第16章 重点突破训练：二次根式的计算求值
类型一：常规运算
典例：（2020·河北初二期末）计算：
(1)(4－3)÷2；
(2)(3＋)(－4)
方法或规律点拨
此类问题考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
巩固练习
1、（2019·福建省南平市第九中学初二期末）计算：
（1）；
（2）（﹣）（+）+（﹣1）2
2、（2018·湖南初二期末）已知，求的值
3、（2019·厦门市海沧中学初二月考）计算： ．
类型二：分式与二次根式相结合的相关问题
典例：先化简，再求值：，其中．
方法或规律点拨
此类问题一般解法是先化简，再将数值代入求值，是对二次根式计算的综合考查，熟练掌握二次根式化简，加减乘除混合运算及立方根的知识是解决本题的关键.
巩固练习
1、（2019·湖南初三期末）先化简，再求值：1x+y+1x?y÷1xy+y2，其中x＝5＋2，y＝5－2.
2、（2019·湖南初三月考）先化简，再求值：，其中a=+1．
3、（2019·贵州中考模拟）先化简，再求值：，其中x=2﹣1．
类型三：与图形有关的二次根式计算
典例：（2019·全国初二单元测试）如图，在等腰三角形ABC中，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DE⊥AC，点E、F分别是垂足，若DE+DF=22，△ABC的面积为865，求AB的长．
方法或规律点拨
此类问题解答思路是通过几何计算列出代数式或方程，然后根据二次根式相关性质进行计算.
巩固练习
1、（2019·全国初二单元测试）区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为243m、宽为128 m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：6≈2.45）
2、（2019·全国初二单元测试）已知某三角形的面积等于长、宽分别为、的矩形的面积，若该三角形的一条边长为，求这条边上的高．
3、（2018·湖南初二期末）已知长方形长a＝，宽b＝．
①求长方形的周长；
②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．
类型四：其它与二次根式有关的计算
典例：（2018·山东省淄博市临淄区金山中学初二期中）阅读与计算:请阅读以下材料，并完成相应的任务.
斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家，他研究了一列数,这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果.在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.
斐波那契数列中的第n个数可以用表示(其中n≥1)，这是用无理数表示有理数的一个范例.
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.
巩固练习
1、（2018·全国初二课时练习）根据爱因斯坦的相对论，当地面上经过1秒钟时，宇宙飞船内只经过秒.公式内的v是指宇宙飞船的速度，c是指光速（约 30万千米/秒），假定有一对亲兄弟，哥哥23岁，弟弟 20岁，哥哥乘着以光速0. 98倍的速度飞行的宇宙飞船进行了5年宇宙旅行后回来了.这个5年是指地面上的5年，所以弟弟的年龄为25岁,可是哥哥的年龄在这段时间里只长了一岁，只有24岁，就这样，宇宙旅行后弟弟比哥哥反而大了1岁，请你用以上公式验证一下这个结论.
2、（2019·山东初二期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度 h（单位：m）近似满足公式 t=（不考虑风速的影响）
（1）从 50m 高空抛物到落地所需时间 t1 是多少 s，从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t2 是多少 s；
（2）t2 是 t1 的多少倍？
（3）经过 1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
3、（2019·内蒙古初二月考）已知：x,y为实数，且y?x?1+1?x+3，化简：y?3?y2?8y+16。
第16章 重点突破训练：二次根式的计算求值
类型一：常规运算
典例：（2020·河北初二期末）计算：
(1)(4－3)÷2；
(2)(3＋)(－4)
【答案】(1) 2-；（2）-30.
【解析】
(1)原式=2－.
(2)原式=（3+）（3-4）=-30.
方法或规律点拨
此类问题考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
巩固练习
1、（2019·福建省南平市第九中学初二期末）计算：
（1）；
（2）（﹣）（+）+（﹣1）2
【答案】(1)；(2).
【解析】
(1)原式=
=
=；
(2)原式=
=.
2、（2018·湖南初二期末）已知，求的值
【答案】4.
【解析】
,
，
,
．
3、（2019·厦门市海沧中学初二月考）计算： ．
【答案】
【解析】
试题解析：原式=5+15-12
=.
类型二：分式与二次根式相结合的相关问题
典例：先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
解：（a-1+）÷（a2+1）
=·
=
当时
原式=
方法或规律点拨
此类问题一般解法是先化简，再将数值代入求值，是对二次根式计算的综合考查，熟练掌握二次根式化简，加减乘除混合运算及立方根的知识是解决本题的关键.
巩固练习
1、（2019·湖南初三期末）先化简，再求值：1x+y+1x?y÷1xy+y2，其中x＝5＋2，y＝5－2.
【答案】2xyx?y ，12
【解析】
解：原式=[x?y(x+y)(x?y)+x+y(x+y)(x?y)]÷1y(x+y)=2x(x+y)(x?y)?y(x+y) =2xyx?y
当x=5+2，y=5?2时，原式=2(5+2)(5?2)5+2?5+2 =24=12．
2、（2019·湖南初三月考）先化简，再求值：，其中a=+1．
【答案】
【解析】
当a=+1时，
原式=
=
=
=
=2.
3、（2019·贵州中考模拟）先化简，再求值：，其中x=2﹣1．
【答案】
【解析】
解：
=
=，
把x=2-1代入得，原式==．
类型三：与图形有关的二次根式计算
典例：（2019·全国初二单元测试）如图，在等腰三角形ABC中，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DE⊥AC，点E、F分别是垂足，若DE+DF=22，△ABC的面积为865，求AB的长．
【答案】835
【解析】
连接AD，由题意可得：AB=AC，
S△ABC=S△ABD+S△ADC=12×DE×AB+12×DF×AC
=12AB（DE+DF）=，
故12×22AB=，
解得：AB=835．
2
方法或规律点拨
此类问题解答思路是通过几何计算列出代数式或方程，然后根据二次根式相关性质进行计算.
巩固练习
1、（2019·全国初二单元测试）区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为243m、宽为128 m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：6≈2.45）
【答案】（1）(183+162)m；（2）352.8元．
【解析】
（1）由题意可得，该长方形土地的周长是：
（243+128）×2=(93+82)×2=(183+162)m，
即该长方形土地的周长是(183+162)m；
（2）由题意可得，在该长方形土地上全部种植草坪的总费用是：
243×128×2 =93×82×2=1446≈352.8（元），
即在该长方形土地上全部种植草坪的总费用352.8元．
2、（2019·全国初二单元测试）已知某三角形的面积等于长、宽分别为、的矩形的面积，若该三角形的一条边长为，求这条边上的高．
【答案】
【解析】
．
答：这条边上的高为．
3、（2018·湖南初二期末）已知长方形长a＝，宽b＝．
①求长方形的周长；
②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．
【答案】①6；②正方形的周长为4，长方形的周长大于正方形的周长．
【解析】
①长方形的周长为2×()＝2×(2+)＝6；
②长方形的面积为＝2×＝6，
则正方形的边长为，
∴此正方形的周长为4，
∵6＝，4＝，且＞，
∴6＞4，
则长方形的周长大于正方形的周长．
类型四：其它与二次根式有关的计算
典例：（2018·山东省淄博市临淄区金山中学初二期中）阅读与计算:请阅读以下材料，并完成相应的任务.
斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家，他研究了一列数,这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果.在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.
斐波那契数列中的第n个数可以用表示(其中n≥1)，这是用无理数表示有理数的一个范例.
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.
【答案】第1个数为1;第2个数为1.
【解析】
当n＝1时
=
＝＝1
当n＝2时，
＝
＝
=＝1
巩固练习
1、（2018·全国初二课时练习）根据爱因斯坦的相对论，当地面上经过1秒钟时，宇宙飞船内只经过秒.公式内的v是指宇宙飞船的速度，c是指光速（约 30万千米/秒），假定有一对亲兄弟，哥哥23岁，弟弟 20岁，哥哥乘着以光速0. 98倍的速度飞行的宇宙飞船进行了5年宇宙旅行后回来了.这个5年是指地面上的5年，所以弟弟的年龄为25岁,可是哥哥的年龄在这段时间里只长了一岁，只有24岁，就这样，宇宙旅行后弟弟比哥哥反而大了1岁，请你用以上公式验证一下这个结论.
【答案】证明见解析.
【解析】
解：飞船的速度是0.98倍光速，
当地面上经过1秒时，飞船内经过的时间是(秒)，也就是说，地球上的1秒约等于飞船上的0.2秒，即地球上的时间是飞船上的5倍，那么地球上过了5年就等于飞船上过了1年，所以弟弟的年龄为25岁，可是哥哥的年龄在这段时间里只长了1岁，哥哥此时的年龄只有24岁，就这样，哥哥在宇宙旅行回来后反而比弟弟小了1岁．
2、（2019·山东初二期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度 h（单位：m）近似满足公式 t=（不考虑风速的影响）
（1）从 50m 高空抛物到落地所需时间 t1 是多少 s，从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t2 是多少 s；
（2）t2 是 t1 的多少倍？
（3）经过 1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
【答案】（1）t1=（秒）；t2=2（秒）；（2）t2 是 t1 的倍；（3）下落的高度是 11.25 米．
【解析】
（1）当 h=50 时，t1= =（秒）；
当 h=100 时，t2===2（秒）；
（2）∵=，
∴t2 是 t1 的倍．
（3）当 t=1.5 时，1.5=， 解得 h=11.25，
∴下落的高度是 11.25 米．
3、（2019·内蒙古初二月考）已知：x,y为实数，且y?x?1+1?x+3，化简：y?3?y2?8y+16。
【答案】化简结果为-1.
【解析】
解：由题意可知: x?1≥0且1?x≥0
∴x=1
又∵y<x?1+1?x+3∴y<3
∴|y?3|?y2?8y+16=|y?3|?|y?4|=(?y+3)?(?y+4)=?y+3+y?4=?1
