1.4.1 角平分线 导学案
课题
1.4.1 角平分线
课型
新授课
学习目标
1、能熟练运用角平分线的性质定理和判定定理；
2、综合运用角平分线的性质定理和判定定理。
重点难点
能熟练运用角平分线的性质定理和判定定理
感知探究
自自主学习
阅读课本28、29页，回答下列问题：
还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？请你尝试证明这
一性质，并与同伴交流.
自自学检测
1、如图，在中，，AD平分，于E，下列结论：；；；；：：AC，其中正确的个数
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
2、如图，AD是的角平分线，，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分，给出下列四个结论：；；；，其中正确的结论共有
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
合合作探究
探究一：
你是怎样得到的？请你尝试证明这一性质，并与同伴交流.
已知：如图 1-22，OC 是 ∠?AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE.
探究二：
你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
已知：如图 1-23，点 P 为 ∠?AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，且 PD = PE.
求证：OP 平分 ∠?AOB.
探究三：
如图 1-24，在 △ABC 中，∠?BAC = 60 ° ，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
四、
当堂检测
1、如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于G.下列结论：①AD垂直平分EF；②EF垂直平分AD；③AD平分∠EDF；④当∠BAC为60°时，AG=3DG，其中不正确的结论的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2、如图：△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分∠BAC且MD⊥AB，DN⊥AC延长线于N.求证：BM=CN．
3、已知，AC平分，点B、D分别在AN、AM上． 如图1，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之； 如图2，若，则中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
作业：
必做题：
课本P30练习第1、2题
跟踪练习册
选做题：
课本P30练习第3、4题
课堂小结：师生互动，本节课你学到了什么
参考答案：
自学检测
1、解：正确，在中，，AD平分，于E， ； 正确，因为由HL可知≌，所以，即； 正确，因为和都与互余，根据同角的余角相等，所以； 错误，因为的度数不确定，故BE不一定等于DE； 错误，因为，和的高相等，所以：：AC． 故选C．
2、解：∵BF//AC，
∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△BDF中，
∠C=∠CBF CD=BD ∠EDC=∠FDB,
∴△CDE≌△BDF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，故④正确．
故选：A． 合作探究
探究一
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴ ∠?PDO = ∠?PEO = 90 ° .
∵ ∠?1 = ∠?2，OP = OP，
∴ △PDO ≌?△PEO（AAS）.
∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）.
探究二
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E
∴ ∠?ODP = ∠?OEP = 90 ° .
∵ PD = PE，OP = OP，
∴ Rt△DOP ≌ Rt△EOP（HL）.
∴ ∠?1 = ∠ 2（全等三角形的对应角相等）.
∴ OP 平分 ∠ AOB.
探究三
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，
且 DE = DF，
∴ AD 平分 ∠?BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵ ∠?BAC = 60 ° ，∴ ∠?BAD = 30 ° .
在 Rt△ADE 中，∠?AED = 90 ° ，AD = 10，
∴ DE=AD =× 10 = 5
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
当堂检测
1、解：是的角平分线，DE，DF分别是和的高， ，， 在和中， ， ≌， ，， 平分；正确； 平分，，， 垂直平分EF，正确；错误， ， ， ，， ， ，正确
2、证明：连接BD，DC，如图： 所在直线是BC的垂直平分线， ， 平分，过点D作于点M，交AC的延长线于点N， ， 在与中， ， ≌， ；
3、关系是： 证明：平分， 又， 则直角三角形一锐角为，则它所对直角边为斜边一半 ； 仍成立． 证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F 平分 角平分线上点到角两边距离相等 ， 又，≌ ， 由知
课件25张PPT。1.4.1 角平分线北师大版 八年级下复习导入还记得角平分线上的点有什么性质吗？亲爱的同学们定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.复习导入你是怎样得到的？请你尝试证明这一性质，并与同伴交流.新知讲解新知讲解已知：如图 1-22，OC 是 ∠?AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE.图 1-22证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴ ∠?PDO = ∠?PEO = 90 ° .
∵ ∠?1 = ∠?2，OP = OP，
∴ △PDO ≌?△PEO（AAS）.
∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）.图 1-22想一想你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.已知：如图 1-23，点 P 为 ∠?AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，且 PD = PE.
求证：OP 平分 ∠?AOB.图 1-23证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E
∴ ∠?ODP = ∠?OEP = 90 ° .
∵ PD = PE，OP = OP，
∴ Rt△DOP ≌ Rt△EOP（HL）.
∴ ∠?1 = ∠ 2（全等三角形的对应角相等）.
∴ OP 平分 ∠ AOB.如图 1-24，在 △ABC 中，∠?BAC = 60 ° ，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.图 1-24解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，
且 DE = DF，
∴ AD 平分 ∠?BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵ ∠?BAC = 60 ° ，∴ ∠?BAD = 30 ° .
在 Rt△ADE 中，∠?AED = 90 ° ，AD = 10，
∴ DE= AD = × 10 = 5
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.图 1-241、如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于G.下列结论：①AD垂直平分EF；②EF垂直平分AD；③AD平分∠EDF；④当∠BAC为60°时，AG=3DG，其中不正确的结论的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解：∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
AD=AD DE=DF ，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，
∴AD平分∠EDF；③正确；∵AD平分∠BAC，AE=AF，DE=DF，∴AD垂直平分EF，①正确；②错误，
∵∠BAC=60°，∴∠DAB=30°，
∴AG= AE，AD= AE，
∴DG= AE，
∴AG=3DG，④正确．
故选A．2、如图：△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分∠BAC且MD⊥AB，DN⊥AC延长线于N.求证：BM=CN．证明：连接BD，DC，如图：
∵DE所在直线是BC的垂直平分线，∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N，∴DM=DN，
在Rt△BMD与Rt△CDN中，
DM=DN BD=DC，
∴Rt△BMD≌Rt△CDN(HL)，∴BM=CN课堂练习中考链接驶向胜利的彼岸已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上
(1)如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
(2)如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．中考链接驶向胜利的彼岸(1)关系是：AD+AB=AC
证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°
∴∠CAD=∠CAB=60°
又∠ADC=∠ABC=90°，∴∠ACD=∠ACB=30°
则AD=AB= AC(直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半)
∴AD+AB=AC；中考链接(2)仍成立．证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F
∵AC平分∠MAN∴CE=CF(角平分线上点到角两边距离相等)
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°∴∠CDE=∠ABC
又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB(AAS)
∵ED=FB，∴AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF
由(1)知AE+AF=AC ∴AD+AB=AC课堂总结性质定理角平分线判定定理定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.板书设计 1.4.1 角平分线
1、性质定理
2、判定定理必做题：
课本P30练习第1、2题
跟踪练习册
选做题：
课本P30练习第3、4题
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