直线l的垂线。
当堂检测
1、解：①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，正确；
②垂直平分线是直线没有端点，错误；
③经过线段中点的直线有无数条，错误；
④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；
⑤只有线段的中点可以作垂直平分线，错误 ；
故选A．
2、
解：，
理由如下： 连接BD，
点D在线段AB的垂直平分线上， ， ． 在中， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ． 在和中， ， ≌， ．
3、解：证明：等边，
，
点在线段OA的垂直平分线上，
，
点在线段OA的垂直平分线上，
垂直平分线段
当时，
等边，，，
，，，
，
，
符合条件的点D的坐标，；
延长BO到E，使，连CE， 在和中， ，
≌，
，，
，，
，，
， 在和中， ，
≌，
，
，
的周长
．
课件29张PPT。1.3.2 线段的垂直平分线北师大版 八年级下复习导入我们学过等式的基本性质，请同学们回忆一下？亲爱的同学们复习导入 1. 等式两边加上或减去同一个数或公式，结果仍相等。
2. 等式两边乘以或除以同一个不为0的数，结果仍相等。求证： 三角形三条边的垂直平分线相交于一
点，并且这一点到三个顶点的距离相等.已知：如图 1-19，在 △ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 BC 的垂直平分线相交于点 P.
求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P，
且 PA =PB = PC.图 1-19图 1-19证明：∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，
∴ PA = PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.
同理，PB = PC. ∴ PA = PB = PC.
∴ 点 P 在线段 AC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），
即 边 AC 的垂直平分线经过点 P.议一议（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.
已知：如图 1-20（1），线段 a，h.求作：△ABC，使 AB = AC，且BC = a，高 AD = h.图 1-20（1）作法：
（1）作线段 BC = a（如图 1-20（2））.
（2）作线段 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于点 D.
（3）在 l 上作线段 DA，使 DA = h.
（4）连接 AB，AC. △ABC 为所求的等腰三角形.A CDBl做一做已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.我的作法如
图 1-21 所示.图 1-21 你能明白小明的作法吗？你是怎样作的？lPmAB作法：
1、以点P为圆心，以任意长为半径画弧，与直线l相交于点A、B；
2、分别以A、B为圆心，以大于 AB的长度为半径画弧，两弧相交于点MN，连接MN，即可得出直线l的垂线。MN议一议如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流.lAB作法：
1、以点P为圆心，以大于P到l的距离为半径画弧，与直线l相交于点A、B；
2、分别以A、B为圆心，以大于 AB的长度为半径画弧，两弧相交于点MN，连接MN，即可得出直线l的垂线。PNM1、下列命题中正确的命题有( )
①线段垂直平分线上任一点到线段两端点的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端点的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外，且PA= PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的垂直平分线．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个A解：①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，正确；
②垂直平分线是直线没有端点，错误；
③经过线段中点的直线有无数条，错误；
④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；
⑤只有线段的中点可以作垂直平分线，错误 ；
故选A．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE.判断线段DE和BF是否相等？请说明你的理由．解：DE=BF，
理由如下：连接BD，
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=22.5°．
在Rt△ABC中
∵∠ACB=90°，∠A=22.5°，∴∠ABC=67.5°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC=DC．在△ECD和△FCB中，
CE=CF ∠DCE=∠BCF CD=CB，
∴Rt△ECD≌Rt△FCB(SAS)，
∴DE=BF．中考链接驶向胜利的彼岸已知：在平面直角坐标xoy中，等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠OCA=120°．(1)如图1，①连接BC，求证：BC垂直平分线段OA
②当BC=4时，在x轴上存在点D，使得△OCD是以O点为顶角所在顶点的等腰三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标；中考链接驶向胜利的彼岸(2)如图2，现有∠MCN=60°，其两边分别与OB，AB交于点M，N，连接MN.使得M，N始终在边OB和边AB上，且OB=6.求△BMN的周长图2中考链接驶向胜利的彼岸解：(1)①证明：∵等边△OAB，
∴OB=AB，
∴B点在线段OA的垂直平分线上，
∵OC=AC，
∴C点在线段OA的垂直平分线上，
∴BC垂直平分线段OA ;中考链接驶向胜利的彼岸②当BC=4时，
∵等边△OAB，OC=AC，∠OCA=120°，
∴∠BOA=60°，∠AOC=30°，∠OBC=30°，
∴∠BOC=90°，
∴OC= BC=2，
∴符合条件的点D的坐标(2,0)，(-2,0)；中考链接驶向胜利的彼岸(2)延长BO到E，使OE=AN，连CE，
在△OCE和△ACN中，
OC=AC ∠EOC=∠NAC=90° OE=AN，
∴△OCE≌△ACN(SAS)，
∴CE=CN，∠ECO=∠NCA，
∵∠MCN=60°，∠OCA=120°，
∴∠ECN=120°，∠ECM=60°，∴∠ECM=∠MCN=60°，
E中考链接驶向胜利的彼岸在△ECM和△NCM中，
CE=CN ∠ECM=∠MCN=60° MC=MC，
∴△ECM≌△NCM(SAS)，
∴ME=MN，
∵OB=6，
∴△BMN的周长=BM+BN+MN=OB+AB=6+6=12E课堂总结定理的运用线段垂直平分线过点作已知直线的垂线板书设计 1.3.2 线段的垂直平分线
1、定理的运用
2、过点作已知直线的垂线
点在直线上
点在直线外必做题：
课本P26练习第1、2题
跟踪练习册
选做题：
课本P27练习第3、4题
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