北师大版八年级数学下册第一章 第06课 直角三角形全等的判定定理和性质导学案(教师版)

第一章 三角形的证明
第06课 直角三角形全等的判定定理和性质
定理：斜边和一条直角边分别____相等____的两个直角三角形全等．这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”．
知识点一：用“HL”判定两个直角三角形全等
例1：如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．
【解析】∵BD，CE分别是△ABC的高，∴∠BEC=∠CDB=90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．
练习：如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
【解析】在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
知识点二：直角三角形全等的判定与性质的综合
例2：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝BF.
求证：(1)AE＝CF；(2)AB∥CD.
【解析】(1)∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠CED＝∠AFB＝90°.
在Rt△AFB和Rt△CED中，
∴Rt△AFB≌Rt△CED，∴AF＝CE.
∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.
(2)∵Rt△AFB≌Rt△CED，
∴∠A＝∠C，
∴AB∥CD.
练习：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE=CF．求证：AB=AC．
【解析】∵D是BC的中点，∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．

1．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是　　
A．两个锐角分别对应相等 B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等 D．一个锐角和一条斜边分别对应相等
【解析】、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；、可以利用边角边或判定两三角形全等，不符合题意；、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．故选．
2．下列说法正确的是　　
A．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．周长相等的两个三角形全等
D．斜边对应相等的两个直角三角形全等
【解析】、根据全等三角形的判定定理可以判定两个等腰三角形全等，故本选项符合题意．
、该角是两边的夹角时方可推知这两个三角形全等，负责不能推知全等，故本选项不符合题意．
、周长相等的两个三角形的大小和形状不一定相同，不能判断全等，故本选项不符合题意．
、斜边对应相等的两个直角三角形的两直角边不一定对应相等，不能判断全等，故本选项不符合题意．
故选．
3．如图所示，在中，，则为　　
A． B． C． D．
【解析】如图所示，在中，，则．．所以，即为．故选．
4．在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，则这个锐角的度数是　　
A． B． C． D．
【解析】设一个锐角的度数为，则另一个锐角的度数为，则，解得，，故选．
5．如图，，，垂足分别为、，、相交于点．如果，那么图中全等的直角三角形的对数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】，，，
在和中，，；，，
，，
在和中，，；，，
在和中，，；
共有3对全等三角形，故选．
6．如图，，，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是　　
A． B． C． D．
【解析】条件是，
理由是：，，，
在和中，，，故选．
7．如图所示，在中，，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【解析】在中，，，，
，，，故选．
8．在中，，，是角平分线，的度数是　　
A． B． C． D．
【解析】，，，
平分，，，故选．
9．如图，在中，，点、为直角边、的中点，且，，则
　　
A． B． C． D．5
【解析】设，，
，，，则有，解得，，
，故选．
10．如图，中，，，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①； ②； ③；④．正确结论有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】，，，，，故①正确；
是的平分线，，，，
，又（对顶角相等），，故②正确；
，只有时，故③错误；
，，平分，，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．故选．
11．如图，中，于，要使，若根据“”判定，还需加条件　　 ．
【解析】还需添加条件，
于，，
在和中，，，故答案为：．
12．如图，在和中，，，与交于点，则有△　　△　 　，其判定依据是　 　，还有△　 　△　 　，其判定依据是　 　．
【解析】在和中，，，是和的公共边，根据，；
由（已证）得，在 和 中，，（对顶角），
依据是可判定．故答案为：；；；；．
13．已知直角三角形一个角为，则这个三角形最小的角为　　 ．
【解析】这个三角形最小的角，故答案为：．
14．在直角三角形中，一个锐角为，则另一个锐角等于　 ．
【解析】在直角三角形中，一个锐角为，则另一个锐角等于．故答案为52．
15．如图，在中，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为；若，则　 　．
【解析】与关于成轴对称，，
，，
，，故答案为：39．
16．如图，已知在和中，，判断和是否全等．
解：在和中，，，．
上面的解答过程正确吗？若不正确，请你说明错误的原因．
【解析】不正确，
在中是斜边，在中是直角边，
不满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等的条件，
解答过程不正确．
17．在四边形中，，于，于，，．求证：．
【解析】如图，
在与中，，
，．
又于，于，，
在与中，，．
18．在中，．现给出以下3个关系：①垂直于，②平分，③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
【解析】①②③．
理由：，，
，，
，平分，，
，，．