北师大版八年级数学下册第一章第03课 等腰三角形的判定与反证法导学案(教师版)

第一章 三角形的证明
第03课 等腰三角形的判定与反证法
1．等腰三角形的判定：有两个角 相等 的三角形是等腰三角形．简述为 等校对等边 ．
2．证明时，先假设命题的结论 不成立 ，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相 矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为 反证法 ．
知识点一：等腰三角形的判定
例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F.求证：△AEF是等腰三角形.
【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵EP⊥BC，∴∠B＋∠BFP＝90°，∠C＋∠E＝90°.∴∠BFP＝∠E.
∵∠BFP＝∠AFE，∴∠E＝∠AFE，
∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形．
练习：如图，已知AB=DC，AC=DB，AC与BD交于一点O，求证：△OBC是等腰三角形．
【解析】在△ABC和△DCB中， ，∴△ABC≌△DCB（SSS）．∴∠ACB=∠DBC．∴OB=OC．∴△OBC是等腰三角形．
知识点二：反证法
例2：已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于.
【解析】假设这五个正数a1，a2，a3，a4，a5中没有一个大于或等于，即都小于，
那么a1＋a2＋a3＋a4＋a5<×5＝1，这与a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1相矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立．
练习：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角．
【解析】假设∠DAB是钝角或直角，∵AB=AC，AD是底边BC上的高，∴∠BAC=2∠DAB，∴∠DAB是钝角或直角，∴2∠DAB≥180°，不符合三角形内角和定理，∴假设不成立，∴∠DAB是一个锐角．
知识点三：等角对等边的实际应用
例3：上午8时，一条船从海岛A出发，以15n?mile/h（海里/时，1n?mile=1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得NAC=42°，NBC=84°．求从海岛B到灯塔C的距离.
【解析】∵∠NBC=84°，∠NAC=42°，∴∠C=84°-42°=42°．∴∠C=∠NAC，∴BC=AB，∵上午8时，一条船从海岛A出发，以150n?mile/h的速度向正北航行．10时到达海岛B处，∴BC=AB=15×2=30n?mile.
1．如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作分别交、于、，则的周长为　　
A．10 B．6 C．4 D．不确定
【解析】，．
平分，，．
，，．
同理，．
故选．
2．如图，，平分，过作交于点，若点在上，且满足，则的度数为　　
A． B． C．或 D．或
【解析】如图，；
平分，由图形的对称性可知：，；
，，；；
当点位于点处时，，，故选．
3．如图，在中，过顶点的直线，、的平分线分别交于点、，若，，则的长为　　
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】由分析得：，；
根据平行线的性质得：，；
所以，，则，；
所以；故选．
4．已知，如图，在中，，，是的平分线，，则图中等腰三角形一共有　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解析】，是等腰三角形；
，是等腰三角形；
是的平分线，，
，，是等腰三角形；
和为等腰三角形；图中等腰三角形的个数有5个；故选．
5．如图所示．中，，在上，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【解析】如图，，，
，，
，，即，
，．故选．
6．如图，，为的中点，以下结论正确的有几个？　　
①；②；③；④是的角平分线．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】，为的中点，，，为公共边，
，，，，即是的角平分线．
故选．
7．如图，，且平分，过点作交于点．若点到的距离为2，则的长为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】过作，，
平分，，，
，，，
，，，．故选．
8．如图，在中，，，两点分别在，上，是的平分线，，若，，则的周长是　　
A． B． C． D．
【解析】，平分，，，
，，，
，且，
，即的周长为，
故选．
9．已知四边形，用反证法证明“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，应先假设　　
A．四个内角都是锐角 B．四个内角都是直角或钝角
C．没有一个内角是钝角 D．没有一个内角是直角
【解析】用反证法证明“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时第一步应假设：四个内角都是锐角．
故选．
10．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于时，应假设　　
A．三角形的二个内角小于
B．三角形的三个内角都小于
C．三角形的二个内角大于
D．三角形的三个内角都大于
【解析】用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，
第一步应先假设三角形的三个内角都小于，故选．
11．如图，的面积为，与的平分线垂直，垂足是点，则的面积为　 　．
【解析】如图，延长交于点，
垂直的平分线于，，
，，，
故答案为：1．
12．如图， 在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为　 　．
【解析】在中，，，
，，，，
又，，，是等腰三角形 ．
又，，，，．
13．如图，在中，，、分别是和的平分线，且，，则的周长是　 　．
【解析】、分别是和的角平分线，
，，
，，
，，
，，
，，
的周长．故答案是：8．
14．如图，在中，、分别平分、，过点，且．，，则等于　　 ．
【解析】、分别平分、，，，
，，，
，，
，，
．故答案为：．
15．用反证法证明“多边形中至少有三个锐角”，第一步应假设　 　．
【解析】用反证法证“多边形中至少有三个锐角”时，第一步应假设同一多边形中最多有一个锐角．
故答案为：同一多边形中最多有一个锐角．
16．用反证法，求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行．
【解析】证明：假设这两条直线平行．
这两条直线平行，内错角相等，这与已知条件矛盾，
假设不成立．
内错角不相等，那么这两条直线不平行．
17．如图，在中，平分，于点，，，．求的长．
【解析】如图，延长交于点．
平分，．
，．
在与中，，
．，．
，．
．
，．
18．如图，在等腰三角形中，，是底边上的高，请你利用反证法证明是一个锐角．
【解析】假设是钝角或直角，
，是底边上的高，
，
是钝角或直角，
，不符合三角形内角和定理，
假设不成立，是一个锐角．
19．已知：如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的度数；
（3）若，的周长为24，求的周长．
【解析】（1）的垂直平分线交于点，
，是等腰三角形；
（2）是等腰三角形，，
，
；
（3）的垂直平分线交于点，，，
的周长为24，，
的周长．