专题16.2 二次根式的乘除
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2018·山西初三期末）下列根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019·湖南省沅陵县第一中学初二期末）下列各数中，与的积为无理数的是( )
A． B． C． D．
3．（2019·海口市丰南中学初三期末）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2019·河北初二期末）与互为倒数，则（ ）
A．a﹦b－1 B．a＋b﹦1 C．a﹦b＋1 D．a＋b﹦－1
5．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初二月考）已知m＝，n＝，则代数式的值为（ ）
A．3 B．3 C．5 D．9
6．（2019·长郡集团郡维学校初二月考）在根式: ；；； ；；中，最简二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2019·北京市昌平区阳坊中学初二期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019·北京市昌平区阳坊中学初二期中）把化为最简二次根式，得 （ ）
A． B． C． D．
9．（2019·河南初三期中）下列式子属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C．(a＞0) D．
10．（2019·厦门市第五中学初三期中）已知实数，则与实数互为倒数的是( )
A． B． C． D．
11．（2019·渠县崇德实验学校初二期中）下列计算①＝；②；③＝；④＝4．其中错误的是（ ）．
A．① B．② C．③ D．④
12．（2019·贵阳市清镇市卫城中学初二期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2019·甘肃平川区四中初二期中）下列运算正确的是（ ）
A． += B．×（﹣）=×=
C． =±3 D．|﹣|=﹣
14．（2020·山东初二期末）计算：( ).
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·江西高安中学初二期末）若 x ＝﹣1，则x3+x2-3x+2020 的值为____________．
16．（2019·四川初三期末）若成立，则x满足________
17．（2019·河南初三期中）若，那么下面各式:①;②；③；④，其中正确的是______ (填序号)
18．（2019·陕西师大附中初二月考）设的整数部分为 a,小数部分为 b.则 = _______________.
三、解答题（本题共8道题，满分60分）
19．（8分）（2019·翁牛特旗乌丹第一中学初二期中）先化简，再求值：
（1），其中x=
（2），其中
20．（8分）（2019·北京市昌平区马池口中学初二期中）计算：
(1) (2) (3) (4)
21．（6分）（2019·上海师大附中附属龙华中学初二月考）计算：
22．（6分）（2019·全国初三课时练习）已知，求的值．
23．（8分）（2019·上海市田林第二中学初二月考）化简求值：已知：的值.
24．（8分）（2019·全国初三课时练习）王聪学习了二次根式的除法公式后，他认为该公式逆过来也应该成立，于是这样化简了下面这道题：.你认为他的化简过程对吗？若不对，请说明理由，并改正．
25．（8分）（2019·陕西高新一中初二月考）探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）（2）
验证：
验证：（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
= ； ；
（2）通过上述探究你能猜测出： =________（n>0）,并验证你的结论．
26．（10分）（2019·商水县希望中学初三月考）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：，那么，那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得即，且使即，
那么，双重二次根式得以化简；
例如化简：；且，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：_________________；__________________；
（2）化简：①②
（3）计算：
专题16.2 二次根式的乘除
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2018·山西初三期末）下列根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：A. ,故此选项错误;
B. ,故此选项错误;
C. ,故此选项错误;
D. 是最简二次根式,故此选项正确
故选：D．
2．（2019·湖南省沅陵县第一中学初二期末）下列各数中，与的积为无理数的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
A、，不是无理数，错误；
B、，是无理数，正确；
C、，不是无理数，错误；
D、，不是无理数，错误；
故选B．
3．（2019·海口市丰南中学初三期末）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
∵=，且是整数，
∴2是整数，即5n是完全平方数，
∴n的最小正整数为5．
故选D．
4．（2019·河北初二期末）与互为倒数，则（ ）
A．a﹦b－1 B．a＋b﹦1 C．a﹦b＋1 D．a＋b﹦－1
【答案】C
【解析】
解：由题意得，
∴a-b=1，即a=b+1 故选：C
5．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初二月考）已知m＝，n＝，则代数式的值为（ ）
A．3 B．3 C．5 D．9
【答案】B
【解析】
由已知可得：，
原式=
故选：B
6．（2019·长郡集团郡维学校初二月考）在根式: ；；； ；；中，最简二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
=，=，=，故不是最简二次根式；
，，，是最简二次根式.
故选B.
7．（2019·北京市昌平区阳坊中学初二期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
A. =，故选项A错误；
B. ，故选项B错误；
C. ，故选项C正确；
D. ，故选项D错误；
故选C.
8．（2019·北京市昌平区阳坊中学初二期中）把化为最简二次根式，得 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：===.
故选A.
9．（2019·河南初三期中）下列式子属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C．(a＞0) D．
【答案】B
【解析】A．原式=，故A不是最简二次根式；
B．是最简二次根式；
C．原式=a，故C不是最简二次根式；
D．原式=2，故D不是最简二次根式；故选B．
10．（2019·厦门市第五中学初三期中）已知实数，则与实数互为倒数的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：a的倒数==，
故选：B
11．（2019·渠县崇德实验学校初二期中）下列计算①＝；②；③＝；④＝4．其中错误的是（ ）．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】
①＝，正确；
②，正确；
③＝，故错误；
④＝4正确.
故选C.
12．（2019·贵阳市清镇市卫城中学初二期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：A. ，故A选项错误；
B. 不是同类项，不能合并，故B选项错误；
C. 不是同类项，不能合并，故C选项错误；
D. ，故D选项正确.
故选：D
13．（2019·甘肃平川区四中初二期中）下列运算正确的是（ ）
A． += B．×（﹣）=×=
C． =±3 D．|﹣|=﹣
【答案】D
【解析】
A、 +≠，故A选项错误；
B、×（﹣）=×-×=-=-=，故B选项错误；
C、 =3，故C选项错误；
D、|﹣|=﹣，故D选项正确.
故选：D
14．（2020·山东初二期末）计算：( ).
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·江西高安中学初二期末）若 x ＝﹣1，则x3+x2-3x+2020 的值为____________．
【答案】2019
【解析】
解：原式=
16．（2019·四川初三期末）若成立，则x满足________
【答案】2≤x<3
【解析】
若成立,根据二次根式除法法则可得:
,解得:.
故答案为:.
17．（2019·河南初三期中）若，那么下面各式:①;②；③；④，其中正确的是______ (填序号)
【答案】②③
【解析】
解：因为若ab>0，a+b<0﹐所以a<0，b<0.
由于a<0，b<0， 与 无意义，所以①的变形错误；
，故②正确；
，
由于b<0，∴原式=-b，故③正确；
由于a<0，∴原式=-a，故④计算错误.
故答案为②③.
18．（2019·陕西师大附中初二月考）设的整数部分为 a,小数部分为 b.则 = _______________.
【答案】
【解析】
∵1＜＜2，
∴-2＜-＜-1，
∴2＜＜3
∴整数部分a=2,小数部分为-2=2-，
∴==
故填：.
三、解答题（本题共8道题，满分60分）
19．（8分）（2019·翁牛特旗乌丹第一中学初二期中）先化简，再求值：
（1），其中x=
（2），其中
【答案】（1）
（2）10
【解析】解：（1）原式=
=，
当x=时，
原式==；
（2）原式=
=
=
=
=，
当a=，b=2时，
原式=10．
20．（8分）（2019·北京市昌平区马池口中学初二期中）计算：
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1)6； (2) ； (3) 5；(4) .
【解析】解：(1) ，
(2)，，
(3) ，
(4) .
21．（6分）（2019·上海师大附中附属龙华中学初二月考）计算：
【答案】
【解析】
解：原式
22．（6分）（2019·全国初三课时练习）已知，求的值．
【答案】2019.
【解析】解：∵，∴，
∴，即，
∴原式
23．（8分）（2019·上海市田林第二中学初二月考）化简求值：已知：的值.
【答案】36
【解析】∵，
，
∴==
=
=
=
=36.
24．（8分）（2019·全国初三课时练习）王聪学习了二次根式的除法公式后，他认为该公式逆过来也应该成立，于是这样化简了下面这道题：.你认为他的化简过程对吗？若不对，请说明理由，并改正．
【答案】不对.
【解析】
因为 = ，有意义，而中的二次根式无意义，因此该种化简过程不对.
25．（8分）（2019·陕西高新一中初二月考）探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）（2）
验证：
验证：（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
= ； ；
（2）通过上述探究你能猜测出： =________（n>0）,并验证你的结论．
【答案】（1）；；（2），证明见解析.
【解析】
解：（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
4 ；5；
（2） =（n>0）．
证明：左边=
==右边
26．（10分）（2019·商水县希望中学初三月考）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：，那么，那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得即，且使即，
那么，双重二次根式得以化简；
例如化简：；且，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：_________________；__________________；
（2）化简：①②
（3）计算：
【答案】（1）；（2）；；（3）．
【解析】解：（1）；
；
（2）①；
②
=；
（3）
=
=
=．
