北师大版八年级数学下册第一章 第07课 含30度角的直角三角形和直角三角形斜边上的中线导学案(教师版)

第一章 三角形的证明
第07课 含30度角的直角三角形和直角三角形斜边上的中线
1．含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的 一半 ．
2．直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 一半 ．
知识点一：含30°角的直角三角形的性质
例1：△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，且AB=6cm，求AD的长．
【解析】∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=30°，
∵AD⊥BC，∠B=30°，∴（cm）.
练习：如图，已知Rt△ABC中，AD⊥BC，∠ABC=2∠C，试说明AB+BD=CD的理由．
【解析】∵Rt△ABC中，∠B=2∠C，
∴∠B=60°，∠C=30°．∴BC=2AB．
∵AD⊥BC，∴∠BAD=30°．
∴AB=2BD．∴BC=4BD
∴CD=3BD．∴AB+BD=CD．
知识点二：直角三角形斜边上的中线性质
例2：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【解析】已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
求证：；
证明：如图，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=BD，∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠ACB=90°，∴四边形AEBC是矩形，
∴AD=BD=CD=DE，∴.
练习：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长．
【解析】∵∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形，
∵AD⊥BC，∴D为BC的中点，
∵E为AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴.

1．已知直角三角形中角所对的直角边为，则斜边的长为　　
A． B． C． D．
【解析】直角三角形中角所对的直角边为，斜边的长为．故选．
2．如图，中，，是高，，若，则的长度为　　
A．8 B．6 C．4 D．5
【解析】，，
是高，，，，故选．
3．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，，则的长为　　
A． B． C． D．
【解析】垂直平分，，
，；
，，
，．
，故选．
4．在中，，最小边，则最长边的长为　　
A． B． C． D．
【解析】设、、分别为、、，则，解得，，
即，，，故选．
5．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，如果，则的长为　　
A．2 B．3 C．4 D．6
【解析】垂直平分，．
在中，，，．故选．
6．如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为　　
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【解析】，，，
平分，，，
，，点是的中点，．故选．
7．到直角三角形的三个顶点距离相等的点　　
A．是该三角形三个内角平分线的交点 B．是斜边上的中点
C．在直角三角形的外部 D．在直角三角形的内部
【解析】在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形斜边的中点到直角三角形的三个顶点距离相等的点，故选．
8．直角三角形的斜边长为，则斜边上的中线长为　　
A． B． C． D．
【解析】直角三角形的斜边长为，则斜边上的中线长为，故选．
9．如图，在中，，，点是的中点，则　　
A．4 B．5 C．6 D．8
【解析】，点为的中点，．故选．
10．在中，为斜边的中点，且，，则线段的长是　　
A．2 B．3 C． D．5
【解析】，，，
为斜边的中点，．故选．
11．如图，在中，是斜边上的中线，，则　　 ．
【解析】在中，是斜边上的中线，，，
，，故答案为：．
12．如图，为斜边的中点，，则　 　．
【解析】在中，，是的中点，，故答案为：4．
13．如图，已知直线，含角的三角板的直角顶点在上，角的顶点在上，如果边与的交点是的中点，那么　 　度．
【解析】是斜边的中点，，，，
，，．故答案为120．
14．在中，，，则的面积为　　 ．
【解析】过点作，交的延长线于点，
，，，，
由勾股定理可知：，的面积为：，故答案为：．
15．如图中，，、分别是、上两点，，，，，则的长为　2　．
【解析】，，．
又，，，．
．故答案是：2．
16．如图，在中，，平分，交于点，，为的中点，且，则　　．
【解析】，为的中点，
是斜边的垂直平分线，，，
，．
在中，，，
，
在中，，，，，
平分，，，，
．
故答案为：．
17．如图，四边形中，，，，，，求的长．
【解析】延长、交于，
，，，
，，是等边三角形，
设，，，，解得；，．
18．如图所示，在中，，，垂直平分，若，求的长．
【解析】连接，
，，，
垂直平分，，
，，
，．
19．已知，如图，，点、分别是、的中点，，．
（1）求证：；（2）求的长．
【解析】证明：（1）连接，
，点是的中点，
，，，
点是的中点，，。
（2），，
点是的中点，，
在中，．