2.3数学归纳法(共42张PPT)

(共42张PPT)
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通过对n=1，2，3，4前4项的归纳，我们已经猜出其通项公式为
这个猜想对前4项成立，但是，能肯定它对后续的项也成立吗？
这个猜想需要证明，自然地，我们会想到从n=5开始一个个往下验证.
这个方法可行吗?
我们来分析此方法：
一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n比较大时，验证起来会很麻烦.特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.因此，从n=5开始逐个往下验证的想法价值不大.我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立.
大家都听说过多米诺骨牌游戏，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下.只要推到第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.
这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
思考…
动动脑
大家想一想，自己总结出倒下的条件.
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下；
你认为条件（2）的作用是什么？
可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下.
这样，只要第一块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下.事实上，无论有多少块骨牌，只要保证(1)(2)成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.
大家现在能证明这个猜想吗？
这个猜想和多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
游戏的条件（1）
由条件容易知道，n=1时猜想成立.
游戏的条件（2）
下面我们证明此猜想：
相当于
类比
证明一个递推关系.
考虑
如果n=k时猜想成立，即 ，
那么当n=k+1时猜想也成立，即 .
这样，对于猜想，由已知n=1成立，就有n=2也成立；n=2成立，就有n=3也成立； n=3成立，就有n=4也成立； n=4成立，就有n=5也成立······所以，对任意的正整数n，猜想都成立.
此猜想正确，即
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
证明当n取第一个值n0 时命题成立；
2.假设当n=k(k?N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
这种证明方法就叫做　　
数学归纳法.
归纳奠基
归纳递推
用框图来表示此证明方法:
验证n=n0 时命题成立.
当n=k(k≥n0)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.
归纳奠基
归纳递推
命题对从n0开始所有的正整数n都成立.
用数学归纳法证题时,应注意的事项 :
“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可，其中第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的根据.
具体说明如下：
(1)第一步——归纳奠基
必须有第一步，如果没有第一步，证明不可靠；
很重要哦！特别注意！
用数学归纳法进行证明时，第一步从n等于几开始，要根据具体问题而定.
如果要证明的命题是对全体正整数都成立的，则要从n=1证起；
一般来说
如果要证明的命题是对全体自然数(包括0)都成立的，则要从n=0证起.
(2)第二步——归纳递推
“假设n=k(k?N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立”,其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用是从前往后传递，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点（例如n=1）不断发展，以至无穷.如果没有它，即使前面验证了命题对许多正整数n都成立，也不能保证命题对后面的所有正整数都成立.
用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而第二步主要在于合理运用归纳假设，即以“n=k时命题成立”为条件，结合其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”.不能不使用“n=k时命题成立”这个条件，而直接将n=k+1代入命题，便断言此时命题成立因为这样的“证明”并不推出递推关系：
n=k时命题成立
n=k+1时命题也成立.
数学归纳法的适用范围：
数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题，但是，并不能简单地说所有与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题都可以用数学归纳法证明，一般说，从n=k时的情形过渡到n=k+1时的情形，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难.
用数学归纳法证明　
证明的关键是，如何从n=k时的情形过渡到n=k+1时的情形，即：要证明n=k+1时等式成立，应如何利用n=k时等式成立这个假设.
根据（1）和（2）,可知等式对任何正整数都成立.
这句是不可缺少的！
(2)用数学归纳法证明时，要注意从n=k时的情形到n=k+1时的情形是怎样过渡的，即要证明n=k+1时等式成立，应如何利用n=k时等式成立这个假设.
解：
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1,于是可以猜想
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
根据(1)和(2),可知等式对任何正整数都成立.
课堂小结
1.数学归纳法的概念：
证明当n取第一个值n0 时命题成立；
假设当n=k(k?N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
2.数学归纳法两个步骤间的关系:
“第一步——归纳奠基和第二步——归纳递推”两个步骤缺一不可，其中第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的根据.
3.数学归纳法的适用范围：
一般来说，数学归纳法只适用于和正整数有关的命题.
高考链接
解：
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m ，不等式都成立．
随堂练习
1+a+a2
2、某个命题当n=k (k∈N )时成立，可证得当n=k+1时也成立.现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（ ）

A. n=6时该命题不成立
B. n=6时该命题成立
C. n=4时该命题不成立
D. n=4时该命题成立
选择
C
解答题
用数学归纳法证明
证明：
（1）当n=1时，左边＝1×4＝4，
右边＝1×22＝4，等式成立.
（2）假设当n=k时，等式成立，就是
这就是说，当n=k+1时等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立.
2、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n? 1? 3?… ?(2n-1)
证明：
① n=1时：左边=1+1=2，右边=21?1=2，
左边=右边，等式成立.
② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k? 1? 3?…? (2k-1),
当n=k+1时：