北师大版八年级数学下册第一章 第10课 角平分线的性质和判定定理导学案(教师版)

第一章 三角形的证明
第10课 角平分线的性质和判定定理
1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离___相等__．
2．角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的___平分线___上．
知识点一：角平分线的性质定理的运用
例1：如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是？
【解析】∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=6.
练习：如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AC=4，则AB的长是？
【解析】如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
则，
解得AB=3，
知识点二 角平分线的判定定理的运用
例2：如图所示，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点，BD=CD，连接AD并延长，求证：AD平分∠BAC．
【解析】∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠BFD=∠CED=90°，
在△BFD和△CED中， ，
∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，
又∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴AD平分∠BAC．
练习：如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE．
求证：CF⊥DE于点F．
【解析】∵AD∥BE，∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中， ，
∴△ACD≌△BEC（SAS），∴DC=CE，
∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE．
知识点三：角平分线在实际作图中的应用
例3： 如图，C、D是∠AOB内部两点，在∠AOB内部求作一点P，使PC=PD，并且使点P到∠AOB两边的距离相等（要求：不写作法，保留作图痕迹）
【解析】如图，点P为所求．

1．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是　　
A．是的平分线 B．
C．点、到的距离不相等 D．
【解析】根据尺规作图的画法可知：是的角平分线．、是的平分线，正确；
、，正确；、点、到的距离相等，不正确；、，正确．故选：．
2．如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为　　
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
【解析】当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小．
由作图可知：平分，，，，
的最小值为2，故选：．
3．如图，在中，，是的角平分线，于点．若，则到的距离是　　．
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】是的角平分线，，，，故选：．
4．如图，平分，于点，，则点到射线的距离为　　
A．5 B．4 C．3 D．2
【解析】作于，如图，平分，，，，
即点到射线的距离为3．故选：．
5．如图，中，，平分，过点作于，若，则　　
A．3 B．5 C．4 D．6
【解析】，平分，于，，
，，故选：．
6．在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是　　
A．三条中线的交点 B．三条高线交点
C．三边垂直平分线交点 D．三个内角平分线交点
【解析】在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是：三个内角平分线交点．故选：．
7．如图，在中，，是角平分线，垂直平分，，则的长为　　
A．9 B．5 C．4 D．
【解析】是角平分线，，，，
在和中，，，，
是的垂直平分线，，，，
，，故选：．
8．下列说法错误的是　　
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
D．一个角等于的等腰三角形是等边三角形
【解析】、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确；
、直角三角形的两锐角互余，正确；
、等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合，故原命题错误；
、一个角等于的等腰三角形是等边三角形，正确，故选：．
9．如图，在中，，，，平分，则点到的距离等于　　
A．3 B．4 C．5 D．9
【解析】，，，由角平分线的性质，得点到的距离等于4．
故选：．
10．如图，在中，是角平分线，于点，的面积为15，，，则的长是　　
A．8 B．6 C．5 D．4
【解析】过点作于，
是的角平分线，，，
，解得．故选：．
11．如图， 在中，，是的角平分线，，，则点到的距离为　　 ．
【解析】，，，
是的角平分线，，
点到的距离等于，即点到的距离等于．故答案为．
12．如图所示，，为、的平分线的交点，于，且，，则与之间的距离等于　 　．
【解析】如图，过点作，于，交于，
，，
是的平分线，，，，，
是的平分线，，，，
，即与之间的距离是10．故答案为10．
13．如图，中，，，是的角平分线，　 　度．
【解析】过点作于点，
是的角平分线，，，．
，．．
，．．故答案为30．
14．如图所示，中，，平分，，，则的面积是　 　．
【解析】平分，，点到的距离等于长度2．
所以面积．故答案为6．
15．已知：如图，在中，，，平分交于点．
（1）求证：点在的垂直平分线上；
（2）若，求的长．
【解析】（1），，，
平分，，
，，
点在的垂直平分线上；
（2）在中，，
，．
16．如图，是中的平分线，交于点，交于点．若，，，求的长．
【解析】是中的平分线，于点，交于点，
．
又，，
，．
17．如图，在中，，平分，，，求的长．
【解析】如图，过作于，
，平分，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，，，
，，
设，则，
由勾股定理得：，
即，解得，．