北师大版八年级数学下册第一章第04课 等边三角形的判定导学案(教师版)

第一章 三角形的证明
第04课 等边三角形的判定
等边三角形的判定：
(1)三个角都___相等___的三角形是等边三角形．
(2)有一个角等于 60° 的___等腰___三角形是等边三角形．
知识点一：等边三角形的判定(定理1)
例1：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，BC═2AB，AD是中线，求证：△ABD是等边三角形．
【解析】∵BC=2AB，AD是BC边的中线，
∴AB=BD=CD，
在CB的延长线上截取BE=AB，连接AE?
则∠E=∠BAE，
∵∠B=∠E+∠BAE=2∠E，∠B=2∠C，
∴∠E=∠C，∴AE=AC，
在△ADE与△ABC中，，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴AB=AD，∴AB=BD=AD，
即△ABD是等边三角形．
练习：如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB.若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形．
【解析】∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD＝60°.
又∵∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∴∠A＝∠B＝∠ACB.∴△ABC是等边三角形．
知识点二：等边三角形的判定(定理2)
例2：如图，在△ABC中，D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC是等边三角形.
【解析】∵DC＝DB，∠B＝30°，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°.
又∵AD＝DC，∴△ADC是等边三角形．
练习：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC.求证：△AED是等边三角形．
【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.
∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝180°－90°－30°＝60°，
∴AD＝AE，∴△ADE是等边三角形．
知识点三：含30°角的直角三角形的性质
例3：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，则AD的长为________.
【解析】∵CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°－∠B＝30°，
∴BC＝2BD＝2.同理，AB＝2BC＝4.
∴AD＝AB－BD＝3.
练习：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3 cm，则BC的长为________.
【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°.
∴CD＝2AD，∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝30°.
∴∠BAD＝∠B.∴BD＝AD.
∴BC＝BD＋CD＝3AD＝9(cm)．

1．一个等腰三角形的底角是，则它的顶角是　　
A． B． C． D．
【解析】一个等腰三角形的底角是，等腰三角形的两底角相等，
它的顶角，故选：．
2．如图，在中，，，则的大小为　　
A． B． C． D．
【解析】设，，，，解得．故选：．
3．等腰三角形的一个内角是，则另外两个角的度数分别是　　
A． B．
C． 或 D．
【解析】，，
①当底角时，则，；
②当顶角时，，，
；
即其余两角的度数是，或，，故选：．
4．等腰三角形的一个内角等于，则其他两个内角分别为　　
A． B．
C．或 D．无法确定
【解析】当的角为顶角时，底角；
当的角为底角时，只一个底角也为，顶角．
所以其他两个内角分别为，或，．故选：．
5．已知一等腰三角形的两边长为4和5，则这个等腰三角形的周长是　　
A．13 B．14 C．13或14 D．14或15
【解析】（1）当4是腰时，符合三角形的三边关系，周长；
（2）当5是腰时，符合三角形的三边关系，
周长．故选：．
6．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为　　
A． B． C．或 D．或
【解析】如图所示，
中，．有两种情况：①顶角；
②当底角是时，，，，，
这个等腰三角形的顶角为和．故选：．
7．若等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为　　
A． B． C．或 D．以上都不对
【解析】①是腰长时，腰长为，
②是底边时，腰长，所以，腰长是或．故选：．
8．在中，，那么在这个三角形中，三线重合的线段是　　
A．的平分线，边上的中线，边上的高
B．的平分线，边上的中线，边上的高
C．的平分线，边上的中线，边上的高
D．的平分线，边上的中线，边上的高
【解析】如图示：
在中，，是顶角，的平分线，边上的中线，边上的高相互重合．
故选：．
9．下列各线中，不属于等腰三角形“三线合一”的线是　　
A．顶角的平分线 B．底边上的中线
C．底边上的中垂线 D．底边上的高线
【解析】等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，
故选项不符合条件，故选：．
10．如图，在中，，，，则　 　．
【解析】，，，，，．故答案为：20．
11．已知是的高，若，，则　 　，
【解析】是的高，，，故答案为：2．
12．如图，在中，，点在边上，根据等腰三角形三线合一的性质填写结论：
①若，则　　 ．
②，垂足为，则　　 ．
③若平分，则　　 ．
【解析】是，即是等腰三角形，
①若，则，垂足为，
②，垂足为，则，
③若平分，则，垂足为，
故答案为，垂足为，，，垂足为．
13．如图，在中，，是边上的高，求的度数．
【解析】，，．
则．又是边上的高，则．
14．如图，在中，，和的平分线相交于点，，求的度数．
【解析】，平分，（等腰三角形三线合一），
，，，
又平分，．
又，，
．
15．如图，在中，，是中点，，垂足为．若，求的度数．
【解析】，为的中点，，
，，
，，
16．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，求的度数．
【解析】在中，，，，
的垂直平分线交于点，
，
17．已知：如图，是的边上的一点，且，求，，，的度数．
【解析】，是等边三角形，，
，，
，，
．