北师大版八年级数学下册第一章 第11课 角平分线的应用导学案(教师版)

第一章 三角形的证明
第11课 角平分线的应用
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
知识点一：三角形三内角平分线的性质的运用
例1：已知，在△ABC中，∠ABC=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F是垂足，且AB=10，BC=8，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别是？
【解析】如图，
连接OB，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，∴OE=OF=OD，
又∵OB是公共边，∴Rt△BOF≌Rt△BOD（HL），∴BD=BF，
同理，AE=AF，CE=CD，
∵∠C=90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD=OE，
∴OECD是正方形，
设OE=OF=OD=x，则CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x，
∴BF+FA=AB=10，即6-x+8-x=10，
解得x=2．
则OE=OF=OD=2.
练习：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，若S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长为？
【解析】∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF=DE=2．
又∵，AB=4，
∴，∴AC=3．
知识点二角平分线与线段垂直平分线的性质的综合运用
例2：如图，△ABC中，F为BC的中点，FD⊥BC，交∠BAC的平分线于D，DE⊥AC于E，求证：AB+AC=2AE．
【解析】连接DB、DC，作DG⊥AB于G，如图所示：
则∠G=90°，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，
∴∠BAD=∠CAD，DG=DE，∠DEC=90°，
∵F为BC的中点，FD⊥BC，∴DB=DC，
∵ ∴Rt△BDG≌Rt△CDE（HL），
∴BG=CE，
在△ADG和△ADE中，
∴△ADG≌△ADE（ASA），∴AG=AE，
∵AB=AG-BG，AC=AE+CE，
∴AB+AC=2AE．
练习：已知，AE平分∠FAC，EF⊥AF，∠AGE=90°，DE是BC垂直平分线，求证：BF=CG．
【解析】∵AE平分∠FAC，EF⊥AF，∠AGE=90°，
即EG⊥AC，∴EF=EG．
∵DE是BC垂直平分线，∴BE=EC，
在直角△BEF和直角△CEG中， ，
∴直角△BEF≌直角△CEG，∴BF=CG．

1．如图，中，，的角平分线交于点，于点．若，，则的面积为（ ）
A．3.5 B．7 C．14 D．28
【解析】中，，的角平分线交于点，于点，，，
，的面积是：，故选：．
2．如图，在四边形中，，，连接，，．若是边上一动点，则长的最小值为（ ）
A．1 B．6 C．3 D．12
【解析】过点作交于点，如图所示：
，，又，，，，
，是的角平分线，又，，，又，，∵点是直线外一点，
当点在上运动时，点运动到与点重合时最短，其长度为长等于3，
即长的最小值为3．故选：．
3．如图，已知，，于点，于点，若，则长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】，于点，于点，，
，，，，
．故选：．
4．如图，在中，于点，平分，交于点，若，，则等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
【解析】过作于，
，平分，，，， ，解得：，
即，故选：．
5．图．在中，，的平分线交于，是的垂直平分线，点为垂足，的延长线与的延长线相交于点，连结，已知，，则图中长为4的线段有（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
【解析】，的平分线交于，是的垂直平分线，
，，
，，，故选：．
6．如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中正确的有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
【解析】平分，平分，，，
，，；故①正确；
过作于，于，于，
，平分，
；故②不正确；
，平分，垂直平分（三线合一），故③正确；
，
平分，，，故④正确．
本题正确的有：①③④，故选：．
7．如图，在中，，于点，则下列四个结论中：
①线段上任意一点到点点的距离相等；
②线段上任意一点到的距离与到的距离相等；
③若点为的三等分点，则的面积是面积的；
④若，则；
正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【解析】，于点，
线段上任意一点到点点的距离相等，故①正确，
线段上任意一点到的距离与到的距离相等，故②正确，
若，则是等边三角形，
，，故④正确，
若点为的三等分点，则的面积是面积的或，故③错误，
故选：．
8．已知中，．点为各内角平分线的交点，过点作的垂线，垂足为．若，，，则　 　．
【解析】作于，于，连接、、，
为各内角平分线的交点，，，，
，
则，
解得，，故答案为：2.
9．如图，中，，，是的角平分线，于点，若，则三角形的面积为　 　．
【解析】过作，
是的角平分线，于点，，，
的面积的面积的面积，
故答案为：36.
10．如图，在中，，，是的角平分线，则　　 ．
【解析】作于．
平分，，，，
，，，，
．故答案为．
11．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，是的中点，平分，．如图，则的度数为　　 ．
【解析】过点作，
平分，且是的中点，
，
又，且，
，
．
又，
即，，
．
故答案为：
12．如图：已知和两条公路，以及、两个村庄，建立一个车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到，两条公路的距离相等．
【解析】如图，点为所作．
13．如图，在直线上求作一点，使点到射线和的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）
【解析】如图，点为所作．
14．如图，在中，，为延长线上一点，，的角平分线与交于点，连接．
（1）求证：点到、的距离相等；
（2）求的度数．
【解析】（1）过作于，于，于，
平分，，
，，
，，平分，
点到、的距离相等；
（2）平分，，
设，，
，，
，，
，，，，即．
15．已知：如图，中，平分，分别交、于、两点，，．过作于．．
（1）求的长；
（2）求的面积．
【解析】（1）平分，，
，，
，；
（2）如图，过作于，
又，平分，，
，，
的面积．