北师大版八年级数学下册第一章第02课 等边三角形的性质导学案(教师版)

第一章 三角形的证明
第02课 等边三角形的性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质，并且等边三角形的三个内角 相等 ，每个角都等于 60° ．
知识点一：运用等边三角形的性质求角的度数
例1：如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
【解析】∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，AD＝DE.
又∵D，E是BC的三等分点，∴BD＝DE.
∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B.
∵∠ADE＝∠BAD＋∠B＝60°，∴∠B＝30°.
同理，∠C＝30°.
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝120°.
练习：如图，点C在BE上，BD是等边△ABC的中线，CE=CD，求证：DE=DB．
【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴，
∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．
知识点二：运用等边三角形的性质求证线段相等
例2：如图，D，E分别是等边三角形ABC的两边AB，AC上的点，且AD＝CE.求证：CD＝BE.
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠BCE＝60°，AC＝BC.
在△ACD和△CBE中，，
∴△ACD≌△CBE，∴CD＝BE.
练习：△DAC和△EBC均是等边三角形，连AE、BD，AE与BD相等吗？请说明理由．
【解析】△ACE≌△DCB；
∵∠ACD=∠ECB=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，∵在△ACE和△DCB中，，
∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD.

1．如果一个等边三角形的边长是2，那么这个等边三角形的面积是　　
A．1 B．2 C． D．
【解析】如图示：
等边三角形高线即中点，，，
在中，，，
，
，故选．
2．如图，在中，，，平分，则等于　　
A．1 B． C． D．1.5
【解析】，，，，故选．
3．如图所示，是等边三角形，且，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【解析】在和中，，，，
，．故选．
4．如图，等边三角形中，，垂足为，点在线段上，，则等于
　　
A． B． C． D．
【解析】等边三角形中，，，即：是的垂直平分线，
点在上，，，
，，
是等边三角形，，，故选．
5．等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为　　
A． B． C． D．
【解析】如图，为等边三角形，、分别为、边上的中线，交于点，
为等边三角形，、分别为、边上的中线，
，平分，，，，故选．
6．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【解析】．故选．
7．在等边中，平分，，则的度数是　　
A． B． C． D．
【解析】在等边中，，
平分，，
，，
又等边中，平分，，，
．故选．
8．以下叙述中不正确的是　　
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B．有一内角为的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
【解析】，正确，符合等边三角形三线合一性质；，正确，符合等边三角形的判定；
，不正确，也可能是钝角或等腰直角三角形；，正确，符合等边对等角及等角对等边的性质．故选．
9．如图，和都是边长为4的等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，则长　　
A．3 B． C． D．
【解析】和都是边长为4的等边三角形，，，
又，，在中，，，，
故选．
10．在中，，过点作于，已知的周长为，则　　
A． B． C． D．
【解析】三角形是等边三角形，，于，，
周长为，，故选．
11．如图，正三角形的三个内角平分线交于点，则　　 ．
【解析】为等边三角形，，
点为正三角形的三个内角平分线的交点，
，
，．故答案为．
12．，分别是等边三角形的高和中线，则与的大小关系为　 　．
【解析】是等边三角形，，，
平分，和重合，．故答案为：相等．
13．如图，是等边的中线，是上一点，且，则　 　．
【解析】是等边的中线，，，，
，，．
故答案为：15．
14．边长为4的等边三角形的面积是　　 ．
【解析】如图，
等边三角形三线合一，为的中点，，
在中，，，，
等边的面积为．故答案为：．
15．等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为　　 ．
【解析】如图，
等边三角形，、分别是中线，、分别是角平分线，，．故答案为：．
16．等边三角形的边长为，则它的周长为　　 ．
【解析】因为等边三角形的三边相等，而等边三角形的边长为，所以它的周长为．故答案为．
17．如图，是等边三角形，点是的中点，延长到，使，若，则　 　．
【解析】为等边三角形，是边的中线，
，平分，．
，．
，且为的外角，
．，
，．故答案为3．
18．如图，为等边三角形内一点，，求的度数．
【解析】是等边三角形，
，
，
，
在中，．
19．如图，等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足是，求证：．
【解析】在等边，且是的中点，
，，
，，
，，
，
，为等腰三角形，
又，是的中点，．
20．如图，等边中，，为中点，求证：．
【解析】过作交于，于，
为中点，，，
是等边三角形，，
，， ，
，，，
，，，
，，．