专题5.4 命题、定理及平移测试
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2019·江苏初一月考）在以下现象中：①温度计中，液柱的上升或下降；② 打气筒打气时，活塞的运动；③ 钟摆的摆动；④ 传送带上，瓶装饮料的移动，属于平移的是（ ）
A．① ，② B．①， ③ C．②， ③ D．② ，④
2．（2019·重庆市忠县拔山中学校初一期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．熊猫没有翅膀 B．点到直线的距离
C．若|a|=|b| ，则a=b D．小明是七年级二班的学生
3．（2019·浙江初一期中）如图，A，B，C，D中的哪幅图案可以通过图案①平移得到（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·邓州市张村乡中学初一期末）下面给出的结论中，说法正确的有（ ）
①最大的负整数是﹣1；②在同一个平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直；③当a≤0时，|a|=﹣a；④若a2=9，则a一定等于3；⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角；⑥同旁内角相等，两直线平行．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2019·嵊州市谷来镇中学初二期中）在下列命题中，为真命题的是（ ）
A．两个锐角的和是锐角 B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补 D．同角的补角相等
6．（2019·河北初三期中）在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（?）
A． B． C． D．.
7．（2019·上海市江宁学校初一期中）一辆汽车在笔直的公路上，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则这两次拐弯的角度应是（ ）
A．第一次向左拐40°，第二次向右拐40° B．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°
C．第一次向左拐40°，第二次向左拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°
8．（2019·重庆市两江育才中学校初二开学考试）如图，已知直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，把斜边AC分成n段，以每段为对角线作小长方形，则所有这些小长方形的周长的和是（ ）
A．14 B．28 C． D．
9．（2019·浙江初二期中）能说明命题“若|a|=|b|，则a=b”是假命题的反例为（ ??）
A．a=2,b=-2 B．a=1,b=0 C．a=1,b=1 D．a=-3,b=
10．（2019·呼伦贝尔市海拉尔区铁路第三中学初一期末）将一副三角板按如图放置，则下列结论中，正确的有（ ）
①∠1=∠3；②如果∠2=30°则有AC∥DE；③如果∠2=30°，则有BC∥AD；④如果∠2=30°，必有∠4=∠C
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
11．（2019·浙江初二期中）能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
12．（2019·昆明市呈贡区实验学校初二期末）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
13．（2017·内蒙古初一期末）如图，将半径为2cm的半圆水平向左平移2cm，则半圆所扫过的面积（阴影部分）为（ ）
.
A． B． C． cm2 D．cm2
14．（2019·浙江初二月考）某校八年级四个班的代表队准备举行篮球赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“802班得冠军，804班得第三”；乙说：“801班得第四，803班得亚军”；丙说：“803班得第三，804班得冠军”赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（ ）
A．801班 B．802班 C．803班 D．804班
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2018·浙江初二期中）把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果……那么……”的形式为 .
16．（2019·上海尚德实验学校初一月考）如图，在长方形ABCD中，AB＝7cm，BC＝10cm，现将长方形ABCD向右平移3m，再向下平移4cm后到长方形A'B'C'D'的位置，A'B'交BC于点E，A'D'交DC于点F，那么长方形A'ECF的周长为_____cm．
17．（2019·山东初二期末）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1＝_____．
18．（2018·辽宁初二期末）如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是___．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2019·全国初二课时练习）下列句子中哪些是命题？
(1)动物需要水；
(2)玫瑰花是动物；
(3)美丽的天空；
(4)相等的角是对顶角；
(5)负数都小于0；
(6)你的作业做完了吗？
20．（2019·浙江初一期中）如图，在正方形网格中有一个.按要求进行下列作图，
(1)过点画出的平行线；
(2)将先向右平移格。再向上平移格，画出经两次平移后得到的'.
21．（2019·全国初二课时练习）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论：
(1)三角形的内角和是180度；
(2)同角的余角相等；
(3)内错角相等，两直线平行
22．（2019·全国初二课时练习）阅读下面材料:
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下
反例：如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.
?请你举出一个反例说明命题“互补的角是邻补角”是假命题（要求：画出相应的图形，并文字语言或符号语言表述所举反例）.
23．（2019·台州市书生中学初一期中）如图，已知 ∠BEF+∠EFD=180°，EM平分∠BEF，FN平分∠EFC，求证：∠M=∠N.
24．（2019·重庆市开州区镇东初级中学初一月考）某宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价40元，主楼梯道宽2m，其侧面如图所示，求买地毯至少需要多少元？
25．（2018·全国初二课时练习）填写下列证明过程中的推理根据：
已知：如图所示，AC，BD相交于O，DF平分∠CDO与AC相交于F，BE平分于∠ABO与AC相交于E，∠A＝∠C．求证：∠1＝∠2.
证明：∵∠A＝∠C(________)，
∴AB∥CD (__________________________________)，
∴∠ABO＝∠CDO (__________________________________)，
又∵∠1＝CDO，∠2＝∠ABO (__________________________________)，
∴∠1＝∠2(____________________)．
26．（2019·全国初一单元测试）如图，有以下3句话：①AB∥CD，②∠B=∠C、③∠E=∠F、请以其中2句话为条件，第三句话为结论构造命题.
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？请加以证明.
专题5.4 命题、定理及平移测试
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2019·江苏初一月考）在以下现象中：①温度计中，液柱的上升或下降；② 打气筒打气时，活塞的运动；③ 钟摆的摆动；④ 传送带上，瓶装饮料的移动，属于平移的是（ ）
A．① ，② B．①， ③ C．②， ③ D．② ，④
【答案】D
【解析】
①温度计中液柱的上升或下降改变图形的大小，不属于平移；
②打气筒打气时，活塞的运动属于平移；
③钟摆的摆动是旋转，不属于平移；
④传送带上瓶装饮料的移动符合平移的性质，属于平移，
故选D．
2．（2019·重庆市忠县拔山中学校初一期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．熊猫没有翅膀 B．点到直线的距离
C．若|a|=|b| ，则a=b D．小明是七年级二班的学生
【答案】B
【解析】
熊猫没有翅膀、若|a|=|b|,则a=b和小明是七年级(2)班的学生都是命题，而点到直线的距离为一个名称，它不是命题.
故选B.
3．（2019·浙江初一期中）如图，A，B，C，D中的哪幅图案可以通过图案①平移得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
通过图案①平移得到必须与图案①完全相同，角度也必须相同，
观察图形可知D可以通过图案①平移得到.
故答案选：D.
4．（2019·邓州市张村乡中学初一期末）下面给出的结论中，说法正确的有（ ）
①最大的负整数是﹣1；②在同一个平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直；③当a≤0时，|a|=﹣a；④若a2=9，则a一定等于3；⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角；⑥同旁内角相等，两直线平行．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
①最大的负整数是﹣1，正确；
②在同一个平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直，正确；
③当a≤0时，|a|=﹣a，正确；
④若a2=9，则a=±3，错误；
⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角，正确；
⑥同旁内角互补，两直线平行，错误．
故选C．
5．（2019·嵊州市谷来镇中学初二期中）在下列命题中，为真命题的是（ ）
A．两个锐角的和是锐角 B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补 D．同角的补角相等
【答案】D
【解析】
解：A、错误．两个锐角的和可能是锐角或直角或钝角； B、错误．相等的角不一定是对顶角； C、错误，两直线平行时同旁内角互补； D、正确． 故选：D．
6．（2019·河北初三期中）在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（?）
A． B． C． D．.
【答案】D
【解析】
解：A.可以通过轴对称变换得到；
B.不能通过平移变换得到；
C. 可以通过旋转得到；
D. 可以通过平移变换得到，
故选：D.
7．（2019·上海市江宁学校初一期中）一辆汽车在笔直的公路上，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则这两次拐弯的角度应是（ ）
A．第一次向左拐40°，第二次向右拐40° B．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°
C．第一次向左拐40°，第二次向左拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°
【答案】A
【解析】
如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前进，可以得到∠1=∠2．
故选A．
8．（2019·重庆市两江育才中学校初二开学考试）如图，已知直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，把斜边AC分成n段，以每段为对角线作小长方形，则所有这些小长方形的周长的和是（ ）
A．14 B．28 C． D．
【答案】B
【解析】
∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，且斜边AC平均分成n段，
∴小矩形的长为＝，宽为＝，
∴一个小矩形的周长为：2（）＝，
∴这些小矩形的面积和是n?＝28．
故选：B．
9．（2019·浙江初二期中）能说明命题“若|a|=|b|，则a=b”是假命题的反例为（ ??）
A．a=2,b=-2 B．a=1,b=0 C．a=1,b=1 D．a=-3,b=
【答案】A
【解析】
解：若a，b互为相反数，则|a|=|b|，a≠b，命题“若|a|=|b|，则a=b”是假命题，
则a，b互为相反数即可， a=2，b=-2时，a，b互为相反数，故答案为A.
10．（2019·呼伦贝尔市海拉尔区铁路第三中学初一期末）将一副三角板按如图放置，则下列结论中，正确的有（ ）
①∠1=∠3；②如果∠2=30°则有AC∥DE；③如果∠2=30°，则有BC∥AD；④如果∠2=30°，必有∠4=∠C
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】
解：∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，①正确；
∵∠2＝30°，
∴∠1＝60°，
又∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，②正确；
∵∠2＝30°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝150°，
又∵∠C＝45°，
∴BC与AD不平行，③错误；
∵∠2＝30°
∴AC∥DE，
∴∠4＝∠C，④正确．
故选：B．
11．（2019·浙江初二期中）能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
若，则a=b”是假命题的一个反例可以是a=2,b=-2.
故选A.
12．（2019·昆明市呈贡区实验学校初二期末）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：如图，
延长交于，
，，
，
又，
，
故选：．
13．（2017·内蒙古初一期末）如图，将半径为2cm的半圆水平向左平移2cm，则半圆所扫过的面积（阴影部分）为（ ）
.
A． B． C． cm2 D．cm2
【答案】B
【解析】
根据图形可知阴影面积为：2×2=4；故选B.
14．（2019·浙江初二月考）某校八年级四个班的代表队准备举行篮球赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“802班得冠军，804班得第三”；乙说：“801班得第四，803班得亚军”；丙说：“803班得第三，804班得冠军”赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（ ）
A．801班 B．802班 C．803班 D．804班
【答案】B
【解析】
解：假设甲说的“802班得冠军”是正确的，那么丙说的“804班得冠军”是错误的，“803班得第三”就是正确的，那么乙说的“803班得亚军”是错误的，“801班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．故猜测是正确的．
故选：B．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2018·浙江初二期中）把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果……那么……”的形式为 .
【答案】如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
【解析】
因为条件是：在同一个三角形中有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等．所以改写后为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
16．（2019·上海尚德实验学校初一月考）如图，在长方形ABCD中，AB＝7cm，BC＝10cm，现将长方形ABCD向右平移3m，再向下平移4cm后到长方形A'B'C'D'的位置，A'B'交BC于点E，A'D'交DC于点F，那么长方形A'ECF的周长为_____cm．
【答案】20
【解析】
解：由题意得到BE=3cm，DF=4cm， ∵AB=DC=7cm，BC=10cm， ∴EC=BC-BE=10cm-3cm=7cm，FC=DC-DF=7cm-4cm=3cm， ∴长方形A'ECF的周长=2×（7+3）=20（cm）， 故答案为20．
17．（2019·山东初二期末）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1＝_____．
【答案】
【解析】
如图，过E作EF∥AB，根据平行于同一直线的两直线互相平行，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC=44°，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE=90°-44°=46°，即可求出∠1=180°-46°=134°.
18．（2018·辽宁初二期末）如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是___．
【答案】301．
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∵A′B′∥AB，BB′=B′C=BC，
∴B′O=AB，CO=AC，
∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．
观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，
第2个图形中大等边三角形有3个，小等边三角形有4个，
第3个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有6个，…
依次可得第n个图形中大等边三角形有n+1个，小等边三角形有2n个．
故第100个图形中等边三角形的个数是：100+1+2×100=301．
故答案是301．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2019·全国初二课时练习）下列句子中哪些是命题？
(1)动物需要水；
(2)玫瑰花是动物；
(3)美丽的天空；
(4)相等的角是对顶角；
(5)负数都小于0；
(6)你的作业做完了吗？
【答案】(1)(2)(4)(5)是命题
【解析】
根据命题的定义(1)(2)(4)(5)都对一件事情做出了判断，因此属于命题，（3）“美丽的天空”不是判断语句，因此不是命题，（6）是疑问句，因此不是命题。
20．（2019·浙江初一期中）如图，在正方形网格中有一个.按要求进行下列作图，
(1)过点画出的平行线；
(2)将先向右平移格。再向上平移格，画出经两次平移后得到的'.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
（1）如图所示：CE∥AB； （2）如图所示：△A′B′C′即为所求．
21．（2019·全国初二课时练习）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论：
(1)三角形的内角和是180度；
(2)同角的余角相等；
(3)内错角相等，两直线平行
【答案】(1)见解析； (2) 见解析； (3) 见解析.
【解析】
(1)如果一个图形是三角形，那么它的内角和是180°.题设是“一个图形是三角形”，结论是“它的内角和为180°”
(2)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.题设是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”
(3)如果内错角相等，那么两直线平行.题设是“内错角相等”，结论是“两直线平行”
22．（2019·全国初二课时练习）阅读下面材料:
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下
反例：如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.
?请你举出一个反例说明命题“互补的角是邻补角”是假命题（要求：画出相应的图形，并文字语言或符号语言表述所举反例）.
【答案】详见解析
【解析】
解：反例：如图，AB∥CD，∠1与∠2是同旁内角，所以∠1与∠2互补，但是它们不是邻补角．
23．（2019·台州市书生中学初一期中）如图，已知 ∠BEF+∠EFD=180°，EM平分∠BEF，FN平分∠EFC，求证：∠M=∠N.
【答案】见解析
【解析】
∵∠BEF+∠EFD=180°，∴AB∥CD，∴∠BEF=∠EFC．
∵EM平分∠BEF，FN平分∠EFC，∴∠MEF=∠BEF，∠EFN=∠EFC，∴∠MEF=∠EFN，∴EM∥FN，∴∠M=∠N．
24．（2019·重庆市开州区镇东初级中学初一月考）某宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价40元，主楼梯道宽2m，其侧面如图所示，求买地毯至少需要多少元？
【答案】800元．
【解析】
如图，
利用平移线段,把楼梯的横竖向上向左平移,构成一个长方形,长宽分别为6m，4m，
∴地毯的长度为6＋4＝10（m），
地毯的面积为10×2＝20（m2），
∴买地毯至少需要20×40＝800（元）.
25．（2018·全国初二课时练习）填写下列证明过程中的推理根据：
已知：如图所示，AC，BD相交于O，DF平分∠CDO与AC相交于F，BE平分于∠ABO与AC相交于E，∠A＝∠C．求证：∠1＝∠2.
证明：∵∠A＝∠C(________)，
∴AB∥CD (__________________________________)，
∴∠ABO＝∠CDO (__________________________________)，
又∵∠1＝CDO，∠2＝∠ABO (__________________________________)，
∴∠1＝∠2(____________________)．
【答案】已知 ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线定义；等量代换
【解析】
证明：∵∠A＝∠C(已知)，
∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行)，
∴∠ABO＝∠CDO (两直线平行，内错角相等)，
又∵∠1＝CDO，∠2＝∠ABO (角平分线定义)，
∴∠1＝∠2(等量代换)．
26．（2019·全国初一单元测试）如图，有以下3句话：①AB∥CD，②∠B=∠C、③∠E=∠F、请以其中2句话为条件，第三句话为结论构造命题.
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？请加以证明.
【答案】（1）由①②得到③；由①③得到②；由②③得到①（2）由①②得到③为真命题；由①③得到②为真命题；由②③得到①为真命题
【解析】
（1）解答：构造的命题：由①②得到③；由①③得到②；由②③得到①；
（2）解答： ∵AB∥CD，∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，∴∠C=∠CDF，∴CE∥BF，∴∠E=∠F，
所以由①②得到③为真命题；
∵AB∥CD，∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，∴CE∥BF，∴∠C=∠CDF，∴∠B=∠C，
所以由①③得到②为真命题；
∵∠E=∠F，∴CE∥BF，∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，∴∠B=∠CDF，∴AB∥CD，
所以由②③得到①为真命题.
