(共23张PPT)
26.1 二次函数
第26章 二次函数
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2。一次函数的定义是什么？
(a≠0)
二次函数
教学目标
1．理解具体情景中二次函数的意义．
2．掌握二次函数的概念．
3．能够列出简单变量之间的二次函数关系式．
教学重点和难点
重点：通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．
难点：在实际问题中，会写简单变量之间的二次函数关系式．
探究问题1
1．用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃，怎样围才能使花圃的面积最大？
1 设矩形靠墙的一边AB的长ｘｍ，矩形的面积yｍ2．
能用含x的代数式来表示y吗？
2? 试填下面的表
3? x的值可以任意取？有限定范围吗？
4? 我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式。
B
C
D
A
x
x
20-2x
y=x(20-2x) (0﹤x﹤10)
Y=-2x2+20x (0﹤x﹤10)
18
18
32
14
42
16
10
50
8
48
6
42
4
32
18
0﹤x﹤10
2
AB的长ｘ（ｍ） １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
ＢＣ的长（ｍ） １２
面积ｙ（ｍ２） ４８
2．某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出100件，该店想通过降价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量增加10件，将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大？
1? 设每件商品降低x元（0≤x≤2），该商品每天的利润为y，y是x的函数吗？为什么要限定x的值？
2? 怎样写出该关系式？
１００
(１０-８)×１００
10-8
1０-x-8
(10-x-8)(100+100x)
100+100x
y=(10-x-8)(100+100x)
即y=-100x2+100x+200 ( 0≤x≤2)
每天利润= 单件利润×每天销量
单件利润（元） 每天销量（件） 每天利润（y元)
降价x元前
降价x元后
讨论
得到的两个函数关系式有什么特点?
温馨提示：同桌交流，互相帮助！
答(1)右边都是关于x的整式. (2)自变量x的最高次数是2. 即都是自变量的二次整式！
观察
（１） Y=-2x2+20x (0﹤x﹤10)
（２）y=-100x2+100x+200 ( 0≤x≤2)
提问
对比一次函数归纳二次函数的定义？
概念引入
二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数
思考：1. 由问题1和2你认为判断二次函数的关键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0．
提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？
2. 对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
思考：2. 二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0
知识运用
例1.取何值时m取哪些值时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的二次函数？
解析：若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数，须满足的条件是：m2－m≠0.
答案：若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数，则m2－m≠0.解得m≠0，且m≠1，因此，当m≠0，且m≠1时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数．
知识运用
例2：一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x＋1)cm的小长方形，剩余部分的面积为y cm2.
(1)写出y与x之间的关系表达式，并指出y是x的什么函数？
(2)当x的值分别为2和4时，小长方形中剩余部分的面积分别是多少？
解析：求剩余部分的面积可用正方形的面积减去长方形的面积即可．
答案：(1)y＝122－2x(x＋1)，即：y＝－2x2－2x＋144.
∴y是x的二次函数；
(2)当x＝2和4时，相应的y值分别为132和104.
知识运用
例3：某商场服装柜在销售中发现某种品牌的童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件．如果假定每件童装降价x元，平均每天销售这种童装的利润为y元．写出y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．
解析：在营销问题中，常根据总利润＝每件利润×销售量确立等量关系，构建二次函数模型．
五、课堂小结
1．本节课学习了二次函数的定义及一般形式．
2．应注意：
(1)形如y＝ax2＋bx＋c的函数只有a≠0的条件下才是二次函数；
(2)在实际问题中写二次函数关系时应注意自变量的取值范围．
你认为今天这节课最需要掌握的是 ________________ 。
生活是数学的源泉.
探索是数学的生命线.
结束寄语
(共26张PPT)
26．2.1 二次函数y＝ax2的图象与性质
函数y=ax?+bx+c (a,b,c是常数,a≠ 0) 叫做x的二次函数.
什么叫二次函数?
我们学过用什么方法画函数
的图象?主要有哪些步骤?
教学目标
1．会用描点法画函数y＝ax2(a≠0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．
2．体会数形结合的转化，能用y＝ax2(a≠0)的图象与性质解决简单的实际问题．
教学重点和难点
重点：1.会画函数y＝ax2(a≠0)的图象；
2．理解、掌握图象的性质．
难点：二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会．
教学设计
一、课前预习
阅读课本第5～6页内容，了解本节主要内容．
三、新知探究
●探究1：二次函数y＝ax2的图象
【活动1】在一直角坐标系中画出函数y＝x2的图象．
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：
用描点法画二次函数y=x2的图象
0
1
2
3
…
0
1
4
9
…
x
y=x2
描点,连线
y=x2
观察图象,回答问题串
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.
观察图象,回答问题串
(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(4)在对称轴左侧,随着x值的增大,y 的值如何变化？在对称轴右侧呢？
观察图象,回答问题串
(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
二次函数y=x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
在对称轴的左
侧时,y随着x的
增大而减小.
在对称轴的右
侧时, y随着x的
增大而增大.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),
顶点是它的最低点,开口向上,并且向
上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,
最小值是0.
(１)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
(2)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？你能根据表格中的数据作出猜想吗？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2
x
… -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
-1
描点,连线
y=-x2
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
y
y
在对称轴的左侧
时,y随着x的增大
而增大.
在对称轴的右侧
时, y随着x的增大
而减小.
y
抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点外),
顶点是它的最高点,开口向下,并且向下
无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,
最大值是0.
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=x2
y= -x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
y=x2
y=-x2
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
二次函数y=ax2的性质
四、点点对接
例1：已知正方形周长为C cm，面积为Scm2.
(1)求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
(2)根据图象，求出S＝1cm2时，正方形的周长；
(3)根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.
解析：此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．
描点、连线，图象如图．
(2)根据图象得S＝1cm2时，正方形的周长是4cm.
(3)根据图象得，当C≥8cm时，S≥4cm2.
例2：已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件的m的值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？在此条件下，当x为何值时，y随x的增大而减小？
解析：抛物线有最低点的条件是它的开口向上，即m＋2＞0；函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m＋2＜0.
(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m＋2＞0，即m＞－2，∴m＝2.∵抛物线顶点为最低点，∴其坐标为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大．
(3)若抛物线有最大值，则抛物线开口向下，∴m＋2＜0，∴m＜－2，∴m＝－3.∵抛物线最大值为抛物线顶点坐标，顶点坐标为(0，0)，∴当m＝－3时，抛物线有最大值为0，在此条件下，当x＞0时，y随x的增大而减小．
∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数．
五、课堂小结
本节课学习了二次函数y＝ax2(a≠0)的图象画法和性质
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；
在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
由二次函数y=x2和y=-x2知：
(共20张PPT)
26．2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
（第1课时）
教学目标
1．能比较二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2图象的位置关系．
2．掌握y＝ax2图象的上、下平移规律．
3．掌握y＝ax2＋k的图象的性质．
教学重点和难点
重点：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质．
难点：理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2图象之间的位置关系．
一、课前预习
阅读课本第7～10页内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
1．请同学们完成下列问题．
(1)回顾二次函数y＝ax2图象的性质是什么？
(2)比较y＝x2与y＝－x2图象的位置关系怎样？
比较二次函数 y=x? 和 y= –x? 图象的异同：
2．同学们还记得一次函数y＝2x与y＝2x＋1的图象的关系吗？你能由此推测二次函数y＝x2与y＝x2＋1的图象之间的关系吗？________________，那么y＝x2与y＝x2－2的图象之间又有何关系？________________．
（1）二次函数 y=2x?＋1 的图象与二次函数 y=2x? 的图象有什么关系？
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
二次函数 y=2x? 的图象是什么形状？它与二次函数 y=x? 的图象有什么相同和不同？
（2）二次函数 y=3x?－1 的图象与二次函数 y=3x? 的图象有什么关系？
x … –1 –0.6 –0.3 0 0.3 0.6 1 …
y=3x2 … 3 1.08 0.27 0 0.27 1.08 3 …
y=3x2–1 … 2 0.08 –0.73 – 1 –0.73 0.08 2 …
三、新知探究
●探究1：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
【活动1】在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝x2＋1的图象．
(2)观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有哪些是相同的？
【归纳】二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的性质：一般地，抛物线y＝ax2＋k的对称轴是y轴，顶点为(0，k)，当a＞0时，抛物线的开口向上，对称轴左侧，y随x的增大而减小，对称轴右侧，y随x的增大而增大，函数有最小值；当a＜0时，抛物线的开口向下，对称轴左侧，y随x增大而增大，对称轴右侧，y随x增大而减小，函数有最大值．
●探究2：二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的平移
【活动2】由抛物线y＝x2如何得到抛物线y＝x2＋1和抛物线y＝x2－1.
【归纳】平移规律：一般地，k＞0，抛物线y＝ax2向上平移k个单位，就得到抛物线y＝ax2＋k，把抛物线y＝ax2向下平移k个单位得到抛物线y＝ax2－k.
y
在同一直角坐标系中画出函数
的图像
试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．
向上
向下
y轴
y轴
(0，k)
(0，k)
四、点点对接
例1：已知函数y＝－12x2＋c的图象经过点(2，1)．
(1)请你求出这个函数的关系式；
(2)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标．
(2)用“三步五点法”可画出此函数的图象，从图象或解析式可直接获得顶点坐标．
(2)图象略，顶点坐标为(0，3)
例2：把抛物线y＝2x2向上平移5个单位，所得到的抛物线的表达式为( )
A．y＝2x2＋5 B．y＝2x2－5
C．y＝2(x＋5)2 D．y＝2(x－5)2
解析：抛物线y＝2x2的顶点坐标是(0，0)，向上平移5个单位后得到抛物线的顶点坐标为(0，5)，而平移不改变抛物线的开口方向和形状大小，故得到抛物线y＝2x2＋5.
答案：A
例3：如图，已知抛物线y＝ax2＋k经过点A(－1，0)、M(0，1)及x轴上另一点B，直线l平行于x轴，且与抛物线交于C、D两点，连接AD、BC.若C点的横坐标是，求梯形ABCD的面积．
解析：将A、M两点坐标代入y＝ax2＋k可求得抛物线的解析式，再由点C的坐标可求CD的长和梯形ABCD的高，从而可求得梯形的面积．
五、课堂小结
本课时学习了：
(1)二次函数y＝ax2＋k的图象画法和性质应用；
(2)函数y＝ax2＋k与y＝ax2图象之间的关系．
(共24张PPT)
（第2课时）
26．2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
二次函数y=ax2的性质
教学目标
1．会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2的图象．
2．理解抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的位置关系．
3．掌握如何由y＝ax2的图象平移得到y＝a(x－h)2的图象．
4．掌握y＝a(x－h)2的图象与性质．
教学重点和难点
重点：二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质．
难点：如何由y＝ax2的图象平移得到y＝a(x－h)2的图象．
一、课前预习
阅读课本第11～13页内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
1．回顾一下下列问题：
(1)y＝ax2图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性分别是什么？
(2)如何由y＝ax2图象平移得到y＝ax2＋k的图象？
(2)观察这两个函数的图象，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有哪些是相同的？有哪些是不同的？
解：列表
x
y
0
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
20
16
12
8
4
-2
描点,连线
10
12
-10
-12
2
观察这两个函数的图象,
它们有什么关系?
x
y
0
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
20
16
12
8
4
-2
描点,连线
10
12
-10
-12
2
2
x
y
O
函数y= (x-2)2的图象与y= x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次项系数
相同 a>0,
开口都向上,
2
x
y
O
函数y= (x-2)2的图象与y= x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
顶点坐标
是点(2,0).
图象是轴对称图形
对称轴是平行于
y轴的直线:x=2.
2
x
y
O
x取哪些值时,函数y= (x-1)2的值随x值的增大而减小?x取哪些值时,函数y= (x-1)2的值随x的增大而增大？
在对称轴(直线:x=2)
左侧(即x<2时), y的值
随x的增大而减小,.
在对称轴(直线:x=2)
右侧(即x>2时), y的值
随x的增大而增大,.
顶点是最低点,函数
有最小值.当x=2时,
最小值是0..
想一想, 这个函数的图象和性质会是什么样?
在同一个直角坐标系里画出 函数 和 的图象
x
y
0
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
20
16
12
8
4
-2
描点,连线
10
12
-10
-12
2
x
y
0
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
20
16
12
8
4
-2
描点,连线
10
12
-10
-12
2
直线x=-2
函数 的图象可以看成由
的图象向_____平移___个单位得到,它们的形状和开口大小相同
函数 的图象可以看成由
的图象向____平移___个单位得到,它们的形状和开口大小相同
这里的平移方向有什么规律?
右
左
2
2
函数Y=A(X-H)2(A≠0)的图象和性质
1.函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可
由函数y=ax2的图象平移得到.
当h>0 时,向___平移___个单位
当h<0 时,向___平移____个单位
对称轴为:_________.顶点为____
h
|h|
右
左
直线x=h
(h,0)
2.当a>0时,抛物线在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
3.当a>0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0).
当a<0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0).
直线x=h
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a<0)
（h，0）
（h，0）
直线x=h
直线x=h
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
开口大小
四、点点对接
例1：抛物线y＝－x2与y＝－(x－7)2有何异同？
解析：可从抛物线的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、增减性和最值等方面比较说明．
答案：相同点：抛物线的形状相同，开口都向下，对应的二次函数都有最大值0.
不同点：抛物线y＝－x2的对称轴为y轴或直线x＝0，顶点坐标为(0，0)，而抛物线y＝－(x－7)2的对称轴为x＝7，顶点坐标为(7，0)；当x＝0时，y＝－x2取最大值．
解析：左右平移实质是顶点横坐标的变化，可依据“左加右减自变量”来解决．
五、课堂小结
本课时学习了：
(1)二次函数y＝a(x－h)2的图象画法及性质的运用；
(2)函数y＝ax2与y＝a(x－h)2图象之间的关系．
(共26张PPT)
（第3课时）
26．2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
教学目标
1．会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
2．掌握y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的图象的位置关系．
3．理解y＝a(x－h)2＋k、y＝a(x－h)2、y＝ax2的图象之间的平移转化．
4．掌握y＝a(x－h)2＋k的图象和性质．
教学重点和难点
重点：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质．
难点：根据二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的轴对称性列表、描点、连线．
一、课前预习
阅读课本第14～15页内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
1．y＝ax2、y＝a(x－h)2、y＝ax2＋k(a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、y随x的增减性分别是什么？
2．由前面的知识，我们知道，函数y＝2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y＝2x2＋2的图象；函数y＝2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y＝2(x－3)2的图象，那么函数y＝2x2的图象，如何平移，才能得到函数y＝2(x－3)2＋2的图象呢？
三、新知探究
●探究1：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
【活动1】在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
【解】：(1)列表：略；
(2)描点；
(3)连线，画出这三个函数的图象，如图所示．
【归纳】二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质：抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点如下：
(1)当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；
(2)对称轴是x＝h；
(3)顶点是(h，k)；
(4)如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0时，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小．
●探究2：二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的图象的平移
【探究】可由活动1中三个函数图象之间的位置关系来解答此题．
【归纳】平移规律：一般地，当h＞0，k＞0时，把抛物线y＝ax2向上平移k个单位，再向右平移h个单位得抛物线y＝a(x－h)2＋k，平移的方向和距离由h、k的值来决定．
四、点点对接
例1：已知函数y＝(x－2)2－4.
(1)指出其图象开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)画出其函数图象；
(3)根据图象说明该函数具有哪些性质？
解析：画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象常取对称的五个点，即顶点、与x轴的两个交点、与y轴交点及其对称点．叙述其增减性，注意数形结合．写出顶点坐标时，注意顶点横坐标的符号．
答案：(1)其图象开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，－4)．
(2)①列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 －3 －4 －3 0 …
②描点；
③连线，画出图象如图．
(3)函数y＝(x－2)2－4，当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＝2时，函数y有最小值是－4.
例2：把抛物线y＝－x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( )
A．y＝－(x－1)2－3
B．y＝－(x＋1)2－3
C．y＝－(x－1)2＋3
D．y＝－(x＋1)2＋3
解析：(1)平移不改变图形的形状，只改变图形的位置，所以二次项的系数相等；(2)抛物线y＝a(x－h)2＋k，a确定形状，h确定着左右平移，k确定着上下平移．若向左平移，则h＜0；若向右平移，则h＞0；向上平移k＞0；向下平移k＜0.简记为：“左加右减，上加下减．”
答案：D
五、课堂小结
本课时学习了：
(1)二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质；
(2)如何由抛物线y＝ax2平移得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成
y=a(x-h)2+k的形式吗?
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系?
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数y=3(x-1)2的图象．
观察图象,回答问题
(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
在同一坐标系中作出二次函数y=3x?,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
二次函数y=3x?,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?
它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
对称轴仍是平行于y轴的直
线(x=1);增减性与y=3x2类似.
顶点是(1,2).
二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.
二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x?,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
开口向上,当
X=1时有最小
值:且最小值=2.
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y=3x2类似.
顶点是(1,-2).
二次函数y=3(x-1)2-2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
下平移2个单位后得到的.
二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
开口向上,
当x=1时y有
最小值:且
最小值= -2.
想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x?,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．
X=1
在同一坐标系中作出二次函数
y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x?和
y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x?,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y= -3x2类似.
顶点分别是
(1,2)和(1,-2).
二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2+2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物
线y=-3x?,y=-3(x-1)2有什
么关系? 它的开口方向,对
称轴和顶点坐标分别是什
么?
开口向下,
当x=1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值=-2).
想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x?,y=-3(x+1)2
y
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=-1);增减性与y= -3x2类似.
顶点分别是
(-1,2)和(-1,-2)..
二次函数y=-3(x+1)2+2与
y=-3(x+1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向左平移1个
单位,再沿直线x=-1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.
二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x?,y=-3(x+1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
开口向下,
当x=-1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值= - 2).
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
x=1
一般地,由y=ax?的图象便可得到二次函数y=a(x-h)?+k的图象:y=a(x-h)?+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax?的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h)?+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?
对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?
2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).
(2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴.
(3)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x-h)?+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax?的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.
2.填写下表:
y=a(x-h)?+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
a>0
a<0
(共22张PPT)
（第4课时）
26．2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
教学目标
1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
2．会用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、开口方向、对称轴，并确定y随x的增减性．
3．由抛物线y＝ax2＋bx＋c来判断a、b、c、2a＋b、2a－b、a－b＋c、a＋b＋c的符号．
教学重点和难点
重点：1.用配方法求y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标；
2．会用描点法画y＝ax2＋bx＋c的图象并能说出图象的性质．
难点：由y＝ax2＋bx＋c的图象，得出a、b、c及与a、b、c有关代数式的正、负．
一、课前预习
阅读课本第16～18页内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
1．同学们回顾一下如何确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的增减性．
三、新知探究
●探究1：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
【解】列表：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －6 －4 －2 －2 －2 －4 －6 …
画出的图象如图所示．
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2.
●探究2：二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝ax2的图象的平移
【探究】可由活动1中抛物线的位置得出正确结论．
【归纳】平移规律：左加右减，上加下减．
四、点点对接
例1：已知抛物线y＝－x2＋2x＋2.
(1)该抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________；
(2)画出该抛物线；
(3)若该抛物线上有两点A(x1，y1)、B(x2，y2)满足x1＜x2＜1，试比较y1与y2的大小．
解析：作抛物线草图时应抓住以下五个关键点：顶点、与x轴的交点、与y轴的交点及对称点．
答案：(1)直线x＝1，顶点坐标为(1，3)；
(2)图象略；
(3)y1＜y2.
例2：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，试确定a、b、c、2a＋b、2a－b、a＋b＋c、a－b＋c的符号．
解析：a＋b＋c、a－b＋c的符号，要看当x＝1和x＝－1时，对应的y值的正负性，涉及2a与b的问题，往往要看对称轴．
对称轴x＝－＜1，a＜0，∴2a＋b＜0.
当x＝1时，对应的图象在x轴上方，即y＞0，∴a＋b＋c＞0.当x＝－1时，对应的图象在x轴下方，即y＜0，∴a－b＋c＜0.
五、课堂小结
本课时学习了：(1)用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；(2)由y＝ax2＋bx＋c的图象判断与a、b、c有关代数式的值的正负；(3)函数y＝ax2(a≠0)与y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象间的平移．
回答问题:
说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：
函数y=ax?+bx+c的对称轴，顶点坐标是什么？
回答问题:
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：
例：指出抛物线:
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口
方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴
的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时）
，这样就可以画出它的大致图象。
指出下列抛物线的开口方向、求出
它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交
点坐标、与x轴的交点坐标。并画出
草图。
B
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的
顶点都在
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上 D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是
4 B. -1 C. 3 D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x
轴的一个交点为(1,0),则下列
各式中不成立的是( )
A.b2-4ac>0 B.abc>0
C.a+b+c=0 D.a-b+c<0
1
C
A
x
y
o
-1
B
( )
（ ）
5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平
移3个单位,得抛物线y = x2 - 2x+1,则
A.b=2 B.b=-6,c=6
C.b=-8 D.b=-8,c=18
6.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限，
则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是 ( )
( )
B
-3
-3
-3
-3
C
7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ ）
C
再 见
(共17张PPT)
（第5课时）
26．2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
教学目标
1．能根据实际问题建立二次函数关系式，并能确定自变量取值范围．
2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
教学重点和难点
重点：用函数知识解决实际问题．
难点：如何建立二次函数模型．
一、课前预习
阅读课本第18～20页内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数y＝－10x2＋100x＋2000.那么，此问题可归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值？你能解决吗？
例 5
用6 m长的铝合金型材做一个形状如图所示的
矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能
使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面
积是多少？
因此，所做矩形窗框的宽为1m、长为1.5m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5m2.
【探究】(1)与图形的面积有关的函数关系式的列法；
(2)如何确定实际问题中的自变量的取值范围；
(3)如何在自变量取值范围内求实际问题中的最值．
【归纳】用二次函数的知识解决实际问题时，关键是先将实际问题抽象成数学问题，即先建立二次函数关系，然后再利用二次函数的图象及性质进行解答．
四、点点对接
解析：可设矩形纸的较短边为常数a，利用正方形的面积公式可列出函数解析式．
答案：设矩形纸较短边长为a，设DE＝x，则AE＝a－x，那么两个正方形的面积和y为：y＝x2＋(a－x)2＝2x2－2ax＋a2.当x＝－＝a时，y最小＝2×(a)2－2a×a＋a2＝a2.
例1：如图，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？
即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小．
例2：某地有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．
(1)设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式；
(2)若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为p元，试写出p与x之间的函数关系式；
(3)李经理将这批野生菌存放多少天后出售可获得最大利润？
解析：利润＝销售总额－收购成本－各种费用，销售总额＝销售单价×销售量．
答案：(1)由题意得y与x之间的函数关系式为y＝x＋30(1≤x≤160，且x为整数)．
(2)由题意得p与x之间的函数关系式为p＝(x＋30)(1000－3x)＝－3x2＋910x＋30000.
(3)可设获得利润w元，由题意得
w＝(－3x2＋910x＋30000)－30×1000－310x
＝－3(x－100)2＋30000.
∴当x＝100时，w最大＝30000.
∵100天＜160天，
∴存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元．
五、课堂小结
本课时学习了：能根据实际问题建立二次函数关系式并确定自变量取值范围，并能求出实际问题的最值．
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
在实际问题中,自变量往往是有一定取值范围的.因此,在根据二次函数的顶点坐标,求出当自变量取某个值时,二次函数取最大值(或最小值),还要根据实际问题检验自变量的这一取值是否在取值范围内,才能得到最后的结论.
(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
xm
bm
练一练1
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
练一练2
用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养
鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?
ym2
xm
xm
练一练3
正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR中,PQ=PR=5cm,
QR=8cm,点D、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两
点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向
左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形
重合部分面积为Scm2，解答下列问题：
(1)当t=3s时，求S的值；
(2)当t=3s时，求S的值；
(3)当5s≤t≤8s时，求S
与t的函数关系式，并求
S的最大值。
练一练4
(共18张PPT)
26．2.3 求二次函数的表达式
教学目标
1．掌握用待定系数法列方程组求二次函数解析式的方法．
2．由已知条件的特点，灵活选择二次函数的两种形式，合理地设出函数解析式，可使计算过程更简便．
教学重点和难点
重点：用待定系数法求二次函数解析式．
难点：灵活选择合适的表达式．
一、课前预习
阅读课本第21～23页内容，了解本节主要内容．
(1)一般式
(2)顶点式
二、情景导入
顶点坐标（h，k）
1．同学们想一想，二次函数有哪些形式？
2．同学们想一想，已知一次函数图象上两个点的坐标，如何用待定系数法求它的解析式？
3．已知二次函数图象上有两个点的坐标，能求出其解析式吗？三个点的坐标呢？
一个二次函数的图象过点（0,1）,它的顶点坐标是（8,9）,求这个二次函数的关系式。
三、新知探究
●探究1：设顶点式求抛物线的解析式
一个二次函数的图象过（0,1）、（2,4）、（3，10）三点，求这个二次函数关系式.
●探究2：设一般式求抛物线的解析式
【探究】已知任意三点求抛物线的解析式，如何设最简单？
归纳(一)：二次函数关系式的选择
确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下两种形式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，给出三点坐标可利用此式来求；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．
归纳(二)：用待定系数法求函数关系式的方法步骤
1．根据已知函数的特征(种类)，写出适当的形式，其中含有待定系数．
2．根据其他已知条件，求出待定系数的值．
3．将求得的待定系数的值，代入设定的形式，便得所求的函数表达式．
四、点点对接
例1：(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式；
①y随x变化的部分数值规律如下表：
②有序数对(－1，0)、(1，4)、(3，0)满足y＝ax2＋bx＋c；
③已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分(如图)．
x －1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
(2)直接写出二次函数y＝ax2＋bx＋c的三个性质．
解析：(1)选择①，观察表格可知抛物线顶点坐标为(1，4)，设抛物线顶点式，将点(0，3)代入确定a的值；(2)根据抛物线的对称轴、开口方向、增减性等说出性质．
答案：(1)由①的表格可知，抛物线顶点坐标为(1，4)，设抛物线解析式为y＝a(x－1)2＋4，将点(0，3)代入，得a(0－1)2＋4＝3，解得a＝－1.
所以，抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.
(2)抛物线y＝－x2＋2x＋3的性质：
①对称轴为直线x＝1；
②当x＝1时，函数有最大值为4；
③当x＜1时，y随x的增大而增大．
例2：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(2，0)、B(－8，0)，与y轴交于C，且AC⊥BC.求抛物线的解析式．
解析：先利用△AOC∽△COB求得OC＝4，从而得C(0，－4)，将A、B、C三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c可求得抛物线的解析式．
拓广探索
*例 已知：如图,求二次函数关系式y=ax?+bx+c.
解：如图,由题意得：抛物线与x轴交点的横坐标为－1和3
∴设所求函数关系式为y=a(x＋1)(x－3)
∵图象过点（0，3）
∴3=a(0＋1)(0－3)
∴a=－1
∴所求的函数关系式为y=－(x＋1)(x－3)
即y= –x?+2x+3
拓广探索
例 已知：抛物线与坐标轴交于A,B,C三个点，其中A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），并且△ABC的面积是6，求这个函数的解析式。
分析：由题意可知OC的长是3，所以点C的坐标为（0，3)或（0，-3）
当C（0，3）时，
函数的解析式为：
y=-x?+2x+3
当C（0，-3）时，函数的解析式为： -y=-x?+2x+3,即y=x?-2x-3
拓广探索
二次函数解析式的确定:
归纳小结
二次函数解析式的确定:
（3）过与x轴的两个交点和一普通点的二次函数解析式确定.
(共12张PPT)
26.3 实践与探索
(第1课时)
教学目标
1．根据实际问题，建立适当的直角坐标系和确定二次函数关系式．
2．利用二次函数知识解决实际问题．
教学重点和难点
重点：建立适当的直角坐标系．
难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题．
一、课前预习
阅读课本第26～27页内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
三、新知探究
●探究：建立合适的坐标系解决与抛物线有关的实际问题
【活动1】某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水，柱子在水面以上部分的高度为0.8m，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图①所示．
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
(2)如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
【探究】(1)用公式或配方的方法求喷出的水流距水平面的最大高度；
(2)用方程求水池的半径．
【活动2】一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示．现测得当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m.这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m?
【探究】根据已知条件，要求涵洞的宽ED，只要求出FD的长度即可，即在如图所示的平面直角坐标系中，求出点D的横坐标．
因为点D在涵洞截面的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线所对应的函数表达式可以进一步算出点D的横坐标．你会求吗？
【探究】(1)根据如图所示的坐标系可确定点A、B的坐标；
(2)用顶点式求抛物线的解析式，从而解决此实际问题．
【归纳】解抛物线型实际问题的一般步骤：
1．根据题意建立适当的平面直角坐标系．
2．把已知条件转化为点的坐标．
3．合理设出函数解析式．
4．利用待定系数法求出函数解析式．
5．根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算．
四、点点对接
例：一座拱桥轮廓是抛物线(如图①所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②)，其关系式是y＝ax2＋c的形式，请根据所给的数据求出a、c的值；
(2)求支柱MN的高度；
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车的间隔忽略不计)？请说说你的理由．
解析：解决本题，应先根据题目条件，确定一些特殊点的坐标，然后由点的坐标求抛物线的解析式，再求点的坐标，进而解决实际问题．
(3)设DE是隔离带的宽，EG是三辆汽车的宽度和，则点G的坐标是(7，0)．
过点G作GH垂直AB交抛物线于点H.
五、课堂小结
本课时学习了：通过建立合适的平面直角坐标系来解决与抛物线有关的实际问题．
(共12张PPT)
26.3 实践与探索 (第2课时)
教学目标
1．会求出二次函数y＝ax2＋bx＋c与坐标轴的交点坐标；
2．了解二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；
3．会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的解．
教学重点和难点
重点：理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．
难点：利用二次函数的图象求相应一元二次方程的解和相应一元二次不等式的解集．
一、课前预习
阅读课本第28页内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
1．给出三个二次函数：(1)y＝x2－3x＋2；(2)y＝x2－x＋1；(3)y＝x2－2x＋1.
它们的图象分别为：
观察图象与x轴的交点个数，分别是________个、________个、________个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？
2．能否利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象寻找方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解？
三、新知探究
●探究1：二次函数与一元二次方程的关系
【活动1】画出函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象回答下列问题．
(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
(2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x2－2x－3＝0有什么关系？
(3)x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0?
【解】图象如图．
(1)图象与x轴的交点坐标为(－1，0)、(3，0)，与y轴的交点坐标为(0，－3)．
(2)当x＝－1或x＝3时，y＝0，x的取值与方程x2－2x－3＝0的解相同．
(3)当x＜－1或x＞3时，y＞0；当－1＜x＜3时，y＜0.
【探究】
(1)如何求抛物线与两轴交点的坐标．
(2)抛物线与x轴的交点坐标与相应一元二次方程的解有什么关系？
(3)如何通过观察图象获得相应一元二次不等式的解集．
【归纳】二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
●探究2：抛物线与x轴的位置关系
【活动2】已知二次函数y＝(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上，则a＝________．
【答案】a＝2
【探究】二次函数y＝(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上，那么a－1＞0，且抛物线与x轴有唯一公共点，方程(a－1)x2＋2ax＋3a－2＝0有两个相等实数根，因此可令△＝0求a的值．
【归纳】抛物线与x轴的位置关系：
设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
1．若抛物线与x轴有两个公共点?△＞0；
2．若抛物线与x轴有唯一公共点?△＝0；
3．若抛物线与x轴无公共点?△＜0.
四、点点对接
例1：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
答案：(1)由图象可知，方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝1，x2＝3.
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集表现在图象上就是抛物线在x轴上方的点对应的x值，因而ax2＋bx＋c＞0的解集是1＜x＜3.
(3)∵抛物线的对称轴是x＝2，∴y随x的增大而减小的x的取值范围是x＞2.
(4)方程ax2＋bx＋c＝k有两个不等实根等价于函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k有两个交点，由图象可知k＜2.
例2：已知二次函数y＝－x2＋(m－2)x＋m＋1，试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．
解析：要说明不论m取任何实数，二次函数y＝－x2＋(m－2)x＋m＋1的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程－x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个不相等的实数根，即△＞0.
解：△＝(m－2)2－4×(－1)×(m＋1)＝m2＋8
因为m2≥0，所以m2＋8＞0，即△＞0.
所以二次函数的图象必与x轴有两个交点．
五、课堂小结
本课时学习了：(1)二次函数的图象与相应一元二次方程、相应一元二次不等式的关系；(2)抛物线与x轴的位置关系．
(共13张PPT)
26.3 实践与探索 (第3课时)
教学目标
1．理解一元二次方程的两种图象解法，会用两法解一元二次方程．
2．会用图象法解二元二次方程组．
教学重点和难点
重点：用图象法解一元二次方程和二元二次方程组．
难点：用图象法求一元二次方程和二元二次方程组的近似解．
一、课前预习
阅读课本第29页内容，了解本节主要内容．
二、情景导入
画图求方程x2＝－x＋2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．
甲：将方程x2＝－x＋2化为x2＋x－2＝0，画出y＝x2＋x－2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．
乙：分别画出函数y＝x2和y＝－x＋2的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．
你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．
三、新知探究
●探究1：用两种方法求一元二次方程的解
【活动1】利用函数的图象，求下列方程的解：
(1)x2＋2x－3＝0；
(2)2x2－5x＋2＝0.
【解】(1)在同一直角坐标系中画出函数y＝x2和y＝－2x＋3的图象，如图，得到它们的交点(－3，9)、(1，1)，则方程x2＋2x－3＝0的解为－3，1.
注意：用画二次函数的图象求相应一元二次方程的解．
【探究】(1)求上述一元二次方程的解可以直接画出相应二次函数的图象，图象与x轴交点的横坐标就是该一元二次方程的解．
(2)有时画一条最简单的抛物线和相应的一条直线，交点的横坐标就是方程的解，这种求解方法更简单．
?
●探究2：用图象法求二元二次方程组的解
【探究】(1)分别画出一次函数和二次函数的图象．
(2)找到这两个函数图象的交点横坐标即可．
四、点点对接
例1：(2014，宁波)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)、B(0，－1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
解析：(1)设一般式并用待定系数法求出二次函数的解析式．
(2)令y＝0可求出抛物线与x轴的交点坐标．
(3)由图象观察一次函数的值大于二次函数的值相应自变量x的取值范围．
∴x1＝2，x2＝－1，∴点D的坐标为(－1，0)
(3)画图正确，x的取值范围为－1＜x＜4.
例2：利用函数的图象求方程组的解．
?
五、课堂小结
本课时学习了用图象法解一元二次方程和二元二次方程组．
