4.1 平面上两条直线的位置关系
一．选择题（共5小题）
1．a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（ ）个．
A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对
2．下列选项中正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两直线平行，同旁内角相等
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫点到直线的距离
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
3．图中，∠1、∠2是对顶角的为（ ）
A． B．
C． D．
4．对于同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中不正确的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
C．若a∥b，a⊥c，则b⊥c D．若a⊥b，a⊥c，则b∥c
5．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
6．如图，直线AB、CD、EF交于点O．
（1）∠COE的对顶角是 ．
（2）∠AOF的对顶角是 ．
（3）∠BOF的邻补角是 ．
（4）∠BOE的邻补角是 ．
（第6题图）
7．观察下列图形，并阅读，图形下面的相关字．
（第7题图）
两条直线相交最多有1个交点 三条直线相交最多有3个交点 四条直线相交最多有6个 交点
则n条直线最多有 个交点．
8．同一平面内的5条直线两两相交，最多有 个交点，最多把平面分成 个部分，最多构成 对对顶角．
9．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠BOD=∠BOD+18°，则∠AOD= ．
（第9题图）
10．如图所示，其中共有 对对顶角．
（第10题图）
三．解答题（共4小题）
11．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．
（1）填空：∠AOC=50°，∠FOD= 度；
（2）∠AOC=α°．则∠EOD= （用含α的式子表示）；
（3）探究∠EOD与∠FOD的数量关系，并说明理由．
（第11题图）
12．（合作探究题）在同一平面内三条直线交点有多少个？
甲：同一平面三直线相交交点的个数为0个，因为a∥b∥c，如图（1）所示．
乙：同一平面内三条直线交点个数只有1个，因为a，b，c交于同一点O，如图（2）所示．
以上说法谁对谁错？为什么？
（第12题图）
13．（原创题）如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；
（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
（第13题图）
14．探索研究：
A：观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）：
（第14题图）
（1）如图a，图中共有 对不同对顶角；
（2）如图b，图中共有 对不同的对顶角；
（3）如图c，图中共有 对不同的对顶角；
（4）研究（1）﹣（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角；
（5）计算2013条直线相交于一点，则可形成 对对顶角．
B：
（1）3条直线两两相交最多有 个交点，此时有 对不同的对顶角；
（2）4条直线两两相交最多有 个交点，此时有 对不同的对顶角；
（3）n条直线两两相交最多有 个交点，此时有 对不同的对顶角；
（4）计算2013条直线最多有 个交点，则可形成 对不同的对顶角，那么2013条直线最多形成 对不同的对顶角．
参考答案
一．1．B 2．D 3．C 4．B 5．D
二． 6．∠DOF；∠BOE；∠AOF和∠BOE；∠AOE和∠BOF．
7． 8． 10；16；20 9． 144° 10．4
三．11．解：（1）∵∠AOC=50°，
∴∠BOD=∠AOC=50°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠FOD=；
（2）∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD=，
∵∠AOD=180°﹣∠AOC=（180﹣α）°，
∴∠EOD=（180﹣α）°=（90﹣α）°．
（3）∠EOD+∠FOD=90°，
理由：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，
∴∠DOE=∠AOD，∠DOF=∠BOD，
∵∠BOD+∠AOD=180°，
∴∠DOE+∠DOF=（∠BOD+∠AOD）=90°．
12．解：甲、乙说法都不对，都少了三种情况．a∥b，c与a，b相交如答图（1）；
a，b，c两两相交如答图（2），所以三条直线互不重合，交点有0个或1个或2个或3个，共四种情况．
（第12题答图）
13．解：（1）（2）如答图.
（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1=∠O，∠2+∠O=180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．
（第13题答图）
14． A．解：（1）有2对对顶角；
（2）有6对对顶角；
（3）有12对对顶角；
（4）有n条直线时，有n（n﹣1）对对顶角；
（5）n=2013时，可形成2013×2012=4050156对顶角．
B解：（1）如答图（1），可得三条直线两两相交，最多有3个交点；有6对对顶角．
（2）如图（2），可得四条直线两两相交，最多有6个交点；又12对对顶角．
（3）由（1），得=3，
由（2），得=6；
∴可得，n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且n≥2）．有n（n﹣1）对对顶角．
（第14题答图）
（4）当n=2013时，有2025078个交点，有4050156对对顶角．
4.2 平移
一．选择题（共5小题）
1．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为18，阴影部分三角形的面积为8．若AA'=1，则A'D等于（ ）
（第1题图）
A．3 B．2 C．32 D．23
2．下列四组图形都含有两个可以重合的三角形，其中可以通过平移其中一个三角形得到另一个三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，将△ABC沿着由点B到点C的方向平移到△DEF，已知AB=7，BC=6，EC=4，那么平移的距离为（ ）
（第3题图）
A．1 B．2 C．3 D．6
4．下列现象是平移的是（ ）
A．电梯从底楼升到顶楼 B．卫星绕地球运动
C．碟片在光驱中运行 D．树叶从树上落下
5．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，将沿直线向右平移2.5个单位得到，连接．有下列结论：①AC∥DF；②AD∥BE，AD=BE；③∠ABE=∠DEF；④ED⊥AC．其中正确的结论有（ ）
（第5题图）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（共3小题）
6．如图，图中是重叠的两个直角三角形．现将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=9cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为 cm2．
（第6题图）
7．如图，在△ABC中，BC=5cm，把△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF的位置，若EC=2cm，则平移的距离为 cm．
（第7题图）
8．如图，将周长为6的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
（第8题图）
三．解答题（共2小题）
9．四边形ABCD在平面直角坐标系的位置如图所示，将四边形ABCD先向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到四边形A1B1C1D1，解答下列各题：
（1）请在图中画出四边形A1B1C1D1；
（2）请写出四边形A1B1C1D1的顶点B1、D1坐标；
（3）请求出四边形A1B1C1D1的面积．
（第9题图）
10．如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=4cm，AC=3cm．将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3cm，得到△DEF．
（1）四边形ABDF是什么四边形？
（2）求阴影部分的面积？
（第10题图）
参考答案
一．1．B 2．D 3．B 4．A 5．A
二．6．30 7．3 8．8
三．9．解：（1）如答图，四边形A1B1C1D1即为所求；
（第9题答图）
（2）B1坐标为（﹣2，1）、D1坐标为（1，1）；
（3）四边形A1B1C1D1的面积=×3×2+×3×3=7.5．
10．解：（1）由平移，可得DF=AB，DF∥AB，
∴四边形ABDF是平行四边形，
又由平移的方向可得，∠ABD=90°，
∴四边形ABDF是矩形；
（2）由平移，可得△ABC≌△FDE，BD=3cm，
∴S△ABC=S△FDE，
∴阴影部分的面积=矩形ABDF的面积=6×3=18cm2．
4.3 平行线的性质
一．选择题（共5小题）
1．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
（第1题图）
A．20° B．30° C．45° D．50°
2．如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=58°，则∠2的度数为（ ）
（第2题图）
A．58° B．42° C．32° D．28°
3．如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（ ）
（第3题图）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
4．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠ACE的度数为（ ）
（第4题图）
A．10° B．15° C．20° D．25°
5．如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）
（第5题图）
A．132° B．134° C．136° D．138°
二．填空题（共10小题）
6．如图，a∥b，∠1=110°，∠3=40°，则∠2= °．
（第6题图）
7．一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC+∠BCD= 度．
（第7题图）
8．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，到直线b的距离是2cm，那么直线a和直线b之间的距离为 ．
9．如图，直线a∥b，∠1=120°，∠2=40°，则∠3等于 ．
（第9题图）
10．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2的大小是 ．
（第10题图）
三．解答题（共5小题）
11．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：①∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED、∠EAB、∠EDC的关系并说明理由．
（2）拓展应用，如图2，线段FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD 交于点F．图2中①②分别是被线段FE隔开的2个区域（不含边界），P是位于以上两个区域内的一点，猜想∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求说明理由）
（第11题图）
12．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图，探索这两个角之间的关系，并说明理由．
（1）如图①，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是 ；
证明：
（2）如图②，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是 ；
证明：
（3）经过上述证明，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角 ；
（4）若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？
解：
（第12题图）
13．已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC．
（1）如图①，若∠A=20°，∠C=40°，则∠AEC= °．
（2）如图②，若∠A=x°，∠C=y°，则∠AEC= °．
（3）如图③，若∠A=α，∠C=β，则α，β与∠AEC之间有何等量关系．并简要说明．
（第13题图）
14．已知△ABC 中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．
（第14题图）
（1）如图1，连接CE，
①若CE∥AB，求∠BEC的度数；
②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．
（2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．
15．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．
（第15题图）
参考答案
一．1．D 2．C 3．A 4．B 5．B
二．6．70 7．270 8．6cm或2cm 9．80° 10．60°
三．11．解：（1）①过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=30°，∠D=40°，
∴∠1=∠A=30°，∠2=∠D=40°，
∴∠AED=∠1+∠2=70°；
②过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=20°，∠D=60°，
∴∠1=∠A=20°，∠2=∠D=60°，
∴∠AED=∠1+∠2=80°；
③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．
理由：过点E作EF∥CD，
∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代换）．
（2）如答图2，当点P在①区域时，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∴∠PEF+∠PFE=（∠PEB+∠PFC）﹣180°．
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，
∴∠EPF=180°﹣（∠PEF+∠PFE）=180°﹣（∠PEB+∠PFC）+180°=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；
当点P在区域②时，如答图3所示，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，
∴∠EPF=∠PEB+∠PFC．
（第11题答图）
12．解：（1）∠1=∠2．
证明如下：∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵BE∥DF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2；
（2）∠1+∠2=180°．
证明如下：∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵BE∥DF，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠1+∠2=180°；
（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
（4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为3x﹣60°，
当x=3x﹣60°，解得x=30°，则这两个角的度数分别为30°，30°；
当x+3x﹣60°=180°，解得x=60°，则这两个角的度数分别为60°，120°．
13．解：如答图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF．
（1）∵∠A=20°，∠C=40°，
∴∠1=∠A=20°，∠2=∠C=40°，
∴∠AEC=∠1+∠2=60°；
（2）∴∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，
∵∠A=x°，∠C=y°，
∴∠1+∠2+x°+y°=360°，
∴∠AEC=360°﹣x°﹣y°；
（3）∠A=α，∠C=β，
∴∠1+∠A=180°，∠2=∠C=β，
∴∠1=180°﹣∠A=180°﹣α，
∴∠AEC=∠1+∠2=180°﹣α+β．
（第13题答图）
14．解：（1）①∵∠A=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABE=ABC=40°，
∵CE∥AB，
∴∠BEC=∠ABE=40°；
②∵∠A=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，∠ACD=180°﹣∠ACB=140°，
∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠CBE=ABC=40°，∠ECD=ACD=70°，
∴∠BEC=∠ECD﹣∠CBE=30°；
（2）①如答图1，当CE⊥BC时，
∵∠CBE=40°，
∴∠BEC=50°；
②如答图2，当CE⊥AB于F时，
∵∠ABE=40°，
∴∠BEC=90°+40°=130°，
③如图3，当CE⊥AC时，
∵∠CBE=40°，∠ACB=40°，
∴∠BEC=180°﹣40°﹣40°﹣90°=10°．
（第14题答图）
15．证明：∵∠1+∠4=180°（邻补角定义）
∠1+∠2=180°（已知）
∴∠2=∠4（同角的补角相等）
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠B=∠3（已知），
∴∠ADE=∠B（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．
4.4 平行线的判定
一．选择题（共7小题）
1．如图所示，下列条件能判断a∥b的有（ ）
（第1题图）
A．∠1+∠2=180° B．∠2=∠4 C．∠2+∠3=180° D．∠1=∠3
2．如图，下面推理中，正确的是（ ）
（第2题图）
A．∵∠A=∠D，∴AB∥CD B．∵∠A=∠B，∴AD∥BC
C．∵∠A+∠D=180°，∴AB∥CD D．∵∠B+∠C=180°，∴AD∥BC
3．如图，已知∠1=∠2，∠3=71°，则∠4的度数是（ ）
（第3题图）
A．19° B．71° C．109° D．119°
4．如图，结合图形作出了如下判断或推理：
（第4题图）
①如图甲，CD⊥AB，D为垂足，那么点C到AB的距离等于C、D两点间的距离；
②如图乙，如果AB∥CD，那么∠B=∠D；
③如图丙，如果∠ACD=∠CAB，那么AD∥BC；
④如图丁，如果∠1=∠2，∠D=120°，那么∠BCD=60°．
其中正确的个数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，直线a，b被直线c所截，∠1=62°，∠3=80°，现逆时针转动直线a至a′位置，使a′∥b，则∠2的度数是（ ）
（第5题图）
A．8° B．10° C．18° D．28°
6．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（ ）
（第6题图）
A．∠1=∠3 B．如果∠2=30°，则有AC∥DE
C．如果∠2=30°，则有BC∥AD D．如果∠2=30°，必有∠4=∠C
7．小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，
小明说：“如果还知道∠CDG=∠BFE，则能得到∠AGD=∠ACB．”
小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD=∠ACB，
可得到∠CDG=∠BFE．”
小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”
小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”
他们四人中，有（ ）个人的说法是正确的．
（第7题图）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共4小题）
8．如图所示，用两个相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是 ．
（第8题图）
9．如图，根据图形填空
（1）∵∠A= （已知）∴AC∥DE（ ）
（2）∵∠2= （已知）∴DF∥AB（ ）
（3）∵∠2+∠6=180°（已知）∴ ∥ （ ）
（4）∵AB∥DF（已知）∴∠A+∠ =180°（ ）．
（第9题图）
10．如图，已知GF⊥AB，∠1=∠2，∠B=∠AGH，则下列结论：①GH∥BC；②∠D=∠F；③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的是 （只填序号）
（第10题图）
11．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，
改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行时，写出∠BAD的所有可能的值 ．
（第11题图）
三．解答题（共5小题）
12．完成下面的证明：
已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．
求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（ ）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD= （角的平分线的性质）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（ ）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC= （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
（第12题图）
13．如图①是大众汽车的图标，图②是该图标轴抽象的几何图形，且AE∥BF，∠A=∠B，试猜想AC与BD的位置关系，并说明理由．
（第13题图）
14．如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连结，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B=∠C+10°，∠D=∠E=105°．
（第14题图）
（1）求∠F的度数．
（2）计算∠B﹣∠CGF的度数是 ．（直接写出结果）
（3）连结AD，∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD，并说明理由．
15．如图1，将一条两边沿互相平行的纸带折叠（AM∥BN，AD∥BC），AB为折痕，AD交BN于点E．
（1）试说明∠MAD=∠NBC的理由；
（2）设∠MAD的度数为x，试用含x的代数式表示∠ABE的度数；
（3）如若按图2形式折叠．
?试问（2）中的关系式是否仍然成立？请说明理由．
?若∠ABE的度数是∠MAD的两倍，求此时∠MEC的度数．
（第15题图）
16．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠FME．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β．
①当点G在点F的右侧时，若β=50°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
（第16题图）
参考答案
一．1．B 2．C 3．C 4．B 5．C 6．C 7．B
二．8．内错角相等，两直线平行
9．（1）∠4；同位角相等，两直线平行；（2）∠4；内错角相等，两直线平行；（3）AB，DF，同旁内角互补，两直线平行；（4）7；两直线平行，同旁内角互补
10．①④ 11．15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°．
三．12．证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（ 角平分线的性质）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=2∠2（角的平分线的性质）．
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（ 等量代换）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（ 等量代换）．
∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．
13．解：AC∥BD，理由：
∵AE∥BF，
∴∠B=∠DOE.
∵∠A=∠B，
∴∠DOE=∠A，
∴AC∥BD．
14．解：（1）∵AF∥DE，
∴∠F+∠E=180°，
∴∠F=180°﹣105°=75°；
（2）如答图，延长DC交AF于点K.
（第14题答图）
可得：∠B﹣∠CGF=∠C+10°﹣∠CGF=∠GKC+10°=∠D+10°=115°.
（3）当∠ADE+∠CGF=180°时，BC∥AD，
∵AF∥DE，
∴∠GAD+∠ADE=180°，∠ADE+∠CGF=180°，
∴∠GAD=∠CGF，
∴BC∥AD．
15．解：（1）∵AM∥BN，AD∥BC，
∴∠MAD=∠NED，∠NED=∠NBC，
∴∠MAD=∠NBC；
（2）如答图1，∵AM∥BN，
∴∠ABE=∠BAF，MAD=∠BEA=x，
由折叠可得，∠FAB=∠BAE，
∴∠ABE=∠BAE，
即△ABE是等腰三角形，
又∵∠BEA=x，
∴∠ABE=；
（3）第（2）问中的关系式成立，理由：
如答图2，∵AM∥BN，
∴∠ABF=∠BAE，MAD=∠BEA=x，
由折叠可得，∠FBA=∠ABE，
∴∠ABE=∠BAE，
即△ABE是等腰三角形，
又∵∠BEA=x，
∴∠ABE=；
∵∠ABE的度数是∠MAD的两倍，
∴∠ABE=2x，
又∵∠ABE=，
∴2x=，
解得x=36°，
∴∠MAD=36°，
∵AD∥BC，
∴∠MEC=∠MAD=36°．
（第15题答图）
16．解：（1）∵EM平分∠AEF
∴∠AEF=∠FME，
又∵∠FEM=∠FME，
∴∠AEF=∠FEM，
∴AB∥CD；
（2）①如答图2，∵AB∥CD，β=50°
∴∠AEG=130°，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，
∴∠MEH=∠AEG=65°，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°﹣65°=25°，
即α=25°；
②分两种情况讨论：
如答图2，当点G在点F的右侧时，α=．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG=180°﹣β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，
∴∠MEH=∠AEG=（180°﹣β），
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°﹣∠MEH=90°﹣（180°﹣β）=，
即α=；
如答图3，当点G在点F的左侧时，α=90°﹣．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠EGF=β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，
∴∠MEH=∠MEF﹣∠HEF
=（∠AEF﹣∠FEG）
=∠AEG
=β，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90°﹣∠MEH，
即α=90°﹣．
（第16题答图）
4.5 垂线
一．选择题（共5小题）
1．如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（ ）
（第1题图）
A．4.5 B．5 C．6 D．7
2．如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，且∠AOC=50°，则∠EPF=（ ）
（第2题图）
A．50° B．60° C．40° D．30°
3．已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，点D从点A到点B沿AB运动，CD=x，则x的取值范围是（ ）
（第3题图）
A． B． C． D．
4．如图，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P是BC边上一动点，则线段AP的长不可能是（ ）
（第4题图）
A．2.5cm B．3cm C．4cm D．5cm
5．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（ ）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
二．填空题（共7小题）
6．在同一平面内，三条不同的直线a、b、c，若a⊥c，b⊥c，则 ．
7．在△ABC中∠B=90°，BC=5，AB=12，AC=13，则点B到斜边AC的距离是 ．
8．在数学课上，老师提出如下问题：
如图1，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，
请你设计一种最节省材料的修建方案．
小军同学的作法如下：①连接AB：②过点A作AC⊥直线l于点C；则折线段B﹣A﹣C为所求，老师说：小军同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是 ．
（第8题图）
9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠COE=40°，则∠AOD等于 度．
（第9题图）
10．如图，直线AB．CD相交于点E，EF⊥AB于点E，若∠AED=145°，则∠CEF= °．
（第10题图）
11．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OM⊥CD，若∠BOM=25°，则∠AOC的度数为 °．
（第11题图）
12．如图，三条直线AB、CD、EF相交于O，且CD⊥EF，∠AOE=68°．若OG平分∠BOF，则∠DOG= 度．
（第12题图）
三．解答题（共5小题）
13．如图1，已知A、O、B三点在同一直线上，射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC．
（1）求∠DOE的度数；
（2）如图2，在∠AOD内引一条射线OF⊥OC，其他不变，设∠DOF=ao（oo＜a＜90o）．
a．求∠AOF的度数（用含a的代数式表示）；
b．若∠BOD是∠AOF的2倍，求∠DOF的度数．
（第13题图）
14．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠AOC=50°．求∠BOE的度数．
（第14题图）
15．如图直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB垂足为O，
（1）与∠1互为补角的角是 ；
（2）若∠AOC：∠2=3：2，求∠1的度数．
（第15题图）
16．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1=∠2，求∠NOD的度数；
（2）若∠1=∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．
（第16题图）
17．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OD，OE平分∠AOF．
（1）∠BOD与∠DOF相等吗？请说明理由．
（2）若∠DOF=∠BOE，求∠AOD的度数．
（第17题图）
参考答案
一．1．A 2．A 3．C 4．A 5．A
二．6． a∥b 7． 8．两点之间，线段最短，垂线段最短 9．130 10．55
11．115 12．56
三．13．解：（1）∵点A，O，B在同一条直线上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC
∴∠COD+∠COE=（∠AOC+∠BOC）=90°，
∴∠DOE=90°；
（2）a．∵OC⊥OF，
∴∠COF=90°，
∵∠DOF=αo，
∴∠COD=90°﹣α°，
∵∠AOD=∠COD，
∴∠AOF=∠AOD﹣∠DOF=90°﹣α°﹣α°=（90﹣2α）°，
b．∵∠BOD是∠AOF的2倍，
∴180°﹣（90﹣α）°=2（90﹣2α）°，
α=18°，
即∠DOF=18°．
14．解：∵∠BOD=∠AOC=50°，
∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∴∠BOE=90°﹣50°=40°，
15．解：（1）与∠1互为补角的角是∠EOD；
（2）∵∠AOC：∠2=3：2，
∴设∠AOC=3x，则∠2=2x，
故3x+2x=180°，
解得x=36°，
则∠2=72°，
∵EO⊥AB垂足为O，
∴∠AOE=90°，
∴∠1的度数为18°．
16．解：（1）∵OM⊥AB，
∴∠AOM=∠1+∠AOC=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠NOC=∠2+∠AOC=90°，
∴∠NOD=180°﹣∠NOC=180°﹣90°=90°；
（2）∵OM⊥AB，
∴∠AOM=∠BOM=90°，
∵∠1=∠BOC，
∴∠BOC=∠1+90°=3∠1，
解得∠1=45°，
∠AOC=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，
∠MOD=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°．
17．解：（1）∠BOD=∠DOF，
∵OE⊥OD，
∴∠DOE=90°，
∴∠EOF+∠DOF=90°，∠AOE+∠BOD=90°，
∵OE平分∠AOF，
∴∠AOE=∠EOF，
∴∠BOD=∠DOF；
（2）∵∠DOF=∠BOE，
∴设∠DOF=x°，则∠BOE=4x°，∠BOD=x°，
∴∠DOE=∠BOE﹣∠BOD=3x°，
∵∠DOE=90°，
∴3x=90，即x=30，
∴∠BOD=30°，
∴∠AOD=180°﹣∠BOD=150°．
4.6 两条平行线间的距离
一．选择题（共5小题）
1．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和b之间的距离是（ ）
A．2cm B．6cm C．8cm D．2cm或8cm
2．如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是（ ）
（第2题图）
A．l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B．CE=FG
C．线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离
D．AC=BD
3．直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b．点P在直线a，b之间，若PA=3，PB=4，则直线a、b之间的距离（ ）
A．等于7 B．小于7 C．不小于7 D．不大于7
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，S△ACD为（ ）
（第4题图）
A．10 B．9 C．8 D．7
5．把直线a沿水平方向平移4cm，平移后的线为直线b，则直线a与直线b之间的距离为（ ）
A．等于4cm B．小于4cm
C．大于4cm D．小于或等于4cm
二．填空题（共5小题）
6．（1）如图1，在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=2cm，则AB与CD之间的距离为 cm；
（2）如图2，若∠ =∠ ，则AD∥BC；
（3）如图3，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB=50°，则∠EDC= 度；
（第6题图）
7．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，到直线b的距离是2cm，那么直线a和直线b之间的距离为 ．
8．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距离为 ．
9．已知a∥b，b∥c，且a与b之间的距离为5，b与c之间的距离为3，那么a与c之的间距离为 ．
10．已知直线l1、l2、l3互相平行，直线l1与l2的距离是4cm，直线l2与l3的距离是6cm，那么直线l1与l3的距离是 ．
三．解答题（共5小题）
11．已知直线a∥b∥c，a与b相距6cm，由a与c相距为4cm，求b与c之间的距离是多少？
12．如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）若∠1=60°，求∠2的度数；
（2）若AC=3，AB=4，BC=5，求a与b的距离．
（第12题图）
13．如图是三条互相平行的直线（虚线），相邻两条平行线间的距离相等，线段AB在最上边的直线上．请仅用无刻度直尺找出线段AB的中点O，并在图中标注出来（保留画图痕迹）．
（第13题图）
14．已知直线a，b，a平行于b，过直线a上任意两点A，B分别向直线b作垂线，交直线b于点C，D．
（1）线段AC，BD所在的直线有怎样的位置关系？
（2）比较线段AC，BD的长短．
（第14题图）
15．如图，直线AC∥MN∥OB．直线MN上一点P到直线AC、AO、OB的距离相等，即PE=PF=PH．直线AC与MN的距离和直线OB与MN的距离相等吗？请说明理由．
（第15题图）
参考答案
一．1．D 2．C 3．D 4．A 5．D
二．7．（1）2；（2）1=2；（3）25 8．6cm或2cm 9．2cm或8cm 10．2或8
三．11．解：①如答图1，当a在b、c之间时，
b与c之间距离为6+4=10（cm）；
②如的图2，c在b、a之间时，
b与c之间距离为6﹣4=2（cm）；
即b与c之间的距离是2cm或10cm．
（第11题答图）
12．解：（1）∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=60°，
又∵AC⊥AB，
∴∠2=90°﹣∠3=30°；
（2）如图，过A作AD⊥BC于D，则AD的长即为a与b之间的距离．
∵AC⊥AB，
∴×AB×AC=×BC×AD，
∴AD==，
∴a与b的距离为．
（第12题答图）
13．解：作法：1．过点A任意作一条直线AC交第三条直线于点C，交第二条直线于点D，
2．连接BC交第二条直线于E，连接BD，AE交于点M，作射线CM交AB于点O，
则点O就是要求作的点．
（第13题答图）
14．解：（1）∵AC⊥a，BD⊥a，
∴AC∥BD.
（2）∵a∥b，AC⊥a，BD⊥a，
∴AC=BD．
15．解：相等，
理由是：∵PE、PH的长分别是直线AC与直线MN的距离和直线OB和直线MN间的距离，
又∵PE=PF=PH，
∴直线AC与MN的距离和直线OB与MN的距离相等．
第4章检测卷
（满分：120分 时间：90分钟）
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，直线a，b被直线c所截，∠1和∠2的位置关系是( )
A．同位角 B．内错角
C．同旁内角 D．对顶角
（第1题图）
2．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是( )
3．如图，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是( )
A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
C．当a∥b时，一定有∠1＋∠2＝90°
D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥b
（第3题图）
4．O为直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，OA＝4cm，OB＝5cm，OC＝1.5cm.则点O到直线l的距离( )
A．大于1.5cm B．等于1.5cm
C．小于1.5cm D．不大于1.5cm
5．某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB＝45°，则∠FDC的度数是D
A．30° B．35°
C．40° D．45°
（第5题图）
6．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A.若∠ADC＝35°，则∠1的度数为( )
A．65° B．55° C．45° D．35°
（第6题图） （第7题图）
7．如图，下列说法正确的个数有( )
①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；
②线段AC的长是点A到直线l的距离；
③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，根据是两点之间线段最短；
④线段AB，AC，AD中，线段AC最短，根据是垂线段最短．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是( )
A．∠2＝60° B．∠3＝60°
C．∠4＝120° D．∠5＝40°
（第8题图） （第9题图）
9．如图，在甲、乙两城市之间要修建一条笔直的城际铁路，从甲地测得公路的走向是北偏东42°，现在甲、乙两城市同时开工，为使若干天后铁路能准确在途中接通，则乙城市所修铁路的走向应是( )
A．南偏西42° B．北偏西42°
C．南偏西48° D．北偏西48°
10．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是B
A．∠A＋∠C＋∠D＋∠E＝360°
B．∠A＋∠D＝∠C＋∠E
C．∠A－∠C＋∠D＋∠E＝180°
D．∠E－∠C＋∠D－∠A＝90°
（第10题图） （第11题图）
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．如图，若剪刀中的∠AOB＝30°时，则∠COD＝________.
12．如图，直线AB，CD被直线AE所截，AB∥CD，∠A＝110°，则∠1＝________度．
（第12题图） （第13题图）
13．如图，把河水引入试验田P灌溉，沿过P作河岸l的垂线开沟引水的理由是：____________．
14．如图，直线AB∥CD，CA平分∠BCD，若∠1＝50°，则∠2＝________．
（第14题图） （第15题图）
15．如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝____度．
16．如图，若∠1＝40°，∠2＝40°，∠3＝116°30′，则∠4＝63°30′.
（第16题图）
17．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个结论：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.请以其中两个作为已知条件，一个作为结论，组成一个正确的语句________________ __(用数学语言作答)．
18．如图，a∥b，c⊥a，∠1＝130°，则∠2等于________.
（第18题图）
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，有一条小船，若把小船平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小船．
（第19题图）
20．(10分)推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠DGF＝∠F，试说明∠B＋∠F＝180°.
（第20题图）
解：∵∠B＝__ __(已知)，
∴AB∥CD( )．
∵∠DGF＝____________(已知)，
∴CD∥EF( )．
∴AB∥EF(___________________)．
∴∠B＋______＝180°(____ )．
21．(10分)如图，直线AB，CD，EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE＝60°，求∠DOG的度数．
（第21题图）
22．(12分)如图，AD∥BC，∠1＝60°，∠B＝∠C，DF为∠ADC的平分线．
(1)求∠ADC的度数；
(2)试说明DF∥AB.
（第22题图）
23．(12分)如图，BD⊥AC，ED∥BC，∠1＝∠2，AC＝9cm，且点D为AF的中点，点F为DC的中点．
(1)试说明BD∥GF；
(2)求BD与GF之间的距离．
（第23题图）
24．(14分)已知BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：
（第24题图）
(1)如图①所示，试说明OB∥AC；
(2)如图②，若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF.则∠EOC的度数等于________(在横线上填上答案即可)；
(3)在(2)的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB∶∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；
(4)在(3)的条件下，在平行移动AC的过程中，若使∠OEB＝∠OCA，此时∠OCA的度数等于________(在横线上填上答案即可).
参考答案
一、1．B 2.D 3.D 4.D 5.D 6.B 7.C 8.D 9.A
10．C 解析：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，则∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°－∠E.∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠ACD＝∠ACG＋∠DCG＝∠A＋∠CDH＝∠A＋∠CDE－(180°－∠E)，∴∠A－∠ACD＋∠CDE＋∠E＝180°.故选C.
（第10题答图）
二、11．30° 12.70 13.垂线段最短 14．65° 15.80 16.63°30′
17．若a∥b，b∥c，则a∥c(答案不唯一) 18.40°
三、19．解：平移后的小船如答图．(8分)
（第19题答图）
20．解：∠CGF 同位角相等，两直线平行(2分) ∠F 内错角相等，两直线平行(6分) 平行于同一直线的两直线平行(8分) ∠F 两直线平行，同旁内角互补(10分)
21．解：∵∠AOE＝60°，∴∠BOF＝∠AOE＝60°(2分)．∵OG平分∠BOF，∴∠BOG＝∠BOF＝30°.(4分)∵CD⊥EF，∴∠COE＝90°，∴∠AOC＝90°－60°＝30°，∴∠BOD＝30°，(8分)∴∠DOG＝∠BOD＋∠BOG＝60°.(10分)
22．解：(1)∵AD∥BC，∴∠B＝∠1＝60°，∠C＋∠ADC＝180°.(3分)∵∠B＝∠C，∴∠C＝60°，∴∠ADC＝180°－60°＝120°.(6分)
(2)∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠ADC＝×120°＝60°.(8分)又∵∠1＝60°，∴∠1＝∠ADF，∴AB∥DF.(12分)
23．解：(1)∵ED∥BC，∴∠1＝∠DBC.(2分)∵∠1＝∠2，∴∠DBC＝∠2，(4分)∴BD∥GF.(6分)
(2)∵AC＝9cm，D为AF的中点，F为DC的中点，∴AD＝DF＝FC＝9÷3＝3(cm)．(9分)∵DF⊥BD，BD∥GF，∴BD与GF之间的距离为3cm.(12分)
24．解：(1)∵BC∥OA，∴∠B＋∠O＝180°.∵∠A＝∠B，∴∠A＋∠O＝180°，∴OB∥AC.(3分)
(2)40°(6分) 解析：∵∠A＝∠B＝100°，由(1)得∠BOA＝180°－∠B＝80°.∵∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，∴∠EOF＝∠BOF，∠FOC＝∠FOA，∴∠EOC＝∠EOF＋∠FOC＝(∠BOF＋∠FOA)＝∠BOA＝40°.
(3)∠OCB∶∠OFB的值不发生变化．(8分)理由如下：∵BC∥OA，∴∠OFB＝∠FOA，∠OCB＝∠AOC.又∵∠FOC＝∠AOC，∴∠FOC＝∠OCB，∴∠OFB＝∠FOA＝∠FOC＋∠AOC＝2∠OCB，(10分)∴∠OCB∶∠OFB＝1∶2.(11分)
(4)60°(14分) 解析：由(1)知OB∥AC，∴∠OCA＝∠BOC，由(2)可设∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠AOC＝β，∴∠OCA＝∠BOC＝2α＋β.∵BC∥OA，∴∠OEB＝∠EOA＝α＋2β.∵∠OEB＝∠OCA，∴2α＋β＝α＋2β，∴α＝β.∵∠AOB＝80°，∴α＝β＝20°，∴∠OCA＝2α＋β＝40°＋20°＝60°.
