北师大版八年级数学下册第一章 第08课 线段垂直平分线的性质和判定定理导学案(教师版)

第一章 三角形的证明
第08课 线段垂直平分线的性质和判定定理
1．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离　　相等　　．
2．线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的　垂直平分线　上．
知识点一：线段垂直平分线的性质定理
例1：如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，求AE的长．
【解析】∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AB+BC+AC=21cm，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∴AC=8cm，∴AE=4cm．
练习：如图所示，AB=AC，DE垂直平分AB，交AB于D，交AC于E．若△ABC的周长等于28，BC=8，求△BCE的周长．
【解析】∵DE垂直平分AB交AB于D，∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
而△ABC周长=AC+BC+AB=28，
又AB=AC，BC=8，
∴AB=AC=10，
∴△BCE的周长=AC+BC=18．
知识点二 线段垂直平分线的判定定理
例2：叙述并证明线段垂直平分线的性质．
【解析】线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA=PB．
证明：在△APC和△BPC中，

∴△APC≌△BPC（SAS）∴PA=PB．
练习：已知：如图，AD垂直平分BE，且AB+BD=DC，求证：点E在线段AC的垂直平分线上．
【解析】∵AD垂直平分BE，∴AD=AE，BD=DE，
∵AB+BD=DC，∴AE+DE=DC，
∵DE+EC=DC，∴AE=EC，
∴点E在线段AC的垂直平分线上．
知识点三 线段垂直平分线的性质和判定的综合
例3：如图，△ABC中∠C=90°，线段AD是△ABC的角平分线，直线DE是线段AB的垂直平分线．若DE=1cm，DB=2cm， cm．求点C到直线AD的距离．
【解析】∵直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB=2cm，DE⊥AB，
∵线段AD是△ABC的角平分线，∴DC=DE=1cm，
作CF⊥AD于F，则
∴
即点C到直线AD的距离为.
练习：已知：如图，直线l是线段AB的垂直平分线，C、D是l上任意两点（除AB的中点外）．求证：∠CAD=∠CBD．
【解析】∵直线l是线段AB的垂直平分线且C、D在直线l上，
∴CA=CB，DA=DB，
∴∠CAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，
∴∠CAD=∠CBD．

1．能把三角形分割成面积相等两部分的一定是　　
A．三角形的中线 B．三角形的角平分线
C．三角形的高线 D．三角形一边上的垂直平分线
【解析】能把三角形分割成面积相等两部分的一定是三角形的中线，故选．
2．如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的长为
　　
A． B． C． D．
【解析】是的垂直平分线，．
，的周长为，，故选．
3．若有三点、、不在同一条直线上，点满足，则平面内这样的点有　　
A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．无法确定
【解析】到距离相等的点在的垂直平分线上，
到距离相等的点在的垂直平分线上，到距离相等的点在的垂直平分线上，
而三角形三边的垂直平分线交于一点．故选．
4．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，．若，则为　　
A． B． C． D．
【解析】是的垂直平分线，，，，在中，，解得．故选．
5．如图，是中边上的垂直平分线，如果，，则的周长为　　
A．16 B． C． D．
【解析】是中边上的垂直平分线，，
，，的周长为：．
故选．
6．点在的边上，和的面积相等，则是　　
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线
【解析】点在的边上，和的面积相等，是的中线，
故选．
7．如图，中，，，的垂直平分线交于点，则的周长为　　
A．13 B．12 C．10 D．9
【解析】垂直平分，，的周长．故选．
8．如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，连结和，若．，，则的长　　
A．4 B． C． D．
【解析】平分，，
的中垂线交于点，，，，
设，则，
，，解得，
，，，
而为斜边的中线，．故选．
9．如图，在中，，，为线段的垂直平分线与直线的交点，连结，则　　
A． B． C． D．
【解析】为线段的垂直平分线与直线的交点，
，，．故选．
10．如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连结．若，则的大小为　　
A． B． C． D．
【解析】的边的垂直平分线交边于点，交边于点，，，
，，，故选．
11．如图，中，，点是上一点，、的垂直平分线分别交、于点、，则　　 度．
【解析】、的垂直平分线分别交、于点、，
，，，，，，
，，故答案为：．
12．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点连接．若，，则的度数为　　 ．
【解析】平分，，
，，
垂直平分，，，
．故答案为．
13．如图，是直角三角形，是斜边，，，的垂直平分线分别交，于，，则的长为　　 ．
【解析】如图，连接，由垂直平分线的性质可知，
为直角三角形，，，，
设为，则，在中，，，解得.
故答案为：
14．如图，在中，垂直平分，若的周长是12，，则的长　 　．
【解析】垂直平分，．
的周长是12，，，故答案为：8．
15．如图，在中，，，线段的垂直平分线与交于点，与交于点，则　　 ．
【解析】，，
是线段的垂直平分线，，
，，故答案为：．
16．如图，在中，，作边的垂直平分线交直线于，交于点．
（1）如图（1），若，则　 　度；
（2）如图（2），若，则　 　度；
（3）如图（3），若，则　 度；
（4）由（1）（2）（3）问，你能发现与有什么关系？写出猜想，并证明．
【解析】（1）如图1中，，，
，，，故答案为20．
（2）如图2中，，，
，，，故答案为35．
（3）如图3中，如图1中，，，
，，，故答案为60．
（4）结论：．
理由：如图1中，，
，，．
17．如图，，是的垂直平分线上两点，延长，交于点，交于点．
求证：（1）是的角平分线；（2）．
【解析】（1）点是的垂直平分线上的点，，，
交于点，，．即是的角平分线．
（2）点是的垂直平分线上的点，，，
，，，．
18．如图，，，垂足分别为、，，求证：垂直平分．
【解析】在和中，，
，，
又，垂直平分．