专题5.4 命题、定理及平移
一、知识点
1、判断一件事情的语句叫命题。命题由 题设 和 结论 两部分组成，有 真命题 和 假命题 之分。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题；如果题设成立，那么结论不一定成立，这样的命题叫假命题。真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。
2、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
3、平移性质:平移前后两个图形中①对应点的连线平行（或共线）且相等；②对应线段相等③对应角相等
二、考点点拨与训练
考点1：真假命题的判定与改写
典例：下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并判断是否正确．
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？
（2）垂线段最短，对吗？
（3）等角的补角相等．
（4）两条直线相交只有一个交点．
（5）同旁内角互补．
（6）邻补角的角平分线互相垂直.
方法或规律点拨
此类问题题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
巩固练习
1、（2019·武汉市梅苑学校初一期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条不相交的线段一定互相平行 D．互为邻补角的两角的角平分线互相垂直
2、（2019·浙江初三期中）对于命题“如果，那么”.能说明它是假命题的是（ ）
A．， B．，
C． D．，
3、（2020·北京初三专题练习）用一组a，b 的值说明命题“若＞1，则a＞b”是错误的，这组值可以是a＝_____，b＝_____．
考点2：几何命题的证明
典例：（2019·江苏初一期末）已知：如图，C，D是直线AB上两点，∠1＋∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB．
(1)求证：CE∥DF；
(2)若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数．
方法或规律点拨
此类命题的证明考查了平行线的判定与性质的综合应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
巩固练习
1、如图，已知：∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，FG⊥AB．
求证：CD⊥AB．
2、已知，如图，∠1＝∠2，DC∥FE，DE∥AC，
求证：FE平分∠BED．
考点3：平移性质的应用
典例：（2019·山东初二月考）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，若AE＝8cm，DB＝2cm.
(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长；
(2)求四边形AEFC的周长．
方法或规律点拨
本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
巩固练习
1、（2019·重庆市第十一中学校初三开学考试）如图，将直角三角形ABC沿着点B到点C的方向平移3cm得到三角形DEF．且DE交AC于点H，AB＝6cm．BC＝9cm．DH＝2cm．那么图中阴影部分的面积为（ ）
A．9 cm2 B．10 cm2 C．15 cm2 D．30 cm2
2．（2019·邵武市第四中学初一期中）如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG=24m，MG=8m，MC=6m，则阴影部分地的面积是（ ）m2.
A．168 B．128 C．98 D．156
3、（2020·江苏初一期末）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫格点，请利用格点画图.
（1）在图①中过点画的平行线，并标出经过的格点M；
（2）在图①中过点画的垂线，交于点，并标出经过的格点N；
（3）三角形的面积是 ；
（4）网格中的“平移”是指只沿方格的格线(即上下或左右)运动，将图②中的任一条线段平移1格称为“1步”，要通过平移,使图②中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要移动 步.
专题5.4 命题、定理及平移
一、知识点
1、判断一件事情的语句叫命题。命题由 题设 和 结论 两部分组成，有 真命题 和 假命题 之分。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题；如果题设成立，那么结论不一定成立，这样的命题叫假命题。真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。
2、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
3、平移性质:平移前后两个图形中①对应点的连线平行（或共线）且相等；②对应线段相等③对应角相等
二、考点点拨与训练
考点1：真假命题的判定与改写
典例：下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并判断是否正确．
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？
（2）垂线段最短，对吗？
（3）等角的补角相等．
（4）两条直线相交只有一个交点．
（5）同旁内角互补．
（6）邻补角的角平分线互相垂直.
【答案】（1）（2）是问句，所以（1）（2）不是命题，其余4个都是命题．
【解析】
解：对一件事情做出判断的句子是命题，因为（1）（2）是问句，所以（1）（2）不是命题，其余4个都是命题．
（3）如果两个角相等，那么它们的补角相等，正确；
（4）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点，正确；
（5）如果两个角是同旁内角，那么它们互补，错误；
（6）如果两条射线是邻补角的角平分线，那么它们互相垂直，正确.
方法或规律点拨
此类问题题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
巩固练习
1、（2019·武汉市梅苑学校初一期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条不相交的线段一定互相平行 D．互为邻补角的两角的角平分线互相垂直
【答案】D
【解析】
A、错误．相等的角不一定是对顶角．
B、错误．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
C、错误、两条不相交的直线一定互相平行．
D、正确．互为邻补角的两角的角平分线互相垂直．
故选：D．
2、（2019·浙江初三期中）对于命题“如果，那么”.能说明它是假命题的是（ ）
A．， B．，
C． D．，
【答案】C
【解析】
如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题为∠1=∠2=45°．
故选C．
3、（2020·北京初三专题练习）用一组a，b 的值说明命题“若＞1，则a＞b”是错误的，这组值可以是a＝_____，b＝_____．
【答案】-2 -1
【解析】
答案不唯一，如解：当a＝﹣2，b＝﹣1时，满足＞1，但a＜b，
故答案为：﹣2，﹣1．
考点2：几何命题的证明
典例：（2019·江苏初一期末）已知：如图，C，D是直线AB上两点，∠1＋∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB．
(1)求证：CE∥DF；
(2)若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数．
【答案】（1）见解析；（2）25°
【解析】
(1)证明： C，D是直线AB上两点，
∴∠2=∠DCE，
∴CE∥DF；
(2)∵CE∥DF,
∵DE平分∠CDF，
∵EF∥AB，
方法或规律点拨
此类命题的证明考查了平行线的判定与性质的综合应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
巩固练习
1、如图，已知：∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，FG⊥AB．
求证：CD⊥AB．
【答案】详见解析
【解析】
证明：∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴∠1＝∠3.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴CD∥FG.
∵AB⊥FG，
∴∠5＝90°，
∵CD∥FG.
∠4＝∠5＝90°，
∴CD⊥AB
2、已知，如图，∠1＝∠2，DC∥FE，DE∥AC，
求证：FE平分∠BED．
【答案】详见解析
【解析】
∵DC∥FE，∴∠1＝∠3，∠CDE＝∠4，
∵DE∥AC，∴∠2＝∠CDE，
∴∠2＝∠4，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴EF是∠BED的平分线
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
考点3：平移性质的应用
典例：（2019·山东初二月考）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，若AE＝8cm，DB＝2cm.
(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长；
(2)求四边形AEFC的周长．
【答案】（1）3cm （2）18cm
【解析】
（1）∵△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，
∴AD=BE=CF，BC=EF=3cm，
∵AE=8cm，DB=2cm，
∴AD=BE=CF==3cm；
（2）四边形AEFC的周长=AE+EF+CF+AC=8+3+3+4=18cm．
方法或规律点拨
本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
巩固练习
1、（2019·重庆市第十一中学校初三开学考试）如图，将直角三角形ABC沿着点B到点C的方向平移3cm得到三角形DEF．且DE交AC于点H，AB＝6cm．BC＝9cm．DH＝2cm．那么图中阴影部分的面积为（ ）
A．9 cm2 B．10 cm2 C．15 cm2 D．30 cm2
【答案】C
【解析】
解：由平移的性质知，DE＝AB＝6cm，HE＝DE﹣DH＝4cm，CF＝BE＝3cm，HC∥DF，∠DEF＝∠B＝90°，
∴EC＝6cm，
∴S四边形HDFC＝S△EFD﹣S△ECH＝DE?EF﹣EH?EC＝15（cm2）．
故答案为C．
2．（2019·邵武市第四中学初一期中）如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG=24m，MG=8m，MC=6m，则阴影部分地的面积是（ ）m2.
A．168 B．128 C．98 D．156
【答案】A
【解析】
解：由平移的性质得，CD=GH=24m，且梯形ABCD的面积等于梯形EFGH的面积 ∴阴影部分的面积=梯形DMGH的面积， ∵MC=6m， ∴MD=CD-NC=24-6=18m， ∴阴影部分地的面积=（MD+GH）?MG=×（18+24）×8=168m2． 故选：A．
3、（2020·江苏初一期末）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫格点，请利用格点画图.
（1）在图①中过点画的平行线，并标出经过的格点M；
（2）在图①中过点画的垂线，交于点，并标出经过的格点N；
（3）三角形的面积是 ；
（4）网格中的“平移”是指只沿方格的格线(即上下或左右)运动，将图②中的任一条线段平移1格称为“1步”，要通过平移,使图②中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要移动 步.
【答案】（1）（2）如图所示；（3）=7；（4）5.
【解析】
解：（1）（2）如图所示
，
（3）=×4×6-×4×1-×6×1=7；
（4）将线段CD向上平移2步，将AB乡下平移1步，将EF向左平移两步，即最少需要移动5步
