专题5.2 平行线及其判定
一、知识点
平行线定义；
平行公理：同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的判定
1．两条直线被第三条直线所截，如果________，那么这两条直线平行．
2．两条直线被第三条直线所截，如果________，那么这两条直线平行．
3．两条直线被第三条直线所截，如果________互补，那么这两条直线平行．
二、考点点拨与训练
考点1：平行线定义与平行公理
典例：（2019·河北初一期末）下列说法正确的是( )
A．经过一点有无数条直线与已知直线平行
B．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．以上说法都不正确
方法或规律点拨
此类问题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键．
巩固练习
1、（2019·黑龙江初二期中）下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
2、（2019·全国初二期中）下列说法正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．在同一平面内，三条直线只有两个交点，则三条直线中必有两条直线互相平行
考点2：平行线的作图
典例：（2020·江苏初一期末）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母．
（1）过点P画线段AB的平行线a；
（2）过点P画线段AB的垂线，垂足为H；
（3）点A到线段PH的距离即线段 的长．
方法或规律点拨
此类问题考查的是简单的作图，熟知网格的特点和基本作图的做法是解答本题的关键.
巩固练习
1、（2020·宿州市第八中学初一期末）在如图所示的方格纸中，按下列要求画图：
（1）过点A作线段BC的平行线；
（2）过点C作线段BC的垂线；
（3）画以BC为一边的正方形．
2、（2018·江苏初一期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．
（1）过点C画直线AB的平行线（不写作法，下同）；
（2）过点A画直线BC的垂线，并垂足为G，过点A画直线AB的垂线，交BC于点H．
（3）线段 的长度是点A到直线BC的距离，线段AH的长度是点H到直线 的距离．
3、（2019·肇庆市端州区南国中英文学校初一月考）如图，直线a，点B，点C.
(1)过点B画直线a的平行线，能画几条？
(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？
考点3：平行线的判定及应用
典例：（2019·浙江初一期中）如图①，在三角形ABC中，点E，F分别为线段AB，AC上任意两点，EG交BC于点G，交AC的延长线于点H，∠1＋∠AFE＝180°.
(1)证明：BC∥EF；
(2)如图②，若∠2＝∠3，∠BEG＝∠EDF，证明：DF平分∠AFE.
方法或规律点拨
此类问题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行?同位角相等，②两直线平行?内错角相等，③两直线平行?同旁内角互补，④a∥b，b∥c?a∥c．
巩固练习
1、（2019·山东牡丹区二十二中初二期末）学习近平行线后，学霸君想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知学霸君画平行线的依据可以是___________ （把下列所有正确结论的序号都填在横线上）
①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④同旁内角互补，两直线平行.
2、（2019·黑龙江初二期中）已知如图，，，， ．将下列推理过程补充完整：
（1）因为（已知），所以（____）
（2）因为（已知），所以______，（__________________________）
（3）因为（已知），所以________________，（___________________）
3、（2019·山东初二期末）如图，点C是直线AB，DE之间的一点，∠ACD=90°，下列条件能使得AB∥DE的是（ ）
A．∠α+∠β=180° B．∠β﹣∠α=90° C．∠β=3∠α D．∠α+∠β=90°
专题5.2 平行线及其判定
一、知识点
平行线定义；
平行公理：同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的判定
1．两条直线被第三条直线所截，如果________，那么这两条直线平行．
2．两条直线被第三条直线所截，如果________，那么这两条直线平行．
3．两条直线被第三条直线所截，如果________互补，那么这两条直线平行．
二、考点点拨与训练
考点1：平行线定义与平行公理
典例：（2019·河北初一期末）下列说法正确的是( )
A．经过一点有无数条直线与已知直线平行
B．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．以上说法都不正确
【答案】C
【解析】
解：A. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以错误,
B. 在同一平面内，（经过直线外一点）有且只有一条直线与已知直线平行,所以错误,
C. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行,正确.
故选C.
方法或规律点拨
此类问题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键．
巩固练习
1、（2019·黑龙江初二期中）下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
【答案】A
【解析】
解：A中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误．
B、C、D正确．
故选：A．
2、（2019·全国初二期中）下列说法正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．在同一平面内，三条直线只有两个交点，则三条直线中必有两条直线互相平行
【答案】D
【解析】
A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项错误；
B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故本选项错误；
C、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
D、在同一平面内，三条直线只有两个交点，则三条直线中必有两条直线互相平行，故本选项正确；
故选：D．
考点2：平行线的作图
典例：（2020·江苏初一期末）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母．
（1）过点P画线段AB的平行线a；
（2）过点P画线段AB的垂线，垂足为H；
（3）点A到线段PH的距离即线段 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AH
【解析】
（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：
方法或规律点拨
此类问题考查的是简单的作图，熟知网格的特点和基本作图的做法是解答本题的关键.
巩固练习
1、（2020·宿州市第八中学初一期末）在如图所示的方格纸中，按下列要求画图：
（1）过点A作线段BC的平行线；
（2）过点C作线段BC的垂线；
（3）画以BC为一边的正方形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）如图，直线AD∥BC；
（2）如图，CE⊥BC；
（3）如图，正方形BCEF即为所求．
2、（2018·江苏初一期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．
（1）过点C画直线AB的平行线（不写作法，下同）；
（2）过点A画直线BC的垂线，并垂足为G，过点A画直线AB的垂线，交BC于点H．
（3）线段 的长度是点A到直线BC的距离，线段AH的长度是点H到直线 的距离．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）AG，AB.
【解析】
解：（1）如图所示，直线CD即为所求作的直线AB的平行线；
（2）如图所示；
（3）AG，AB.
3、（2019·肇庆市端州区南国中英文学校初一月考）如图，直线a，点B，点C.
(1)过点B画直线a的平行线，能画几条？
(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？
【答案】 （1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
(1)一条，如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行；
(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下：
如图，∵b∥a，c∥a，∴c∥b.
考点3：平行线的判定及应用
典例：（2019·浙江初一期中）如图①，在三角形ABC中，点E，F分别为线段AB，AC上任意两点，EG交BC于点G，交AC的延长线于点H，∠1＋∠AFE＝180°.
(1)证明：BC∥EF；
(2)如图②，若∠2＝∠3，∠BEG＝∠EDF，证明：DF平分∠AFE.
【答案】(1)见解析；(2) 见解析.
【解析】
证明：（1）∵∠1+∠AFE=180°，∠1+∠BCF=180°，
∴∠AFE=∠BCF，
∴BC∥EF；
（2）∵∠BEG=∠EDF，
∴DF∥EH，
∴∠DFE=∠FEH，
又∵BC∥EF，
∴∠FEH=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠DFE=∠3，
∴DF平分∠AFE．
方法或规律点拨
此类问题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行?同位角相等，②两直线平行?内错角相等，③两直线平行?同旁内角互补，④a∥b，b∥c?a∥c．
巩固练习
1、（2019·山东牡丹区二十二中初二期末）学习近平行线后，学霸君想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知学霸君画平行线的依据可以是___________ （把下列所有正确结论的序号都填在横线上）
①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④同旁内角互补，两直线平行.
【答案】②③④
【解析】
由图可知，虚线与其他折痕垂直，根据折后角的关系可得同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，所以选②③④.
故答案为②③④
2、（2019·黑龙江初二期中）已知如图，，，， ．将下列推理过程补充完整：
（1）因为（已知），所以（____）
（2）因为（已知），所以______，（__________________________）
（3）因为（已知），所以________________，（___________________）
【答案】（1）BC，同位角相等两直线平行；（2）CD，内错角相等两直线平行；（3），同旁内角互补两直线平行.
【解析】
解：（1）∵（已知），
∴，（同位角相等，两直线平行）
（2）∵（已知），
∴，（内错角相等，两直线平行）
（3）∵（已知），
∴．（同旁内角互补，两直线平行）
3、（2019·山东初二期末）如图，点C是直线AB，DE之间的一点，∠ACD=90°，下列条件能使得AB∥DE的是（ ）
A．∠α+∠β=180° B．∠β﹣∠α=90° C．∠β=3∠α D．∠α+∠β=90°
【答案】B
【解析】
延长AC交DE于点F.
A. ∵∠α+∠β=180°，∠β=∠1+90°，
∴∠α=90°-∠1，即∠α≠∠1，
∴不能使得AB∥DE；
B. ∵∠β﹣∠α=90°，∠β=∠1+90°，
∴∠α=∠1，
∴能使得AB∥DE；
C.∵∠β=3∠α，∠β=∠1+90°，
∴3∠α=90°+∠1，即∠α≠∠1，
∴不能使得AB∥DE；
D.∵∠α+∠β=90°，∠β=∠1+90°，
∴∠α=-∠1，即∠α≠∠1，
∴不能使得AB∥DE；
故选B.
