(共39张PPT)
推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.
新课导入
铜、铁、铝、金、银等都能导电.
一切金属都能导电.
从所研究的对象全体中抽取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对整体做出推断，是归纳推理.
类比推理
带齿的草叶、蝗虫的牙齿
锯
鱼的外形、沉浮原理
潜水艇
仿生学
合情推理是指“合乎情理”的推理.数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.
归纳推理——猜想
这些猜想是怎么得出的呢？
观察下列等式
3+7=10，
3+17=20，
13+17=30，
归纳出一个规律：
偶数=奇质数+奇质数
通过更多特例的检验,从6开始,没有出现反例.
大胆猜想
任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和.
10=3+7 ，
20=3+17，
30=13+17.
每幅地图可以用四种颜色着色，使得有共同边界的相邻区域上着不同色.
1852年，英国人弗南西斯·格思里为地图着色时，发现了四色猜想.
都是质数
例1
由某类事物的部分对象具有某些这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理.
观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数.由此猜想，这个数列的通项公式为
我们通过归纳得到了关于数列通项公式的一个猜想.
类比推理——火星上是否有生命
火星
地球
围绕太阳运行；
绕轴自转；
有大气层；
一年中有四季
变更；
温度适合地球
上某些
生物的生存；
对比两者某些相似特征.
火星也可能有生命的存在
试着类比球体和圆
球的类比概念和性质
圆的概念和性质
圆的周长
圆的面积
圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦.
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的方程为
球的表面积
球的体积
球心与截面圆（非过球心截面圆）圆心连线垂直于截面圆
与球心距离相等的两截面圆面积相等；与球心距离不等的两截面圆面积不等，距圆心较近的截面圆面积较大.
以点(a,b,c)为球心，r为半径的球的方程为
“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”
——数学家波利亚
“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密.”
——开普勒
例2
类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.
分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且“0”和“1”分别在加法和乘法中占有特殊的地位.因此我们可以从上述4个方面来类比这两种运算.
(2)从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即
解:(1)两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数.
从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程
都有唯一解.
(4)在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数.即
你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？
例3
类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类对比对象.
解：如图.我们知道，在 中.由勾股定理，得
于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体P-DEF中，我们猜想
推理过程概括：
从具体
问题出发
观察、分析
比较、联想
归纳、类比
提出猜想
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.
例4
如图，有三跟针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
1. 每次只能移动1个金属片；
2. 较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？
分析：我们从移动1，2，3，4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数.
解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针.
把第1个金属片从1号针移动到2号针；
把第2个金属片从1号针移动到3号针；
把第1个金属片从2号针移动到3号针.
当n=2时，利用2号针做“中间针”移动：
当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，归结为n=2的情形移动：
把上面两个金属片从1号针移动到2号针；
把第3个金属片从1号针移动到3号针；
把上面两个金属片从2号针移动到3号针.
当n=4时，把上面3个金属片作为一个整体移动：
把上面3个金属片从1号针移动到2号针；
把第4个金属片从1号针移动到3号针；
把上面3个金属片从2号针移动到3号针.
至此，我们得到依次移动1，2，3，4个金属片所需的次数构成的数列：
1,3,7,15
由此我们猜想：
观察发现有如下规律：
探究：
把n个金属片从1号针移动
到3号针，怎样移动才能达到
最少的移动次数呢？
归纳：
对n个金属片都适用的移动方法.当移动n个金属片时，可分为以下3个步骤：
把上面（n-1）个金属片从1号针移动到2号针；
把第n个金属片从1号针移动到3号针；
把上面（n-1）个金属片从2号针移动到3号针.
那第（n-1）个金属片如何移动呢？
把上面（n-2）个金属片从1号针移动到2号针；
把第（n-1）个金属片从1号针移动到3号针；
把上面（n-2）个金属片从2号针移动到3号针.
类比推理
得到递推公式：
这是我们根据n=1,2,3,4时的移动方法，归纳推理出来.
合情推理的结果的正确与否，并不完全依赖于前提条件．
合情推理是冒险的、有争议的和暂时的.
——波利亚
在合情推理中，灵感也是一种重要的思维形式．
课堂小结
由某类事物的部分对象具有某些特征推出该类事物全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理.
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.
随堂练习
1.设
求证：
2.如图，在△ABC 中，AC > BC , CD是AB上的高，求证：∠ACD > ∠BCD.
指出上面证明过程中的错误.
证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC＞BC
所以AD>BD,于是∠ACD＞∠ BCD.
练习答案
1.证明：
当且仅当 a=b 时等号成立.
2. 根据AD > BD，不能推出∠ACD > ∠BCD.
因为在同一个三角形中，才有大边对大角，AD和BD不是同一个三角形的边.
正确的证法：
在△ABC 中，∴ AC > BC ，
∵ ∠A > ∠B
(共32张PPT)
新课导入
（1）所有的金属都能够导电，
铀是金属，
所以铀能导电.
（2）太阳系的行星以椭圆形轨道绕太阳运行，
天王星是太阳系的行星，
因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行.
（3）一切奇数都不能被2整除,
因为(2100+1)是奇数,
所以(2100+1)不能被2整除.
（5）两条直线平行，同旁内角互补.
如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，
那么∠A+∠B=180°.
（4）三角函数都是周期函数,
这些说法有什么共同点？
都是以某些一般地判断为前提，得出一些个别的、具体的判断.
你觉得这些说法正确吗?如果认为正确，那么这样的推论又是什么呢？
这些说法的共同点是：
若推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
现在可以知道，上面列举的例子都是演绎推理的例子且每个例子都有三段，称为“三段论”.
所有的金属都能导电
因为铜是金属,
所以铜能够导电.
（一般原理）
（特殊情况）
（所得结论）
下面请同学们自己说出其余例子的“三段”.
（2）太阳系的行星以椭圆形轨道绕太阳运行，
天王星是太阳系的行星，
因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
（3）一切奇数都不能被2整除,
因为(2100+1)是奇数,
所以(2100+1)不能被2整除.
（4）三角函数都是周期函数,
（5）两条直线平行，同旁内角互补.
如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，
那么∠A+∠B=180°.
“三段论”是演绎推理的一般模式，那现在大家想想它的内容是什么？
（1）大前提——已知的一般原理；
（2）小前提——所研究的特殊情况；
（3）结论——根据一般原理，对特殊情
况做出的判断.
“三段论”可以表示为
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结论： S是P.
三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
如图：在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等.
证明:
(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900
所以△ABD是直角三角形.
同理△ABE是直角三角形.
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线，
所以 DM = EM.
由此可见，应用三段论解决问题时，首先应明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.
自己试试看！
如图：D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD= ∠A,DE∥BA,求证：ED=AF.
(1)同位角相等,两直线平行,
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD= ∠A ,
证明：
所以, DF∥EA.
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,
DE∥BA且DF∥EA,
所以,四边形AFDE是平行四边形.
(3)平行四边形的对边相等,
ED和AF为平行四边形的对边,
所以,ED=AF.
证明函数f(x)= -x2+2x 在(-∞,1）上是增函数.
证明：
根据“三段论”得，函数f(x)=-x2+2x在（-∞,1）上是增函数.
还有其他的证明方法吗？
证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1）上是增函数.
根据增函数的定义进行证明.
任取x1,x2 ∈(-∞,1] 且x1
f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2)
=(x2-x1)(x1+x2-2)
因为x10
因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0
因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)证明:
满足对于任意x1,x2∈D,若x1大前提
小前提
所以函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)上是增函数.
结论
在演绎推理中，应用三段论解决问题时，怎样才能保证结论是正确的呢？
演绎推理是由一般到特殊的推理，这也决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此，在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.
因为指数函数y=ax是增函数,
而y=ax是指数函数,
所以是增函数.
（1）上面的推理形式正确吗？
（2）推理的结论正确吗？为什么？
上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当0解：
通过本例的学习，使我们更深刻的理解了“在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确”.
至此，我们学习了两种推理方式——合理推理与演绎推理.大家想想它们两者的区别与联系？
自己总结归纳一下吧！
想一想
1.归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.
区别：
2.从推理的结论来看,合情推理的结论不
一定正确,有待证明；演绎推理在大前
提、小前提和推理形式都正确的前提
下，得到的结论一定正确.
2. 从认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，演绎推理与合情推理又是紧密联系，相辅相成的.
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.
联系：
课堂小结
1.演绎推理的概念：
若推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
2.“三段论”是演绎推理的一般模式，它的内容是：
(1)大前提---已知的一般原理； (2)小前提---所研究的特殊情况； (3)结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
3.在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.
4.合情推理和演绎推理的联系与区别：
总的来说，从推理形式和推理所得结论的正确性上讲，二者有差异，从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的.合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.
随堂练习
1.指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.
(1)整数是自然数,
-3是整数,
-3是自然数.
(2)无理数是无限小数,
大前提不正确.
(3) 凡金属都是导电的， 水是导电的， 所以，水是金属.
是无限小数,
是无理数.
大前提不正确,无理数是无限不循环小数.
小前提不正确,水不是金属.
已知a,b,m均为正实数,b2.
(共37张PPT)
综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式.
新课导入
在以前的学习中，大家已经能应用综合法、分析法证明数学命题，但是对这些证明方法的内涵和特点，大家又了解多少呢？
本节课我们对综合法和分析法这些证明方法进行较系统的学习.
不等式：
(a>0,b>0)的证明.
运用以前学过的数学知识，大家自己证明试试看！
动动脑
你能分析一下这个证明的思考过程和特点吗？
再来分析一个例题.
已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
首先，分析待证不等式的特点：不等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式左、右两端具有相同的形式.
其次，寻找转化的依据及证明中要用的其他知识：应用不等式x2+y2≥2xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据.
最后，给出具体证明：由 b2+c2 ≥ 2ab及条件a>0，
得a(b2+c2) ≥ 2abc；
类似地，得b(c2+a2) ≥ 2abc.
从而有 a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.
证明:
∵ b2+c2 ≥ 2bc,a>0
∴ a(b2+c2) ≥2abc.
又∵ c2+b2 ≥ 2bc,b>0
∴ b(c2+a2) ≥ 2abc.
∴ a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.
思考…
这些证明过程有什么相似点？
这些证明过程都是从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论.
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.其特点是“由因导果”.
则综合法可用框图表示如下：
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.
…
你能用框图表示综合法吗？
在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三角形．
将A，B，C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C；
此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.
A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，即A+B+C=180°；
证明：
由A，B，C成等差数列，有
2B=A+C.
①
因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以
Ａ+Ｂ+Ｃ=180°.
②
③
由a，b，c成等比数列，有
④
由余弦定理及③，可得
再由④，得
即
因此
a=c.
从而
A=C.
⑤
由
②
③
,得
所以△ＡＢC为等边三角形.
解决数学问题时，往往要先做语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来.
⑤
不等式：
(a>0,b>0)的证明.
动动脑
大家想一想，除了综合法，还有别的证明方法吗？
类比综合法，你能分析一下这个证明的思考过程和特点吗？
要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
这类证法的特点是:
这就是另一种证明方法——分析法.
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
特点：执果索因.
类似综合法，我们也可以后框图来表示分析法：
分析法的适用范围：
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件的方法.
从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件.
证明：
只需证
展开得
只需证
只需证
21<25.
在本例中，如果我们从“21<25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难.
请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识.
综合法就是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.
分析法最大的特点就是执果索因.
证明：
（3）
由于上式与③相同，于是问题得证.
课堂小结
1.综合法的概念：
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
2.分析法的概念:
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
3.分析法的适用范围：
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件的方法.
4.在证明数学问题时，通常把综合法和分析法结合起来使用.
随堂练习
证明：
∵a，b，c为不相等正数，且abc=1,
此题采用综合法.
1.已知a，b，c为不相等正数，且abc=1,
求证：
2.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证 AF⊥SC.
此题采用分析法.
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC
只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC
只需证:BC⊥平面SAB
只需证:BC⊥SA
只需证:SA⊥平面ABC
因为:SA⊥平面ABC成立
所以. AF⊥SC成立
(共35张PPT)
新课导入
路边苦李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
如果当时你在场，你会怎么办？
王戎是怎样知道李子是苦的呢?你认为他的判断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法?
王戎的推理方法是:
假设李子不苦,
这与“多子”产生矛盾.
所以假设不成立,李为苦李.
则因树在“道”边,李子早就被别
人采摘而没有了,
你能举出一个类似故事《路边苦李》中的推理的例子吗？
动动脑
请大家结合《路边苦李》的故事及课本上的思考题，自己总结一下这些推理的共同点.
当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要改变思维方向,从结论入手,反面思考.这种从“正面难解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的间接解法中的一种——反证法.
这些推理的共同点是：
进入我们今天学习的内容.
一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知:
直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证:
l3与l2相交.
l3
l1
l2
P
根据反证法的定义做下面的题.
l3与l2 不相交.
l3∥l2
l1∥l2
经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行
假设不成立
假设
推理
矛盾
命题成立
l3
l1
l2
P
一、提出假设
假设待证命题不成立，或是命题的反面成立.
二、推理论证
以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论.
三、得出矛盾
这与“......”相矛盾.
四、结论成立
所以假设不成立，所求证的命题成立.
写出下列各结论的反面：
（1）a//b；
（2）a≥0；
（3）b是正数；
（4）a⊥b
a<0
b是0或负数
a不垂直于b
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥ l1，
求证：
l3∥l2
你会首先选择哪一种证明方法（直接证明还是反证法）？
如果选择反证法，先怎样假设？
下面我们用直接证明法和反证法来分别证明.
问题解决的四个基本步骤：
理解题意
制定计划
执行计划
回顾
画出图形，写出已知求证
选择证明方法，找出证明思路
写出证明过程
比较两种证明方法的特点
下面我们用反证法来证明此题.
已知：如图，直线l1,l2,l3在
同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥ l1，
求证：
l3∥l2
证明：
而l1∥l2,l3 ∥ l1
这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，
所以假设不成立即l3∥l2
下面我们用直接证明法来证明此题.
已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥ l1，
求证：
l3∥l2.
证明：
作直线l交直线 l 1 于点P.
∴ 直线l必定与直线l2,l3相交
（在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条直线也相交）
∴ ∠ 1 =∠ 2 =∠3(两直线平行，同位角相等)
∴ l 3∥ l2（同位角相等，两直线平行 ）
请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.
此题要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不清晰，于是考虑用反证法证明此题.
下面我们用反证法证明此题.
b
p
求证： 是无理数.
是指m,n的最大公约数是1，即(m,n)=1.
证明：
结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？
由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
反证法主要适用于以下两种情形：
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.
(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
用反证法证题时,应注意的事项 :
（2）推理过程必须完整，否则不能说
明命题的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条
件，否则推不出矛盾，或者不能断
定推出的结果是错误的.
??（1）周密考察原命题结论的否定事项，
防止否定不当或有所遗漏；
（1）以否定性判断作为结论的命题；
（2）某些定理的逆命题；
（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；
（4）关于“唯一性”结论的命题；
（5）解决整除性问题；
（6）一些不等量命题的证明；
（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；
（8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
宜用反证法证明的题型
课堂小结
1.反证法的概念：
一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
2.反证法的一般步骤:
(1)提出假设 (2)推理论证
(3)得出矛盾 (4)结论成立
3. 反证法的关键：
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
4.反证法主要适用于以下两种情形：
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.
(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
随堂练习
用反证法证明（填空）：
在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°.
已知：如图， ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角，
求证： ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60度.
B
A
C
假设所求证的结论不成立，即
∠A＿＿60°， ∠B＿＿60°，∠C＿＿60°
则 ∠A＋∠B＋∠C ＜ 180°
这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾
所以假设＿＿＿＿＿＿，
所以，所求证的结论成立．
＜
＜
＜
三角形三个内角的和等于180°
不成立
B
A
C
1. 设0 < a, b, c < 1，
求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能
同时大于1/4.
①
解答题
与①矛盾∴结论成立.
2.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，
abc > 0，
求证：a, b, c > 0 .
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c > ?a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0
与题设矛盾
若a = 0，则与abc > 0矛盾，
∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0.
