课件25张PPT。1.4.2 角平分线北师大版 八年级下复习导入请同学们回忆一下角平分线的性质定理和判定定理吗？亲爱的同学们性质定理角平分线判定定理定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.复习导入定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.新知讲解求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.已知：如图 1-25，在 △ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别是 D，E，F.
求证：∠?A 的平分线经过点 P，且 PD = PE = PF.新知讲解新知讲解证明：∵ BM 是 △ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，
∴ PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF.
∴ 点 P 在 ∠?A 的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即 ∠?A 的平分线经过点 P.直角和钝角的三条角平分线也具有同样的性质如图 1-26，在 △ABC 中，AC = BC，∠?C = 90 ° ，AD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
（1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长；
（2）求证：AB = AC + CD.图 1-26（1）解：∵ AD 是 △ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为 E，
∴ DE = CD = 4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
∵ AC = BC，
∴ ∠?B = ∠?BAC（等边对等角）.
∵ ∠?C = 90 °图 1-26∴ ∠?B = × 90 ° = 45 ° .
∴ ∠?BDE = 90 ° - 45 ° = 45 ° .
∴ BE = DE（等角对等边）.
在等腰直角三角形 BDE 中，
BD = = cm（勾股定理）.
∴ AC = BC = CD + BD
=（4 + ）cm.图 1-26（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD ≌?Rt△AED（HL）.
∴ AC = AE（全等三角形的对应边相等）.
∵ BE = DE = CD，
∴ AB = AE + BE = AC + CD.图 1-261、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④BE=DE；⑤
S △BDE：S△ACD=BD：AC，其中正确的个数( )
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个C解：①正确，∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴CD=ED；
②正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC=AE，即AC+BE=AB；
③正确，因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的余角相等，所以∠BDE=∠BAC；④错误，因为∠B的度数不确定，故BE不一定等于DE；
⑤错误，因为CD=ED，△ABD和△ACD的高相等，所以
S △BDE：S△ACD=BD：AC
故选C．2、如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D=180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．试说明：(1)△CBE≌△CDF；(2)AB+DF=AF．(1)证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，∠CEB=∠CFD=90°，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠EBC=∠D，
∴在△CBE和△CDF中，
∠EBC=∠D ∠CEB=∠CFD CE=CF，
∴△CBE≌△CDF(AAS)．(2)证明：在Rt△AEC和Rt△AFC中，
CE=CF AC=AC，
∴△ACE≌△ACF(HL)，
∴AE=AF，
∴AB+DF=AB+BE=AE=AF．中考链接驶向胜利的彼岸如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)求证：BF⊥AE；
(3)请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．中考链接驶向胜利的彼岸证明：(1)∵BC⊥CA，DC⊥CE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCD+∠DCG=∠ACE+∠DCG，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
BC=CA ∠BCD=∠ACE CD=CE,
∴△ACE≌△BCD(SAS)；驶向胜利的彼岸(2)∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠BGC=∠AGF，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴BF⊥AE；中考链接中考链接驶向胜利的彼岸(3)∠CFE=∠CAB，理由如下：
过C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，
∵△BCD≌△ACE，
∴AE=BD，S△ACE=S△BCD，∴CH=CI，
∴CF平分∠BFH，
∵BF⊥AE，∴∠BFH=90°，∠CFE=45°，
∵BC⊥CA，BC=CA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，∴∠CFE=∠CAB．课堂总结性质定理的运用角平分线判定定理的运用用于证明两个角相等
一条射线是一个角的角平分线
一个点在一条射线上证明两条线段相等
用于几何作图板书设计 1.4.2 角平分线
1、性质定理的运用
2、判定定理的运用必做题：
课本P32练习第1、2题
跟踪练习册
选做题：
课本P32练习第3、4题
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1.4.2 角平分线 导学案
课题
1.4.2 角平分线
课型
新授课
学习目标
1、能熟练运用角平分线的性质定理和判定定理；
2、综合运用角平分线的性质定理和判定定理。
重点难点
能熟练运用角平分线的性质定理和判定定理
感知探究
自自主学习
阅读课本30、31页，回答下列问题：
请同学们回忆一下角平分线的性质定理和判定定理吗？
自自学检测
1、如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD=CD．
求证：BE=CF．
2、 如图所示，在△ABC中，∠A=90°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD=6cm，BC=15cm，求：△BDC的面积．
合合作探究
探究一：
求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
已知：如图 1-25，在 △ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别是 D，E，F.
求证：∠?A 的平分线经过点 P，且 PD = PE = PF.
探究二：
如图 1-26，在 △ABC 中，AC = BC，∠?C = 90 ° ，AD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
（1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长；
（2）求证：AB = AC + CD.
四、
当堂检测
1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④BE=DE；⑤S_BDE：S_(△ACD)=BD：AC，其中正确的个数( )
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
2、 如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D=180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．
试说明：(1)△CBE≌△CDF；
(2)AB+DF=AF．
如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)求证：BF⊥AE；
(3)请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．
作业：
必做题：
课本P32练习第1、2题
跟踪练习册
选做题：
课本P32练习第3、4题
课堂小结：师生互动，本节课你学到了什么
参考答案：
自学检测
1、证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
又∵BD=CD，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)．
∴BE=CF．
2、解：平分，，， ， 的面积．
合作探究
探究一：
证明：∵ BM 是 △ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，
∴ PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF.
∴ 点 P 在 ∠?A 的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即 ∠?A 的平分线经过点 P.
探究二：
（1）解：∵ AD 是 △ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为 E，
∴ DE = CD = 4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
∵ AC = BC，
∴ ∠?B = ∠?BAC（等边对等角）.
∵ ∠?C = 90 °
∴ ∠?B = × 90 ° = 45 ° .
∴ ∠?BDE = 90 ° - 45 ° = 45 ° .
∴ BE = DE（等角对等边）.
在等腰直角三角形 BDE 中，
BD = = cm（勾股定理）.
∴ AC = BC = CD + BD
=（4 +）cm.
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD ≌?Rt△AED（HL）.
∴ AC = AE（全等三角形的对应边相等）.
∵ BE = DE = CD，
∴ AB = AE + BE = AC + CD.
当堂检测
解：正确，在中，，AD平分，于E， ； 正确，因为由HL可知≌，所以，即； 正确，因为和都与互余，根据同角的余角相等，所以； 错误，因为的度数不确定，故BE不一定等于DE； 错误，因为，和的高相等，所以：：AC． 故选C．
2、证明：平分，，， ，， ，， ， 在和中， ， ≌． 证明：在和中， ， ≌， ， ．
3、证明：平分，，， ，， ，， ， 在和中， ， ≌． 证明：在和中， ， ≌， ， ．
证明：，， ， ， 即， 在与中， ≌； ≌， ， ， ， ； ，理由如下： 过C作于H，于I， ≌， ，， ， 平分， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ．
