北师大版八年级数学下册第一章第05课 直角三角形的性质和判定定理导学案(教师版)

第一章 三角形的证明
第05课 直角三角形的性质和判定定理
1．直角三角形的性质定理和判定定理：
(1)直角三角形的两个锐角___互余__．
(2)有两个角__互余__的三角形是直角三角形．
2．勾股定理和判定定理：
(1)直角三角形两条直角边的平方和等于____斜边的平方______．
(2)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是____直角三角形____．
3．逆命题、逆定理：
(1)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为___互逆命题____，其中一个命题称为另一个命题的____逆命题____．
(2)一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是__真___命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的___逆定理___．
知识点一：直角三角形的性质
例1：已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，则∠B的度数是（　　）
A.30° B．35°
C．40° D．50°
【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，故选A．
练习：如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（　　）
A.9° B．18°
C．27° D．36°
【解析】设较小的锐角是x度，则另一角是4x度．
则x+4x=90，解得：x=18°．故选B．
知识点二：勾股定理
例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，求BC．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，∴.
练习：如图，已知在△ABC中，AB=12，AC=10，BC边上的高AD=8，求BC边的长．
【解析】如图，
∵AD⊥BC，∴BD2=122-82，CD2=102-82，∴，CD=6，∴.
知识点三：逆命题、逆定理
例3：写出命题“等角的余角相等”的逆命题，并指出它的逆命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，举出一个反例．
【解析】命题“等角的余角相等”的逆命题为：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等，正确，是真命题；已知：∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠3=∠1，求证：∠2=∠4．证明：∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∵∠3=∠1，∴∠2=∠4.
练习：写出下列命题的逆命题，并判断真假．（1）同位角相等，两直线平行；（2）对顶角相等；（3）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方也相等．
【解析】（1）同位角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，为真命题；（2）对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题；（3）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方也相等的逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个实数的绝对值也相等，正确，为真命题．
知识点四：勾股定理的逆定理
例4：下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（　　）
A.9，12，15 B．7，24，25
C．6，8，10 D．3，5，7
【解析】A、92+122=152，能构成直角三角形，故正确；B、72+242=252，能构成直角三角形，故正确；C、62+82=102，能构成直角三角形，故正确；D、32+52≠72，不能构成直角三角形，故错误．故选D．

1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是　　
A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
【解析】、，不符合勾股定理的逆定理，故正确；
、，符合勾股定理的逆定理，故错误；
、，符合勾股定理的逆定理，故错误；
、，符合勾股定理的逆定理，故错误．
故选．
2．若的三边、、满足条件，则为　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】，
或．
当只有成立时，是等腰三角形．
当只有第二个条件成立时：是直角三角形．
当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形．
故选．
3．在下列命题中，真命题有　　
①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高．
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【解析】角平分线上任意一点到角两边的距离相等，所以①正确；
等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，所以②正确；
三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等，所以③正确；
直角三角形有三条高，所以④错误．故选．
4．下列是假命题的是　　
A．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
B．三角形的外角和为
C．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
D．全等三角形的对应高相等
【解析】、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，是真命题，不合题意；
、三角形的外角和为，是假命题，符合题意；
、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，不合题意；
、全等三角形的对应高相等，是真命题，不合题意；
故选．
5．如图，已知，，垂足是，则图中与相等的角是　　
A． B． C． D．、和
【解析】，即，
又直角中，，．故选．
6．下列命题正确的是　　
A．相等的圆心角所对的弧是等弧
B．等圆周角对等弧
C．任何一个三角形只有一个外接圆
D．过任意三点可以确定一个圆
【解析】、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧是等弧，本选项说法错误；
、在同圆或等圆中，等圆周角对等弧，本选项说法错误；
、任何一个三角形只有一个外接圆，本选项说法正确；
、过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，本选项说法错误；
故选．
7．如图，，，垂足为，下列结论错误的是　　
A．图中有三个直角三角形 B．
C．和都是的余角 D．
【解析】，，垂足为，．
、图中有三个直角三角形、、；故本选项正确；
、应为、；故本选项错误；
、、，而是的余角，和都是的余角；故本选项正确；
、；故本选项正确．故选．
8．如图，，于，与交于点，若，则等于　　
A． B． C． D．
【解析】于，是直角三角形，
，，
，，即．故选．
9．具备下列条件的中，不是直角三角形的是　　
A． B．
C． D．
【解析】中，即，，为直角三角形，同理，，均为直角三角形，
选项中，即，三个角没有角，故不是直角三角形，故选．
10．已知的三边分别长为、、，且满足，则是　　
A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形
C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
【解析】，，
，，，，，，
，是以为斜边的直角三角形；故选．
11．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题　 　．
【解析】“全等三角形的面积相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，因而逆命题是：面积相等的三角形全等．故答案是：面积相等的三角形全等．
12．如图，在一个高为，长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是　　 ．
【解析】由勾股定理得：楼梯的水平宽度，
地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是米．故答案为：．
13．在中，，，那么　 　．
【解析】，，
，，．故答案为：75．
14．“同位角相等”的逆命题是　 　．
【解析】“同位角相等”的逆命题为：相等的两个角为同位角．故答案为：相等的角是同位角．
15．当三角形中的一个内角是另一个内角的一半时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个“特征三角形”为直角三角形，则这个“特征角”的度数为　 ．
【解析】①“特征角”的2倍是直角时，“特征角” ；
②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角时，设“特征角是”，
由题意得，，解得，所以，“特征角”是，
综上所述，这个“特征角”的度数为或．
故答案为：或．
16．如图，一个圆柱形水杯深，杯口周长为，在杯子外侧底面点有一只蚂蚁，它想吃到杯子相对的内壁上点处的蜂蜜，已知点距离杯子口，不考虑杯子的厚度，蚂蚁爬行的最短距离为__________．
【解析】如图：
将杯子侧面展开，作关于的对称点，
连接，则即为最短距离，．
故答案为：．
17．证明：直角三角形的两个锐角互余．（在下列方框内画出图形）
已知：　 ．
求证：　 　．
证明：
【解析】如图，
已知：在中，，
求证：与互余，
证明：，且，
，
与互余，
故答案为：在中，；与互余.
18．如图，直线，的直角顶点在直线上，顶点在直线上，交于点，，，求的度数．
【解析】，
．
在中，，，
．
在中，，，
．
19．如图，、分别垂直于，点、是垂足，且．求证是直角三角形．
【解析】，，
，
，．
，，
，
．
是直角三角形．