北师大版八年级数学下册第一章第01课 等腰三角形的性质导学案(教师版)

第一章 三角形的证明
第01课 等腰三角形的性质
1．全等三角形的判定：两角分别 相等 且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)．
2．全等三角形的性质：全等三角形的对应边 相等 ，对应角 相等 ．
3．等腰三角形的性质：
(1)定理：等腰三角形的两底角 相等 ；简单叙述为：等边对等角．
(2)推论：等腰三角形顶角的 平分线 、底边上的 中线 及底边上的 高线 互相 重合 ．
知识点一：三角形全等的判定与性质
例1：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：∠A＝∠D.
【解析】∵BE＝CF，∴BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D.
练习：已知：如图，B，F，C，D在同一条直线上，∠ACB=∠EFD，BF=CD，AC=EF．求证：三角形ABC全等于三角形EDF．
【解析】∵BF=DC，∴BF+FC=FC+DC，即BC=DF，
在△ABC和△EDF中，
∴△ABC≌△EDF（SAS）．
知识点二：等腰三角形定理的运用
例2：在△ABC中，AB＝AC.
(1)若∠A＝40°，则∠C等于____70____°；
(2)若∠B＝72°，则∠A等于____36____°.
练习：如图，用两根拉线固定竖直电线杆的示意图，其中拉线的长AB=AC，若∠ABD=50°，则∠CAD=
A．40° B．45° C．55° D．70°
【解析】∵AB=AC，∠ABD=50°，∴．
∵AD⊥BC，∴ ．故答案为40°．
知识点三：等腰三角形推论的运用
例3： 如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.求∠BAD的度数.
【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD(“三线合一”)．
∵∠BAC＝108°，
∴.

1．一个等腰三角形的底角是，则它的顶角是　　
A． B． C． D．
【解析】一个等腰三角形的底角是，等腰三角形的两底角相等，它的顶角，
故选．
2．如图，在中，，，则的大小为　　
A． B． C． D．
【解析】设，，，，解得．故选．
3．等腰三角形的一个内角是，则另外两个角的度数分别是　　
A． B．
C． 或 D．
【解析】，，
①当底角时，则，；
②当顶角时，，，；
即其余两角的度数是，或，，故选．
4．等腰三角形的一个内角等于，则其他两个内角分别为　　
A． B．
C．或 D．无法确定
【解析】当的角为顶角时，底角；
当的角为底角时，只一个底角也为，顶角．
所以其他两个内角分别为，或，．故选．
5．已知一等腰三角形的两边长为4和5，则这个等腰三角形的周长是　　
A．13 B．14 C．13或14 D．14或15
【解析】（1）当4是腰时，符合三角形的三边关系，周长；
（2）当5是腰时，符合三角形的三边关系，周长．故选．
6．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为　　
A． B． C．或 D．或
【解析】如图所示，
中，．有两种情况：
①顶角；
②当底角是时，，，，
，这个等腰三角形的顶角为和．故选．
7．若等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为　　
A． B． C．或 D．以上都不对
【解析】①是腰长时，腰长为，②是底边时，腰长，
所以，腰长是或．故选．
8．在中，，那么在这个三角形中，三线重合的线段是　　
A．的平分线，边上的中线，边上的高
B．的平分线，边上的中线，边上的高
C．的平分线，边上的中线，边上的高
D．的平分线，边上的中线，边上的高
【解析】如图示
在中，，是顶角，的平分线，边上的中线，边上的高相互重合．故选．
9．下列各线中，不属于等腰三角形“三线合一”的线是　　
A．顶角的平分线 B．底边上的中线
C．底边上的中垂线 D．底边上的高线
【解析】等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，
故选项不符合条件，故选．
10．如图，在中，，，，则　 　．
【解析】，，，，，．故答案为：20．
11．已知是的高，若，，则　 　，
【解析】是的高，，，故答案为：2．
12．如图，在中，，点在边上，根据等腰三角形三线合一的性质填写结论：
①若，则　　 ．
②，垂足为，则　　 ．
③若平分，则　　 ．
【解析】是，即是等腰三角形，
①若，则，垂足为；②，垂足为，则；
③若平分，则，垂足为，
故答案为，垂足为，，，垂足为．
13．如图，在中，，是边上的高，求的度数．
【解析】，，．
则．又是边上的高，则．
14．如图，在中，，和的平分线相交于点，，求的度数．
【解析】，平分，（等腰三角形三线合一），
，，，
又平分，．
又，，．
15．如图，在中，，是中点，，垂足为．若，求的度数．
【解析】，为的中点，，
，，
，，
16．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，求的度数．
【解析】在中，，，，
的垂直平分线交于点，，．
17．已知：如图，是的边上的一点，且，求，，，的度数．
【解析】，是等边三角形，，
，，
，
，
．