北师大版八年级数学下册第一章 第09课 垂直平分线的应用导学案(教师版)

第一章 三角形的证明
第09课 三角形中的垂直平分线
1．三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
2．尺规作等腰三角形的步骤：
(1)写出已知和求作；(2)写出作法(比较复杂的作图题，在作图之前需进行分析)．
知识点一：三角形三条边的垂直平分线的性质
例1：如图，有A，B，C三个村庄，现要修建一所希望小学，使三个村庄到学校的距离相等，学校的地址应选在什么地方？请你在图中画出学校的位置并说明理由（保留作图痕迹）．
【解析】设A，B，C为顶点构建三角形，作任意两边的中垂线，交于点O，O点即是学校的位置．
理由：线段垂直平分线上的点到两顶点的距离相等，由作图可知，OA=OB，OB=OC，
∴OA=OC，则学校建在O处，三个村庄到学校的距离相等．
练习：如图：某山区有三个村庄A、B、C，现在要建一座希望小学，使三个村庄的孩子上学所走的路程一样，学校的位置应选在（　　）
A．△ABC三个角平分线的交点 B．△ABC三条边的中垂线的交点
C．△ABC三条中线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
【解析】∵使三个村庄的孩子上学所走的路程一样，∴学校的位置应选在△ABC三条边的中垂线的交点．
故选B．
知识点二 角平分线与线段垂直平分线的性质的综合运用
例2：如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于点M，DN⊥AC，交AC的延长线于点N，求证：BM=CN．
【解析】连接BD，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，
∵DE垂直平分线BC，∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），∴BM=CN．
练习：如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：AD垂直平分EF．
【解析】∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中， ,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，又DE=DF，
∴AD垂直平分EF（到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上）．

1．在中，，有一点同时满足以下三个条件：①在直角边上；②在的角平分线上；③在斜边的垂直平分线上，那么为　　
A． B． C． D．
【解析】在直角边的垂直平分线上，，，
在的角平分线上，，，故选．
2．如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【解析】，，
的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，
，，，，
，
．故选．
3．如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为　　
A．13 B．14 C．18 D．21
【解析】是的垂直平分线，，则的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故选．
4．如图，点、分别在的边、上，且垂直平分，若的周长为13，，则的周长是　　
A．18 B．23 C．21 D．26
【解析】垂直平分，，，，
的周长为13，，
的周长为，故选．
5．如图，在中，，的垂直平分线，交于点，点，在上．若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【解析】，的垂直平分线，交于点，，，，，又，，，
又，，故选．
6．如图，在中，的垂直平分线分别交、于、两点，的周长为23，的周长为15，则的长是　　
A．6 B．8 C．12 D．16
【解析】的垂直平分线分别交、于、两点，，
的周长为23，的周长为15，，，
，，故选．
7．已知：如图，垂直平分，的周长是，，则的周长是　　
A． B． C． D．
【解析】中，垂直平分，，故可得出，
，的周长．故选．
8．如图所示，线段，的垂直平分线相交于点，则与的关系是　　
A． B． C． D．
【解析】连接，
线段，的垂直平分线相交于点，，，，故选．
9．已知，如图，在中，，边上的垂直平分线交于点，交于点，，的周长为，则的长是　　．
【解析】是的垂直平分线，，
的周长，
，的周长为，，解得，故答案为：．
10．如图，点为的平分线上一点，过任作一直线分别与的两边交于，两点，为中点，过作的垂线交于点，，则　　．
【解析】如图：过作于，于，则，
平分，，为中点，，，
在和中，，，
，．
，；
故答案为：．
11．如图，在中，，的垂直平分线交于点，，若，则　　．
【解析】在中，，的垂直平分线交于点，，
，，，，
，，，
，
故答案为：．
12．如图，在中，边的垂直平分线交边于点，若厘米，厘米，则的周长为　14　．
【解析】边的垂直平分线交边于点，，
厘米，厘米，
的周长为厘米厘米厘米，
故答案为：14．
13．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点，表示大学，，表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
【解析】（1）连接，分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于，连接，则即为线段的垂直平分线；
（2）以为圆心，以任意长为半径画圆，分别交、于、，再分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于，连接，则即为的平分线（或的外角平分线）；
（3）与相交于点，则点即为所求．如图所示：
14．如图，在中，度．
（1）用圆规和直尺在上作点，使点到、的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）当满足（1）的点到、的距离相等时，求的度数．
【解析】（1）
（2）连接．
点到、的距离相等，是的平分线，．
又点在线段的垂直平分线上，，
． ．
15．如图，在中，，平分，于点交于点，平分，交于点，交于点．求证：线段垂直平分线段．
【解析】，，
，，
，，
平分，，，
，，，
平分，，，即线段垂直平分线段．
16．如图，点为三边垂直平分线的交点，，，
（1）求的度数；
（2）直接写出与的数量关系　　．
【解析】（1）为三边垂直平分线的交点，
，，，
，．
（2），，
．故答案为．