第05章 重点突破训练：平行线的性质与判定综合应用
类型一：添加辅助线解决问题
典例：（2018·全国初一月考）已知：如图，直线，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点.
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1∠2之间的数量关系.
（2）若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数.
（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连结EG，且有∠CEG=∠CEM，给出下列两个结论：
①的值不变；
②∠GEN－∠BDF的值不变.
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？讲求出不变的值是多少.
方法或规律点拨
本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．
巩固练习
1. （2018·福建师范大学泉州附属中学初一期末）（感知）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、BE，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC；
（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；
（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.
3. （2019·黑龙江初一期中）如图AB∥CD，点H在CD上，点E、F在AB上，点G在AB、CD之间，连接FG、GH、HE，HG⊥HE，垂足为H，FG⊥HG，垂足为G.
（1）求证：∠EHC+∠GFE=180°.
（2）如图2，HM平分∠CHG，交AB于点M，GK平分∠FGH，交HM于点K，求证：∠GHD=2∠EHM.
（3）如图3，EP平分∠FEH，交HM于点N，交GK于点P，若∠BFG=50°,求∠NPK的度数.
类型二：以三角板为背景的问题
典例：（2020·四川初一期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°)．
（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（2）当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE所有可能的度数及对应情况下的平行线(不必说明理由)；若不存在，请说明理由．
方法或规律点拨
本题以三角板内包含的特殊角度和三角板的变换为基础，考查了平行线的性质和判定的综合应用，解决问题的关键注意经过数形结合解决问题．
巩固练习
1. （2019·全国初一月考）一副三角板的三个内角分别是，，和，，，按如图所示叠放在一起，若固定三角形，改变三角形的位置（其中点位置始终不变），可以摆成不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行.设.
（1）如图1中，请你探索当为多少时，，并说明理由；
（2）如图2中，当______时，；
（3）若使两块三角板至少有一组的边平行，请直接写出的度数及平行的直线.
2. （2018·全国初一月考）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°＜α＜180°），使两块三角板至少有一组边平行．计算出旋转角α，并用符号表示平行的边。
类型三：应用平行线的性质和判定求角度
典例：（2019·广东初一期末）如图，EF∥AD，EF∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC=120°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若∠ACF=20°，求∠FEC的度数．
方法或规律点拨
此类问题主要考查利用平行线的性质和判定，通过数形结合，进行等角转换，即可解题.
巩固练习
1. （2019·四川初一期中）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2＋∠3＝180°．
(1) 请你判断DA与CE的位置关系，并说明理由；
(2) 若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝70°，试求∠FAB的度数．
2. （2019·泸西县中枢镇逸圃初级中学初一期中）如图，∠AFD=∠1，AC∥DE．
(1)试说明：DF∥BC；
(2)若∠1=68°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
3.（2019·九江市同文中学初一期中）已知：如图1，射线OP∥AE，∠AOP的角平分线交射线AE于点B．
（1）若∠A=50°，求∠ABO的度数；
（2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ABO-∠AOB=70°，求∠ADO的度数；
（3）如图3，若∠A=α，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，…，∠Bn-1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn-1，Bn都在射线AE上，试求∠ABnO的度数．
第05章 重点突破训练：平行线的性质与判定综合应用
类型一：添加辅助线解决问题
典例：（2018·全国初一月考）已知：如图，直线，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点.
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1∠2之间的数量关系.
（2）若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数.
（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连结EG，且有∠CEG=∠CEM，给出下列两个结论：
①的值不变；
②∠GEN－∠BDF的值不变.
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？讲求出不变的值是多少.
【答案】（1）∠C=∠1+∠2；（2）60°；（3）结论①的值不变是正确的.
【解析】
解：（1）∠C=∠1+∠2．
理由：如图1，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴CD∥MN，
∴∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2．
（2）∵∠AEN=∠A=30°，
∴∠MEC=30°，
由（1）可得，∠C=∠MEC+∠PDC=90°，
∴∠PDC=90°-∠MEC=60°，
∴∠BDF=∠PDC=60°；
（3）结论①的值不变是正确的，
设∠CEG=∠CEM=x，则∠GEN=180°-2x，
由（1）可得，∠C=∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP=90°-∠CEM=90°-x，
∴∠BDF=90°-x，
∴ ==2（定值）， 即的值不变，值为2．
方法或规律点拨
本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．
巩固练习
1. （2018·福建师范大学泉州附属中学初一期末）（感知）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、BE，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC；
（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；
（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.
【答案】【感知】见解析；【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°；【应用】396°.
【解析】
解：理由如下，
【感知】
过E点作EF//AB
∵AB//CD
∴EF//CD
∵AB//CD
∴∠BAE=∠AEF
∵EF//CD
∴∠CEF=∠DCE
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.
【探究】
过E点作AB//EG.
∵AB//CD
∴EG//CD
∵AB//CD
∴∠BAE+∠AEG=180°
∵EG//CD
∴∠CEG+∠DCE=180°
∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°
【应用】
过点F作FH∥AB.
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH=360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD=360°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD=720°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°，
∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°
故答案为：396°.
3. （2019·黑龙江初一期中）如图AB∥CD，点H在CD上，点E、F在AB上，点G在AB、CD之间，连接FG、GH、HE，HG⊥HE，垂足为H，FG⊥HG，垂足为G.
（1）求证：∠EHC+∠GFE=180°.
（2）如图2，HM平分∠CHG，交AB于点M，GK平分∠FGH，交HM于点K，求证：∠GHD=2∠EHM.
（3）如图3，EP平分∠FEH，交HM于点N，交GK于点P，若∠BFG=50°,求∠NPK的度数.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）20°
【解析】
（1）∵HG⊥HE，FG⊥HG
∴FG∥EH，
∴∠GFE+∠HEF=180°，
∵AB∥CD
∴∠BEH=∠CHE
∴∠EHC+∠GFE=180°
（2）设∠EHM=x，
∵HG⊥HE，
∴∠GHK=90°-x,
∵MH平分∠CHG，
∴∠EHC=90°-2x，
∵AB∥CD
∴∠HMB=90°-x，
∴∠HMB=∠MHG=90°-x，
∵AB∥CD，
∴∠BMH+∠DHM=180°，即∠BMH+∠GHM+∠GHD =180°，
∴90°-x+90°-x+∠GHD =180°，解得，∠GHD =2x，
∴∠GHD=2∠EHM；
（3）延长FG，GK，交CD于R，交HE于S，如图，
∵AB∥CD，∠BFG=50°
∴∠HRG=50°
∵FG⊥HG，
∴∠GHR=40°，
∵HG⊥HE，
∴∠EHG=90°，
∴∠CHE=180°-90°-40°=50°，
∵AB∥CD,
∴∠FEH=∠CHE=50°，
∵EP是∠HEF的平分线，
∴∠SEP=∠FEH=25°，
∵GH平分∠HGF，
∴∠HGS=∠HGF=45°,
∴∠HSG=45°，
∵∠SEP+∠SPE=∠HSP=45°，
∴∠EPS=20°，即 ∠NPK=20°.
类型二：以三角板为背景的问题
典例：（2020·四川初一期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°)．
（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（2）当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE所有可能的度数及对应情况下的平行线(不必说明理由)；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（2）存在. 当∠ACE=30°时，AD∥BC；当∠ACE=45°时，AC∥BE；当∠ACE=120°时，AD∥CE；当∠ACE=135°时，BE∥CD；当∠ACE=165°时，BE∥AD．
【解析】
（1）∠ACB+∠DCE=180°，理由是：
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°
（2）存在. 当∠ACE=30°时，AD∥BC，理由如下，如图1所示：
∵∠ACE=∠DCB=30°，∠D=30°，
∴∠DCB=∠D，
∴AD∥BC；
当∠ACE=∠E=45°时，AC∥BE，理由如下，如图2所示：
∵∠ACE=∠DCB=45°，∠B=45°，
∴BE⊥CD，
又∵AC⊥CD，
∴AC∥BE；
当∠ACE=120°时，AD∥CE，理由如下，如图3所示：
∵∠ACE=120°，
∴∠DCE=120°-90°=30°，
又∵∠D=30°，
∴∠DCE=∠D，
∴AD∥CE；
当∠ACE=135°时，BE∥CD，理由如下，如图4所示：
∵∠ACE=135°，
∴∠DCE=135°-90°=45°，
∵∠E=45°，
∴∠DCE=∠E，
∴BE∥CD；
当∠ACE=165°时，BE∥AD．理由如下：
延长AC交BE于F，如图5所示：
∵∠ACE=165°，
∴∠ECF=15°，
∵∠E=45°，
∴∠CFB=∠ECF+∠E=60°，
∵∠A=60°，
∴∠A=∠CFB，
∴BE∥AD．
方法或规律点拨
本题以三角板内包含的特殊角度和三角板的变换为基础，考查了平行线的性质和判定的综合应用，解决问题的关键注意经过数形结合解决问题．
巩固练习
1. （2019·全国初一月考）一副三角板的三个内角分别是，，和，，，按如图所示叠放在一起，若固定三角形，改变三角形的位置（其中点位置始终不变），可以摆成不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行.设.
（1）如图1中，请你探索当为多少时，，并说明理由；
（2）如图2中，当______时，；
（3）若使两块三角板至少有一组的边平行，请直接写出的度数及平行的直线.
【答案】（1）或，理由见解析；（2）或；（3）①，；②，；③，；④，；⑤，；⑥，；⑦，；⑧，；⑨，；⑩，.
【解析】
（1）当或时，
第一种：如图4：
理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
第二种：如图5：
延长BA交DC于点E，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴；
（2）当或时，，
第一种：如图3，
∵，
∴，
∴；
第二种：如图6：
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：或；
（3）第一种：当时，如图7：
∵，
∴
∵
∴
∴
第二种：当时，如图8：
∵
∴
第三种：当时，如图9：
∵，
∴
∵
∴
∴
第四种：当时，如图10：
∵，
∴
∵
∴
∴
第五种：当时，如图11：
∵，
∴
∵
∴
∴
第六种：当时，如图12：
∵，
∴
结合（1）和（2）可得出：若使两块三角板至少有一组的边平行有10种可能性，分别是：
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，；
⑥，；
⑦，；
⑧，；
⑨，；
⑩，.
2. （2018·全国初一月考）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°＜α＜180°），使两块三角板至少有一组边平行．计算出旋转角α，并用符号表示平行的边。
【答案】当∠α＝15°时BC∥DE；当∠α＝60°时BC∥AD；当∠α＝105°时BC∥AE；当∠α＝135°时BA∥DE.
【解析】
解：①当BC∥DE时，如图①，
∠α＝45°－30°＝15°；
②当BC∥AD时，如图②，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD＝90°，
∴∠α＝90°－30°＝60°；
③当BC∥AE时，如图③，
∵∠C＝90°，
∴∠CAE＝90°，
∴∠α＝90°+45°－30°＝105°；
④当BA∥DE时，如图④，
∵∠D＝45°，
∴∠α＝180°－45°＝135°，
综上所述：当∠α＝15°时BC∥DE；当∠α＝60°时BC∥AD；当∠α＝105°时BC∥AE；当∠α＝135°时BA∥DE.
类型三：应用平行线的性质和判定求角度
典例：（2019·广东初一期末）如图，EF∥AD，EF∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC=120°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若∠ACF=20°，求∠FEC的度数．
【答案】（1）60°；（2）∠FEC的度数为20°
【解析】
解：（1）∵BC∥EF，EF∥AD
∴BC∥AD
∴∠ACB+∠DAC=180°
∴∠ACB=180°?∠DAC=180°?120°=60°
（2）∵∠ACF=20°
∴∠BCF=∠ACB?∠ACF=60°?20°=40°
又∵CE平分∠BCF
∴∠BCE=12∠BCF=12×40°=20°
又∵BC∥EF
∴∠FEC=∠BCE=20°
∴∠FEC的度数为20°
方法或规律点拨
此类问题主要考查利用平行线的性质和判定，通过数形结合，进行等角转换，即可解题.
巩固练习
1. （2019·四川初一期中）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2＋∠3＝180°．
(1) 请你判断DA与CE的位置关系，并说明理由；
(2) 若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝70°，试求∠FAB的度数．
【答案】（1）DA∥C E，理由见解析；（2）55°．
【解析】
（1）解：DA∥C E．
理由如下：∵∠1=∠BDC，∴AB∥CD． ∴∠2=∠ADC．
又∵∠2+∠3=180°，∴∠ADC+∠3=180°． ∴DA∥CE．
（2）解：∵DA平分∠BDC，∴∠ADC =12∠BDC =12∠1 =12×70°=35°．
∴∠2=∠ADC=35°．
∵CE⊥AE，AD∥EC， ∴∠FAD=∠AEC=90°．
∴∠FAB=∠FAD－∠2 = 90°－35°= 55°．
2. （2019·泸西县中枢镇逸圃初级中学初一期中）如图，∠AFD=∠1，AC∥DE．
(1)试说明：DF∥BC；
(2)若∠1=68°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）68°.
【解析】
（1）∵AC∥DE，
∴∠1=∠C，
∵∠AFD=∠1，
∴∠AFD=∠C，
∴DF∥BC；
（2）∵DF∥BC，
∴∠EDF=∠1=68°，
∵DF平分∠ADE，
∴∠EDA=∠EDF=68°，
∵∠ADE=∠1+∠B
∴∠B=∠ADE-∠1=68°+68°-68°=68°.
3.（2019·九江市同文中学初一期中）已知：如图1，射线OP∥AE，∠AOP的角平分线交射线AE于点B．
（1）若∠A=50°，求∠ABO的度数；
（2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ABO-∠AOB=70°，求∠ADO的度数；
（3）如图3，若∠A=α，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，…，∠Bn-1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn-1，Bn都在射线AE上，试求∠ABnO的度数．
【答案】（1）65°；（2）35°；（3）∠ABnO=．
【解析】
（1）如图1，
∵OP∥AE，
∴∠A=∠1=50°，
∴∠AOP=130°，
∵∠2=∠AOB，
∴∠2=65°，
∴∠ABO=∠2=65°；
（2）如图2，∵∠ABO=∠ACO+∠BOC，∠ABO-∠AOB=70°
∴∠ACO+∠BOC-∠AOB=70°，
∵∠BOC=∠AOB，
∴∠ACO=70°，
∵OP∥AE，
∴∠COP=∠ACO=70°，∠POD=∠ADO，
∵∠POD=∠COD=∠COP=35°
∴∠ADO=35°．
（3）如图3，由（1）可知，∠ABO=（180°-α），∠AB1O=（180°-∠OBB1）=∠ABO=（180°-α），∠AB2O=（180°-α），…
则∠ABnO=．
