9.1 单项式乘单项式
一．选择题（共5小题）
1．下列计算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x B．2x?3x＝6x C．（x3）2＝5 D．x3﹣x2＝x
2．下列计算正确的是（ ）
A．3m+2n＝5mn B．3m﹣2n＝1
C．3m?2n＝6mn D．（3mn）2＝6m2n2
3．计算a﹣2b2?（a2b﹣2）﹣2正确的结果是（ ）
A． B． C．a6b6 D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．m4?m2＝m8 B．2m?3n＝6mn C． D．（m2）3＝m5
5．下列各式运算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．（2ab）2＝4a2b2
C．2a?5a3＝10a3 D．a8÷a2＝a4
二．解答题（共13小题）
6．计算：
（1）2a?3a2
（2）[（﹣x）3]2．
7．化简5a3b?（﹣3b）2+（﹣ab）（﹣6ab）2．
8．化简 2（a5）2?（a2）2﹣（a2）4?（a2）2?a2．
9．计算
（1）（﹣2a2b）2?（ab）3
（2）已知am＝2，an＝3，求a2m+3n的值．
10．计算：
（1）m5?m?m3
（2）2x4?x﹣3x2?x3．
11．计算：（﹣x2）?x3?（﹣2y）3+（2xy）2?（﹣x）3y．
12．2x6y2?x3y+（﹣25x8y2）（﹣xy）．
13．（4×103）?（5×104）?（7×102）2．
14．有一个长方体模型，它的长为8×103cm，宽为5×102cm，高为3×102cm，它的体积是多少cm3？
15．计算：（ax2）（﹣2a2x）3．
16．计算：
（1）（﹣4ab3）（﹣ab）﹣（ab2）2；
（2）（1.25×108）×（﹣8×105）×（﹣3×103）．
17．计算：
（1）（2x2）4+（﹣3x4）2；
（2）（0.1a3）2﹣（0.1a2）3；
（3）﹣（x2y）2?（xy2）3；
（4）（+）100×（+）99；
（5）3（a2b2）m﹣4（ambm）2；
（6）（an﹣1）2?（a2）2﹣n?（﹣an）；
（7）9x3y3?（﹣x2y）2+（﹣x2y）3xy2；
（8）（0.25a3b2）2?（4a2b）3﹣3（﹣a2b）5?a2b2．
18．计算：
（1）（﹣5x2y2）?（x2yz）；
（2）（﹣ab2c）?（﹣a2bc2）；
（3）（2x2y）?（﹣x2y2）?（y2）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．下列计算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x B．2x?3x＝6x C．（x3）2＝5 D．x3﹣x2＝x
【分析】依据合并同类项法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则进行判断即可．
【解答】解：A、2x+3x＝5x，故A正确；
B、2x?3x＝6x2，故B错误；
C、（x3）2＝x6，故C错误；
D、x3与x2不是同类项，不能合并，故D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是整式的运算，熟练掌握相关法则是解题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A．3m+2n＝5mn B．3m﹣2n＝1
C．3m?2n＝6mn D．（3mn）2＝6m2n2
【分析】依据合并同类项法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则进行判断即可．
【解答】解：3m与2n不是同类项，不能合并，故A、B错误；
C、3m?2n＝6mn，故C正确；
D、（3mn）2＝9m2n2，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3．计算a﹣2b2?（a2b﹣2）﹣2正确的结果是（ ）
A． B． C．a6b6 D．
【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．
【解答】解：a﹣2b2?（a2b﹣2）﹣2
＝×
＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是负整数指数幂的运算，掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
4．下列运算正确的是（ ）
A．m4?m2＝m8 B．2m?3n＝6mn C． D．（m2）3＝m5
【分析】根据同底数幂的乘法、单项式乘单项式、负整数幂的运算、幂的乘方法则计算，判断即可．
【解答】解：m4?m2＝m6，A错误；
2m?3n＝6mn，B正确；
m﹣1n＝，C错误；
（m2）3＝m6，D错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法、单项式乘单项式、负整数幂的运算、幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．
5．下列各式运算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．（2ab）2＝4a2b2
C．2a?5a3＝10a3 D．a8÷a2＝a4
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、单项式除单项式的法则计算，判断即可．
【解答】解：（a3）2＝a6，A错误；
（2ab）2＝4a2b2，B正确；
2a?5a3＝10a4，C错误；
a8÷a2＝a6，D错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、单项式除单项式，掌握它们的运算法则是解题的关键．
二．解答题（共13小题）
6．计算：
（1）2a?3a2
（2）[（﹣x）3]2．
【分析】（1）根据单项式乘单项式的运算法则计算；
（2）根据幂的乘方法则计算．
【解答】解：（1）2a?3a2
＝6a3；
（2）[（﹣x）3]2．
＝（﹣x3）2
＝x6．
【点评】本题考查的是单项式乘单项式，幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．
7．化简5a3b?（﹣3b）2+（﹣ab）（﹣6ab）2．
【分析】根据单项式与单项式相乘的法则计算．
【解答】解：原式＝5a3b?9b2﹣ab?36a2b2
＝45a3b3﹣36a3b3
＝9a3b3．
【点评】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
8．化简 2（a5）2?（a2）2﹣（a2）4?（a2）2?a2．
【分析】根据幂的乘方法则、合并同类项法则计算．
【解答】解：原式＝2a10?a4﹣a8?a4?a2
＝2a14﹣a14
＝a14．
【点评】本题考查的是幂的乘方、单项式乘单项式，掌握它们的运算法则是解题的关键．
9．计算
（1）（﹣2a2b）2?（ab）3
（2）已知am＝2，an＝3，求a2m+3n的值．
【分析】（1）根据积的乘方的运算法则计算各自的乘方，再进行单项式的乘法即可；
（2）先把所求的式子根据幂的乘方的逆运算法则进行变形，再把已知条件代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝4a4b2?a3b3
＝a7b5；
（2）a2m+3n＝（am）2?（an）3
＝4×27
＝108．
【点评】本题考查的是单项式乘单项式、幂的乘方和积的乘方的知识，掌握各自的运算法则是解题的关键．
10．计算：
（1）m5?m?m3
（2）2x4?x﹣3x2?x3．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算；
（2）根据单项式乘单项式法则、合并同类项法则计算．
【解答】解：（1）m5?m?m3＝m5+1+3＝m9；
（2）2x4?x﹣3x2?x3＝2x5﹣3x5＝﹣x5．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法、单项式乘单项式，掌握它们的运算法则是解题的关键．
11．计算：（﹣x2）?x3?（﹣2y）3+（2xy）2?（﹣x）3y．
【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、合并同类项法则计算．
【解答】解：原式＝x5?8y3﹣4x5y3
＝4x5y3．
【点评】本题考查的是单项式乘单项式、积的乘方，掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．
12．2x6y2?x3y+（﹣25x8y2）（﹣xy）．
【分析】利用单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式求解即可．
【解答】解：2x6y2?x3y+（﹣25x8y2）（﹣xy）
＝2x9y3?+25x9y3，
＝27x9y3．
【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟记单项式乘单项式的法则．
13．（4×103）?（5×104）?（7×102）2．
【分析】先计算（7×102）2，把10看做底数，再根据单项式乘单项式发法则计算即可．
【解答】解：原式＝4×5×49×103×104×104
＝9.8×1013．
【点评】本题主要考查了单项式乘单项式的知识，掌握同底数幂的乘法法则和科学记数法是解题的关键．
14．有一个长方体模型，它的长为8×103cm，宽为5×102cm，高为3×102cm，它的体积是多少cm3？
【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则求出即可．
【解答】解：长方体的体积为：8×103×5×102×3×102＝1.2×109．
答：这个长方体模型的体积是1.2×109cm3．
【点评】本题主要考查了单项式乘以单项式以及科学记数法的表示方法，正运用同底数幂的乘法法则是解题关键．
15．计算：（ax2）（﹣2a2x）3．
【分析】利用单项式乘单项式的运算性质求解．
【解答】解：（ax2）（﹣2a2x）3．
＝ax2[（﹣2）3a6x3]，
＝ax2[（﹣8）a6x3]，
＝﹣2a7x5．
【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟记单项式乘单项式的运算性质．
16．计算：
（1）（﹣4ab3）（﹣ab）﹣（ab2）2；
（2）（1.25×108）×（﹣8×105）×（﹣3×103）．
【分析】根据单项式的乘法及幂的乘方与积的乘方法则计算即可．
【解答】解：（1）（﹣4ab3）（﹣ab）﹣（ab2）2；
＝（﹣4ab3）（﹣ab）﹣a2b4；
＝a2b4﹣a2b4；
＝a2b4；
（2）（1.25×108）×（﹣8×105）×（﹣3×103）．
＝1.25×（﹣8）×（﹣3）×108×105×103
＝30×1016
＝3×1017．
【点评】本题主要考查了单项式乘单项式及幂的乘方与积的乘方，单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式．注意相同字母的指数相加．
17．计算：
（1）（2x2）4+（﹣3x4）2；
（2）（0.1a3）2﹣（0.1a2）3；
（3）﹣（x2y）2?（xy2）3；
（4）（+）100×（+）99；
（5）3（a2b2）m﹣4（ambm）2；
（6）（an﹣1）2?（a2）2﹣n?（﹣an）；
（7）9x3y3?（﹣x2y）2+（﹣x2y）3xy2；
（8）（0.25a3b2）2?（4a2b）3﹣3（﹣a2b）5?a2b2．
【分析】（1）先算积的乘方，再合并同类项即可求解；
（2）先算积的乘方，再合并同类项即可求解；
（3）先算积的乘方，再根据单项式乘单项式的计算法则计算即可求解；
（4）先计算小括号里面的加法，再逆用积的乘方计算；
（5）先算积的乘方，再合并同类项即可求解；
（6）先算幂的乘方，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解；
（7）先算积的乘方，再根据单项式乘单项式的计算法则计算，再合并同类项即可求解；
（8）先算积的乘方，再根据单项式乘单项式的计算法则计算，再合并同类项即可求解．
【解答】解：（1）（2x2）4+（﹣3x4）2
＝16x8+9x8
＝25x8；
（2）（0.1a3）2﹣（0.1a2）3；
＝0.01a6﹣0.001a6
＝0.009a6；
（3）﹣（x2y）2?（xy2）3；
＝﹣（x4y2）?（x3y6）
＝﹣x7y8；
（4）（+）100×（+）99
＝（）100×（）99
＝×（×）99
＝×1
＝；
（5）3（a2b2）m﹣4（ambm）2；
＝3a2mb2m﹣4a2mb2m
＝﹣a2mb2m；
（6）（an﹣1）2?（a2）2﹣n?（﹣an）
＝（a2n﹣2）?（a4﹣2n）?（﹣an）
＝﹣an+2；
（7）9x3y3?（﹣x2y）2+（﹣x2y）3xy2
＝9x3y3?（x4y2）+（﹣x6y3）xy2
＝x7y5﹣x7y5
＝0；
（8）（0.25a3b2）2?（4a2b）3﹣3（﹣a2b）5?a2b2．
＝（a6b4）?（64a6b3）﹣3（﹣a10b5）?a2b2
＝4a12b7+3a12b7
＝7a12b7．
【点评】考查了单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
18．计算：
（1）（﹣5x2y2）?（x2yz）；
（2）（﹣ab2c）?（﹣a2bc2）；
（3）（2x2y）?（﹣x2y2）?（y2）
【分析】根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）（﹣5x2y2）?（x2yz）＝﹣x4y3z；
（2）（﹣ab2c）?（﹣a2bc2）＝a3b3c3；
（3）（2x2y）?（﹣x2y2）?（y2）＝﹣x4y5．
【点评】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
9.2 单项式乘多项式
一．选择题（共5小题）
1．计算（﹣3x）?（2x2﹣5x﹣1）的结果是（ ）
A．﹣6x2﹣15x2﹣3x B．﹣6x3+15x2+3x
C．﹣6x3+15x2 D．﹣6x3+15x2﹣1
2．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．2a（a+b）＝2a2+2ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
3．计算：（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）＝（ ）
A．﹣12x5﹣6x4 B．2x6+12x5+6x4
C．x2﹣6x﹣3 D．2x6﹣12x5﹣6x4
4．已知ab2＝﹣2，则﹣ab（a2b5﹣ab3+b）＝（ ）
A．4 B．2 C．0 D．14
5．若x﹣y+3＝0，则x（x﹣4y）+y（2x+y）的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3
二．填空题（共3小题）
6．已知实数m，n，p，q满足m+n＝p+q＝4，mp+nq＝6，则（m2+n2）pq+mn（p2+q2）＝ ．
7．anb2[3bn﹣1﹣2abn+1+（﹣1）2003]＝ ．
8．计算：m2n3[﹣2mn2+（2m2n）2]＝ ．
三．解答题（共8小题）
9．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
10．先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝．
11．计算：
（1）（﹣2xy2）2?3x2y；
（2）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）
12．阅读下列文字，并解决问题．
已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．
分析：考虑到满足x2y＝3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入．
解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．
请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）?（﹣2b）的值．
13．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值．
14．计算：
（1）a（a﹣b）+ab；
（2）2（a2﹣3）﹣（2a2﹣1）．
15．计算：
（1）（﹣ab2c4）3
（2）（x2y﹣xy2﹣y3）（﹣4xy2）
16．某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．计算（﹣3x）?（2x2﹣5x﹣1）的结果是（ ）
A．﹣6x2﹣15x2﹣3x B．﹣6x3+15x2+3x
C．﹣6x3+15x2 D．﹣6x3+15x2﹣1
【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．
【解答】解：（﹣3x）?（2x2﹣5x﹣1）
＝﹣3x?2x2+3x?5x+3x
＝﹣6x3+15x2+3x．
故选：B．
【点评】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
2．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．2a（a+b）＝2a2+2ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】由题意知，长方形的面积等于长2a乘以宽（a+b），面积也等于四个小图形的面积之和，从而建立两种算法的等量关系．
【解答】解：长方形的面积等于：2a（a+b），
也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab＝2a2+2ab，
即2a（a+b）＝2a2+2ab．
故选：B．
【点评】本题考查了单项式乘多项式的几何解释，列出面积的两种不同表示方法是解题的关键．
3．计算：（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）＝（ ）
A．﹣12x5﹣6x4 B．2x6+12x5+6x4
C．x2﹣6x﹣3 D．2x6﹣12x5﹣6x4
【分析】先算积的乘方，单项式乘多项式，再合并同类项即可求解．
【解答】解：（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）
＝8x6﹣6x6﹣12x5﹣6x4
＝2x6﹣12x5﹣6x4．
故选：D．
【点评】考查了积的乘方，单项式乘多项式，合并同类项，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
4．已知ab2＝﹣2，则﹣ab（a2b5﹣ab3+b）＝（ ）
A．4 B．2 C．0 D．14
【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：﹣ab（a2b5﹣ab3+b）＝﹣a3b6+a2b4﹣ab2＝﹣（ab2）3+（ab2）2﹣ab2，
当ab2＝﹣2时，原式＝﹣（﹣2）3+（﹣2）2﹣（﹣2）＝8+4+2＝14
故选：D．
【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．若x﹣y+3＝0，则x（x﹣4y）+y（2x+y）的值为（ ）
A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3
【分析】由于x﹣y+3＝0，可得x﹣y＝﹣3，根据单项式乘多项式、合并同类项和完全平方公式的运算法则将x（x﹣4y）+y（2x+y）变形为（x﹣y）2，再整体代入即可求解．
【解答】解：∵x﹣y+3＝0，
∴x﹣y＝﹣3，
∴x（x﹣4y）+y（2x+y）
＝x2﹣4xy+2xy+y2
＝x2﹣2xy+y2
＝（x﹣y）2
＝（﹣3）2
＝9．
故选：A．
【点评】考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．注意整体思想的运用．
二．填空题（共3小题）
6．已知实数m，n，p，q满足m+n＝p+q＝4，mp+nq＝6，则（m2+n2）pq+mn（p2+q2）＝ 60 ．
【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．
【解答】解：∵m+n＝p+q＝4
∴（m+n）（p+q）＝4×4＝16
∵（m+n）（p+q）＝mp+mq+np+nq
∴mp+mq+np+nq＝16
∵mp+nq＝6
∴mq+np＝10
∴（m2+n2）pq+mn（p2+q2）
＝m2pq+n2pq+mnp2+mnq2
＝mp?mq+np?nq+mp?np+nq?mq
＝mp?mq+mp?np+np?nq+nq?mq
＝mp（mq+np）+np（nq+mq）
＝（mp+nq）（np+mq）
＝6×10
＝60
故答案为60
【点评】本题需要综合运用单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则，将式子通过变形后整体代入求解，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解，有一定难度．
7．anb2[3bn﹣1﹣2abn+1+（﹣1）2003]＝ 3anbn+1﹣2an+1bn+3﹣anb2 ．
【分析】根据单项式成多项式，用单项式乘多向数的每一项，把所得的积相加，可得答案．
【解答】解：原式＝anb2（3bn﹣1﹣2abn+1﹣1）
＝3anbn+1﹣2an+1bn+3﹣anb2，
故答案为：3anbn+1﹣2an+1bn+3﹣anb2．
【点评】本题考查了单项式成多项式，用单项式乘多向数的每一项，把所得的积相加．
8．计算：m2n3[﹣2mn2+（2m2n）2]＝ ﹣m3n5+2m6n5 ．
【分析】先算幂的乘方，再根据单项式乘以多项式进行计算即可．
【解答】解：m2n3[﹣2mn2+（2m2n）2]
＝
＝﹣m3n5+2m6n5．
故答案为：﹣m3n5+2m6n5．
【点评】本题考查单项式乘多项式，解题的关键是明确单项式乘多项式的计算方法．
三．解答题（共8小题）
9．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．
【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）
＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
＝﹣20a2+9a，
当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4﹣9×2＝﹣98．
【点评】本题考查了整式的化简．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．
10．先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝．
【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的法则把原式进行化简，代入已知数据计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣3xy）﹣4y2
＝﹣7xy，
当x＝﹣4，y＝时，原式＝﹣7×（﹣4）×＝14．
【点评】本题考查的是单项式乘多项式，掌握完全平方公式、单项式乘多项式的法则是解题的关键．
11．计算：
（1）（﹣2xy2）2?3x2y；
（2）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）
【分析】（1）首先利用积的乘方运算法则化简，进而利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案；
（2）直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）（﹣2xy2）2?3x2y
＝4x2y4?3x2y
＝12x4y5；
（2）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）
＝﹣2a2×3ab2﹣2a2×（﹣5ab3）
＝﹣6a3b2+10a3b3．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以多项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．
12．阅读下列文字，并解决问题．
已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．
分析：考虑到满足x2y＝3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入．
解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．
请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）?（﹣2b）的值．
【分析】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案．
【解答】解：（2a3b2﹣3a2b+4a）?（﹣2b），
＝﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab，
＝﹣4×（ab）3+6（ab）2﹣8ab，
＝﹣4×33+6×32﹣8×3，
＝﹣108+54﹣24，
＝﹣78．
【点评】本题考查了单项式乘多项式，整体代入是解题关键．
13．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值．
【分析】（1）设多项式为A，则A＝（3x2y﹣xy2+xy）÷（﹣xy）计算即可．
（2）把x＝，y＝代入多项式求值即可．
【解答】解：（1）设多项式为A，
则A＝（3x2y﹣xy2+xy）÷（﹣xy）＝﹣6x+2y﹣1．
（2）∵x＝，y＝，
∴原式＝﹣6×+2×﹣1＝﹣4+1﹣1＝﹣4．
【点评】本题考查单项式乘多项式、多项式除以单项式的法则，解题的关键是利用乘法与除法是互为逆运算，把乘法转化为除法解决问题，属于基础题．
14．计算：
（1）a（a﹣b）+ab；
（2）2（a2﹣3）﹣（2a2﹣1）．
【分析】1）先算单项式乘多项式，再合并同类项即可求解；
2）先算单项式乘多项式，再去括号合并同类项即可求解．
【解答】解：1）a（a﹣b）+ab
＝a2﹣ab+ab
＝a2；
2）2（a2﹣3）﹣（2a2﹣1）
＝2a2﹣6﹣2a2+1
＝﹣5．
【点评】考查了整式的加减、单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
15．计算：
（1）（﹣ab2c4）3
（2）（x2y﹣xy2﹣y3）（﹣4xy2）
【分析】（1）直接利用积的乘方运算得出即可；
（2）利用单项式乘以多项式运算法则求出即可．
【解答】解：（1）（﹣ab2c4）3＝﹣a3b6c12；
（2）（x2y﹣xy2﹣y3）（﹣4xy2）＝﹣3x3y3+2x2y4+xy5．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以多项式，正确把握运算法则是解题关键．
16．某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？
【分析】根据题意首先求出多项式，进而利用单项式乘以多项式运算法则求出即可．
【解答】解：∵计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，
∴这个多项式为：a2+2a﹣1+2a＝a2+4a﹣1，
∴正确的计算结果是：﹣2a（a2+4a﹣1）＝﹣2a3﹣8a2+2a．
【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
9.3 多项式乘多项式
一．选择题（共5小题）
1．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
2．若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a、b为整数，则a+b之值为何？（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4
3．设M＝（x﹣3）（x﹣7），N＝（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（ ）
A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定
4．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，3，7 B．3，7，2 C．2，5，3 D．2，5，7
5．已知（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，则m﹣n的值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．﹣2 D．3
二．填空题（共3小题）
6．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片 张．
7．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张．
8．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．
（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是 ．
（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片 张，3号卡片 张．
三．解答题（共10小题）
9．若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，
（1）求p、q的值；
（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．
10．已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数．
11．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ ．
②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝ ．
③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果．
12．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝ ；
（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；
…
（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝ ．
（2）请你利用上面的结论计算：
299+298+…+2+1．
13．计算：
（1）（3x+2）（2x﹣1）；
（2）（2x﹣8y）（x﹣3y）；
（3）（2m﹣n）（3m﹣4n）；
（4）（2x2﹣1）（2x﹣3）；
（5）（2a﹣3）2；
（6）（3x﹣2）（3x+2）﹣6（x2+x﹣1）．
14．已知多项式x2+ax+1与2x+b的乘积中含x2的项的系数为3，含x项的系数为2，求a+b的值．
15．甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．
16．先阅读后作答：根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法．例如：（2a+b）（a十b）＝2a2+3ab+b2，就可以用图①的面积关系来说明．
（1）根据图②写出一个等式：
（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．
17．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
18．如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．
（1）求出拼成的长方形纸片的长和宽；
（2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a+3b，求它的宽．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【分析】依据多项式乘以多项式的法则进行计算，然后对照各项的系数即可求出m，n的值，再相加即可求解．
【解答】解：∵原式＝x2+x﹣2＝x2+mx+n，
∴m＝1，n＝﹣2．
∴m+n＝1﹣2＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
2．若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a、b为整数，则a+b之值为何？（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4
【分析】先把等式右边整理，在根据对应相等得出a，b的值，代入即可．
【解答】解：∵2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，
∴2x3﹣ax2﹣5x+5＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b+3，
∴﹣a＝a﹣2b，ab+1＝5，b+3＝5，
解得b＝2，a＝2，
∴a+b＝2+2＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，让第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项，再把所得的积相加．
3．设M＝（x﹣3）（x﹣7），N＝（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（ ）
A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，比较即可得到答案．
【解答】解：M＝（x﹣3）（x﹣7）＝x2﹣10x+21，
N＝（x﹣2）（x﹣8）＝x2﹣10x+16，
M﹣N＝（x2﹣10x+21）﹣（x2﹣10x+16）＝5，
则M＞N．
故选：B．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
4．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，3，7 B．3，7，2 C．2，5，3 D．2，5，7
【分析】根据长方形的面积＝长×宽，求出长为a+3b，宽为2a+b的大长方形的面积是多少，判断出需要A类、B类、C类卡片各多少张即可．
【解答】解：长为a+3b，宽为2a+b的长方形的面积为：
（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张．
故选：A．
【点评】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．已知（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，则m﹣n的值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．﹣2 D．3
【分析】把原式的左边利用多项式乘多项式展开，合并后与右边对照 即可得到m﹣n的值．
【解答】解：（x﹣m）（x+n）＝x2+nx﹣mx﹣mn＝x2+（n﹣m）x﹣mn，
∵（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，
∴n﹣m＝﹣3，
则m﹣n＝3，
故选：D．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．
二．填空题（共3小题）
6．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片 3 张．
【分析】拼成的大长方形的面积是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，即需要一个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是3ab．
【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
则需要C类卡片3张．
故答案为：3．
【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积也比较关键．
7．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要A类卡片 2 张，B类卡片 1 张，C类卡片 3 张．
【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量．
【解答】解：长为2a+b，宽为a+b的矩形面积为（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，
A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab，
则可知需要A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张．
故答案为：2；1；3．
【点评】此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，方法较新颖．注意对此类问题的深入理解．
8．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．
（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是 a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b） ．
（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片 3 张，3号卡片 7 张．
【分析】（1）画出相关草图，表示出拼合前后的面积即可；
（2）得到所给矩形的面积，看有几个b2，几个ab即可．
【解答】解：（1）如图所示：
故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）；
（2）（a+3b）（2a+b）＝2a2+ab+6ab+3b2＝2a2+7ab+3b2，
需用2号卡片3张，3号卡片7张．
故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）；3；7．
【点评】考查多项式与多项式相乘问题；根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本题的关键．
三．解答题（共10小题）
9．若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，
（1）求p、q的值；
（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．
【分析】（1）形开式子，找出x项与x3令其系数等于0求解．
（2）把p，q的值入求解．
【解答】解：（1）（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣）x2+（qp+1）x+q，
∵积中不含x项与x3项，
∴P﹣3＝0，qp+1＝0
∴p＝3，q＝﹣，
（2）（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014
＝[﹣2×32×（﹣）]2++×（﹣）2
＝36﹣+
＝35．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是正确求出p，q的值
10．已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数．
【分析】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个四次多项式，所以x的最高指数m+2＝4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．
【解答】解：（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）＝mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2，
因为该多项式是四次多项式，
所以m+2＝4，
解得：m＝2，
原式＝2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣2
∵多项式不含二次项
∴3+12n＝0，
解得：n＝，
所以一次项系数8﹣3n＝8.75．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项式，所以x的最高指数m+2＝4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．
11．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ x7﹣1 ．
②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝ xn+1﹣1 ．
③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果．
【分析】①观察已知各式，得到一般性规律，化简原式即可；
②原式利用得出的规律化简即可得到结果；
③原式变形后，利用得出的规律化简即可得到结果．
【解答】解：①根据题意得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；
②根据题意得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
③原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+234+235）＝236﹣1．
故答案为：①x7﹣1；②xn+1﹣1；③236﹣1
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．
12．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝ x2﹣1 ；
（x﹣1）（x2+x+1）＝ x3﹣1 ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ x4﹣1 ；
…
（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝ x100﹣1 ．
（2）请你利用上面的结论计算：
299+298+…+2+1．
【分析】（1）归纳总结得到规律，写出结果即可；
（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝x100﹣1；
（2）299+298+…+2+1＝（2﹣1）×（299+298+…+2+1）＝2100﹣1．
故答案为：（1）x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；x100﹣1
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．计算：
（1）（3x+2）（2x﹣1）；
（2）（2x﹣8y）（x﹣3y）；
（3）（2m﹣n）（3m﹣4n）；
（4）（2x2﹣1）（2x﹣3）；
（5）（2a﹣3）2；
（6）（3x﹣2）（3x+2）﹣6（x2+x﹣1）．
【分析】根据多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项成第二个多项式的每一项，把所得的积相加，可得（1）﹣﹣（4）的答案，根据乘法公式，可得（5）、（6）的答案．
【解答】解（1）原式＝3x?2x﹣3x+2×2x﹣2＝6x2+x﹣2；
（2）原式＝2x?x﹣2x?3y﹣8y?x+8y?3y＝2x2﹣14xy+24y2；
（3）原式＝2m?3m﹣2m?4n﹣3m?n+n?4n＝6m2﹣11mn+4n2；
（4）原式＝2x2?2x+2x2×（﹣3）﹣2x+3＝4x3﹣6x2﹣2x+3；
（5）原式＝（2a）2﹣2?2a?3+32＝4a2﹣12a+9；
（6）原式＝（3x）2﹣4﹣6x2﹣6x+6＝3x2﹣6x+2．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，根据法则计算是解题关键．
14．已知多项式x2+ax+1与2x+b的乘积中含x2的项的系数为3，含x项的系数为2，求a+b的值．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据题意求出a与b的值，即可求出a+b的值．
【解答】解：根据题意得：（x2+ax+1）（2x+b）＝2x3+（b+2a）x2+（ab+2）x+b，
∵乘积中含x2的项的系数为3，含x项的系数为2，
∴b+2a＝3，ab+2＝2，
解得：a＝，b＝0；a＝0，b＝3，
则a+b＝或3．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．
【分析】先按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值，再把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【解答】解：∵甲得到的算式：（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2+11x﹣10
对应的系数相等，2b﹣3a＝11，ab＝10，
乙得到的算式：（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10
对应的系数相等，2b+a＝﹣9，ab＝10，
∴，
解得：．
∴正确的式子：（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣19x+10．
【点评】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心．
16．先阅读后作答：根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法．例如：（2a+b）（a十b）＝2a2+3ab+b2，就可以用图①的面积关系来说明．
（1）根据图②写出一个等式：
（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．
【分析】（1）利用长方形的面积公式即可证明．
（2）画一个长为x+p，宽为x+q的长方形即可．
【解答】解：①（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；
②画出的图形如下：
（答案不唯一，只要画图正确即得分）
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
17．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
【分析】根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积，代入计算即可．
【解答】解：阴影部分的面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝5a2+3ab，
当a＝3，b＝2时，原式＝5×32+3×3×2＝63（平方米）．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
18．如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．
（1）求出拼成的长方形纸片的长和宽；
（2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a+3b，求它的宽．
【分析】（1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽；
（2）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）长方形的长为：3a+2b+2a+b＝5a+3b．
长方形的宽为：（3a+2b）﹣（2a+b）＝3a+2b﹣2a﹣b＝a+b．
（2）另一个长方形的宽：[（5a+3b）（a+b）+10a+6b]÷（5a+3b）＝a+b+2．
【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．
9.4 乘法公式
一．选择题（共14小题）
1．如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）
2．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
3．可以运用平方差公式运算的有（ ）个．
①（﹣1+2x）（﹣1﹣2x）；②（﹣1﹣2x）（1+2x）；③（ab﹣2b）（﹣ab﹣2b）．
A．1 B．2 C．3 D．0
4．若xn﹣81＝（x2+9）（x+3）（x﹣3），则n等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知a＝2005x+2004，b＝2005x+2005，c＝2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．将边长分别为a和b的两个正方形如图所示放置，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．b2 B．a2 C．a2﹣b2 D．ab
7．当a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣2时，则﹣ab的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．8
8．如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．15 B．±5 C．30 D．±30
9．若a2﹣b2＝，a﹣b＝，则a+b的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．2
10．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了一个正方形，小刚用其余两种长度的木棒摆出了一个长方形，正方形和长方形每边只有一根木棒，则他们两人谁摆的面积大？（ ）
A．小刚 B．小明 C．同样大 D．无法比较
11．已知x+＝5，那么x2+＝（ ）
A．10 B．23 C．25 D．27
12．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
13．若要使4x2﹣mx+成为一个完全平方式，则m的值应为（ ）
A． B．﹣ C．± D．﹣
14．若9x2+2（k﹣3）x+16是完全平方式，则k的值为（ ）
A．15 B．15或﹣15 C．39或﹣33 D．15或﹣9
二．填空题（共6小题）
15．一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加24cm，这个正方形的边长是 cm．
16．从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下马老汉租用的土地面积亏了 平方米．
17．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 （用a、b的代数式表示）．
18．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为 ．
19．一个长方形的面积是2a2﹣2b2，如果它的一条边长是a﹣b，则它的周长是 ．
20．为了交通方便，在一块长为am，宽为bm的长方形稻田内修两条道路，横向道路为矩形，纵向道路为平行四边形，道路的宽均为1m（如图），则余下可耕种土地的面积是 m2．
三．解答题（共5小题）
21．如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k＝ ．
22．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式，
①如图1，根据图中阴影部分的面积可表示为 ，还可表示为 ，可以得到的恒等式是
②类似地，用两种不同的方法计算同一各几何体的体积，也可以得到一个恒等式，如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式是 ．
23．计算：4a2b?（﹣ab2）3÷（2ab）
24．先化简，再求值：（9x3y﹣12xy3+3xy2）÷（﹣3xy）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝1，y＝﹣2．
25．如图，有一块边长为（3a+2）米的正方形铁片，王师傅要制作一个工件，欲在正方形铁片中央剪去一个小正方形铁片，按照图纸要求剪去小正方形后工件的宽度为2b米．问剪去小正方形后工件的面积是多少？
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）
【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．
【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2，
第二个图形面积＝（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．
2．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
【分析】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得n≤252，可得在不超过2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解．
【解答】解：由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得n≤252，
则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+…+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．
3．可以运用平方差公式运算的有（ ）个．
①（﹣1+2x）（﹣1﹣2x）；②（﹣1﹣2x）（1+2x）；③（ab﹣2b）（﹣ab﹣2b）．
A．1 B．2 C．3 D．0
【分析】根据平方差公式的结构：（1）两个二项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相反数，对各项分析后利用排除法求解．
【解答】解：①中﹣1同号，2x异号，符合平方差公式；
②中两项均异号，不符合平方差公式；
③中﹣2b同号，ab异号，符合平方差公式．
所以有①③两个可以运用平方差公式运算．
故选：B．
【点评】此题考查了平方差公式的结构．解题的关键是准确认识公式，正确应用公式．
4．若xn﹣81＝（x2+9）（x+3）（x﹣3），则n等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】（x2+9）（x+3）（x﹣3）根据平方差公式可以求出结果，然后根据已知等式即可求出n的值．
【解答】解：∵（x2+9）（x+3）（x﹣3），
＝（x2+9）（x2﹣9），
＝x4﹣81，
∴xn﹣81＝x4﹣81，
∴n＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式，首先利用平方差公式化简等式的右边，然后根据多项式的项的指数相等来确定n的值．
5．已知a＝2005x+2004，b＝2005x+2005，c＝2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解．
【解答】解：由题意可知a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，
所求式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），
＝[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，
＝[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，
＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键在于灵活思维，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键．
6．将边长分别为a和b的两个正方形如图所示放置，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．b2 B．a2 C．a2﹣b2 D．ab
【分析】由阴影部分面积等于两个正方形面积的和减去三个三角形面积．
【解答】解：∵S阴影＝a2+b2﹣b2﹣（a+b）a﹣（a﹣b）a
∴S阴影＝b2
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，关键是利用面积法解决问题
7．当a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣2时，则﹣ab的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．8
【分析】先把条件化简得到a﹣b的值，再把代数式通分后利用完全平方式整理，然后整体代入计算．
【解答】解：a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣2，
去括号并整理，得a﹣b＝2，
﹣ab＝＝，
∴﹣ab＝＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式，通分后构成完全平方公式是解本题的关键，整体代入思想的利用也比较关键．
8．如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．15 B．±5 C．30 D．±30
【分析】本题考查的是完全平方公式的理解应用，式中首尾两项分别是3x和5的平方，所以中间项应为加上或减去3x和5的乘积的2倍，所以kx＝±2×3x×5＝±30x，故k＝±30．
【解答】解：∵（3x±5）2＝9x2±30x+25，
∴在9x2+kx+25中，k＝±30．
故选：D．
【点评】对于完全平方公式的应用，要掌握其结构特征，两数的平方和，加上或减去乘积的2倍，因此要注意积的2倍的符号，有正负两种，本题易错点在于只写一种情况，出现漏解情形．
9．若a2﹣b2＝，a﹣b＝，则a+b的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．2
【分析】已知第一个等式利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出a+b的值．
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝，a﹣b＝，
∴a+b＝，
故选：B．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了一个正方形，小刚用其余两种长度的木棒摆出了一个长方形，正方形和长方形每边只有一根木棒，则他们两人谁摆的面积大？（ ）
A．小刚 B．小明 C．同样大 D．无法比较
【分析】可设三个木棒的长度分别为x﹣1、x、x+1，分别表示出两个图形的面积，再用作差法进行比较大小即可．
【解答】解：设三个木棒的长度分别为x﹣1、x和x+1，
则小明所摆正方形的面积为x2，小刚所摆长方形的面积为（x+1）（x﹣1），
∵x2﹣（x+1）（x﹣1）＝x2﹣（x2﹣1）＝x2﹣x2+1＝1＞0，
∴x2＞（x+1）（x﹣1），
∴小明所摆的正方形的面积大于小刚所摆长方形的面积，
故选：B．
【点评】本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键，注意作差法比较大小的应用．
11．已知x+＝5，那么x2+＝（ ）
A．10 B．23 C．25 D．27
【分析】根据完全平方公式，即可解答．
【解答】解：x+＝5，
，
，
．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．
12．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，
则面积是（a﹣b）2．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．
13．若要使4x2﹣mx+成为一个完全平方式，则m的值应为（ ）
A． B．﹣ C．± D．﹣
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【解答】解：∵4x2﹣mx+为一个完全平方式，
∴m＝±，
故选：A．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．若9x2+2（k﹣3）x+16是完全平方式，则k的值为（ ）
A．15 B．15或﹣15 C．39或﹣33 D．15或﹣9
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵9x2+2（k﹣3）x+16是完全平方式，
∴k﹣3＝±12，
解得：k＝15或k＝﹣9，
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
二．填空题（共6小题）
15．一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加24cm，这个正方形的边长是 5 cm．
【分析】本题是平方差公式的应用，设这个正方形的边长为a，根据正方形面积公式有（a+2）2﹣a2＝24，先用平方差公式化简，再求解．
【解答】解：设这个正方形的边长为a，依题意有
（a+2）2﹣a2＝24，
（a+2）2﹣a2＝（a+2+a）（a+2﹣a）＝4a+4＝24，
解得a＝5．
【点评】本题考查了平方差公式，掌握正方形面积公式并熟记公式结构是解题的关键．
16．从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下马老汉租用的土地面积亏了 25 平方米．
【分析】由题意可知道原来正方形土地的面积是a2平方米，而现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是（a﹣5）（a+5）平方米，然后用a2减去（a﹣5）（a+5）算出答案即可．
【解答】解：∵原来正方形土地的面积是a2平方米，
现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是（a﹣5）（a+5）平方米，
∴a2﹣（a﹣5）（a+5）＝a2﹣（a2﹣25）＝25平方米，
∴马老汉租用的土地面积亏了25平方米，
故答案为：25．
【点评】本题考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，然后熟练的运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2进行计算．
17．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 ab （用a、b的代数式表示）．
【分析】利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解．
【解答】解：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，
解得，
②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积＝（）2﹣4×（）2＝ab．
故答案为：ab．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确求出大小正方形的边长列代数式，以及整式的化简，正确对整式进行化简是关键．
18．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为 13 ．
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，
由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，2ab＝12，
所以a2+b2＝13，
故答案为：13．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．
19．一个长方形的面积是2a2﹣2b2，如果它的一条边长是a﹣b，则它的周长是 6a+2b ．
【分析】首先根据面积公式求得长方形的另一边长，然后根据长方形的周长公式求解．
【解答】解：长方形的另一边长为：（2a2﹣2b2）÷（a﹣b）＝＝2（a+b）＝2a+2b，
∴长方形的周长为（2a+2b+a﹣b）×2＝（3a+b）×2＝6a+2b，
故答案为：6a+2b．
【点评】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是根据面积公式求得长方形的另一边长．
20．为了交通方便，在一块长为am，宽为bm的长方形稻田内修两条道路，横向道路为矩形，纵向道路为平行四边形，道路的宽均为1m（如图），则余下可耕种土地的面积是 （ab﹣a﹣b+1） m2．
【分析】由题意可求出长方形稻田的面积，然后求出矩形道路的面积和平行四边形道路的面积．另外两条道路重合部分的面积也是平行四边形，面积也需要求出，则余下土地面积等于：长方形稻田的面积﹣矩形道路的面积﹣平行四边形道路的面积+重合部分的面积，代入计算即可．
【解答】解：由题可知，耕地面积＝（ab﹣a﹣b+1）m2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解题时不要忘记要加上两条道路复合的部分，因为它被减了两次．
三．解答题（共5小题）
21．如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k＝ 4或﹣2 ．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵a2﹣2（k﹣1）ab+9b2＝a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2，
∴﹣2（k﹣1）ab＝±2×a×3b，
∴k﹣1＝3或k﹣1＝﹣3，
解得k＝4或k＝﹣2．
即k＝4或﹣2．
故答案为：4或﹣2．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
22．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式，
①如图1，根据图中阴影部分的面积可表示为 （a+b）2﹣（a﹣b）2 ，还可表示为 4ab ，可以得到的恒等式是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
②类似地，用两种不同的方法计算同一各几何体的体积，也可以得到一个恒等式，如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式是 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ．
【分析】①根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种是用大正方形面积﹣空白部分正方形面积；另一种是将阴影部分的四个长方形面积相加，可得等式（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
②根据体积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种是将大正方体棱长表示出来求体积；另一种是将各个小的长方体体积加起来，可得等式（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
【解答】解：①∵阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣中间小正方形的面积 即：（a+b）2﹣（a﹣b）2，
又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成 即：4ab，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2；4ab；（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
②∵八个小正方体和长方体的体积之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，
∴（a+b）3＝a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，
∴（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
23．计算：4a2b?（﹣ab2）3÷（2ab）
【分析】先计算乘方，再计算乘法，最后计算除法即可得．
【解答】解：原式＝4a2b?（﹣a3b6）÷（2ab）
＝﹣4a5b7÷（2ab）
＝﹣2a4b6．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
24．先化简，再求值：（9x3y﹣12xy3+3xy2）÷（﹣3xy）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝1，y＝﹣2．
【分析】根据整式的除法和平方差公式可以化简本题，然后将x＝1，y＝﹣2代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（9x3y﹣12xy3+3xy2）÷（﹣3xy）﹣（2y+x）（2y﹣x）
＝﹣3x2+4y2﹣y﹣4y2+x2
＝﹣2x2﹣y，
当x＝1，y＝﹣2时，原式＝﹣2×12﹣（﹣2）＝﹣2+2＝0．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，式子化到最简是解题的关键．
25．如图，有一块边长为（3a+2）米的正方形铁片，王师傅要制作一个工件，欲在正方形铁片中央剪去一个小正方形铁片，按照图纸要求剪去小正方形后工件的宽度为2b米．问剪去小正方形后工件的面积是多少？
【分析】利用原来的正方形的面积减去减掉的正方形的面积即可．
【解答】解：由题意得减掉的小正方形的边长为3a+2﹣4b，
所以剪去小正方形后工件的面积为
（3a+2）2﹣（3a+2﹣4b）2＝24ab+16b﹣16b2（米2）．
答：剪去小正方形后工件的面积是24ab+16b﹣16b2米2．
【点评】该题目考查了正方形的面积和整式的混合运算，关键是根据题意列出关系式．
9.5 多项式的因式分解
一．选择题（共17小题）
1．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）
A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1）
C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1）
2．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（ ）
A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z
3．下列变形中，属因式分解的是（ ）
A．2x﹣2y＝2（x﹣y） B．（x+y）2＝x2+2xy+y2
C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2 D．x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1
4．下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．6a2b＝3a2?2b B．mx+nxy﹣xy＝mx+xy（n﹣1）
C．am﹣a＝a（m﹣1） D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
5．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．12a2b＝3a?4ab B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
C．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1 D．ax﹣ay＝a（x﹣y）
6．下列多项式中，没有公因式的是（ ）
A．a（x+y）和（x+y） B．32（a+b）和（﹣x+b）
C．3b（x﹣y）和 2（x﹣y） D．（3a﹣3b）和6（b﹣a）
7．下列各式中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
①a2+2a+4；②a2+2a﹣1；③a2+2a+1；④﹣a2+2a+1；⑤﹣a2﹣2a﹣1；⑥a2﹣2a﹣1．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．下列各式中，可用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．﹣a2+b2 D．a2+（﹣b）2
9．下列变形是分解因式的是（ ）
A．6x2y2＝3xy?2xy B．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）
C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
10．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）
A．（x+1）2＝x2+2x+1 B．x2﹣10x+25＝（x﹣5）2
C．（x+7）（x﹣7）＝x2﹣49 D．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1
11．﹣6xyz+3xy2﹣9x2y的公因式是（ ）
A．﹣3x B．3xz C．3yz D．﹣3xy
12．多项式x3y2﹣2x2y3+4xy4z的公因式是（ ）
A．xy2 B．4xy C．xy2z D．xyz
13．把多项式p2（a﹣1）+p（1﹣a）分解因式的结果是（ ）
A．（a﹣1）（p2+p） B．（a﹣1）（p2﹣p）
C．p（a﹣1）（p﹣1） D．p（a﹣1）（p+1）
14．下列多项式能用完全平方公式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣ B．（a+b）（a﹣b）﹣4ab
C．a2+ab+ D．y2+2y﹣1
15．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+1 B．﹣x2+1 C．x2﹣2 D．﹣x2﹣1
16．下列从左到右的变形：
（1）3xy+6y＝3y（x+2）；
（2）a2﹣a+1＝（a﹣1）2；
（3）y3﹣4y＝y（y2﹣4）；
（4）﹣x2﹣9y2＝﹣（x+3y）（x﹣3y）；
其中分解因式正确的有（ ）个．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
17．在实数范围内分解因式x5﹣64x正确的是（ ）
A．x（x4﹣64） B．x（x2+8）（x2﹣8）
C．x（x2+8）（x+2）（x﹣2） D．x（x+2）3（x﹣2）
二．填空题（共12小题）
18．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a＝ ，b＝ ．
19．因式分解：100﹣4a2＝ ．
20．因式分解的主要方法有： ．
21．若多项式x2﹣x﹣20分解为（x﹣a）（x﹣b），且a＞b，则a＝ ，b＝ ．
22．若x﹣3y＝5，则x2﹣3xy﹣15y＝ ．
23．x（a+b）+y（a+b）＝ ．
24．因式分解：
a2+a+＝ ；
1﹣9y2＝ ．
25．已知x2﹣y2＝69，x+y＝3，则x﹣y＝ ．
26．分解因式：a3﹣ab2＝ ；3a2﹣3＝ ．
27．因式分解：（x﹣3）（x+4）+3x＝ ．
28．分解因式：x2﹣5xy+6y2＝ ．
29．在实数范围内分解因式：2x2+3xy﹣y2＝ ．
三．解答题（共19小题）
30．已a2+b2﹣2a+6b+10＝0，求的值．
31．利用因式分解计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）
32．如图，在一块边长为a厘米的正方形纸板上，在正中央剪去一个边长为b厘米的正方形，当a＝6.25，b＝3.75时，请利用因式分解的知识计算阴影部分的面积．
33．已知x2+x﹣1＝0，求x3+2x2+3的值．
34．如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16＝52﹣32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：
小明的方法是一个一个找出来的：
0＝02﹣02，1＝12﹣02，3＝22﹣12，
4＝22﹣02，5＝32﹣22，7＝42﹣32，
8＝32﹣12，9＝52﹣42，11＝62﹣52，…
小王认为小明的方法太麻烦，他想到：
设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．
所以，自然数中所有奇数都是智慧数．
问题：
（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是 ；
（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数；
（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．
35．已知a﹣b＝，ab＝，求﹣2a2b2+ab3+a3b的值．
36．分解因式
（1）﹣3a2b3+6a3b2c+3a2b
（2）（a+b）2+（a+b）（a﹣3b）．
37．分解因式：
（1）5x2﹣20；
（2）﹣3x2+2x﹣．
38．因式分解：x2（x﹣y）+y2（y﹣x）
39．分解下列因式：
（1）a4﹣a2
（2）1﹣4x2+4xy﹣y2．
40．先阅读下列材料，并对后面的题进行解答：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣4）（x+1）＝x2﹣3x﹣4；（y+4）（y﹣2）＝y2+2y﹣8；（y﹣5）（y﹣3）＝y2﹣8y+15；…．（说明：本材料源于课本练习题）
（1）观察积中的一次项系数、常数项与等号左边的两因式的常数项有何关系？（用语言表达或者用公式来呈现它们之间关系和规律均可）
（2）巧算填空：
①（m+9）（m﹣11）＝ ；②（a﹣100）（a﹣11）＝ ．
（3）若（x+m）（x+n）＝x2+ax+12（m、n、a都是整数），请根据（1）问得出的关系和规律推算出a的值．
41．我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…
（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．
（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．
（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．
42．4x2﹣16y2．
43．把下列各式分解因式：
（1）a2﹣14ab+49b2
（2）a（x+y）﹣（a﹣b）（x+y）；
（3）121x2﹣144y2；
（4）3x4﹣12x2．
44．将下列各式分解因式
（1）15a3+10a2；
（2）y2+y+；
（3）3ax2﹣3ay2．
45．因式分解
（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．
（2）16x2﹣64．
（3）﹣4a2+24a﹣36．
（4）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
46．请观察以下解题过程：分解因式：x4﹣6x2+1
解：x4﹣6x2+1＝x4﹣2x2﹣4x2+1
＝（x4﹣2x2+1）﹣4x2
＝（x2﹣1）2﹣（2x）2
＝（x2﹣1+2x）（x2﹣1﹣2x）
以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：a4﹣7a2+9．
47．试用两种不同的方法分解因式分解：x2+6x+5．
48．已知a，b，c是三角形三边长，且b2﹣2bc+c2＝ac﹣ab，试判断三角形形状．
参考答案与试题解析
一．选择题（共17小题）
1．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）
A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1）
C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1）
【分析】确定公因式是b（x﹣3），然后提取公因式即可．
【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），
＝b（x﹣3）（b+1）．
故选：B．
【点评】需要注意提取公因式后，第二项还剩因式1．
2．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（ ）
A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z
【分析】可运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式．
【解答】解：原式＝（2x+y﹣z）（2x﹣y+z），
∴另一个因式是2x+y﹣z．
故选：D．
【点评】本题考查了公式法分解因式，是平方差的形式，所以考虑利用平方差公式分解因式．
3．下列变形中，属因式分解的是（ ）
A．2x﹣2y＝2（x﹣y） B．（x+y）2＝x2+2xy+y2
C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2 D．x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1
【分析】根据因式分解的定义：就是把整式变形成整式的积的形式，即可作出判断．
【解答】解：A、2x﹣2y＝2（x﹣y）是因式分解，故选项正确；
B、（x+y）2＝x2+2xy+y2结果不是积的形式，不是因式分解，故选项错误；
C、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2是整式的乘法，不是因式分解，故选项错误；
D、x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，结果不是积的形式，不是因式分解，故选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解的意义，因式分解是整式的变形，变形前后都是整式，并且结果是积的形式．
4．下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．6a2b＝3a2?2b B．mx+nxy﹣xy＝mx+xy（n﹣1）
C．am﹣a＝a（m﹣1） D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积形式，可得答案．
【解答】解：A不是多项式转化成几个整式积形式，故A不是因式分解；
B 没把多项式转化成几个整式积的形式，故B不是因式分解；
Cam﹣a＝a（m﹣1），故C是因式分解；
D 是整式的乘法，故D不是因式分解；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积形式．
5．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．12a2b＝3a?4ab B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
C．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1 D．ax﹣ay＝a（x﹣y）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A不是多项式的转化，故A不是因式分解；
B 整式的乘法，故B不是因式分解；
C 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D 提取公因式a，故D是因式分解，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
6．下列多项式中，没有公因式的是（ ）
A．a（x+y）和（x+y） B．32（a+b）和（﹣x+b）
C．3b（x﹣y）和 2（x﹣y） D．（3a﹣3b）和6（b﹣a）
【分析】根据公因式是多项式中每项都有的因式，可得答案．
【解答】解：∵32（a+b）与（﹣x+b）没有公因式，
故选：B．
【点评】本题考查了公因式，公因式是多项式中每项都有的因式．
7．下列各式中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
①a2+2a+4；②a2+2a﹣1；③a2+2a+1；④﹣a2+2a+1；⑤﹣a2﹣2a﹣1；⑥a2﹣2a﹣1．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据能运用完全平方公式分解因式的多项式的特点：①必须是三项式，②其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，③另一项是这两个数（或式）的积的2倍进行分析即可．
【解答】解：①a2+2a+4不是积的2倍，故不能用完全平方公式进行分解；
②a2+2a﹣1不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解；
③a2+2a+1能用完全平方公式进行分解；
④﹣a2+2a+1不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解；
⑤﹣a2﹣2a﹣1首先提取负号，可得a2+2a+1，能用完全平方公式进行分解；
⑥a2﹣2a﹣1不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解．
故选：A．
【点评】此题主要考查了能用完全平方公式分解因式的特点，关键是熟练掌握特点．
8．下列各式中，可用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．﹣a2+b2 D．a2+（﹣b）2
【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：A、a2+b2不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误；
B、﹣a2﹣b2的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误；
C、﹣a2+b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解，故本选项正确；
D、a2+（﹣b）2不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是应用平方差公式进行因式分解的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．
9．下列变形是分解因式的是（ ）
A．6x2y2＝3xy?2xy B．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）
C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
【分析】根据因式分解是把多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A、左边是单项式，不是分解因式，故本选项错误；
B、是分解因式，故本选项正确；
C、右边不是积的形式，故本选项错误；
D、是多项式乘法，不是分解因式，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解，因式分解把多项式转化成几个整式积的形式．
10．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）
A．（x+1）2＝x2+2x+1 B．x2﹣10x+25＝（x﹣5）2
C．（x+7）（x﹣7）＝x2﹣49 D．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1
【分析】因式分解就是把多项式转化成几个整式的积的形式，根据定义即可作出判断．
【解答】解：A、是整式的乘法，故选项错误；
B、正确；
C、是整式的乘法，故选项错误；
D、多项式结果不是整式的积的形式，故选项错误，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的意义，属于基础题，解答本题的关键是掌握因式分解的意义．
11．﹣6xyz+3xy2﹣9x2y的公因式是（ ）
A．﹣3x B．3xz C．3yz D．﹣3xy
【分析】通过观察可知原式的公因式为﹣3xy，直接提取即可．
【解答】解：﹣6xyz+3xy2﹣9x2y各项的公因式是﹣3xy．
故选：D．
【点评】此题考查的是提公因式的方法，要注意此题容易忽略公因式的系数的符号．
12．多项式x3y2﹣2x2y3+4xy4z的公因式是（ ）
A．xy2 B．4xy C．xy2z D．xyz
【分析】分别找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可找出公因式．
【解答】解：多项式x3y2﹣2x2y3+4xy4z的公因式是xy2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了找公因式，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找出公因式即可．
13．把多项式p2（a﹣1）+p（1﹣a）分解因式的结果是（ ）
A．（a﹣1）（p2+p） B．（a﹣1）（p2﹣p）
C．p（a﹣1）（p﹣1） D．p（a﹣1）（p+1）
【分析】先把1﹣a根据相反数的定义转化为﹣（a﹣1），然后提取公因式p（a﹣1），整理即可．
【解答】解：p2（a﹣1）+p（1﹣a），
＝p2（a﹣1）﹣p（a﹣1），
＝p（a﹣1）（p﹣1）．
故选：C．
【点评】主要考查提公因式法分解因式，把（1﹣a）转化为﹣（a﹣1）的形式是求解的关键．
14．下列多项式能用完全平方公式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣ B．（a+b）（a﹣b）﹣4ab
C．a2+ab+ D．y2+2y﹣1
【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍．
【解答】解：A、x2﹣2x﹣不符合完全平方公式分解的式子的特点，故错误；
B、（a+b））（a﹣b）不符合﹣4ab完全平方公式分解的式子的特点，故错误；
C、a2+ab+符合完全平方公式分解的式子的特点，故正确；
D、y2+2y﹣1不符合完全平方公式分解的式子的特点，故错误．
故选：C．
【点评】本题考查能用完全平方公式分解的式子的特点．两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍，是易错点．
15．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+1 B．﹣x2+1 C．x2﹣2 D．﹣x2﹣1
【分析】根据平方差公式的特点：两个平方项且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两个平方项的符号相同，故本选项错误；
B、两个平方项的符号相反，故本选项正确；
C、2不可以写成平方项，故错误；
D、两个平方项的符号相同，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了公式法分解因式，平方差公式的特点是两个平方项的符号相反，符合这一特点就能运用平方差公式分解因式，与两项的排列顺序无关．
16．下列从左到右的变形：
（1）3xy+6y＝3y（x+2）；
（2）a2﹣a+1＝（a﹣1）2；
（3）y3﹣4y＝y（y2﹣4）；
（4）﹣x2﹣9y2＝﹣（x+3y）（x﹣3y）；
其中分解因式正确的有（ ）个．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】（1）利用提公因式法，提取公因式3y即可；
（2）此题不符合完全平方公式，不能分解；
（3）首先提取公因式y，再利用平方差公式分解即可；
（4）注意提取负号后，可得﹣（x2+9y2），不符合平方差公式，不能分解因式．
【解答】解：（1）3xy+6y＝3y（x+2），故此项正确；
（2）a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故此项错误；
（3）y3﹣4y＝y（y2﹣4）＝y（y+2）（y﹣2），故此项错误；
（4）﹣x2﹣9y2＝﹣（x2+9y2），﹣（x+3y）（x﹣3y）＝﹣x2+9y2，故此项错误．
∴分解因式正确是（1），只有1个．
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解的知识．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．还要注意分解要彻底．
17．在实数范围内分解因式x5﹣64x正确的是（ ）
A．x（x4﹣64） B．x（x2+8）（x2﹣8）
C．x（x2+8）（x+2）（x﹣2） D．x（x+2）3（x﹣2）
【分析】在实数范围内分解因式一般应分解到因式中有无理数为止．
【解答】解：x5﹣64x＝x（x4﹣64），
＝x（x2+8）（x2﹣8），
＝x（x2+8）（x+2）（x﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查了公式法分解因式，在实数范围内分解因式要遵循分解彻底的原则．
二．填空题（共12小题）
18．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a＝ 1 ，b＝ ．
【分析】根据因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：∵x2﹣ax﹣1＝（x﹣2）（x+b）＝x2+（b﹣2）x﹣2b，
∴﹣2b＝﹣1，b﹣2＝﹣a，
b＝，a＝1，
故答案为：1，．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
19．因式分解：100﹣4a2＝ 4（5﹣a）（5+a） ．
【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：100﹣4a2＝4（25﹣a2）＝4（5﹣a）（5+a）．
故答案为：4（5﹣a）（5+a）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练应用平方差公式是解题关键．
20．因式分解的主要方法有： 提取公因式法、公式法、分组分解法 ．
【分析】根据因式分解的定义进行求解．
【解答】解：根据因式分解的步骤可知：因式分解的方法为：提公因式法、公式法和分组分解法，
故答案为：提公因式法、公式法、分组分解法．
【点评】此题要注意因式分解的一般步骤：
①如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；
②如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；如果多项式有两项应思考用平方
差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法； 如果多项式超过三项应思考用完全平方公式
法；
③分解因式时必须要分解到不能再分解为止．
21．若多项式x2﹣x﹣20分解为（x﹣a）（x﹣b），且a＞b，则a＝ 5 ，b＝ ﹣4 ．
【分析】将原多项式因式分解后与（x﹣a）（x﹣b）对照，且根据a＞b即可得到a、b的值．
【解答】解：x2﹣x﹣20＝（x﹣5）（x+4）＝（x﹣a）（x﹣b），
∵a＞b，
∴a＝5，b＝﹣4．
故答案为5，﹣4．
【点评】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确的将原多项式因式分解．
22．若x﹣3y＝5，则x2﹣3xy﹣15y＝ 25 ．
【分析】先将x2﹣3xy﹣15y变形为x（x﹣3y）﹣15y，把x﹣3y＝5代入得到5x﹣15y＝5（x﹣3y），再代入即可求解．
【解答】解：x2﹣3xy﹣15y
＝x（x﹣3y）﹣15y
＝5x﹣15y
＝5（x﹣3y）
＝5×5
＝25．
故答案为：25．
【点评】考查了因式分解﹣提公因式法，解决本题的关键是把所求的式子整理为含x﹣3y的式子．
23．x（a+b）+y（a+b）＝ （x+y）（a+b） ．
【分析】观察原式，发现公因式为a+b；提出后，即可得出答案．
【解答】解：原式＝（x+y）（a+b）．
故答案是：（x+y）（a+b）．
【点评】本题考查了因式分解﹣﹣提公因式法．要明确找公因式的要点：
（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；
（3）相同字母的指数取次数最低的．
24．因式分解：
a2+a+＝ （a+）2 ；
1﹣9y2＝ （1+3y）（1﹣3y） ．
【分析】根据完全平方公式可分解（1）；
根据平方差公式，可分解（2）．
【解答】解：（1）原式＝（a+）2；
（2）原式＝（1+3y）（1﹣3y），
故答案为：（a+）2，（1+3y）（1﹣3y）．
【点评】本题考查了运用公式分解因式，凑成公式的形式是解题关键．
25．已知x2﹣y2＝69，x+y＝3，则x﹣y＝ 23 ．
【分析】把已知条件利用平方差公式分解因式，然后代入数据计算即可．
【解答】解：∵x2﹣y2＝69，x+y＝3，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3（x﹣y）＝69，
解得：x﹣y＝23．
【点评】此题考查对平方差公式的灵活应用能力，分解因式是关键．
26．分解因式：a3﹣ab2＝ a（a+b）（a﹣b） ；3a2﹣3＝ 3（a+1）（a﹣1） ．
【分析】先提取公因式，然后套用公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），进一步分解因式即可．
【解答】解：a3﹣ab2，
＝a（a2﹣b2），
＝a（a+b）（a﹣b）；
3a2﹣3，
＝3（a2﹣1），
＝3（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了用公式法进行因式分解的能力，因式分解的一般步骤是：“一提，二套，三检”．即先提取公因式，再套用公式，最后看结果是否符合要求．
27．因式分解：（x﹣3）（x+4）+3x＝ （x+6）（x﹣2） ．
【分析】原式变形得到x2+4x﹣12，再利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：（x﹣3）（x+4）+3x
＝x2+x﹣12+3x
＝x2+4x﹣12
＝（x+6）（x﹣2）．
故答案为：（x+6）（x﹣2）．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
28．分解因式：x2﹣5xy+6y2＝ （x﹣2y）（x﹣3y） ．
【分析】因为（﹣2）×（﹣3）＝6，（﹣2）+（﹣3）＝﹣5，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：x2﹣5xy+6y2＝（x﹣2y）（x﹣3y）．
故答案为：（x﹣2y）（x﹣3y）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
29．在实数范围内分解因式：2x2+3xy﹣y2＝ 2（x﹣y）（x﹣y） ．
【分析】首先求出2x2+3xy﹣y2＝0的根，进而分解因式得出即可．
【解答】解：令2x2+3xy﹣y2＝0，则
x1＝y，x2＝y，
则2x2+3xy﹣y2＝2（x﹣y）（x﹣y）．
故答案为：2（x﹣y）（x﹣y）．
【点评】本题主要考查对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数范围内进行分解时，分解的结果一般要分到出现无理数为止是解答此题的关键．
三．解答题（共19小题）
30．已a2+b2﹣2a+6b+10＝0，求的值．
【分析】已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵a2+b2﹣2a+6b+10＝（a﹣1）2+（b+3）2＝0，
∴a﹣1＝0，b+3＝0，即a＝1，b＝﹣3，
则原式＝1+＝．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
31．利用因式分解计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）
【分析】把每个括号内利用平方差分解因式，再分别求和差后进行求积即可．
【解答】解：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）
＝（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）+…+（1+）（1﹣）
＝××××××…××
＝．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，正确进行因式分解是解题的关键．
32．如图，在一块边长为a厘米的正方形纸板上，在正中央剪去一个边长为b厘米的正方形，当a＝6.25，b＝3.75时，请利用因式分解的知识计算阴影部分的面积．
【分析】根据题意可知阴影部分的面积＝边长为a厘米的正方形的面积﹣边长为b厘米的正方形的面积，根据平方差公式分解因式，再代入求值即可．
【解答】解：设阴影部分的面积为s，依题意得：s＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
当a＝6.25，b＝3.75时s＝（6.25+3.75）（6.25﹣3.75）＝10×2.5＝25（平方厘米）；
答：阴影部分的面积为25平方厘米．
【点评】本题实质上考查了应用平方差公式进行因式分解，及用代入法求代数式的值．
33．已知x2+x﹣1＝0，求x3+2x2+3的值．
【分析】观察题意可知x2+x＝1，将原式化简可得出答案．
【解答】解：依题意得：x2+x＝1，
∴x3+2x2+3，
＝x3+x2+x2+3，
＝x（x2+x）+x2+3，
＝x+x2+3，
＝4；
或者：依题意得：x2+x＝1，
所以，x3+2x2+3，
＝x3+x2+x2+3，
＝x（x2+x）+x2+3，
＝x+x2+3，
＝1+3，
＝4．
【点评】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．
34．如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16＝52﹣32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：
小明的方法是一个一个找出来的：
0＝02﹣02，1＝12﹣02，3＝22﹣12，
4＝22﹣02，5＝32﹣22，7＝42﹣32，
8＝32﹣12，9＝52﹣42，11＝62﹣52，…
小王认为小明的方法太麻烦，他想到：
设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．
所以，自然数中所有奇数都是智慧数．
问题：
（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是 15 ；
（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数；
（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．
【分析】（1）仿照小明的办法，继续下去，即可得出结论；
（2）仿照小王的做法，将（k+2）2﹣k2用平方差公式展开即可得出结论；
（3）验证26是否符合4k+2，如果符合，则得出26不是智慧数．
【解答】解：（1）继续小明的方法，12＝42﹣22，13＝72﹣62，15＝82﹣72，
即第12个智慧数是15．
（2）设k是自然数，由于（k+2）2﹣k2＝（k+2+k）（k+2﹣k）＝4k+4＝4（k+1）．
所以，4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．
（3）4k+2＝2（2k+1）
＝2[（k+1）2﹣k2]
＝[（k+1）]2﹣（k）2
∵（k+1）、k均不是自然数，
∴4k+2不是智慧数，
令4k+2＝26，解得：k＝6．
故26不是智慧数
故答案为：（1）15．
【点评】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，解题的关键是：（1）仿照小明的办法继续找下去；（2）将将（k+2）2﹣k2用平方差公式展开；（3）令4k+2＝26，求出k值．本题属于基础题，难度不大，题中文字较多，很多学生不喜欢这样的文字题，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论．
35．已知a﹣b＝，ab＝，求﹣2a2b2+ab3+a3b的值．
【分析】将所求式子三项提取公因式ab后，括号中三项利用完全平方公式分解因式，将ab与a﹣b的值代入计算，即可求出值．
【解答】解：∵a﹣b＝，ab＝，
∴﹣2a2b2+ab3+a3b＝ab（﹣2ab+a2+b2）＝ab（a﹣b）2＝×＝．
【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
36．分解因式
（1）﹣3a2b3+6a3b2c+3a2b
（2）（a+b）2+（a+b）（a﹣3b）．
【分析】（1）直接提公因式即可；
（2）提公因式后，合并同类项，再提取公因式2．
【解答】解：（1）原式＝﹣3a2b（b2﹣2abc﹣1）；
（2）原式＝（a+b）（a+b+a﹣3b）＝（a+b）（2a﹣2b）＝2（a+b）（a﹣b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，注意要分解到不能分解为止．
37．分解因式：
（1）5x2﹣20；
（2）﹣3x2+2x﹣．
【分析】（1）首先提取公因式5，再利用平方差进行二次分解即可；
（2）首先提取公因式﹣3，再利用完全平方进行二次分解即可．
【解答】解：（1）原式＝5（x2﹣4）＝5（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝﹣3（x2﹣x+）＝﹣3（x﹣）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
38．因式分解：x2（x﹣y）+y2（y﹣x）
【分析】根据提取公因式再运用公式，可得答案．
【解答】解：原式＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）
＝（x﹣y）（x2﹣y2）
＝（x﹣y）（x+y）（x﹣y）
＝（x﹣y）2（x+y）．
【点评】本题考查了因式分解，先提取公因式，再运用公式法分解因式．
39．分解下列因式：
（1）a4﹣a2
（2）1﹣4x2+4xy﹣y2．
【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式分解第二个因式ik；
（2）先分组（把后三项分成一组，括号前是负号），再把后三项分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可．
【解答】（1）解：a4﹣a2
＝a2（a2﹣1）
＝a2（a+1）（a﹣1）；
（2）解：1﹣4x2+4xy﹣y2
＝1﹣（4x2﹣4xy+y2）
＝1﹣（2x﹣y）2，
＝[1+（2x﹣y）][1﹣（2x﹣y）]
＝（1+2x﹣y）（1﹣2x+y）．
【点评】本题考查了因式分解（分组分解法、公式法、提公因式法），主要考查学生分解因式的能力，两小题都比较典型，是一道比较好的题目．
40．先阅读下列材料，并对后面的题进行解答：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣4）（x+1）＝x2﹣3x﹣4；（y+4）（y﹣2）＝y2+2y﹣8；（y﹣5）（y﹣3）＝y2﹣8y+15；…．（说明：本材料源于课本练习题）
（1）观察积中的一次项系数、常数项与等号左边的两因式的常数项有何关系？（用语言表达或者用公式来呈现它们之间关系和规律均可）
（2）巧算填空：
①（m+9）（m﹣11）＝ m2﹣2m﹣99 ；②（a﹣100）（a﹣11）＝ a2﹣111a+1100 ．
（3）若（x+m）（x+n）＝x2+ax+12（m、n、a都是整数），请根据（1）问得出的关系和规律推算出a的值．
【分析】（1）总结规律：积中的一次项系数是两因式中的常数项的和，积中的常数项是两因式中的常数项的积．
（2）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可；
（3）根据规律列式12＝mn，根据m、n都是整数，可得m和n有6组值，分别计算其和可得a的值．
【解答】（本题满分7分）：
解：（1）（2分）积中的一次项系数是两因式中的常数项的和，积中的常数项是两因式中的常数项的积．
也可用公式表达：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq．（写对其中之一即可给分）．
（2）填空：（2分）
①（m+9）（m﹣11）＝m2+9m﹣11m﹣99＝m2﹣2m﹣99，
②（a﹣100）（a﹣11）＝a2﹣11a﹣100a+1100＝a2﹣111a+1100，
故答案为：①m2﹣2m﹣99；②a2﹣111a+1100；
（3）（3分）
∵积中的常数项是两因式中的常数项的积，即12＝mn，又m、n、a都是整数．
∴12＝1×12＝（﹣1）×（﹣12）＝2×6＝（﹣2）×（﹣6）＝3×4＝（﹣3）×（﹣4），
∴m＝1，n＝12；或 …或m＝﹣3，n＝﹣4．
又∵积中的一次项系数是两因式中的常数项的和．即a＝m+n，
∴a1＝13，a2＝﹣13，a3＝8，a4＝﹣8，a5＝7，a6＝﹣7，
（只要简单推算，答案正确即可每个给0.5分）
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法和多项式的乘法法则，也是阅读理解问题，根据题意总结十字相乘的公式是关键．
41．我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…
（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．
（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．
（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．
【分析】（1）写出最小的五位“轴对称数”，即首位数字和个位数字为1，其它为0的数；
（2）先表示这个任意的n（n≥3）位“轴对称数”：＝A×10n+B×10+A，再表示“轴对称数”与它个位数字的11倍的差，合并同类项并提公因式，可得结论；
（3）设这个三位“轴对称数”为（1≤a≤4，0≤b≤9），根据与k的和能同时被5和9整除，即能被45整除，设100a+10b+a+k＝45c，化为90a+11a+10b+k＝45c，所以11a+10b+k能同时被45整除，分情况计算可得结论．
【解答】（1）解：最小的五位“轴对称数”是10001；
（2）证明：由题意得：A×10n+B×10+A﹣11A＝A×10n+10B﹣10A＝10（A×10n﹣1+B﹣A），
∴该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除；
（3）解：设这个三位“轴对称数”为（1≤a≤4，0≤b≤9），
∵与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，
∴设100a+10b+a+k＝45c，
101a+10b+k＝45c，
90a+11a+10b+k＝45c，
∴因为101a+10b+k能同时被5和9整除，所以11a+10b+k能同时被5和9整除，
即11a+10b+k的值为0或45或90或135，又1≤a≤4，0≤b≤9，
∴当a＝1，b＝3，k＝4时，这个三位“轴对称数”是131．
当a＝1，b＝8，k＝4时，这个三位“轴对称数”是131．
当a＝2，b＝2，k＝3时，这个三位“轴对称数”是222．
当a＝3，b＝1，k＝2时，这个三位“轴对称数”是313．
当a＝4，b＝0，k＝1时，这个三位“轴对称数”是404．
当a＝4，b＝9，k＝1时，这个三位“轴对称数”是494．
所有满足条件的三位“轴对称数”为：131，222，313，404，494．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是根据题意列出式子，本题属于中等题型．
42．4x2﹣16y2．
【分析】将原式化为先提公因式后再将x2﹣4y2化为x2﹣（2y）2后利用平方差公式展开即可．
【解答】解：原式＝4（x2﹣4y2）
＝4[x2﹣（2y）2]
＝4（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解，解题的关键是先提取公因式4，然后利用平方差公式因式分解．
43．把下列各式分解因式：
（1）a2﹣14ab+49b2
（2）a（x+y）﹣（a﹣b）（x+y）；
（3）121x2﹣144y2；
（4）3x4﹣12x2．
【分析】（1）直接利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）提取公因式（x+y）即可；
（3）直接利用平方差公式因式分解即可；
（4）先提取公因式3x2，然后再利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：（1）a2﹣14ab+49b2
＝a2﹣2×7ab+（7b）2
＝（a﹣7b）2
（2）a（x+y）﹣（a﹣b）（x+y）
＝（x+y）（a﹣a+b）
＝b（x+y）；
（3）121x2﹣144y2；
＝（11x）2﹣（12y）2
＝（11x+12y）（11x﹣12y）
（4）3x4﹣12x2
＝3x2（x2﹣4）
＝3x2（x+2）（x﹣2）
【点评】本题考查了用公式法和提公因式法因式分解的知识，解题时候首先考虑提公因式法，然后考虑采用公式法，分解一定要彻底．
44．将下列各式分解因式
（1）15a3+10a2；
（2）y2+y+；
（3）3ax2﹣3ay2．
【分析】（1）利用提公因式法因式分解；
（2）利用完全平方公式因式分解；
（3）先提公因式、再利用平方差公式因式分解．
【解答】解：（1）15a3+10a2＝5a2（3a+2）；
（2）y2+y+＝（y+）2；
（3）3ax2﹣3ay2＝3a（x2﹣y2）＝3a（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法、公式法因式分解的一般步骤是解题的关键．
45．因式分解
（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．
（2）16x2﹣64．
（3）﹣4a2+24a﹣36．
（4）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
【分析】（1）利用提公因式法因式分解；
（2）先提公因式，再利用平方根公式因式分解；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解；
（4）先提公因式，再利用平方根公式因式分解．
【解答】解：（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）
＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）
＝（a﹣b）（2m+3n）；
（2）16x2﹣64
＝16（x2﹣4）
＝16（x+2）（x﹣2）；
（3）﹣4a2+24a﹣36
＝﹣4（a2﹣6a+9）
＝﹣4（a﹣3）2；
（4）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）
＝（a﹣b）[（3a+b）2﹣（a+3b）2]
＝8（a﹣b）2（a+b）．
【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式因式分解的一般步骤是解题的关键．
46．请观察以下解题过程：分解因式：x4﹣6x2+1
解：x4﹣6x2+1＝x4﹣2x2﹣4x2+1
＝（x4﹣2x2+1）﹣4x2
＝（x2﹣1）2﹣（2x）2
＝（x2﹣1+2x）（x2﹣1﹣2x）
以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：a4﹣7a2+9．
【分析】首先将原多项式利用拆项的方法分解为a4﹣6x2﹣a2+9，然后进一步组合为（a4﹣6a2+9）﹣a2后直接利用平方差公式分解为（a2﹣3+a）（a2﹣3﹣a）即可．
【解答】解：a4﹣7a2+9
＝a4﹣6x2﹣a2+9
＝（a4﹣6a2+9）﹣a2
＝（a2﹣3）2﹣a2
＝（a2﹣3+a）（a2﹣3﹣a）．
【点评】本题考查了利用拆项的方法因式分解，解题的关键是正确的拆项为a4﹣6x2﹣a2+9，然后熟练的利用完全平方公式进行因式分解．
47．试用两种不同的方法分解因式分解：x2+6x+5．
【分析】①把5分成1和5，进行分解即可；②配成完全平方公式得出（x+3）2﹣4，再用平方差公式分解即可．
【解答】解：①x2+6x+5＝（x+1）（x+5）；
②x2+6x+5＝x2+6x+9﹣4
＝（x+3）2﹣4
＝（x+3+2）（x+3﹣2）
＝（x+1）（x+5）．
【点评】本题主要考查对因式分解法﹣十字相乘法、公式法的理解和掌握，能熟练地进行分解因式是解此题的关键．
48．已知a，b，c是三角形三边长，且b2﹣2bc+c2＝ac﹣ab，试判断三角形形状．
【分析】由b2﹣2bc+c2＝ac﹣ab变形，利用因式分解可得到（b﹣c）（b﹣c﹣a）＝0，结合三角形的三边关系可得出b＝c，可判断出其形状．
【解答】解：∵b2﹣2bc+c2＝ac﹣ab，
∴b2﹣2bc+c2﹣a（b﹣c）＝0，
∴（b﹣c）（b﹣c﹣a）＝0，
∵b﹣c＜a，
∴b﹣c＝0，
∴b＝c，
∴三角形为等腰三角形．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，由等式得到（b﹣c）（b﹣c﹣a）＝0是解题的关键．
第9章 单元检测卷
（时间：100分钟 分值：150分）
一、选择题（每小题只有一个选项正确，错选或漏选不得分，每小题3分，共30分）
1. 下列计算中正确的是（ ）
A．（x+2）2=x2+2x+4 B．（-3-x）（3+x）=9-x2
C．（-3-x）（3+x）=-x2-9+6x D．（2x-3y）2=4x2+9y2-12xy
2.下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a-1）=a2-1 B．a2-6a+9=（a-3）2
C．x2+2x+1=x（x+2）+1 D．-18x4y3=-6x2y2?3x2y
3. 下列各式中不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．1-a4 B．-16a2+b2 C．-m4-n4 D．9a2-b4
4.已知正方形的边长为a厘米，如果它的一边长增加3厘米，另一边减少3厘米，那么它的面积（ ）
A．不变 B．减少9平方厘米
C．增加9平方厘米 D．不能确定
5.若（3x+2y）2=（3x-2y）2+A，则代数式A是（ ）
A．-12xy B．12xy C．24xy D．-24xy
6.若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确
7.若代数式x2-6x+b可化为（x-a）2-1，则b-a的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8.如图中，利用面积的等量关系验证的公式是（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．（a-b）2=a2-2ab+b2
C．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2 D．（a+b）2=a2+2ab+b2
9.多项式x2+x+b与多项式x2-ax-2的乘积不含x2和x3项，则?2(a?)2的值是（ ）
A．-8 B．-4 C．0 D．?
10.如果多项式9x2-2（m-1）x+16是一个二项式的完全平方式，那么m的值为（ ）
A．13 B．-11 C．7或-5 D．13或-11
二、填空题（每题3分，满分24分）
11.9x3y2+12x2y3中各项的公因式是 ．
12.x2+3x+ =（x+1.5）2．
13. （菏泽中考）分解因式：x3﹣x= ．
14. 计算（-4×103）2×（-2×103）3= ．
15.如果（x2+p）（x2+7）的展开式中不含有x2项，则p= ．
16.如果x-3是多项式2x2-11x+m的一个因式，则m的值 ．
17.已知（x+y）2=3，（x-y）2=5，则x2+y2= ，xy= ．
18.已知P=m2-m，Q=m-1（m为任意实数），则P、Q的大小关系为 ．
三、解答题（共96分）
19.（每题3分，共12分）计算
（1）（2x+y）（2x-y）+（2x+y）2； （2）（x+3y+2）（x-3y+2）；
（3）（2x+1）（2x-1）（4x2+1）； （4）3a-b）2（3a+b）2.
20.（8分）已知x2+3x-1=0，求4x（x+2）+（x-1）2-3（x2-1）的值．
21.（每题3分，共12分）分解因式：
（1）3x3-12xy2 （2）x4-8x2+16．
（3）4a（a-1）2-（1-a）； （4）49（m+n）2-25（n-m）2；
22.（每题4分，共8分）利用乘法公式简算 （1）982； （2）1102-109×111.
23.（每题5分，共10分）已知x+y=4，xy=2，试求：
（1）x2+y2； （2）x4+y4的值．
24.（10分）已知A=x-y+1，B=x+y+1，C=（x+y）（x-y）+2x，两同学对x、y分别取了不同的值，求出的A、B、C的值不同，但A×B-C的值却总是一样的．因此两同学得出结论：无论x、y取何值，A×B-C的值都不发生变化．
25.（10分）在学习中，小明发现：当a=-1，0，1时，a2-8a+20的值都是正数，于是小明猜想：当a为任意整数时，a2-8a+20的值都是正数，小明的猜想正确吗？简要说明你的理由．
26.（10分）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学探究：把一根铁丝截成两段， 探究1：小明截成了两根长度不同的铁丝，并用两根不同长度的铁丝分别围成两个正方形，已知两正方形的边长和为20cm，它们的面积的差为40cm2，则这两个正方形的边长差为 ． 探究2：小红截成了两根长度相同的铁丝，并用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形与一个正方形，若长方形的长为x?m，宽为y?m， （1）用含x、y的代数式表示正方形的边长为 ； （2）设长方形的长大于宽，比较正方形与长方形面积哪个大，并说明理由．
27.（10分）你能求（x-1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．分别计算下列各式的值： （1）（x-1）（x+1）=x2-1； （2）（x-1）（x2+x+1）=x3-1； （3）（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1； … 由此我们可以得到： （x-1）（x99+x98+x97+…+x+1）= ； 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算： （1）299+298+297+…+2+1； （2）（-2）50+（-2）49+（-2）48+…+（-2）+1．
28. （12分）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． （1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ；
?（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张； （3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于打纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是 ； （4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2= ，画出拼图．
答案
1.D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.C 10.D
11.3x2y2 12.2.25 13. x（x+1）（x﹣1） 14.-1.28×1017 15.-7 16.15 17.4 - 18.P≥Q
19.解：（1）原式=4x2-y2+4x2+4xy+y2， =8x2+4xy．
（2）原式=（x+2）2-9y2=x2+4x+4-9y2； （3）原式=（4x2-1）（4x2-1） =（4x-1）2 =16x4-8x+1； （4）原式=[(3a-2b)(3a+2b)]2 =(9a2-4b2)2 =81a4-18a2b2+b4； 20.解：原式=4x2+8x+x2-2x+1-3x2+3 =2x2+6x+4? =2（x2+3x）+4， ∵x2+3x-1=0， ∴x2+3x=1， 则原式=2+4=6．
21.解：（1）原式=3x（x2-4y2）=3x（x+2y）（x-2y）．
（2）原式=（x2-4）2=（x+2）2（x-2）2．
（3）原式=（a-1）（4a2-4a+1） =（a-1）（2a-1）2．
（4）原式=[7（m+n）+5（n-m）][7（m+n）-5（n-m）] =（7m+7n+5n-5m）（7m+7n-5n+5m） =（2m+12n）（12m+2n） =4（m+6n）（6m+n）； 22.解：（,1）原式=（100-2）2=10000-400+4=9604；
（2）原式=1102-（110-1）×（110+1）=1102-1102+1=1； 23.解：①把x+y=4两边平方得：（x+y）2=x2+y2+2xy=16， 把xy=2代入得：x2+y2=12； ②x4+y4=（x2+y2）2-2x2y2=144-8=136．
24. 解：正确． A×B-C=（x-y+1）（x+y+1）-[（x+y）（x-y）+2x] =（x+1-y）（x+1+y）-（x2-y2+2x） =（x+1）2-y2-x2+y2-2x =x2+2x+1-y2-x2+y2-2x， =1； 所以x、y的取值与A×B-C的值无关．
25. 解：解猜想正确．理由如下： a2-8a+20═a2-8a+42+4=（a-4）2+4，因为（a-4）2≥0， 所以?（a-4）2+4≥4， 所以当a为任意整数时，a2-8a+20的值都是正数．
26. 解：探究1：设两个正方形的边长分别为a，b，则a+b=20， a2-b2=40 （a+b）（a-b）=40 20（a--b）=40， a-b=2（cm）， 故答案为：2cm． 探究二： （1）=； （2）()2-xy= ∵x＞y， ∴＞0， ∴()2＞xy， ∴正方形的面积大于长方形的面积．
27. 解：根据题意：（1）（x-1）（x+1）=x2-1； （2）（x-1）（x2+x+1）=x3-1； （3）（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1， 故（x-1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100-1 故答案为：x100-1； 根据以上分析： （1）299+298+297+…+2+1=（2-1）（299+298+297+…+2+1）=2100-1； （2）原式=-（-2-1）[（-2）50+（-2）49+（-2）48+…（-2）+1]
=-（-251-1）
=．
28.解：（1）这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2． （2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张. 故答案为：2，3． （3）由图③可知矩形面积为（a+2b）?（a+b），所以a2+3ab+2b2=（a+2b）?（a+b）， 故答案为：（a+2b）?（a+b）． （4）a2+5ab+6b2=（a+2b）（a+3b），如图， 故答案为：（a+2b）（a+3b）．
