（新版）苏科版七年级数学下册 第7章 平面图形的认识（二）作业设计+章末检测 （六份打包 解析版)

第7章 单元检测卷
（时间：100分钟 分值：150分）
一、选择题（每小题只有一个选项正确，错选或漏选不得分，每小题3分，共30分）
1．（福州中考）如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角

第1题图 第2题图 第4题图 第5题图
2. （白银中考）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2为（　　）
A．115° B．120° C．135° D．145°
3. （东台模拟）下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是（　　）

A． B． C． D．
4.小李有2根木棒，长度分别为10cm和15cm，要组成一个三角形（木棒的首尾分别相连接），还需在下列4根木棒中选取（　　）
A．4cm长的木棒 B．5cm长的木棒 C．20cm长的木棒 D．25cm长的木棒
5.如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（　　）
A．CF B．BE C．AD D．CD
6.（西宁中考）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=（　　）
A．73° B．56° C．68° D．146°
7.（资阳中考）如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m-n等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定

第6题图 第8题图 第9题图 第10题图
8.如图，在三角形纸片ABC中，∠B=∠C=35°，过边BC上的一点，沿与BC垂直的方向将它剪开，分成三角形和四边形两部分，则在四边形中，最大的内角的度数为（　　）
A．110° B．115° C．120° D．125°
9.（台湾中考）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
10.如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度（　　）
A．360° B．720° C．540° D．240°
二、填空题（每题3分，满分24分）
11．（益阳中考）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD．若∠BCD=28°，则∠A的度数为　 　．

第11题图 第12题图 第15题图
12.如图，要证明AD∥BC，只需要知道∠B= ．
13.一个三角形的两边长分别是3和8，周长是偶数，那么第三边边长是 ．
14.（泰兴模拟）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
15.（高邮模拟）如图，AB∥CD∥EF，若∠A=30°，∠AFC=15°，则∠C=　 ．
16.（东台模拟）如图，将△ABC平移到△A′B′C′的位置（点B′在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB′A′的度数为 °．

第16题图 第17题图 第18题图
17.（常熟模拟）如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为 cm2．
18.有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B=90°．按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形ADEC中，若∠1=165°，则∠2的度数为 °．
三、解答题（共96分）
19.（8分）（无锡模拟）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积；（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是 ．
第19题图
20.（8分）（江阴模拟）（1）如图1，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形．（2）如图2，画出△ABC的高BE、中线AD、角平分线CF．

第20题图
21.（10分）（河北中考）已知n边形的内角和θ=（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
22.（8分）如图，已知∠ABE+∠DEB=180°，∠1=∠2，试说明：∠F=∠G．
第22题图
23.（10分）如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
第23题图
24.（10分）（东台模拟）如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4．求∠CAD的度数．

第24题图
25.（10分）如图，四边形ABCD是一个工件的平面图，它要求AD和BC这两边的夹角应等于30°．甲、乙、丙三个工人在检验工件是否合格时，发生了以下争论：甲：要检验工件是否合格，应延长AD和BC，设交点为O，然后检验∠O是否等于30°．乙：这样太麻烦了，我看只需测量出∠A和∠B的度数就行了．丙：量出∠C和∠D的度数也可以检验AD和BC的夹角是否等于30°．请你用所学过的知识，说明乙、丙两人的方法是否正确．

第25题图
26.（12分）已知，在三角形ABC中，点D在BC上，DE⊥AB于E，点F在AB上，在CF的延长线上取一点G，连接AG．（1）如图1，若∠GAB=∠B，∠GAC+∠EDB=180°，求证：AB⊥AC．（2）如图2．在（1）的条件下，∠GAC的平分线交CG于点M，∠ACB的平分线交AB于点N，当∠AMC-∠ANC=35°时，求∠AGC的度数．
第26题图
27.（12分）四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O． （1）若点O在四边形ABCD的内部，①如图1，若AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，则∠DOE= °；②如图2，试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系．
第27题图
28.（12分）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图，探索这两个角之间的关系，并说明理由．（1）如图①，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是 ；证明：
（2）如图②，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是 ；证明：
（3）经过上述证明，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角 ；
（4）若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？
第28题图
参考答案
1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.A 7. B 8.D 9.A
10.D 【解析】如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，∵∠BOF=120°，∴∠3=180°-120°=60°，根据三角形内角和定理，∠E+∠1=180°-60°=120°，∠F+∠2=180°-60°=120°，所以，∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°，故选D.
11.124° 12.∠EAD 13.7或9 14.6 15. 15° 16.25 17.24 18.105
19.解：（1）
S=3×3-×2×1-×2×3-×1×3=3.5；（2）平行且相等．
20.解：（1）如图所示：△DEF即为所求；
（2）如图所示：BE、AD、CF即为所求．
21.解：（1）∵360°÷180°=2，
630°÷180°=3…90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2=2+2=4．
答：甲同学说的边数n是4；
（2）依题意有
（n+x﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°=360°，解得x=2．
故x的值是2．
22.解：∵∠ABE+∠DEB=180°，∴AC∥DE，∴∠CBE=∠DEB，∵∠1=∠2，∴∠FBE=∠GEB，∴BF∥GE，∴∠F=∠G．
23.解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°．
24.解：∵五边形的内角和是540°，∴每个内角为540°÷5=108°，∴∠E=∠B=∠BAE=108°，又∵∠1=∠2，∠3=∠4，由三角形内角和定理可知，∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°，∴∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°．
25. 解：乙、丙两人的方法都是正确的．如图，延长AD和BC，设交点为O，
∵∠O=180°-∠A-∠B，∴只需测量出∠A和∠B的度数，且∠A+∠B=150°就可以检验AD和BC的夹角等于30°；∵∠O=180°-∠ODC-∠OCD=180°-（180°-∠ADC）-（180°-∠BCD）=∠ADC+∠BCD-180°，∴只要量出∠C和∠D的度数，且∠C+∠D=210°，也可以检验AD和BC的夹角等于30°．因此乙、丙两人的方法都是正确的．
26.解：（1）∵∠GAB=∠B，∴GA∥BC，∴∠GAC+∠ACB=180°，∵∠GAC+∠EDB=180°，∴∠EDB=∠ACB，∴ED∥AC，∵DE⊥AB，∴AB⊥AC．（2）∵∠GAC的平分线交CG于点M，∠ACB的平分线交AB于点N，∴∠ACN+∠MAC=×180°=90°，∵∠MAB+∠MAC=∠ACN+∠MAC=90°，∴∠MAB=∠ACN=∠NCB，∵∠AMC-∠ANC=35°，∴∠BAM+∠NCG=∠BCG=35°，∵GA∥BC，∴∠AGC=35°．
27.解：（1）①∵AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，∴∠BAD=140°，∠ADC=110°，∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，∴∠BAE=70°，∠ODC=55°，∴∠AEC=110°，∴∠DOE=360°-110°-70°-55°=125°；故答案为：125；②∠B+∠C+2∠DOE=360°，理由：∵∠DOE=∠OAD+∠ADO，∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，∴2∠DOE=∠BAD+∠ADC，∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°，∴∠B+∠C+2∠DOE=360°；（2）∠B+∠C=2∠DOE，理由：∵∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C，∠EAD+∠ADO=180°-∠DOE，∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，∴∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，∴∠BAD+∠ADC=2（∠EAD+∠ADO），∴360°-∠B-∠C=2（180°-∠DOE），∴∠B+∠C=2∠DOE．
28.解：（1）∠1=∠2．证明如下：∵AB∥CD，∴∠1=∠3，∵BE∥DF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2；（2）∠1+∠2=180°．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠3，∵BE∥DF，∴∠2+∠3=180°，∴∠1+∠2=180°；（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；（4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为3x-60°，当x=3x-60°，解得x=30°，则这两个角的度数分别为30°，30°；当x+3x-60°=180°，解得x=60°，则这两个角的度数分别为60°，120°．
7.1 探索直线平行的条件
一．选择题（共8小题）
1．如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5； ④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3，其中能判断直线l1∥l2的有（　　）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
2．下列图形中，已知∠1＝∠2，则可得到AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知四条直线a，b，c，d在同一平面内，a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（　　）
A．a⊥c B．b⊥d C．a⊥d D．a∥d
4．下列说法中正确的个数有（　　）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
③A、B、C三点在同一直线上且AB＝BC，则B是线段AC的中点；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在下列条件中：
①∠1＝∠2；
②∠BAD＝∠BCD；
③∠ABC＝∠ADC且∠3＝∠4；
④∠BAD+∠ABC＝180°，
能判定AB∥CD的有（　　）
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
6．如图所示，由已知条件推出结论错误的是（　　）
A．由∠1＝∠5，可以推出AB∥CD
B．由AD∥BC，可以推出∠4＝∠8
C．由∠2＝∠6，可以推出AD∥BC
D．由AD∥BC，可以推出∠3＝∠7
7．在下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　）
A．∠1+∠3＝180° B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠6
二．填空题（共4小题）
9．如图，在△ABC中，以点C为顶点，在△ABC外画∠ACD＝∠A，且点A与D在直线BC的同一侧，再延长BC至点E，在作的图形中，∠A与　 　是内错角；∠B与　 　是同位角；∠ACB与　 　是同旁内角．
10．如图，按角的位置关系填空：∠1与∠2是　 　角，∠1与∠3是　 　角，∠2与∠3是　 　角．
11．如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠3＝180°；⑤∠6＝∠8，其中能判断a∥b的是　 　（填序号）
12．如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是　 　（填序号）．
三．解答题（共28小题）
13．看图填空，并在括号内注明说理依据．
如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？
解：因为∠1＝35°，∠2＝35°（已知），
所以∠1＝∠2．
所以　 　∥　 　（　 　）．
又因为AC⊥AE（已知），
所以∠EAC＝90°．（　 　）
所以∠EAB＝∠EAC+∠1＝125°．
同理可得，∠FBG＝∠FBD+∠2＝　 　°．
所以∠EAB＝∠FBG（　 　）．
所以　 　∥　 　（同位角相等，两直线平行）．
14．如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，且AD平分∠BAC．请问：
（1）AD与EF平行吗？为什么？
（2）∠3与∠E相等吗？试说明理由．
15．填空并完成以下证明：
已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．
证明：FH⊥AB（已知）
∴∠BHF＝　 　．
∵∠1＝∠ACB（已知）
∴DE∥BC（　 　）
∴∠2＝　 　．（　 　）
∵∠2＝∠3（已知）
∴∠3＝　 　．（　 　）
∴CD∥FH（　 　）
∴∠BDC＝∠BHF＝　 　．°（　 　）
∴CD⊥AB．
16．如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF．
（1）AE与FC会平行吗？说明理由；
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）BC平分∠DBE吗？为什么．
17．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，∠1＝∠2＝80°，求∠BGF的度数．
解：因为∠1＝∠2＝80°（已知），
所以AB∥CD（　 　）
所以∠BGF+∠3＝180°（　 　）
因为∠2+∠EFD＝180°（邻补角的性质）．
所以∠EFD＝　 　．（等式性质）．
因为FG平分∠EFD（已知）．
所以∠3＝　 　∠EFD（角平分线的性质）．
所以∠3＝　 　．（等式性质）．
所以∠BGF＝　 　．（等式性质）．
18．完成下面的证明
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
完成推理过程
BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（　 　）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β （　 　）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）
（　 　）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（　 　）．
∴AB∥CD（　 　）．
19．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．
证明：∵　 　，
∴∠CDA＝90°，∠DAB＝90° （　 　）．
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°．
又∵∠1＝∠2，
∴　 　 （　 　），
∴DF∥AE （　 　）．
20．已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，试说明：CF∥DO．
21．如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，将证明AD∥BC的过程填写完整．
证明：∵AB⊥AC
∴∠　 　＝　 　°（　 　）
∵∠1＝30°
∴∠BAD＝∠　 　+∠　 　＝　 　°
又∵∠B＝60°
∴∠BAD+∠B＝　 　°
∴AD∥BC（　 　）
22．如图，已知∠1＝∠B，∠2＝∠E，请你说明AB∥DE的理由．
23．阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证∠A＝∠F
证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DGF（　 　）
∴∠1＝∠DGF（等量代换）
∴　 　∥　 　（　 　）
∴∠3+∠　 　＝180°（　 　）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠C＝180°（等量代换）
∴　 　∥　 　（　 　）
∴∠A＝∠F（　 　）
24．完成下面的证明：
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （　 　）
∴∠ABD＝2∠α （　 　）
∵DE平分∠BDC（已知）
∵∠BDC＝　 　（　 　）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （　 　）
∵∠α+∠β＝90°（已知）
∴∠ABD+∠BDC＝（　 　）
∴AB∥CD （　 　）
25．如图已知BE平分∠ABC，E点在线段AD上，∠ABE＝∠AEB，AD与BC平行吗？为什么？
解：因为BE平分∠ABC（已知）
所以∠ABE＝∠EBC （　 　）
因为∠ABE＝∠AEB （　 　）
所以∠　 　＝∠　 　（　 　）
所以AD∥BC （　 　）
26．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
27．已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠E，求证：AD∥BE．
28．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：AC∥DF．
29．（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．
30．如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，证明AB∥EF．
31．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：AB∥CD．
32．如图，已知点E在AB上，CE平分∠ACD，∠ACE＝∠AEC．求证：AB∥CD．
33．在横线上完成下面的证明，并在括号内注明理由．
已知：如图，∠ABC+∠BGD＝180°，∠1＝∠2．
求证：EF∥DB．
证明：∵∠ABC+∠BGD＝180°，（已知）
∴　 　．（　 　）
∴∠1＝∠3．（　 　）
又∵∠1＝∠2，（已知）
∴　 　．（　 　）
∴EF∥DB．（　 　）
34．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠BPQ，OH平分∠CQP，并且∠l＝∠2．说出图中哪些直线互相平行，并说明理由，
35．已知：如图，∠A＝∠F，∠C＝∠D．可以判断BD∥CE吗？说明理由．
36．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC．
37．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，点G在AC边上EF⊥BC于点F，若∠BEF＝∠ADG．
求证：AB∥DG
38．已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，证明：CF∥DO．
39．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．求证：EF∥CD．
40．如图，∠B＝40°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝65°．求证：AB∥CD．

参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5； ④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3，其中能判断直线l1∥l2的有（　　）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本小题正确；
②∵∠2+∠4＝180°，∴l1∥l2，故本小题正确；
③∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本小题正确；
④∵∠2＝∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误；
⑤∵∠6＝∠2+∠3，∴l1∥l2，故本小题正确．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
2．下列图形中，已知∠1＝∠2，则可得到AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先确定两角之间的位置关系，再根据平行线的判定来确定是否平行，以及哪两条直线平行．
【解答】解：A、∠1和∠2的是对顶角，不能判断AB∥CD，此选项不正确；
B、∠1和∠2的对顶角是同位角，且相等，所以AB∥CD，此选项正确；
C、∠1和∠2的是内错角，且相等，故AC∥BD，不是AB∥CD，此选项错误；
D、∠1和∠2互为同旁内角，同旁内角相等，两直线不平行，此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
3．已知四条直线a，b，c，d在同一平面内，a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（　　）
A．a⊥c B．b⊥d C．a⊥d D．a∥d
【分析】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证a∥c，再结合c⊥d，可证a⊥d．
【解答】解：∵a⊥b，b⊥c，
∴a∥c，
∵c⊥d，
∴a⊥d．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线及垂线的性质，关键是根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行解答．
4．下列说法中正确的个数有（　　）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
③A、B、C三点在同一直线上且AB＝BC，则B是线段AC的中点；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据垂线的性质，直线的位置关系，线段的中点的定义一一判断即可；
【解答】解：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；
③A、B、C三点在同一直线上且AB＝BC，则B是线段AC的中点，正确；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交．正确；
故选：D．
【点评】本题考查线的性质，直线的位置关系，线段的中点的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，在下列条件中：
①∠1＝∠2；
②∠BAD＝∠BCD；
③∠ABC＝∠ADC且∠3＝∠4；
④∠BAD+∠ABC＝180°，
能判定AB∥CD的有（　　）
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
【分析】依据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可．
【解答】解：①由∠1＝∠2可判定AD∥BC，不符合题意；
②由∠BAD＝∠BCD不能判定AB∥BC，不符合题意；
③由∠ABC＝∠ADC且∠3＝∠4知∠ABD＝∠CDB，可判定AB∥CD，符合题意；
④由∠BAD+∠ABC＝180°可判定AD∥BC，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
6．如图所示，由已知条件推出结论错误的是（　　）
A．由∠1＝∠5，可以推出AB∥CD
B．由AD∥BC，可以推出∠4＝∠8
C．由∠2＝∠6，可以推出AD∥BC
D．由AD∥BC，可以推出∠3＝∠7
【分析】根据平行线的判定以及性质，对各选项分析判断即可利用排除法求解．
【解答】解：A、由∠1＝∠5，可以推出AB∥CD，故本选项正确；
B、由AB∥CD，可以推出∠4＝∠8，故本选项错误；
C、由∠2＝∠6，可以推出AD∥BC，故本选项正确；
D、由AD∥BC，可以推出∠3＝∠7，故本选项正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，找准构成内错角的截线与被截线是解题的关键，本题容易出错．
7．在下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此判断即可．
【解答】解：A、∠1＝∠AEF，∠2＝∠EFD，∠AEF于∠DFE是内错角，由∠1＝∠2能判定AB∥CD，故本选项正确；
B、∠1、∠2是内错角，由∠1＝∠2能判定AC∥BD，故本选项错误；
C、由∠1＝∠2不能判定AB∥CD，故本选项错误；
D、∠1、∠2是四边形中的对角，由∠1＝∠2不能判定AB∥CD，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
8．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　）
A．∠1+∠3＝180° B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠6
【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法判断．
【解答】解：A．由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝180°，可得∠2＝∠3，故能判断直线a∥b；
B．由∠2＝∠3，能直接判断直线a∥b；
C．由∠4＝∠5，不能直接判断直线a∥b；
D．由∠4＝∠6，能直接判断直线a∥b；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
二．填空题（共4小题）
9．如图，在△ABC中，以点C为顶点，在△ABC外画∠ACD＝∠A，且点A与D在直线BC的同一侧，再延长BC至点E，在作的图形中，∠A与　∠ACD、∠ACE　是内错角；∠B与　∠DCE、∠ACE　是同位角；∠ACB与　∠A、∠B　是同旁内角．
【分析】根据内错角，同位角以及同旁内角的定义填空．
【解答】解：如图所示，∠A与∠ACD、∠ACE是内错角；∠B与∠DCE、∠ACE是同位角；∠ACB与∠A、∠B是同旁内角．
故答案是：∠ACD、∠ACE；∠DCE、∠ACE；∠A、∠B．
【点评】考查了同位角、内错角和同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
10．如图，按角的位置关系填空：∠1与∠2是　同旁内　角，∠1与∠3是　内错　角，∠2与∠3是　邻补　角．
【分析】根据两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的同一方向的两个角是同位角；在截线的两侧，被截线的内部的两个角是内错角；在截线的同一侧，被截线的内部的两个角是同旁内角和对顶角的概念结合图形找出即可．
【解答】解：∠1与∠2是同旁内角，∠1和∠3是内错角，∠2和∠3是邻补角；
故答案为：同旁内，内错，邻补．
【点评】本题考查了三线八角中的同旁内角，同位角，内错角的概念，知同位角、内错角、同旁内角是两直线被第三条直线所截而成的角．
11．如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠3＝180°；⑤∠6＝∠8，其中能判断a∥b的是　①③④⑤　（填序号）
【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：①∵∠1＝∠2，
∴a∥b，故此选项正确；
②∠3＝∠6无法得出a∥b，故此选项错误；
③∵∠4+∠7＝180°，
∴a∥b，故此选项正确；
④∵∠5+∠3＝180°，
∴∠2+∠5＝180°，
∴a∥b，故此选项正确；
⑤∵∠7＝∠8，∠6＝∠8，
∴∠6＝∠7，
∴a∥b，故此选项正确；
综上所述，正确的有①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确把握平行线的几种判定方法是解题关键．
12．如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是　①②　（填序号）．
【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
【解答】解：①∠A与∠1是同位角，此结论正确；
②∠A与∠B是同旁内角，此结论正确；
③∠4与∠1不是内错角，此结论错误；
④∠1与∠3是内错角，此结论错误；
故答案为：①②．
【点评】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系．
三．解答题（共28小题）
13．看图填空，并在括号内注明说理依据．
如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？
解：因为∠1＝35°，∠2＝35°（已知），
所以∠1＝∠2．
所以　AC　∥　BD　（　同位角相等，两直线平行　）．
又因为AC⊥AE（已知），
所以∠EAC＝90°．（　垂直的定义　）
所以∠EAB＝∠EAC+∠1＝125°．
同理可得，∠FBG＝∠FBD+∠2＝　125　°．
所以∠EAB＝∠FBG（　等量代换　）．
所以　AE　∥　BF　（同位角相等，两直线平行）．
【分析】根据同位角相等，两直线平行得到AC∥BD，根据垂直的定义得到∠EAB＝∠FBG，根据同位角相等，两直线平行证明结论．
【解答】解：因为∠1＝35°，∠2＝35°（已知），
所以∠1＝∠2．
所以AC∥BD（同位角相等，两直线平行）．
又因为AC⊥AE（已知），
所以∠EAC＝90°．（垂直的定义）
所以∠EAB＝∠EAC+∠1＝125°．
同理可得，∠FBG＝∠FBD+∠2＝125°．
所以∠EAB＝∠FBG（等量代换）．
所以AE∥BF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：AC；BD；同位角相等，两直线平行；垂直的定义；125；等量代换；AE；BF．
【点评】本题考查的是平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
14．如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，且AD平分∠BAC．请问：
（1）AD与EF平行吗？为什么？
（2）∠3与∠E相等吗？试说明理由．
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠EFD＝∠ADC＝90°，再根据同位角相等，两直线平行解答；
（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠E，两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠3，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，最后等量代换即可得证．
【解答】解：（1）AD∥EF．
理由如下：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFD＝∠ADC＝90°，
∴AD∥EF；
（2）∠3＝∠E．
理由如下：∵AD∥EF，
∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠E．
【点评】本题考查了平行线的判定，平行线的性质，垂线的定义，是基础题，熟记判定方法与性质是解题的关键．
15．填空并完成以下证明：
已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．
证明：FH⊥AB（已知）
∴∠BHF＝　90°　．
∵∠1＝∠ACB（已知）
∴DE∥BC（　同位角相等，两直线平行　）
∴∠2＝　∠BCD　．（　两直线平行，内错角相等　）
∵∠2＝∠3（已知）
∴∠3＝　∠BCD　．（　等量代换　）
∴CD∥FH（　同位角相等，两直线平行　）
∴∠BDC＝∠BHF＝　90　．°（　两直线平行，同位角角相等　）
∴CD⊥AB．
【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．
【解答】证明：FH⊥AB（已知），
∴∠BHF＝90°．
∵∠1＝∠ACB（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．
∵∠2＝∠3（已知），
∴∠3＝∠BCD（等量代换），
∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），
∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角角相等）
∴CD⊥AB．
故答案为：90°；同位角相等，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；∠BCD；等量代换；同位角相等，两直线平行；90；两直线平行，同位角角相等．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
16．如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF．
（1）AE与FC会平行吗？说明理由；
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）BC平分∠DBE吗？为什么．
【分析】（1）证明∠1＝∠CDB，利用同位角相等，两直线平行即可证得；
（2）平行，根据平行线的性质可以证得∠A＝∠CBE，然后利用平行线的判定方法即可证得；
（3）∠EBC＝∠CBD，根据平行线的性质即可证得．
【解答】解：（1）平行．理由如下：
∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠CDB＝180°（邻补角定义），
∴∠1＝∠CDB，
∴AE∥FC（ 同位角相等两直线平行）；
（2）平行．理由如下：
∵AE∥CF，
∴∠C＝∠CBE（两直线平行，内错角相等），
又∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠CBE，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）；

（3）平分．理由如下：
∵DA平分∠BDF，
∴∠FDA＝∠ADB，
∵AE∥CF，AD∥BC，
∴∠FDA＝∠A＝∠CBE，∠ADB＝∠CBD，
∴∠EBC＝∠CBD，
∴BC平分∠DBE．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
17．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，∠1＝∠2＝80°，求∠BGF的度数．
解：因为∠1＝∠2＝80°（已知），
所以AB∥CD（　同位角相等，两直线平行　）
所以∠BGF+∠3＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）
因为∠2+∠EFD＝180°（邻补角的性质）．
所以∠EFD＝　100°　．（等式性质）．
因为FG平分∠EFD（已知）．
所以∠3＝　　∠EFD（角平分线的性质）．
所以∠3＝　50°　．（等式性质）．
所以∠BGF＝　130°　．（等式性质）．
【分析】根据平行显得判定及性质求角的过程，一步步把求解的过程补充完整即可．
【解答】解：因为∠1＝∠2＝80°（已知），
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
所以∠BGF+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
因为∠2+∠EFD＝180°（邻补角的性质）．
所以∠EFD＝100°．（等式性质）．
因为FG平分∠EFD（已知）．
所以∠3＝∠EFD（角平分线的性质）．
所以∠3＝50°．（等式性质）．
所以∠BGF＝130°．（等式性质）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；100°；；50°；130°．
【点评】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的定义以及邻补角，解题的关键是把解题的过程补充完整．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉利用平行线的性质解决问题的过程．
18．完成下面的证明
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
完成推理过程
BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（　角平分线的定义　）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β （　角平分线的定义　）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）
（　等量代换　）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（　等量代换　）．
∴AB∥CD（　同旁内角互补两直线平行　）．
【分析】首先根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠α，∠BDC＝2∠β，根据等量代换可得∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β），进而得到∠ABD+∠BDC＝180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．
【解答】证明：BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β （角平分线的定义）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．
19．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．
证明：∵　CD⊥DA，DA⊥AB，　，
∴∠CDA＝90°，∠DAB＝90° （　垂直定义　）．
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°．
又∵∠1＝∠2，
∴　∠3＝∠4　 （　等角的余角相等　），
∴DF∥AE （　内错角相等，两直线平行　）．
【分析】先根据垂直的定义，得到∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，再根据等角的余角相等，得出∠3＝∠4，最后根据内错角相等，两直线平行进行判定即可．
【解答】证明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，
∴∠CDA＝90°，∠DAB＝90°，（垂直定义）
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°．
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，（等角的余角相等）
∴DF∥AE．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：CD⊥DA，DA⊥AB，垂直定义，∠3＝∠4，等角的余角相等，内错角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定以及垂直的定义，解题时注意：内错角相等，两直线平行．
20．已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，试说明：CF∥DO．
【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵DE⊥AO于E，BO⊥AO，
∴DE∥OB，
∴∠EDO＝∠DOF，
∵∠CFB＝∠EDO，
∴∠CFB＝∠DOF，
∴CF∥DO．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
21．如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，将证明AD∥BC的过程填写完整．
证明：∵AB⊥AC
∴∠　BAC　＝　90　°（　垂直定义　）
∵∠1＝30°
∴∠BAD＝∠　BAC　+∠　1　＝　120　°
又∵∠B＝60°
∴∠BAD+∠B＝　180　°
∴AD∥BC（　同旁内角互补，两直线平行　）
【分析】根据垂直定义可得∠BAC＝90°，则∠BAD＝∠BAC+∠1＝120，再根据同旁内角互补等，可得两条直线平行．
【解答】证明：∵AB⊥AC
∴∠BAC＝90°（垂直定义）
∵∠1＝30°
∴∠BAD＝∠BAC+∠1＝120°
又∵∠B＝60°
∴∠BAD+∠B＝180°
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：BAC，90，垂直定义，BAC，1，120，180，同旁内角互补，两直线平行．
【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理和平行线的判定，三角形的内角和是180°；同旁内角互补，两条直线平行．
22．如图，已知∠1＝∠B，∠2＝∠E，请你说明AB∥DE的理由．
【分析】先根据∠1＝∠B得出AB∥CF，再由∠2＝∠E可知CF∥DE，最后根据两条直线同时平行第三条直线，那么这两条直线平行即可解答．
【解答】证明：∵∠1＝∠B（已知）
∴AB∥CF （内错角相等，两直线平行）
∵∠2＝∠E（已知）
∴CF∥DE（内错角相等，两直线平行） ）
∴AB∥DE（平行同一条直线的两条直线平行）．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
23．阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证∠A＝∠F
证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DGF（　对顶角相等　）
∴∠1＝∠DGF（等量代换）
∴　BD　∥　CE　（　同位角相等，两直线平行　）
∴∠3+∠　C　＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠C＝180°（等量代换）
∴　AC　∥　DF　（　同旁内角互补，两直线平行　）
∴∠A＝∠F（　两直线平行，内错角相等　）
【分析】先证明BD∥CE，得出同旁内角互补∠3+∠C＝180°，再由已知得出∠4+∠C＝180°，证出 AC∥DF，即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DGF （对顶角相等）
∴∠1＝∠DGF（ 等量代换 ）
∴BD∥CE （同位角相等，两直线平行）
∴∠3+∠C＝180° （两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠C＝180°
∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠A＝∠F （两直线平行，内错角相等）；
故答案为：对顶角相等；BD；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角互补；AC，DF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键，注意两者的区别．
24．完成下面的证明：
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （　已知　）
∴∠ABD＝2∠α （　角平分线的定义　）
∵DE平分∠BDC（已知）
∵∠BDC＝　2∠β　（　角平分线的定义　）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （　等量代换　）
∵∠α+∠β＝90°（已知）
∴∠ABD+∠BDC＝（　等量代换　）
∴AB∥CD （　同旁内角互补两直线平行　）
【分析】首先根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠α，∠BDC＝2∠β，根据等量代换可得∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β），进而得到∠ABD+∠BDC＝180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．
【解答】证明：BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β （角平分线的定义）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）．
故答案为：已知，角平分线的定义，2∠β，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．
25．如图已知BE平分∠ABC，E点在线段AD上，∠ABE＝∠AEB，AD与BC平行吗？为什么？
解：因为BE平分∠ABC（已知）
所以∠ABE＝∠EBC （　角平分线的意义　）
因为∠ABE＝∠AEB （　已知　）
所以∠　AEB　＝∠　EBC　（　等量代换　）
所以AD∥BC （　内错角相等，两直线平行　）
【分析】首先根据已知BE平分∠ABC利用角平分线的意义可得∠ABE＝∠EBC，再有∠ABE＝∠AEB，可根据等量代换得到∠AEB＝∠EBC，再根据内错角相等，两直线平行得到AD∥BC．
【解答】解：因为BE平分∠ABC（已知），
所以∠ABE＝∠EBC（角平分线的意义），
因为∠ABE＝∠AEB （已知），
所以∠AEB＝∠EBC （等量代换），
所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的意义；已知；AEB；EBC；等量代换；内错角相等，两直线平行
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行．
26．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
【分析】由条件可先证明EH∥AB，再利用平行线的性质可得到∠3＝∠ADE＝∠B，可证明DE∥BC．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∵∠1＝∠4（对顶角相等）
∴∠2+∠4＝180°（等量代换）
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（等量代换）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等?两直线平行，②内错角相等?两直线平行，③同旁内角互补?两直线平行，④a∥b，b∥c?a∥c．
27．已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠E，求证：AD∥BE．
【分析】欲证明AD∥BE，只要证明∠3＝∠A即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴DE∥AC，
∴∠E＝∠3，
∵∠A＝∠E，
∴∠3＝∠A，
∴AD∥BE．
【点评】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
28．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：AC∥DF．
【分析】先由对顶角相等，得到：∠1＝∠DMF，然后根据等量代换得到：∠2＝∠DMF，然后根据同位角相等两直线平行，得到BD∥CE，然后根据两直线平行，同位角相等，得到∠C＝∠DBA，然后根据等量代换得到：∠D＝∠DBA，最后根据内错角相等两直线平行，即可得到DF与AC平行．
【解答】证明：∵∠1＝∠DMF，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DMF，
∴BD∥CE，
∴∠C＝∠DBA，
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠DBA，
∴AC∥DF．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中．
29．（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．
【分析】（1）延长BE交CD于F，通过三角形外角的性质可证明∠B＝∠EFD，则能证明AB∥CD；
（2）延长BA交CE于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠EFA，再根据三角形外角性质证明即可．
【解答】解：（1）AB∥CD，
理由：如图（1），延长BE交CD于F．
∵∠BED＝∠B+∠D，
∠BED＝∠EFD+∠D，
∴∠B＝∠EFD，
∴AB∥CD；
（2）∠1＝∠2+∠3．
理由如下：如图（2），延长BA交CE于F，
∵AB∥CD（已知），
∴∠3＝∠EFA（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2+∠EFA，
∴∠1＝∠2+∠3．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质及两直线平行的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
30．如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，证明AB∥EF．
【分析】根据∠1＝∠2利用“同位角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，再根据∠3+∠4＝180°利用“同旁内角互补，两直线平行”可得出CD∥EF，从而即可证出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD．
∵∠3+∠4＝180°，
∴CD∥EF．
∴AB∥EF．
【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是分别找出AB∥CD、CD∥EF．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等或互补的角找出平行的直线是关键．
31．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：AB∥CD．
【分析】由∠1＝∠2结合对顶角相等即可得出∠2＝∠4，进而可证出CE∥BF，再根据平行线的性质可得出∠3＝∠C＝∠B，利用平行线的判定定理即可证出AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），
∴∠2＝∠4（等量替换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠3＝∠B（等量替换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是通过角与角的关系找出∠3＝∠B．
32．如图，已知点E在AB上，CE平分∠ACD，∠ACE＝∠AEC．求证：AB∥CD．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定解答即可．
【解答】证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
又∵∠ACE＝∠AEC，
∴∠DCE＝∠AEC，
∴AB∥CD．
【点评】此题考查平行线的判定，关键是根据角平分线的定义得出∠ACE＝∠ECD．
33．在横线上完成下面的证明，并在括号内注明理由．
已知：如图，∠ABC+∠BGD＝180°，∠1＝∠2．
求证：EF∥DB．
证明：∵∠ABC+∠BGD＝180°，（已知）
∴　DG∥AB　．（　同旁内角互补，两直线平行．　）
∴∠1＝∠3．（　两直线平行，内错角相等．　）
又∵∠1＝∠2，（已知）
∴　∠2＝∠3　．（　等量代换　）
∴EF∥DB．（　同位角相等，两直线平行．　）
【分析】由已知的一对同旁内角互补，利用同旁内角互补，两直线平行得出DG与AB平行，再由两直线平行内错角相等得到∠1＝∠3，而∠1＝∠2，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得到EF与DB平行．
【解答】证明：∵∠ABC+∠BGD＝180°，（已知）
∴DG∥AB（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴EF∥DB（同位角相等，两直线平行 ）．
故答案为：DG∥AB；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠2＝∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，属于推理型填空题，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
34．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠BPQ，OH平分∠CQP，并且∠l＝∠2．说出图中哪些直线互相平行，并说明理由，
【分析】依据PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，即可得到∠GPQ＝∠1＝∠BPQ，∠HQP＝∠2＝∠CQP，依据∠1＝∠2，可得∠GPQ＝∠HQP，∠BPQ＝∠CQP，进而得出QH∥PG，AB∥CD．
【解答】解：AB∥CD，QH∥PG．
理由：∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，
∴∠GPQ＝∠1＝∠BPQ，∠HQP＝∠2＝∠CQP，
∵∠1＝∠2，
∴∠GPQ＝∠HQP，∠BPQ＝∠CQP，
∴QH∥PG，AB∥CD．
【点评】本题考查的是平行线的判定定理，解决问题的关键是运用：内错角相等，两直线平行．
35．已知：如图，∠A＝∠F，∠C＝∠D．可以判断BD∥CE吗？说明理由．
【分析】根据平行线的判定得出AC∥DF，根据平行线的性质求出∠C＝∠CEF，求出∠D＝∠CEF，根据平行线的判定得出即可．
【解答】解：BD∥CE，
理由是：∵∠A＝∠F，
∴AC∥DF，
∴∠C＝∠CEF，
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠CEF，
∴BD∥CE
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
36．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1+∠2＝90°．求证：DE∥BC．
【分析】依据同角的余角相等，即可得到∠3＝∠2，即可得出DE∥BC．
【解答】证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠3＝90°（垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠3＝∠2（同角的余角相等）．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：内错角相等，两直线平行．
37．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，点G在AC边上EF⊥BC于点F，若∠BEF＝∠ADG．
求证：AB∥DG
【分析】依据AD∥EF即可得到∠BEF＝∠BAD，再根据∠BEF＝∠ADG，即可得出∠ADG＝∠BAD，进而得到AB∥DG．
【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC
∴AD∥EF
∴∠BEF＝∠BAD（两直线平行，同位角相等）
又∵∠BEF＝∠ADG
∴∠ADG＝∠BAD
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质定理，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
38．已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，证明：CF∥DO．
【分析】先由垂直的定义可得：∠AED＝∠AOB＝90°，然后根据同位角相等，两条直线平行，可得：DE∥BO，进而根据两直线平行，内错角相等，可得∠EDO＝∠BOD，然后由等量代换可得：∠BOD＝∠CFB，进而由同位角相等，两条直线平行可得：CF∥DO．
【解答】证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO，
∴∠AED＝∠AOB＝90°，
∴DE∥BO（同位角相等，两条直线平行），
∴∠EDO＝∠BOD（两直线平行，内错角相等），
∵∠EDO＝∠CFB，
∴∠BOD＝∠CFB，
∴CF∥DO（同位角相等，两条直线平行）．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
39．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．求证：EF∥CD．
【分析】推出DG∥AC，根据平行线性质得出∠2＝∠ACD，求出∠1＝∠DCA，根据平行线判定推出即可．
【解答】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义），
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠ACD（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCA，
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了平行线性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
40．如图，∠B＝40°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝65°．求证：AB∥CD．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，进而求出∠ACD＝∠A，根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：∵∠B+∠1+∠A＝180°，∠B＝40°，∠A+10°＝∠1，
∴40°+∠A+10°+∠A＝180°，
∴∠A＝65°，
∵∠ACD＝65°，
∴∠ACD＝∠A，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了平行线的判定，三角形的内角和定理的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
7.2 探索平行线的性质
一．选择题（共7小题）
1．如图，AB∥CD，∠1＝30°，则∠2的度数是（　　）
A．120° B．130° C．150° D．135°
2．如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝35°，则∠BAF的度数为（　　）
A．17.5° B．35° C．55° D．70°
3．如图，已知DE∥BC，如果∠1＝70°，那么∠B的度数为（　　）
A．70° B．100° C．110° D．120°
4．如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝30°，则∠3的度数为（　　）
A．30° B．50° C．80° D．100°
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝165°，则∠B的度数为（　　）
A．15° B．55° C．65° D．75°
6．如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝110°，则∠4＝（　　）
A．70° B．80° C．110° D．100°
7．直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1＝58°，∠2＝58°，∠3＝70°，那么∠4等于（　　）
A．58° B．70° C．110° D．116°
二．解答题（共10小题）
8．如图，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：AM∥CN．
9．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．
10．如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．
11．如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D．若∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度数．
12．如图，已知EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．试说明直线AD与BC垂直．（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）．
理由：∵∠1＝∠C，（已知）
∴　 　∥　 　，（　 　）
∴∠2＝　 　． （　 　）
又∵∠2+∠3＝180°，（已知）
∴∠3+　 　＝180°．（等量代换）
∴　 　∥　 　，（　 　）
∴∠ADC＝∠EFC． （　 　）
∵EF⊥BC，（已知）
∴∠EFC＝90°，∴∠ADC＝90°，
∴　 　⊥　 　．
13．完成下列推理过程：
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B
求证：∠EDG+∠DGC＝180°
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∠1+∠DFE＝180°（　 　）
∴∠2＝　 　（　 　）
∴EF∥AB（　 　）
∴∠3＝　 　（　 　）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（　 　）
∴DE∥BC（　 　）
∴∠EDG+∠DGC＝180°（　 　）
14．已知：如图，BE∥GF，∠1＝∠3，∠DBC＝70°，求∠EDB的大小．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）
解：∵BE∥GF（已知）
∴∠2＝∠3（　 　）
∵∠1＝∠3（　 　）
∴∠1＝（　 　）（　 　）
∴DE∥（　 　）（　 　）
∴∠EDB+∠DBC＝180°（　 　）
∴∠EDB＝180°﹣∠DBC（等式性质）
∵∠DBC＝（　 　）（已知）
∴∠EDB＝180°﹣70°＝110°
15．如图，∠E＝50°，∠BAC＝50°，∠D＝110°，求∠ABD的度数．
请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵∠E＝50°，∠BAC＝50°，（已知）
∴∠E＝　 　（等量代换）
∴　 　∥　 　．（　 　）
∴∠ABD+∠D＝180°．（　 　）
∴∠D＝110°，（已知）
∴∠ABD＝70°．（等式的性质）
16．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB延长线上的点，连结EF，分别交AD、BC于点G、H．若∠1＝∠2，∠A＝∠C，试说明AD∥BC和AB∥CD．
请完成下面的推理过程，并填空（理由或数学式）：
∵∠1＝∠2（　 　）
∠1＝∠AGH（　 　）
∴∠2＝∠AGH（　 　）
∴AD∥BC（　 　）
∴∠ADE＝∠C（　 　）
∵∠A＝∠C（　 　）
∴∠ADE＝∠A
∴AB∥CD（　 　）
17．如图，直线CD、EF被直线OA、OB所截，∠1+∠2＝180°．求证：∠3＝∠4．

参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．如图，AB∥CD，∠1＝30°，则∠2的度数是（　　）
A．120° B．130° C．150° D．135°
【分析】根据平行线的性质，知∠3的度数，再根据邻补角得出∠2＝150°．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝30°，
∴∠3＝∠1＝30°，
又∵∠3+∠2＝180°，
∴∠2＝150°，
故选：C．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是能够明确各个角之间的位置关系．熟练运用平行线的性质以及邻补角的性质．
2．如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝35°，则∠BAF的度数为（　　）
A．17.5° B．35° C．55° D．70°
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得∠FAC＝∠1，再根据角平分线的定义可得∠BAF＝∠FAC．
【解答】解：∵DF∥AC，
∴∠FAC＝∠1＝35°，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠FAC＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．
3．如图，已知DE∥BC，如果∠1＝70°，那么∠B的度数为（　　）
A．70° B．100° C．110° D．120°
【分析】设DE与AB相交于点F，由∠1＝70°，可得∠AFE的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠B的度数．
【解答】 解：设DE与AB相交于点F，
因为∠1＝70°，
所以∠AFE＝110°，
因为DE∥BC，
所以∠B＝∠AFE＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
4．如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝30°，则∠3的度数为（　　）
A．30° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据平角的定义即可得到∠4的度数，再根据平行线的性质即可得到∠3的度数．
【解答】解：∵∠1＝50°，∠2＝30°，
∴∠4＝100°，
∵a∥b，
∴∠3＝∠4＝100°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝165°，则∠B的度数为（　　）
A．15° B．55° C．65° D．75°
【分析】利用平角的定义可得∠ADE＝15°，再根据平行线的性质知∠A＝∠ADE＝15°，再由内角和定理可得答案．
【解答】解：∵∠CDE＝165°，
∴∠ADE＝15°，
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠ADE＝15°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣90°﹣15°＝75°．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
6．如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝110°，则∠4＝（　　）
A．70° B．80° C．110° D．100°
【分析】根据同位角相等，两直线平行这一定理可知a∥b，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答．
【解答】解：∵∠3＝∠5＝110°，
∵∠1＝∠2＝58°，
∴a∥b，
∴∠4+∠5＝180°，
∴∠4＝70°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，熟记定理是解题的关键．
7．直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1＝58°，∠2＝58°，∠3＝70°，那么∠4等于（　　）
A．58° B．70° C．110° D．116°
【分析】根据同位角相等，两直线平行这一定理可知a∥b，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝58°，
∴a∥b，
∴∠3+∠5＝180°，
即∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，
∴∠4＝∠5＝110°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，熟记定理是解题的关键．
二．解答题（共10小题）
8．如图，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：AM∥CN．
【分析】只要证明∠EAM＝∠ECN，根据同位角相等两直线平行即可证明；
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠ECD，
∵∠1＝∠2，
∴∠EAM＝∠ECN，
∴AM∥CN．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定，属于中考基础题．
9．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠3的度数，再利用角平分线的定义结合平角的定义得出答案．
【解答】解：∵直线AB∥CD，
∴∠1＝∠3
∵∠1＝54°，
∴∠3＝54°
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠3＝108°，
∵AB∥CD，
∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝72°，
∴∠2＝∠BDC＝72°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．
10．如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．
【分析】由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质即可求出∠AFE的度数．
【解答】解：∵∠AEC＝42°，
∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝138°，
∵EF平分∠AED，
∴∠DEF＝∠AED＝69°，
又∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠DEF＝69°．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及角平分线的定义．熟练掌握平行线的性质，求出∠DEF的度数是解决问题的关键．
11．如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D．若∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度数．
【分析】根据平行线的判定得出AB∥CD，从而得出∠3＝∠4，即可得出答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠4＝∠3＝75°（两直线平行，内错角相等）．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，比较简单．
12．如图，已知EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．试说明直线AD与BC垂直．（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）．
理由：∵∠1＝∠C，（已知）
∴　GD　∥　AC　，（　同位角相等，两直线平行　）
∴∠2＝　∠DAC　． （　两直线平行，内错角相等　）
又∵∠2+∠3＝180°，（已知）
∴∠3+　∠DAC　＝180°．（等量代换）
∴　AD　∥　EF　，（　同旁内角互补，两直线平行　）
∴∠ADC＝∠EFC． （　两直线平行，同位角相等　）
∵EF⊥BC，（已知）
∴∠EFC＝90°，∴∠ADC＝90°，
∴　AD　⊥　BC　．
【分析】结合图形，根据平行线的判定和性质逐一进行填空即可．
【解答】解：∵∠1＝∠C，（已知）
∴GD∥AC，（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠DAC．（两直线平行，内错角相等）
又∵∠2+∠3＝180°，（已知）
∴∠3+∠DAC＝180°．（等量代换）
∴AD∥EF，（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠ADC＝∠EFC．（两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥BC，（已知 ）
∴∠EFC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC．
故答案为：GD，AC，同位角相等，两直线平行；∠DAC，两直线平行，内错角相等；∠DAC；AD，EF，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AD，BC．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，已经垂线的定义，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
13．完成下列推理过程：
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B
求证：∠EDG+∠DGC＝180°
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∠1+∠DFE＝180°（　邻补角定义　）
∴∠2＝　∠DFE　（　同角的补角相等　）
∴EF∥AB（　内错角相等，两直线平行　）
∴∠3＝　∠ADE　（　两直线平行，内错角相等　）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（　等量代换　）
∴DE∥BC（　同位角相等，两直线平行　）
∴∠EDG+∠DGC＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）
【分析】依据∠1+∠2＝180°，∠1+∠DFE＝180°，即可得到∠2＝∠DFE，由内错角相等，两直线平行证明EF∥AB，则∠3＝∠ADE，再根据∠3＝∠B，由同位角相等，两直线平行证明DE∥BC，故可根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义）
∴∠2＝∠DFE（同角的补角相等）
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（等量代换）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠EDG+∠DGC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为：邻补角定义；∠DFE，同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；∠ADE，两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【点评】此题考查平行线的性质和判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
14．已知：如图，BE∥GF，∠1＝∠3，∠DBC＝70°，求∠EDB的大小．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）
解：∵BE∥GF（已知）
∴∠2＝∠3（　两直线平行同位角相等　）
∵∠1＝∠3（　已知　）
∴∠1＝（　∠2　）（　等量代换　）
∴DE∥（　BC　）（　内错角相等两直线平行　）
∴∠EDB+∠DBC＝180°（　两直线平行同旁内角互补　）
∴∠EDB＝180°﹣∠DBC（等式性质）
∵∠DBC＝（　70°　）（已知）
∴∠EDB＝180°﹣70°＝110°
【分析】利用平行线的性质和判定即可解决问题；
【解答】解：∵BE∥GF（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行同位角相等），
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∴DE∥BC（内错角相等两直线平行），
∴∠EDB+∠DBC＝180°（两直线平行同旁内角互补），
∴∠EDB＝180°﹣∠DBC（等式性质），
∵∠DBC＝70°（已知），
∴∠EDB＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：两直线平行同位角相等，已知，∠2，等量代换，BC，内错角相等两直线平行，两直线平行同旁内角互补，70；
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．如图，∠E＝50°，∠BAC＝50°，∠D＝110°，求∠ABD的度数．
请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵∠E＝50°，∠BAC＝50°，（已知）
∴∠E＝　∠BAC　（等量代换）
∴　AB　∥　DE　．（　（同位角相等两直线平行　）
∴∠ABD+∠D＝180°．（　两直线判定同旁内角互补　）
∴∠D＝110°，（已知）
∴∠ABD＝70°．（等式的性质）
【分析】利用平行线的性质和判定即可解决问题；
【解答】解：∵∠E＝50°，∠BAC＝50°，（已知）
∴∠E＝∠BAC（等量代换）
∴AB∥DE．（同位角相等，两直线平行）
∴∠ABD+∠D＝180°．（两直线平行，旁内角互补）
∴∠D＝110°，（已知）
∴∠ABD＝70°．（等式的性质）
故答案为：∠BAC，AB，DE，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，
【点评】本题考查平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB延长线上的点，连结EF，分别交AD、BC于点G、H．若∠1＝∠2，∠A＝∠C，试说明AD∥BC和AB∥CD．
请完成下面的推理过程，并填空（理由或数学式）：
∵∠1＝∠2（　已知　）
∠1＝∠AGH（　对顶角相等　）
∴∠2＝∠AGH（　等量代换　）
∴AD∥BC（　同位角相等，两直线平行　）
∴∠ADE＝∠C（　两直线平行，同位角相等　）
∵∠A＝∠C（　已知　）
∴∠ADE＝∠A
∴AB∥CD（　内错角相等，两直线平行　）
【分析】先根据同位角相等，两直线平行，判定AD∥BC，进而得到∠ADE＝∠C，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠1＝∠AGH（对顶角相等）
∴∠2＝∠AGH（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠ADE＝∠C（两直线平行，同位角相等）
∵∠A＝∠C（已知）
∴∠ADE＝∠A
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
故答案为：已知；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
17．如图，直线CD、EF被直线OA、OB所截，∠1+∠2＝180°．求证：∠3＝∠4．
【分析】根据等量代换和对顶角的定义求得∠1+∠5＝180°，则“同旁内角互补，两直线平行”，即CD∥EF，故“两直线平行，同位角相等”：∠3＝∠4．
【解答】证明：∵∠2与∠5是对顶角，
∴∠2＝∠5，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1+∠5＝180°，
∴CD∥EF，
∴∠3＝∠4．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
7.3 图形的平移
一．选择题（共11小题）
1．平行线之间的距离是指（　　）
A．从一条直线上一点到另一直线的垂线段
B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
2．如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形（不包括△ABD）有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列运动中：①荡秋千；②钟摆的摆动；③拉抽屉时的抽屉；④工厂里的输送带上的物品，不属于平移的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．一个平面图形经过平移后，下列说法正确的是（　　）
①对应线段平行或在同一条直线上，
②对应线段相等，
③图形的大不形状都没有发生变化，
④对应点的连线段都平行．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
5．如图，六边形ABCDEF是由6个相同的等边三角形组成的，在这些三角形中，可以由△OBC平移得到的有（　　）个三角形．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．下列说法中，其中错误的（　　）
①△ABC在平移过程中，对应点连接的线段一定相等；
②△ABC在平移过程中，对应点连接的线段一定平行；
③△ABC在平移过程中，周长不变；
④△ABC在平移过程中，面积不变．
A．① B．② C．③ D．④
7．将左图案剪成若干小块，再分别平移后能够得到①、②、③中的（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图的图案分别是一些汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． 奔驰﹣德国 B． 大众﹣德国
C． 宝马﹣德国 D． 奥迪﹣德国
10．如图，如果把图中任一条线段沿方格线平移1格称为“1步”，那么要通过平移使图中的四条线段首尾相接组成一个四边形，最少需要（　　）步．
A．5 B．6 C．7 D．8
11．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共15小题）
12．已知：在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是3；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a到直线b的距离为　 　．
13．如果　 　，这个距离称为平行线之间的距离．
14．如图，方格纸中每个最小正方形的边长为1，则两平行直线AB、CD之间的距离是　 　．
15．如图，MN⊥AB，垂足为M点，MN交CD于N，过M点作MG⊥CD，垂足为G，EF过点N点，且EF∥AB，交MG于H点，其中线段GM的长度是　 　到　 　的距离，线段MN的长度是　 　到　 　的距离，又是　 　的距离，点N到直线MG的距离是　 　．
16．如图，该图的周长是　 　．
17．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地块上修建两条同样宽为1m的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据计算，耕地的面积为　 　m2．
18．如图，是某宾馆楼梯示意图（一楼至二楼），若要将此楼梯铺上地毯，则至少需要　 　米．
19．一块矩形场地，长为101米，宽为70米，从中留出如图所示的宽为1米的小道，其余部分种草，则草坪的面积为　 　m2．
20．在如图所示的草坪上，铺设一条宽为2的小路，则小路的面积　 　．
21．如图，从A地到B地有三条路①②③可走，每路长分别为l，m，n（图中“┌”、“┘”、“└”表示直角），则第　 　条路最短，另外两条路的长短关系是　 　．
22．如图所示，三角形ABC经过平移后得到三角形DEF，其中，点B、C、E、F在一条直线上．若AD＝5，BC＝3，则CE＝　 　，CF＝　 　．
23．如图，线段DE由线段AB平移而得，AB＝4，EC＝7﹣CD，则△DCE的周长为　 　 cm．
24．如图，△ABE向右平移一定距离后得到△CDF，若∠B＝25°，则∠ACD＝　 　°．
25．如图，三角形ABC经过平移后得到三角形DEF，下列说法：①AB∥DE，②AD＝BE，③∠ACB＝∠DFE，④BC＝DE，其中正确的有　 　个．
26．如图，将△ABC沿BC方向平移4cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为　 　cm．
三．解答题（共12小题）
27．如图，由两个边长为6米的正方形拼成一个长方形．求图中阴影部分的面积．
28．如图，将直角△ABC沿BC方向平移得直角△DEF，其中AB＝8，BE＝10，DM＝4，求阴影部分的面积．
29．如图，把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的，若AB＝2，求△ABC移动的距离BE的长．
30．有一根直尺，短边的长为4cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长16cm．如图1，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图2，图3设平移的长度为x cm，且满足0≤x≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积（即图中阴影部分）为Scm2．
（1）当x＝0时，S＝　 　；当x＝4时，S＝24cm2；当x＝6时，S＝　 　．
（2）是否存在一个位置，使阴影部分的面积为26cm2？若存在，请求出此时x的值．
31．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．
（1）△ABC的面积为　 　；
（2）将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B'，补全△A′B′C′；
（3）在图中画出△ABC的高CD．
32．如图，点M是△ABC中AB的中点，经平移后，点M落在M′处．
（1）请在正方形网格中画出△ABC平移后的图形△A′B′C′．
（2）若图中一小网格的边长为1，连接CM，则△ABC的面积为　 　．△ACM的面积为　 　．
33．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）△ABC的面积为　 　；
（2）请画出平移后的△DEF；
（3）利用格点画出△DEF的高FG（点G为垂足）；
（4）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是　 　．
34．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．请在图中画出平移后的△A′B′C′，再在图中画出△A′B′C′的高C′D′、中线A′E，若S△BCP＝S△ACB，P为异于点B的格点，则点P的个数为　 　个．
35．平移△ABC，使点A移动到点A'的位置，画出平移后所得的图形．
36．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△DEF，并求△DEF的面积＝　 　；
（2）在AB上找一点M，使CM平分△ABC的面积；
（3）在网格中找格点P，使S△ABC＝S△BCP，这样的格点P有　 　个．
37．如图，请你根据图中的信息，把小船ABCD通过平移后到A′B′C′D′的位置，画出平移后的小船位置．
38．3月12日是植树节，图中树需进行平移，请将树根A移到点F处，作出平移后的树．

参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．平行线之间的距离是指（　　）
A．从一条直线上一点到另一直线的垂线段
B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
【分析】根据平行线间的距离的定义直接进行选择即可．
【解答】解：平行线之间的距离是指：从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线间的距离的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形（不包括△ABD）有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据两平行直线之间的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等，找出与△ABD等底等高的三角形即可．
【解答】解：∵AB∥DC，
∴△ABC与△ABD的面积相等，
∵AE∥BD，
∴△BED与△ABD的面积相等，
∵ED∥BC找不到与△ABD等底等高的三角形，
∴和△ABD的面积相等的三角形有△ABC、△BDE，共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线间的距离相等，等底等高的三角形面积相等的性质，找出等底等高的三角形是解题的关键．
3．下列运动中：①荡秋千；②钟摆的摆动；③拉抽屉时的抽屉；④工厂里的输送带上的物品，不属于平移的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】判断是否是平移现象，要根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
【解答】解：①荡秋千，是旋转，不是平移；
②钟摆的摆动，是旋转，不是平移；
③拉抽屉时的抽屉，是平移；
④工厂里的输送带上的物品，是平移；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平移定义，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
4．一个平面图形经过平移后，下列说法正确的是（　　）
①对应线段平行或在同一条直线上，
②对应线段相等，
③图形的大不形状都没有发生变化，
④对应点的连线段都平行．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【分析】根据平移的性质：平移后图形的大小、方向、形状均不发生改变结合选项即可得出答案．
【解答】解：①对应线段平行或在同一条直线上，故本小题正确；
②对应线段相等，故本小题正确；
③图形的大小形状都没有发生变化，故本小题正确；
④应该为：对应点的连线段平行或在同一条直线上，故本小题错误；
故选：A．
【点评】本题考查了平移的基本性质，注意掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
5．如图，六边形ABCDEF是由6个相同的等边三角形组成的，在这些三角形中，可以由△OBC平移得到的有（　　）个三角形．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平移的性质，结合图形，对图中的三角形进行分析，求得正确答案．
【解答】解：△COD方向发生了变化，不属于平移得到；
△EOD形状和大小没有变化，属于平移得到；
△EOF方向发生了变化，不属于平移得到；
△FAO形状和大小没有变化，属于平移得到；
△ABO方向发生了变化，不属于平移得到．
∴可以由△OBC平移得到的是△ODE，△OAF共2个．
故选：A．
【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而导致出错．
6．下列说法中，其中错误的（　　）
①△ABC在平移过程中，对应点连接的线段一定相等；
②△ABC在平移过程中，对应点连接的线段一定平行；
③△ABC在平移过程中，周长不变；
④△ABC在平移过程中，面积不变．
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据图形平移的基本性质，对①、②、③、④逐一进行判断，验证其是否正确．
【解答】解：①∵平移不改变图形的和大小，∴△ABC在平移过程中，对应点连接的线段一定相等，故正确；
②∵经过平移，对应点连接的线段也可能在一条直线上，故不能说一定平行，∴△ABC在平移过程中，对应点连接的线段不一定平行，故不正确；
③∵平移不改变图形的形状和大小，∴△ABC在平移过程中，周长不变，故正确；
④∵平移不改变图形的形状和大小且对应角相等，∴△ABC在平移过程中，面积不变，故正确．
故选：B．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
7．将左图案剪成若干小块，再分别平移后能够得到①、②、③中的（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据图形进行剪切拼接可得图形．
【解答】解：根据左边图形可剪成若干小块，再进行拼接平移后能够得到①、②，不能拼成③，
故选：C．
【点评】此题主要考查了图形的平移，通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
8．下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移作图是一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图设计出的图案进行分析即可．
【解答】解：A、不能用平移变换来分析其形成过程，故此选项错误；
B、不能用平移变换来分析其形成过程，故此选项错误；
C、能用平移变换来分析其形成过程，故此选项正确；
D、不能用平移变换来分析其形成过程，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了利用平移设计图案，关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向．
9．如图的图案分别是一些汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． 奔驰﹣德国 B． 大众﹣德国
C． 宝马﹣德国 D． 奥迪﹣德国
【分析】根据图形平移、旋转、轴对称的性质对各选项记性逐一分析即可．
【解答】解：A、通过旋转得到，故本选项错误；
B、通过轴对称得到，故本选项错误；
C、通过旋转得到，故本选项错误；
D、通过平移得到，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移、旋转、轴对称的性质是解答此题的关键．
10．如图，如果把图中任一条线段沿方格线平移1格称为“1步”，那么要通过平移使图中的四条线段首尾相接组成一个四边形，最少需要（　　）步．
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据图示和平移的性质，注意正确的计数，查清方格的个数，从而求出步数．
【解答】解：由图形知，中间的线段向右平移1个单位，上边的直线向右平移1个单位，
再向下平移2个单位，最下边的直线向上平移1个单位，只有这样才能使构造的四边形平移的次数最少，其它平移方法都多于5步．
故通过平移使图中的4条线段首尾相接组成一个四边形，最少需要5步．
故选：A．
【点评】本题考查了图形的平移变换，注意平移不改变图形的形状和大小且平移前后图形对应点之间的连线应该互相平行，另外使平移后成为四边形．
11．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移与旋转的性质得出．
【解答】解：A、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
B、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
C、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，导致误选．
二．填空题（共15小题）
12．已知：在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是3；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a到直线b的距离为　2或8　．
【分析】分两种情况：①直线b在直线a和c的上方；②直线b在直线a和直线c的下方．
【解答】解：①，
则直线a到直线b的距离为5﹣3＝2；
②，
则直线a到直线b的距离为5+3＝8．
故答案为2或8．
【点评】此题考查了两条平行线间的距离，注意思维的严密性，应分情况考虑．
13．如果　两直线之间垂线段的长度　，这个距离称为平行线之间的距离．
【分析】根据两条平行线之间的距离是指两条平行线之间垂线段的长度，即可得出答案．
【解答】解：两条平行线之间的距离是指两条平行线之间垂线段的长度．
故答案为：两直线之间垂线段的长度．
【点评】本题考查了两条平行线之间的距离的定义，注意：①两条平行线之间的距离是指两条平行线之间垂线段的长度，②两条平行线之间的距离处处相等．
14．如图，方格纸中每个最小正方形的边长为1，则两平行直线AB、CD之间的距离是　3　．
【分析】本题主要利用平行线之间的距离的定义作答．
【解答】解：由图可知，∵AB、CD为小正方形的边所在直线，
∴AB∥CD，
∴AC⊥AB，AC⊥CD，
∵AC的长为3个小正方形的边长，
∴AC＝3，即两平行直线AB、CD之间的距离是3．
故答案为：3．
【点评】此题很简单，考查的是两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离．
15．如图，MN⊥AB，垂足为M点，MN交CD于N，过M点作MG⊥CD，垂足为G，EF过点N点，且EF∥AB，交MG于H点，其中线段GM的长度是　点M　到　直线CD　的距离，线段MN的长度是　点M　到　直线EF　的距离，又是　平行线AB、EF间　的距离，点N到直线MG的距离是　线段GN的长度　．
【分析】点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，根据这一定义结合图形进行填空即可．
【解答】解：线段GM的长度是点M到直线CD的距离；
线段MN的长度是点M到直线EF的距离，又是平行线AB、EF间的距离；
点N到直线MG的距离是线段GN的长度．
【点评】正确理解点到直线的距离的定义是解决此类问题的关键．
16．如图，该图的周长是　28cm　．
【分析】根据平移的性质，经过平移后，得到平行与x轴的线的和是8，平行于y轴的线的和是6cm．最后求出图的周长．
【解答】解：利用平移，可以发现该图的周长为2（6+8）＝28（cm）
故答案为：28cm．
【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
17．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地块上修建两条同样宽为1m的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据计算，耕地的面积为　551　m2．
【分析】可通过平移把两条路都移到边上，则可知剩余耕地是长为29m，宽为19m的矩形，可求得答案．
【解答】解：可把两条路平移到耕地的边上，如图所示，
则耕地的长变为（30﹣1）m，宽变为（20﹣1）m，
耕地面积为：29×19＝551（m2）．
故答案是：551．
【点评】本题主要考查生活中的平移现象、矩形的性质，利用平移把耕地面积化为长为29m，宽为19m的矩形是解题的关键．
18．如图，是某宾馆楼梯示意图（一楼至二楼），若要将此楼梯铺上地毯，则至少需要　6　米．
【分析】根据图形的平移不改变图形形状、大小，横台阶向下平移，竖台阶向左平移，可得答案．
【解答】解：横台阶向下平移，竖台阶向左平移，得
横台阶的长度是3.5m，竖台阶的长度是2.5m，
台阶的从长度是：3.5+2.5＝6（m），
故答案为：6m．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，利用了平移的性质．
19．一块矩形场地，长为101米，宽为70米，从中留出如图所示的宽为1米的小道，其余部分种草，则草坪的面积为　6900　m2．
【分析】直接利用平移的性质，将小道平移到矩形场地周围进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
草坪的面积为：（101﹣1）×（70﹣1）＝6900（m2）．
故答案为：6900．
【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，正确利用平移的性质是解题关键．
20．在如图所示的草坪上，铺设一条宽为2的小路，则小路的面积　16　．
【分析】根据平移的性质得到小路的为长是8，宽是2的一矩形，根据矩形的面积公式解答．
【解答】解：根据题意知，小路的面积＝2×8＝16．
故答案是：16．
【点评】考查了生活中的平移现象．根据题意得到小路的长度是解题的难点．
21．如图，从A地到B地有三条路①②③可走，每路长分别为l，m，n（图中“┌”、“┘”、“└”表示直角），则第　③　条路最短，另外两条路的长短关系是　相等　．
【分析】根据两点之间线段最短可得出③路线的长度最短，再由平移的性质可得①、②路线的长度相等．
【解答】
解：根据平移的性质可得①、②两条路线的总长度相等；
③路线的长度最短，因为CE+CD＞DE．
故答案为：③；相等．
【点评】本题考查了生活中的平移现象及两点之间线段最短的知识，属于基础题，注意仔细观察图形．
22．如图所示，三角形ABC经过平移后得到三角形DEF，其中，点B、C、E、F在一条直线上．若AD＝5，BC＝3，则CE＝　2　，CF＝　5　．
【分析】根据平移的性质，对应点的连线平行且相等即可得．
【解答】解：∵BC＝3，AD＝5，
∴CF＝AD＝BE＝5，
∴CE＝BE﹣BC＝5﹣3＝2，
故答案为：2、5．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
23．如图，线段DE由线段AB平移而得，AB＝4，EC＝7﹣CD，则△DCE的周长为　11　 cm．
【分析】首先根据平移的性质得到DE＝AB，然后将三角形DCE的三边相加即可求得周长．
【解答】解：∵线段DE由线段AB平移而得，AB＝4，
∴DE＝AB＝4，
∵EC＝7﹣CD，
∴△DCE的周长为：DE+EC+DC＝4+CD+（7﹣CD）＝11，
故答案为：11．
【点评】此题考查了平移的性质，解题的关键是了解平移前后对应线段的长相等，难度不大．
24．如图，△ABE向右平移一定距离后得到△CDF，若∠B＝25°，则∠ACD＝　25　°．
【分析】直接利用平移的性质得出AC∥BF，∠CDF＝∠B，进而得出∠ACD的度数．
【解答】解：∵△ABE向右平移一定距离后得到△CDF，∠B＝25°，
∴AC∥BF，∠CDF＝∠B＝25°，
∴∠ACD＝∠CDF＝25°．
故答案为：25．
【点评】此题主要考查了平移的性质，正确利用平移的性质得出AC∥BF是解题关键．
25．如图，三角形ABC经过平移后得到三角形DEF，下列说法：①AB∥DE，②AD＝BE，③∠ACB＝∠DFE，④BC＝DE，其中正确的有　3　个．
【分析】根据已知的对应点找到对应线段和平移的距离，结合平移的性质对应线段平行且相等和对应点所连的线段平行且相等进行判断．
【解答】解：△ABC平移到△DEF的位置，其中AB和DE，AC和DF，BC和EF是对应线段，AD、BE和CF是对应点所连的线段，
则①AB∥DE，②AD＝BE，③∠ACB＝∠DFE均正确，④BC＝DE不一定正确；
故答案为：3．
【点评】本题主要考查平移的性质，掌握平移的性质：图形平移前后对应线段平行且相等；对应点的连线为两个图形平移的距离是解题的关键．
26．如图，将△ABC沿BC方向平移4cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为　28　cm．
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝4+AB+BC+4+AC即可得出答案．
【解答】解：根据题意，将周长为20cm的△ABC沿BC方向平移4cm得到△DEF，
∴AD＝CF＝4cm，BF＝BC+CF，DF＝AC；
又∵AB+BC+AC＝20cm，
∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝4+AB+BC+4+AC＝28cm．
故答案为28cm．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF＝AD，DF＝AC是解题的关键．
三．解答题（共12小题）
27．如图，由两个边长为6米的正方形拼成一个长方形．求图中阴影部分的面积．
【分析】观察可以发现：阴影部分的面积正好是正方形的面积，即62．
【解答】解：根据图形易知：阴影部分的面积＝正方形的面积＝36米2
【点评】此题考查平移的性质，关键是根据两部分阴影的面积和正好是正方形的面积解答．
28．如图，将直角△ABC沿BC方向平移得直角△DEF，其中AB＝8，BE＝10，DM＝4，求阴影部分的面积．
【分析】根据平移的性质可得到相等的边与角，利用平行线分线段成比例可求出EC，再根据SMDFC＝S△EFD﹣S△ECM即可得到答案．
【解答】解：由平移的性质知，DE＝AB＝8，ME＝DE﹣DM＝4，CF＝BE＝10，AC∥DF，∠DEF＝∠B＝90°，
∴＝＝，
即＝，
∴EC＝10，
EF＝EC+CF＝10+10＝20，
∴SMDFC＝S△EFD﹣S△ECM＝DE?EF﹣EM?EC＝×8×20﹣×4×10＝60；
故答案为：60．
【点评】此题考查了平移的性质，用到的知识点是平行线截线段对应成比例和平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
29．如图，把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的，若AB＝2，求△ABC移动的距离BE的长．
【分析】根据平移的性质得到EF∥AC，证得△BEG∽△BAC，由相似三角形的性质得到＝＝，即可得到结论．
【解答】解：∵把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置，
∴EF∥AC，
∴△BEG∽△BAC，
∴＝＝，
∵AB＝2，
∴BE＝．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于求证△ABC与阴影部分为相似三角形．
30．有一根直尺，短边的长为4cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长16cm．如图1，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图2，图3设平移的长度为x cm，且满足0≤x≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积（即图中阴影部分）为Scm2．
（1）当x＝0时，S＝　8cm2　；当x＝4时，S＝24cm2；当x＝6时，S＝　28cm2　．
（2）是否存在一个位置，使阴影部分的面积为26cm2？若存在，请求出此时x的值．
【分析】（1）当x＝0cm时，直尺和三角形纸板重叠部分的面积是两直角边都为4厘米的三角形面积；当x＝4cm时，直尺和三角形纸板重叠部分的面积＝两直角边都为8厘米的三角形面积﹣两直角边都为4厘米的三角形面积；当x＝6cm时，直尺和三角形纸板重叠部分的面积＝（两直角边都为8厘米的三角形面积﹣两直角边都为6厘米的三角形面积）×2，依此即可求解；
（2）根据阴影部分面积为26cm2，列出方程（x+8）（8﹣x）+（16﹣x﹣4+8）（4﹣8+x）＝26，解方程即可求解．
【解答】解：（1）当x＝0cm时，S＝4×4÷2＝8cm2；
当x＝4cm时，S＝8×8÷2﹣4×4÷2＝24cm2；
当x＝6cm时，S＝（8×8÷2﹣6×6÷2）×2＝28cm2．
故答案为：8cm2；24cm2；28cm2．
（2）当S＝26cm2时，x必然大于4，即（x+8）（8﹣x）+（16﹣x﹣4+8）（4﹣8+x）＝26，
解得x1＝6﹣，x2＝6+．
故当x1＝6﹣，x2＝6+时，阴影部分面积为26cm2．
【点评】本题考查了平移的性质，动点问题的函数图象，涉及的知识点有：直角三角形的面积，矩形的性质，梯形的面积，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，难度中等．
31．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．
（1）△ABC的面积为　8　；
（2）将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B'，补全△A′B′C′；
（3）在图中画出△ABC的高CD．
【分析】（1）直接根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）根据图形平移的性质画出图形即可；
（3）过点C向AB的延长线作垂线即可．
【解答】解：（1）S△ABC＝×4×4＝8．
故答案为：8；
（2）如图所示；
（3）如图所示．
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
32．如图，点M是△ABC中AB的中点，经平移后，点M落在M′处．
（1）请在正方形网格中画出△ABC平移后的图形△A′B′C′．
（2）若图中一小网格的边长为1，连接CM，则△ABC的面积为　5　．△ACM的面积为　　．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用三角形所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示：△ABC的面积为：3×4﹣×2×4﹣×1×3﹣×1×3＝5，
∵点M是△ABC中AB的中点，
∴△ACM的面积为：×5＝．
故答案为：5，．
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
33．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）△ABC的面积为　7　；
（2）请画出平移后的△DEF；
（3）利用格点画出△DEF的高FG（点G为垂足）；
（4）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是　AD与CF平行且相等　．
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据网格结构找出点B、C平移后的对应点E、F的位置，然后与点D顺次连接即可；
（3）根据网格结构和三角形的高线的定义作出图形即可；
（4）根据平移的性质，对应点的连线平行且相等．
【解答】解：（1）S△ABC＝4×4﹣1×4﹣×2×3﹣×2×4＝7，
故答案为：7；
（2）如图所示；
（3）高线AD如图所示；
（4）AD与CF平行且相等．
故答案为：AD与CF平行且相等．
【点评】本题考查了利用平移变换作图，平移的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
34．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．请在图中画出平移后的△A′B′C′，再在图中画出△A′B′C′的高C′D′、中线A′E，若S△BCP＝S△ACB，P为异于点B的格点，则点P的个数为　4　个．
【分析】根据题意画出平移后的△A′B′C′，△A′B′C′的高C′D′、中线A′E，过点A作BC的平行线，与格点的交点即为P点．
【解答】解：如图所示，点P即为所求．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
35．平移△ABC，使点A移动到点A'的位置，画出平移后所得的图形．
【分析】利用点A平移到A′，同样把点B、C分别向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到点B′、C′，从而得到△ABC平移后的图形△A′B′C′．
【解答】解：如图，△A′B′C′为所作．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
36．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△DEF，并求△DEF的面积＝　7　；
（2）在AB上找一点M，使CM平分△ABC的面积；
（3）在网格中找格点P，使S△ABC＝S△BCP，这样的格点P有　4　个．
【分析】（1）根据平移的性质画出图象，再利用三角形的面积公式计算即可；
（2）根据中线的定义画出中线即可平分三角形面积；
（3）在过点A平行BC的直线上有4个格点，所以满足条件的△PCB有4个．
【解答】解：（1）如图所示：△DEF即为所求，△DEF的面积为：4×4﹣×2×4﹣×2×3﹣×1×4＝7；
故答案为：7；
（2）如图所示：点M即为所求；
（3）使S△ABC＝S△BCP，这样的格点P有4个．
故答案为：4．
【点评】本题考查平移变换、三角形的面积、三角形的中线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
37．如图，请你根据图中的信息，把小船ABCD通过平移后到A′B′C′D′的位置，画出平移后的小船位置．
【分析】根据小旗的位置可得图形应向上平移1个单位，再向右平移9个单位，由此找出A、B、C、D四点平移后的位置，再连接即可．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了利用平移设计图案，关键是掌握图形中的所有点的平移方法相同．
38．3月12日是植树节，图中树需进行平移，请将树根A移到点F处，作出平移后的树．
【分析】由图形可以看出，F点是由A点先向右平移9个单位、后向上平移2个单位得到的．将图形的各个顶点按平移条件找出它的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题主要考查了利用平移设计图案，画图的关键是作各个关键点的对应点，再顺次连接即可．
7.4 认识三角形
一．选择题（共5小题）
1．如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B＝40°，∠C＝36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（　　）
A．AD＝AE B．AD＜AE C．BE＝CD D．BE＜CD
2．如图，∠EOF内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线OE于A，射线OF于B．当满足下列哪个条件时，△AOB的面积一定最小（　　）
A．OA＝OB B．OP为△AOB的角平分线
C．OP为△AOB的高 D．OP为△AOB的中线
3．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．下列说法中，正确的个数是（　　）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，G是△ABC的重心，直线L过A点与BC平行．若直线CG分别与AB，L交于D，E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积＝（　　）
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
二．填空题（共7小题）
6．如图，对面积为s的△ABC逐次进行以下操作：
第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；
第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；
…；
按此规律继续下去，可得到△AnBn?n，则其面积Sn＝　 　．
7．从1，2，3…2004中任选k个数，使所选的k个数中，一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是　 　．
8．三角形的边长均为正整数，且周长等于15，这样的三角形共有　 　个．
9．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BC＝3DC，S△GEC＝3，S△GBD＝8，则△ABC的面积是　 　．
10．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝5，CD＝3，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度是　 　．
11．周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有　 　个．
12．如图，在△ABC中，E是BC的中点，F在AE上，AE＝3AF，BF延长线交AC于D点．若△ABC的面积是48，则△AFD的面积等于　 　．
三．解答题（共38小题）
13．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当n＝3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为　 　个；
（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
14．四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交点O．求证：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．
证明：在△OAB中有OA+OB＞AB
在△OAD中有　 　，
在△ODC中有　 　，
在△　 　中有　 　，
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA
即：　 　，
即：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）
15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠AEC和∠DAE的度数．
16．我们知道三角形一边上的中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形．如图1，AD是△ABC边BC上的中线，则S△ABD＝S△ACD
（1）如图2，△ABC的中线AD、BE相交于点F，△ABF与四边形CEFD的面积有怎样的数量关系？为什么？
（2）如图3，在△ABC中，已知点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8，求△BEF的面积S△BEF
（3）如图4，△ABC的面积为1．分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1．再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长n次后得到的△AnBn?n的面积为　 　．
17．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD＝x cm）
18．已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x．
（1）直接写出c及x的取值范围；
（2）若x是小于18的偶数
①求c的长；
②判断△ABC的形状．
19．三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于20，求三边的长．
20．已知a、b、c为△ABC的三边，有＝＝＝k，且满足4b2﹣c2＝2bc+c2．
（1）求k的值；
（2）试判断△ABC的形状．
21．在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示，问：
（1）4根火柴能搭成三角形吗？
（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．
22．如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．
23．探索：
在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1＝　 　（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2＝　 　（用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD、FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3＝　 　（用含a的代数式表示）．
发现：
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的　 　倍．
应用：
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？
24．如图，在△ABC中，BC边上依次有B、D、E、C，AC边上依次有A、G、F，满足BD＝CE＝BC，CF＝AG＝AC，BF交AE于点J，交AD于I，BG交AE于点K，交AD于点H，且S△ABC＝1，求S四边形KHIJ．
25．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
26．小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理
27．已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|．
28．操作与探究
探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA、若△ACD的面积为S1，则S1＝　 　（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE、若△DEC的面积为S2，则S2＝　 　（用含a的代数式表示）；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）、若阴影部分的面积为S3，则S3＝　 　（用含a的代数式表示）．
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次、可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的　 　倍．
29．△ABC的面积是1平方厘米，如图所示，AD＝DE＝EC，BG＝GF＝FC，求阴影四边形的面积．
30．已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
31．（1）如图1，已知△ABC，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，若△ABC的面积为16，则△ABD的面积是　 　，△EBD的面积是　 　．
（2）如图2，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积为16，求△BEF的面积是多少？
32．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且|b+c﹣2a|+（b+c﹣5）2＝0，求b的取值范围．
33．已知，a、b、c为△ABC的边长，b、c满足（b﹣2）2+＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
34．如图，已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于点P，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝x，PE＝y，PF＝z，若xy+yz+zx＝28，求xyz的大小．
35．已知a，b，c为△ABC的三边长，化简﹣．
36．已知△ABC中，三边长a，b，c都是整数，且满足a＞b＞c，a＝8，那么满足条件的三角形共多少个？
37．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．
求证：．
38．附加题：如图，已知△ABC的面积为1cm2，如果AD＝2AC，BF＝3BA，CE＝4CB，求△DEF的面积．
39．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：AB+CF≥AC+BE．
40．已知△ABC的三边长为5，12，3x﹣4，周长为偶数，求整数x及周长．先求x的取值范围．
41．从1、2、3、4…、2004中任选k个数，使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？
42．已知：如图，△ABC中，中线BD和中线CE相交于点O，求证：BO＝2DO．
43．已知：a，b，c分别为△ABC的三条边的长度，请用所学知识说明：b2+c2﹣a2﹣2bc是正数、负数或零．
44．阅读：如图1，在△ABC和△DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，AB＝DE＝a，BC＝EF＝b（a＜b），B、C、D、E四点都在直线m上，点B与点D重合．
连接AE、FC，我们可以借助于S△ACE和S△FCE的大小关系证明不等式：a2+b2＞2ab（b＞a＞0）．
证明过程如下：
∵BC＝b，BE＝a，EC＝b﹣a．
∴，．
∵b＞a＞0
∴S△FCE＞S△ACE
即
∴b2﹣ab＞ab﹣a2
∴a2+b2＞2ab
解决下列问题：
（1）现将△DEF沿直线m向右平移，设BD＝k（b﹣a），且0≤k≤1．如图2，当BD＝EC时，k＝　 　．利用此图，仿照上述方法，证明不等式：a2+b2＞2ab（b＞a＞0）．
（2）用四个与△ABC全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式．请你画出一个示意图，并简要说明理由．
45．已知△ABC的三边长为，a，b，c，a和b满足+（b﹣2）2＝0求c的取值范围．
46．如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD＝CE，求证：AB+AC＞AD+AE．
47．如图所示，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是四边形形内一点，若
S四边形AEOH＝3，S四边形BFOE＝4，S四边形CGOF＝5，求S四边形DHOG．
48．探究规律：
如图，已知直线m∥n，A，B为直线m上的两点，C，P为直线n上两点．
（1）请写出图中面积相等的各对三角形：　 　．
（2）如果A，B，C为三个定点，点P在n上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有　 　与△ABC的面积相等．理由是：　 　．
49．已知木棒a长度为35厘米、木棒b长度为70厘米，
（1）若现要求选择第三根木棒c与木棒a、b首尾顺次连接组成一个三角形，请求出木棒c长度的取值范围；
（2）有一木棒长度为130厘米，现要求把其切割分为两根木棒d、e（木棒d、e的长度之和恰好为130厘米），若在a、d、e中任选2根木棒，它们与木棒b首尾顺次连接都能组成三角形，求木棒d长度的取值范围；
（3）若木棒d的长为偶数，求（2）中所有可能组成的三角形里最小的周长以及最大的周长分别是多少厘米？
50．如图，它是由6个面积为1的小正方形组成的矩形，点A，B，C，D，E，F，G是小正方形的顶点，以这七个点中的任意三个点为顶点，可组成多少个面积为1的三角形？请你写出所有这样的三角形．

参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B＝40°，∠C＝36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（　　）
A．AD＝AE B．AD＜AE C．BE＝CD D．BE＜CD
【分析】由∠C＜∠B利用大角对大边得到AB＜AC，进一步得到BE+ED＜ED+CD，从而得到BE＜CD．
【解答】解：∵∠C＜∠B，
∴AB＜AC，
∵AB＝BDAC＝EC
∴BE+ED＜ED+CD，
∴BE＜CD．
故选：D．
【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对大角．
2．如图，∠EOF内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线OE于A，射线OF于B．当满足下列哪个条件时，△AOB的面积一定最小（　　）
A．OA＝OB B．OP为△AOB的角平分线
C．OP为△AOB的高 D．OP为△AOB的中线
【分析】当点P是AB的中点时S△AOB最小；过点P的另一条直线CD交OE、OF于点C、D，设PD＜PC，过点A作AG∥OF交CD于G，由全等三角形的性质可以得出S四边形AODG＝S△AOB，S四边形AODG＜S△COD，从而求得S△AOB＜S△COD，即可得出结论；
【解答】解：当点P是AB的中点时S△AOB最小；
如图，过点P的另一条直线CD交OE、OF于点C、D，设PD＜PC，过点A作AG∥OF交CD于G，
在△APG和△BPD中，
，
∴△APG≌△BPD（ASA），
S四边形AODG＝S△AOB．
∵S四边形AODG＜S△COD，
∴S△AOB＜S△COD，
∴当点P是AB的中点时S△AOB最小；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，四边形的面积和三角形的面积的关系，解答时建立数学模型解答是关键．
3．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】首先分别在AB的两侧找到一个使其面积是2个平方单位的点，再分别过这两点作AB的平行线．找到所有的格点即可．即有5个．
【解答】解：满足条件的C点有5个，如图平行于AB的直线上，与网格的所有交点就是．
故选：A．
【点评】此题主要是注意：根据两条平行线间的距离处处相等，只需在两侧各找一个符合条件的点，再作平行线，即可找到所有符合条件的点．
4．下列说法中，正确的个数是（　　）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；
三角形的三条角平分线都在三角形内部；
三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．
【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．
所以正确的有1个．
故选：A．
【点评】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解．
5．如图，G是△ABC的重心，直线L过A点与BC平行．若直线CG分别与AB，L交于D，E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积＝（　　）
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
【分析】根据重心的概念得出D，F分别是三角形的中点．若设△ABC的面积是2，则△BCD的面积和△BCF的面积都是1．又因为BG：GF＝CG：GD，可求得△CGF的面积．则四边形ADGF的面积也可求出．根据ASA可以证明△ADE≌△BDC，则△ADE的面积是1．则△AED的面积：四边形ADGF的面积可求．
【解答】解：设三角形ABC的面积是2
∴三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1
∵BG：GF＝CG：GD＝2
∴三角形CGF的面积是
∴四边形ADGF的面积是2﹣1﹣＝
∵△ADE≌△BDC（ASA）
∴△ADE的面积是1
∴△AED的面积：四边形ADGF的面积＝1：＝3：2．
故选：D．
【点评】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
二．填空题（共7小题）
6．如图，对面积为s的△ABC逐次进行以下操作：
第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；
第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；
…；
按此规律继续下去，可得到△AnBn?n，则其面积Sn＝　19n?S　．
【分析】连接A1C，找出延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍的规律，利用规律求延长第n次后的面积．
【解答】解：连接A1C；
S△AA1C＝3S△ABC＝3S，
S△AA1C1＝2S△AA1C＝6S，
所以S△A1B1C1＝6S×3+1S＝19S；
同理得S△A2B2C2＝19S×19＝361S；
S△A3B3C3＝361S×19＝6859S，
S△A4B4C4＝6859S×19＝130321S，
S△A5B5C5＝130321S×19＝2476099S，
从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n次后，得到△AnBn?n，
则其面积Sn＝19n?S．
【点评】本题的关键是作辅助线，连接A1C，找出延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍的规律，利用规律求延长第n次后的面积．
7．从1，2，3…2004中任选k个数，使所选的k个数中，一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是　17　．
【分析】这一问题等价于在1，2，3，2004中选k个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的k的最大值是多少？符合上述条件的数组，当k＝4时，最小的三个数就是1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和．
【解答】解：为使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 ①
共16个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2…an显然总有ai大于等于①中的第i个数，
所以n≤17≤k，从而知k的最小值为17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了三角形三边关系．解题关键是得到加入之数等于已得数组中最大的两数之和的16个数，从而列不等式求出k的最小值．
8．三角形的边长均为正整数，且周长等于15，这样的三角形共有　7　个．
【分析】三角形的边长均为正整数，且周长等于15，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：这样的三角形的三边长分别为：5，5，5或4，5，6或3，5，7或4，4，7，或1，7，7或2，6，7或3，6，6，共有7个．
【点评】本题利用了三角形中三边的关系求解．注意不要漏掉哪一种情况．
9．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BC＝3DC，S△GEC＝3，S△GBD＝8，则△ABC的面积是　30　．
【分析】根据题意得到S△GDC＝S△GBD＝4，求出S△EBC，根据E是AC的中点解答．
【解答】解：∵BC＝3DC，
∴BD＝2CD，
∴S△GDC＝S△GBD＝4，
∴S△EBC＝S△GBD+S△GBD+S△GEC＝15，
∵E是AC的中点，
∴S△EBA＝S△EBC＝15，
∴△ABC的面积是30，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式、两个高相等是三角形的面积比等于两底之比是解题的关键．
10．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝5，CD＝3，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度是　或6.5　．
【分析】分两种情况计算：①点Q在AB边上时，先求出三角形ABD的面积，设出BP＝x，再将三角形DCQ和AQD的面积用x表示出来，用面积相等建立方程即可；②当点Q在AC边时，由面积相等即可得出点Q是AC中点，进而得出点P'是CD的中点，即可求出DP'，即可得出结论．
【解答】解：①点Q在AB边上时，
∵AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝5，CD＝3，
∴S△ABD＝BD?AD＝×5×5＝，∠B＝45°
∵PQ⊥BC，
∴BP＝PQ，
设BP＝x，则PQ＝x，
∵CD＝3，
∴S△DCQ＝×3x＝x，
S△AQD＝S△ABD﹣S△BQD＝﹣×5×x＝﹣x，
∵△ADQ与△CDQ的面积相等，
∴x＝﹣x，
解得：x＝，
②如图，
当Q在AC上时，记为Q'，过点Q'作Q'P'⊥BC，
∵AD⊥BC，垂足为D，
∴Q'P'∥AD
∵△ADQ与△CDQ的面积相等，
∴AQ'＝CQ'
∴DP'＝CP'＝CD＝1.5
∵AD＝BD＝5，
∴BP'＝BD+DP'＝6.5，
综上所述，线段BP的长度是或6.5．
故答案为或6.5．
【点评】此题是三角形的面积，主要考查了三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出点Q'是AC的中点．
11．周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有　12　个．
【分析】不妨设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口．
【解答】解：设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c．
∵a+b+c＝30，a+b＞c
∴10＜c＜15
∵c为整数
∴c为11，12，13，14
∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7；
②当c为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8；
③当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8；
④当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；
故答案为：12个．
【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．
12．如图，在△ABC中，E是BC的中点，F在AE上，AE＝3AF，BF延长线交AC于D点．若△ABC的面积是48，则△AFD的面积等于　1.6　．
【分析】先过E作EG∥BD，交AC于G，设S△ADF＝x，S△CEG＝y，由于△ABC的面积为48，E是BC中点，可求S△ABE，S△ACE，又F是AE的三等分点，可求S△ABE．在△CBD中，EG∥BD，E是BC中点，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知CG＝DG，从而可知△CEG∽△CBD，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得S△CBD＝4y，同理可求S△AEG＝9x，再利用三角形面积之间的加减关系可得关于x、y的二元一次方程，解即可．
【解答】解：过点E作EG∥BD，交AC于G，如右图，
设S△ADF＝x，S△CEG＝y，
在△CBD中，∵E是BC中点，EG∥BD
∴△CEG∽△CBD，S△ABE＝S△ACE＝24，
∴S△CBD：S△CEG＝4：1，
∴S△CBD＝4y，
在△AEG中，∵AE＝3AF，EG∥BD，
∴△ADF∽△AGE，S△ABF＝8，S△BEF＝16，
∴S△AEG：S△AFD＝9：1，
∴S△AEG＝9x，那么有
，
解得．
故答案为：1.6．
【点评】本题考查了三角形的面积计算、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定、相似三角形的面积比等于相似比的平方．关键是作辅助线，所作的平行线能用到两个三角形中．
三．解答题（共38小题）
13．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当n＝3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为　4　个；
（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
【分析】（1）根据题意，作图可得答案；（2）分析可得，当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0，有0＝2（1﹣1）；当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2，有2＝2（2﹣1）；…故当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有2×（2006﹣1）＝4010个三角形．
【解答】解：（1）
4个；
（2）当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；
（3）2×（2006﹣1）＝4010个．
答：当n＝2006时，最少可以画4010个三角形．
【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
14．四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交点O．求证：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．
证明：在△OAB中有OA+OB＞AB
在△OAD中有　OA+OD＞AD　，
在△ODC中有　OD+OC＞CD　，
在△　OBC　中有　OB+OC＞BC　，
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA
即：　2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA　，
即：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）
【分析】直接根据三角形的三边关系进行解答即可．
【解答】证明：∵在△OAB中OA+OB＞AB
在△OAD中有OA+OD＞AD，
在△ODC中有OD+OC＞CD，
在△OBC中有OB+OC＞BC，
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA
即2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，
即AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．
故答案为：OA+OD＞AD；OD﹣OC＞CD；OBC；OB+OC＞BC；2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠AEC和∠DAE的度数．
【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC＝∠BAC，故∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC．
【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝34°．
∵AD是高，∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝34°﹣20°＝14°，
∠AEC＝90°﹣14°＝76°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和定理．
16．我们知道三角形一边上的中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形．如图1，AD是△ABC边BC上的中线，则S△ABD＝S△ACD
（1）如图2，△ABC的中线AD、BE相交于点F，△ABF与四边形CEFD的面积有怎样的数量关系？为什么？
（2）如图3，在△ABC中，已知点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8，求△BEF的面积S△BEF
（3）如图4，△ABC的面积为1．分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1．再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长n次后得到的△AnBn?n的面积为　7n　．
【分析】（1）根据三角形中线的性质列出等式，得出答案．
（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用S△ABC表示出△ABD、△ACD、△BDE，△CDE的面积，然后表示出△BCE的面积，再表示出△BEF的面积，即可得解．
（3）根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A1B1C1的面积是△ABC的面积的7倍，依此类推写出即可．
【解答】（1）答：S△ABF＝S四边形CEFD．理由：
解：如图，
∵AD和BE是△ABC的两条中线，
∴△ABD面积＝△ACD面积，△BCE面积＝△ABE面积，
即S1+S4＝S2+S3①，S2+S4＝S1+S3②，
①﹣②得：S1﹣S2＝S2﹣S1，
∴S1＝S2．
∴S△ABF＝S四边形CEFD．
（2）解：∵点D、E分别为BC、AD的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
S△BDE＝S△ABD＝S△ABC，
S△CDE＝S△ACD＝S△ABC，
∴S△BCE＝S△BDE+S△CDE＝S△ABC+S△ABC＝S△ABC，
∵F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×S△ABC＝S△ABC，
∴S△BEF：S△ABC＝1：4．
又∵S△ABC＝8
∴S△BEF＝2．
（3）解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，
△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，
所以，S△A1B1C1＝7S△ABC，
同理S△A2B2C2＝7S△A1B1C1，＝72S△ABC，
依此类推，S△AnBnCn＝7nS△ABC，
∵△ABC的面积为1，
∴S△AnBnCn＝7n．
故答案为：7n．
【点评】主要考查了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，是此类题目常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．
17．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD＝x cm）
【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，再分△ACD的周长是60与△ABD的周长是60两种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，
分为两种情况：
①AC+CD＝60，AB+BD＝40，
则4x+x＝60，x+y＝40，
解得：x＝12，y＝28，
即AC＝4x＝48，AB＝28；
②AC+CD＝40，AB+BD＝60，
则4x+x＝40，x+y＝60，
解得：x＝8，y＝52，
即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，
此时不符合三角形三边关系定理；
综合上述：AC＝48cm，AB＝28cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理的应用，注意：要分情况进行讨论．
18．已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x．
（1）直接写出c及x的取值范围；
（2）若x是小于18的偶数
①求c的长；
②判断△ABC的形状．
【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；
（2）①根据偶数的定义，以及x的取值范围即可求解；
②利用等腰三角形的判定方法得出即可．
【解答】解：（1）因为a＝4，b＝6，
所以2＜c＜10．
故周长x的范围为12＜x＜20．
（2）①因为周长为小于18的偶数，
所以x＝16或x＝14．
当x为16时，c＝6；
当x为14时，c＝4．
②当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形；
当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形．
综上，△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键．
19．三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于20，求三边的长．
【分析】利用三角形的三边长是三个连续的自然数，可设三角形三边的长分别为x﹣1，x，x+1，根据三角形三边的关系得到x﹣1+x＞x+1，解得x＞2，根据三角形的周长小于20得到x﹣1+x+x+1＜20，解得x＜，从而得到x为3，4，5，6，然后分别计算出三角形三边的长．
【解答】解：设三角形三边的长分别为x﹣1，x，x+1，则x﹣1+x＞x+1，解得x＞2，
∵x﹣1+x+x+1＜20，解得x＜，
∴2＜x＜且x为整数，
∴x为3，4，5，6，
当x＝3时，三角形三边为2，3，4；
当x＝4时，三角形三边为3，4，5；
当x＝5时，三角形三边为4，5，6；
当x＝6时，三角形三边为5，6，7．
【点评】本题考查了三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边．
20．已知a、b、c为△ABC的三边，有＝＝＝k，且满足4b2﹣c2＝2bc+c2．
（1）求k的值；
（2）试判断△ABC的形状．
【分析】（1）对原等式进行整理，再根据三角形三边关系不难求得k的值；
（2）对4b2﹣c2＝2bc+c2整理可得b＝c，再代入＝＝＝k即可得到a＝c，从而得到该三角形是个等边三角形．
【解答】解：（1）根据题意有：2b﹣c＝ka，2c﹣a＝kb，2a﹣b＝kc
∴a+b+c＝k（a+b+c），
∵a、b、c为△ABC的三边，
∴a+b+c≠0，
∴k＝1．
（2）∵4b2﹣c2＝2bc+c2，
∴（4b2﹣c2）﹣（2bc+c2）＝0，
（2b+c）（2b﹣c）﹣c（2b+c）＝0，
2（2b+c）（b﹣c）＝0，
∵2b+c≠0，
∴b﹣c＝0即b＝c，
∵k＝＝＝＝1，
∴a＝c，即a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系及等边三角形的判定的综合运用．
21．在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示，问：
（1）4根火柴能搭成三角形吗？
（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．
【分析】（1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形．
（2）把8和12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形．
【解答】解：（1）4根火柴不能搭成三角形；
（2）8根火柴能搭成一种三角形（3，3，2）；
示意图：（等腰三角形）
12根火柴能搭成3种不同三角形（4，4，4；5，5，2；3，4，5）．示意图：
【点评】本题用到的知识点为：三角形任意两边之和大于第三边．
22．如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．
【分析】由BD是中线，可得，△ABD的面积与△CBD的面积的比为1：1，AD＝CD，又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，可得AB﹣BC＝6cm，2AB+BC＝21cm，继而求得答案．
【解答】解：∵BD是中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，
∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，
∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC，
∴2AB+BC＝21cm②，
联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．
【点评】此题考查了三角形面积与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
23．探索：
在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1＝　a　（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2＝　2a　（用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD、FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3＝　6a　（用含a的代数式表示）．
发现：
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的　7　倍．
应用：
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？
【分析】（1）根据三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等；
（2）运用分割法：连接AD．根据三角形的面积公式进行分析：等底同高的两个三角形的面积相等；
（3）在（2）的基础上，阴影部分的面积是（2）中求得的面积的3倍；再加上原来三角形的面积进行计算．
应用：根据上述结论，即扩展一次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的7倍，则扩展两次后，得到的三角形的面积是原三角形的面积的72＝49倍．从而得到扩展的区域的面积是原来的48倍．
【解答】解：（1）∵BC＝CD，
∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S1＝a；
（2）2a；
理由：连接AD，
∵CD＝BC，AE＝CA，
∴S△DAC＝S△DAE＝S△ABC＝a，
∴S2＝2a；
（3）结合（2）得：2a×3＝6a；
发现：扩展一次后得到的△DEF的面积是6a+a＝7a，即是原来三角形的面积的7倍．
应用：拓展区域的面积：（72﹣1）×10＝480（m2）．
【点评】命题立意：考查学生探索知识、发现知识、应用知识的综合创新能力．
点评：本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出．从而使考生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程、解题思想方法的感悟体会得淋漓尽致，是一道新课标理念不可多得的好题．
24．如图，在△ABC中，BC边上依次有B、D、E、C，AC边上依次有A、G、F，满足BD＝CE＝BC，CF＝AG＝AC，BF交AE于点J，交AD于I，BG交AE于点K，交AD于点H，且S△ABC＝1，求S四边形KHIJ．
【分析】作平行线GP和FM，根据平行线分线段成比例定理列比例式得：，＝，从而得：BH：HK：KG＝52：32：7，BI：IJ：JF＝20：32：13，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可以得出S△ABF＝，S△ABG＝，S△AIJ＝S△ABF＝×＝，S△AHK＝S△ABG＝×＝，作差可得S四边形KHIJ．
【解答】解：过G作GP∥BC，交AD于P，AE于Q，则＝，
∵BD＝BC，
∴＝，
∴，
∵，
∴，
同理可得：＝，
即＝，
∴，
∴＝，
∴BH：HK：KG＝52：32：7，
过F作FM∥BC，交AD于M，AE于N，
同理得：BI：IJ：JF＝20：32：13，
∵S△ABC＝1，
∴S△ABF＝，S△ABG＝，
∴S△AIJ＝S△ABF＝×＝，
S△AHK＝S△ABG＝×＝，
∴S四边形KHIJ＝S△AIJ﹣S△AHK，
＝﹣，
＝．
【点评】本题计算三角形和多边形面积，考查了平行线分线段成比例定理、同高三角形面积的关系，作好本题要从以下几点入手：①作平行线，②根据平行线分线段成比例定理得线段的比，③根据边的比得出面积的比．
25．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，据此可得CD的取值范围；
（2）先根据平行线的性质，得到∠AEF的度数，再根据三角形外角性质，即可得到∠C的度数．
【解答】解：（1）∵△BCD中，BC＝4，BD＝5，
∴5﹣4＜CD＜5+4，
∴CD的取值范围是：1＜CD＜9；
（2）∵AE∥BD，
∴∠AEF＝∠BDE＝125°，
∵∠AEF是△ACE的外角，
∴∠C＝∠AEF﹣∠A＝125°﹣55°＝70°．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
26．小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理
【分析】根据三角形具有稳定性进行画图即可．
【解答】解：如图所示：
根据三角形具有稳定性．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
27．已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断出正负情况，再根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号，然后再进行整式的加减．
【解答】解：∵a、b、c是三角形三边长，
∴b+c﹣a＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，a﹣b+c＞0，
∴|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|，
＝b+c﹣a﹣b+c+a﹣c+a+b﹣a+b﹣c
＝2b．
【点评】本题主要利用三角形的三边关系和绝对值的性质求解，利用三边关系判断出正负情况是去掉绝对值号的关键．
28．操作与探究
探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA、若△ACD的面积为S1，则S1＝　a　（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE、若△DEC的面积为S2，则S2＝　2a　（用含a的代数式表示）；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）、若阴影部分的面积为S3，则S3＝　6a　（用含a的代数式表示）．
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次、可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的　7　倍．
【分析】（1）根据等底等高的三角形面积相等解答即可；
（2）分别过A、E作BD的垂线，根据三角形中位线定理及三角形的面积公式求解即可；
（3）由△BFD、△ECD及△AEF的边长为△ABC边长的一半，高与△AEF的高相等解答即可．
【解答】解：（1）∵CD＝BC，△ABC的面积为a，△ABC与△ACD的高相等，
∴S1＝S△ABC＝a；
（2）分别过A、E作AG⊥BD，EF⊥BD，G、F为垂足，则AG∥EF，
∵A为CE的中点，∴AG＝EF，
∵BC＝CD，
∴S2＝2S1＝2a；
（3）∵△BDF的边长BD是△ABC边长BC的2倍，两三角形的两边互为另一三角形两边的延长线，
∴S△BDF＝2S△ABC，
∵△ABC面积为a，∴S△BDF＝2a．
同理可得，S△ECD＝2a，S△AEF＝2a，∴S3＝S△BDF+S△ECD+S△AEF＝2a+2a+2a＝6a．
∵S3＝S△BDF+S△ECD+S△AEF＝6a，
∴S△EDF＝S3+S△ABC＝6a+a＝7a，
∴＝＝7，
∴扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍．
【点评】本题比较复杂，只要根据三角形的面积公式进行分析即可．
29．△ABC的面积是1平方厘米，如图所示，AD＝DE＝EC，BG＝GF＝FC，求阴影四边形的面积．
【分析】设AG与BE交于N，AF与BE交于P，连接NC，ND，PC，PD，设△NGB的面积为x，△NGE的面积为y，求得，△ACF的面积是平方厘米，△NGB的面积是平方厘米；设△PCF的面积为u，△PCE的面积为v，解得，然后即可求得阴影四边形的面积．
【解答】解：如图，设AG与BE交于N，AF与BE交于P，连接NC，ND，PC，PD
设△NGB的面积为x，△NDE的面积为y，则有△NCG的面积为2x，△NEA的面积为2y
因为△ABC的面积是1平方厘米
且AD＝DE＝EC，BG＝GF＝FC
所以△BCE，△ACF的面积是平方厘米
△ACG的面积是平方厘米
所以解得
所以△NGB的面积是平方厘米
设△PCF的面积为u，△PCE的面积为v，则有
所以即
即四边形PECF的面积是平方厘米
所以阴影四边形的面积＝（平方厘米）
【点评】此题尽管是主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，但是需要设△NGB的面积为x，△NGE的面积为y，设△PCF的面积为u，△PCE的面积为v，求得x、y和u+v，因此是一道难题．
30．已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状．
【解答】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意，舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
31．（1）如图1，已知△ABC，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，若△ABC的面积为16，则△ABD的面积是　8　，△EBD的面积是　4　．
（2）如图2，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积为16，求△BEF的面积是多少？
【分析】（1）由点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，三角形中线等分三角形的面积；
（2）由三角形中线等分三角形的面积即可结果；
【解答】解：（1）∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，三角形中线等分三角形的面积，
∴S△ABD＝S△ABC＝＝8，
S△EBD＝S△ABD＝＝4，
故答案为：8，4；
（2）∵在△ABC中，D是BC边的中点，
∴S△ABD＝S△ABC＝8，
∵E是AD的中点，
∴S△BED＝S△ABD＝4，
同理得，S△CDE＝4；
∴S△BCE＝8，
∵F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝4．
【点评】本题是面积及等积变换综合题目，考查了三角形的面积及等积变换，本题有一定难度，运用三角形中线等分三角形的面积才能得出结果．
32．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且|b+c﹣2a|+（b+c﹣5）2＝0，求b的取值范围．
【分析】根据非负数的性质得b+c﹣2a＝0，b+c﹣5＝0，两式联立求出a的值，再根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得：b+c﹣2a＝0，b+c﹣5＝0，
解得：b+c＝5，
把b+c＝5代入b+c﹣2a＝0中得：5﹣2a＝0，
解得：a＝2.5，
那么c＝5﹣b，
根据三角形的三边关系：|5﹣b﹣2.5|＜b且b＜5﹣b+2.5，
即2.5﹣b＜b＜2.5+5﹣b，
解得：＜b＜．
所以b的取值范围是＜b＜．
【点评】本题主要利用非负数的性质和三角形的三边关系求解．几个表示非负数的算式的和等于0，则每一个运算式都等于0．
33．已知，a、b、c为△ABC的边长，b、c满足（b﹣2）2+＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
【分析】根据a为方程|a﹣4|＝2的解，可知a＝6或2，再根据（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，可知b﹣2＝0，c﹣3＝0，可知b，c的值，再根据三角形的两边之和大于第三边即可判断出△ABC的形状．
【解答】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
∴b＝2，c＝3，
∵|a﹣4|＝2，
∴a＝6或2，
当a＝6，b＝2，c＝3时不能构成三角形，
当a＝2，b＝2，c＝3时周长为7，是等腰三角形．
【点评】本题考查了三角形中两边之和大于第三边，以及非负数的性质，根据非负数的性质求出三边的长是关键，难度适中．
34．如图，已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于点P，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝x，PE＝y，PF＝z，若xy+yz+zx＝28，求xyz的大小．
【分析】先求证＝，同理：＝，＝，再利用S△ABC＝S△PBC+S△PCA+S△PAB，将分式化简，再将xy+yz+zx＝28代入即可．
【解答】解：如图：∵S△PBC＝PM?BC，S△ABC＝AN?BC，
∴＝＝＝，
同理：＝，＝，
∵S△ABC＝S△PBC+S△PCA+S△PAB，
∴++＝1．
即1﹣+1﹣+1﹣＝1，
∴++＝1，
∴3（yz+zx+xy）+36（x+y+z）+324
＝xyz+6（xy+yz+zx）+36（x+y+z）+216，
∴xy+yz+zx＝28．
∴xyz＝108﹣3（xy+yz+zx）＝24．
答：xyz的大小为：24．
【点评】此题主要考查学生对三角形面积计算的理解和掌握，解答此题的关键是求证＝，＝，＝．此题有一定的拔高难度，属于难题．
35．已知a，b，c为△ABC的三边长，化简﹣．
【分析】直接利用三角形三边关系得出a﹣b﹣c＜0，b﹣a+c＞0，进而化简得出答案．
【解答】解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a+c＞0，
∴﹣
＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a+c）
＝﹣a+b+c﹣b+a﹣c
＝0．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及三角形三边关系，正确掌握三角形三边关系是解题关键．
36．已知△ABC中，三边长a，b，c都是整数，且满足a＞b＞c，a＝8，那么满足条件的三角形共多少个？
【分析】首先根据三角形的三边关系可得b+c＞a，再根据条件b＞c可确定b＞4，再由a＞b可得4＜b＜8，进而可确定b的值，然后再确定c的值即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得b+c＞a，
∵b＞c，
∴b＞4，
∵a＞b，a＝8，
∴4＜b＜8，
∵b为整数，
∴b＝5，6，7，
∴a＝8，b＝5，c＝4，
a＝8，b＝6，c＝5或4或3，
a＝8，b＝7，c＝6或5或4或3或2．
因此满足条件的三角形共有1+3+5＝9（个）．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
37．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．
求证：．
【分析】连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证．
【解答】证明：如图，连接BE、AD，
∵△BDE与△DCE等高，∴＝，
∵△DCE与△ADE等高，∴＝，
∵△ADF与△BDF等高，∴＝，
∵△AEF与△BEF等高，∴＝，
∴＝，
∴??＝??＝1．
【点评】此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比．
38．附加题：如图，已知△ABC的面积为1cm2，如果AD＝2AC，BF＝3BA，CE＝4CB，求△DEF的面积．
【分析】连接AE、BD、CF，把△DEF分解成七部分，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比，结合△ABC的面积，求出另外六个三角形的面积，△DEF的面积即可求出．
【解答】解：如图，连接AE、BD、CF，
∵AD＝2AC，
∴AC＝CD，
∴S△BCD＝S△ABC＝1，S△ACF＝S△CDF，
∵BF＝3BA，
∴AF＝2AB，
∴S△ACF＝2S△ABC＝2，S△AEF＝2S△AEB，
∵CE＝4CB，
∴BE＝3BC，
∴S△BDE＝3S△BCD＝3，S△AEB＝3S△ABC＝3，
∴S△BEF＝S△AEB+S△AEF＝3+6＝9，
S△DCE＝S△BCD+S△BDE＝1+3＝4，
S△ADF＝S△ACF+S△CDF＝2+2＝4，
∴△DEF的面积＝1+9+4+4＝18．
【点评】本题比较复杂，主要根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求解，作辅助线把△DEF分成七个小三角形是解题的关键．
39．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：AB+CF≥AC+BE．
【分析】在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，根据三角形三边关系及角平分线，中线和高的知识即可证明．
【解答】证明：∵BE和CF是高，∴△AFC∽△ABE，
∵AB＞AC∴＜1，＜1，AF＜AE
∴（AC）2﹣（CF）2＜（AB）2﹣（BE）2即（AC）2+（BE）2＜（AB）2+（CF）2，
∵AC×BE＝AB×CF
∴（AC）2+2 AC×BE+（BE）2≤（AB）2+2AB×CF+（CF）2，
∴（AC+BE）2≤（AB+CF）2，
∴AC+BE≤AB+CF，即证明之．
screen．width*0.35） this．width＝screen．width*0.40“border＝0＞
【点评】本题考查了三角形三边关系及及角平分线，中线和高，难度较大，关键是根据已知条件进行变形求证．
40．已知△ABC的三边长为5，12，3x﹣4，周长为偶数，求整数x及周长．先求x的取值范围．
【分析】首先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，从而确定整数x的值，然后根据其周长为偶数确定其周长即可．
【解答】解：∵12﹣5＜3x﹣4＜12+5，即，而x为整数，
∴x＝4、5或6．若周长12+5+3x﹣4＝13+3x是偶数，则x为奇数，
∴x＝5，从而周长为5+12+3x﹣4＝28．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
41．从1、2、3、4…、2004中任选k个数，使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？
【分析】这一问题等价于在1，2，3，2004中选k﹣1个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的k的最大值是多少？符合上述条件的数组，当k＝4时，最小的三个数就是1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和．
【解答】解：为使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 ①
共16个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2…an显然总有ai大于等于①中的第i个数，
所以n≤16≤k﹣1，
k﹣1≥16，
解得k≥17．
故k的最小值为17．
【点评】本题考查了三角形三边关系．解题关键是得到加入之数等于已得数组中最大的两数之和的16个数，从而列不等式求出k的最小值．
42．已知：如图，△ABC中，中线BD和中线CE相交于点O，求证：BO＝2DO．
【分析】连接DE，根据三角形中位线的性质得出DE∥BC，DE＝BC，进而根据平行线分线段成比例定理即可证得结论．
【解答】证明：连接DE，
∵BD、CE是AC和AB的中线，
∴AE＝BE，AD＝CD，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴BO＝2DO．
【点评】本题考查了三角形重心的性质，三角形中位线定理以及平行线分线段成比例定理，作出辅助线构建平行线是解题的关键．
43．已知：a，b，c分别为△ABC的三条边的长度，请用所学知识说明：b2+c2﹣a2﹣2bc是正数、负数或零．
【分析】能够正确运用因式分解的知识，把代数式分解成乘积的形式，再根据三角形的三边关系进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
b﹣（a+c）＜0，a+b﹣c＞0．
∴b2+c2﹣a2﹣2bc＝（b﹣c）2﹣a2＝（b﹣c﹣a）（b﹣c+a）＜0．
即b2+c2﹣a2﹣2bc是负数．
【点评】考查了三角形的三边关系以及因式分解的知识．
44．阅读：如图1，在△ABC和△DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，AB＝DE＝a，BC＝EF＝b（a＜b），B、C、D、E四点都在直线m上，点B与点D重合．
连接AE、FC，我们可以借助于S△ACE和S△FCE的大小关系证明不等式：a2+b2＞2ab（b＞a＞0）．
证明过程如下：
∵BC＝b，BE＝a，EC＝b﹣a．
∴，．
∵b＞a＞0
∴S△FCE＞S△ACE
即
∴b2﹣ab＞ab﹣a2
∴a2+b2＞2ab
解决下列问题：
（1）现将△DEF沿直线m向右平移，设BD＝k（b﹣a），且0≤k≤1．如图2，当BD＝EC时，k＝　　．利用此图，仿照上述方法，证明不等式：a2+b2＞2ab（b＞a＞0）．
（2）用四个与△ABC全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式．请你画出一个示意图，并简要说明理由．
【分析】（1）连接AD、BF，构成同底的两个三角形，再利用两个三角形的边之间的关系，代入三角形的面积公式求解即可；
（2）答案不唯一，举例说明：根据直角三角形及矩形的面积公式求得面积后，再根据它们之间的数量关系来比较．
【解答】解：（1）；
证明：连接AD、BF．
可得，
∴
＝
＝
＝
＝
＝．
∵b＞a＞0，∴S△ABD＜S△FBD，即，
∴ab﹣a2＜b2﹣ab．∴a2+b2＞2ab；
（2）答案不唯一，图（1分），理由：
举例：如图，理由：
延长BA、FE交于点I．
∵b＞a＞0，∴S矩形IBCE＞S矩形ABCD，
即b（b﹣a）＞a（b﹣a）．
∴b2﹣ab＞ab﹣a2．
∴a2+b2＞2ab．
举例：如图，理由：
四个直角三角形的面积和，
大正方形的面积S2＝a2+b2．∵b＞a＞0，∴S2＞S1．∴a2+b2＞2ab．
【点评】做这类题目时，结合图形来解答会降低题的难度．
45．已知△ABC的三边长为，a，b，c，a和b满足+（b﹣2）2＝0求c的取值范围．
【分析】首先根据非负数的性质求出a，b的值，然后根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边即可求出c的取值范围．
【解答】解：∵+（b﹣2）2＝0，
∴a＝1，b＝2，
∴2﹣1＜c＜2+1，
1＜c＜3．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，以及非负数的性质，关键是求出a，b的值，熟练掌握三角形的三边关系．
46．如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD＝CE，求证：AB+AC＞AD+AE．
【分析】取BC的中点F，连接AF并延长至G，使FG＝AF，连接GB，GC，GD，GE，依据四边形ABGC和四边形ADGE是平行四边形，即可得到BG＝AC，DG＝AE，延长AD至H，交BG于H，依据三角形三边关系，即可得到AB+BH＞AD+DH，DH+HG＞DG，进而得出AB+BG＞AD+DG，即AB+AC＞AD+AE．
【解答】证明：取BC的中点F，连接AF并延长至G，使FG＝AF，连接GB，GC，GD，GE，
∵BD＝CE，
∴DF＝EF，
∴四边形ABGC和四边形ADGE是平行四边形，
∴BG＝AC，DG＝AE，
延长AD至H，交BG于H，
∵AB+BH＞AD+DH，DH+HG＞DG，
∴AB+BH+DH+HG＞AD+DH+DG，
∴AB+BG＞AD+DG，
即AB+AC＞AD+AE．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形，利用三角形三边关系进行判断．
47．如图所示，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是四边形形内一点，若
S四边形AEOH＝3，S四边形BFOE＝4，S四边形CGOF＝5，求S四边形DHOG．
【分析】连接OC，OB，OA，OD，易证S△OBF＝S△OCF，S△ODG＝S△OCG，S△ODH＝S△OAH，S△OAE＝S△OBE，所以S四边形AEOH+S四边形CGOF＝S四边形DHOG+S四边形BFOE，所以可以求出S四边形DHOG．
【解答】解：连接OC，OB，OA，OD，
∵E、F、G、H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE＝S△OBE，
同理可证，S△OBF＝S△OCF，S△ODG＝S△OCG，S△ODH＝S△OAH，
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF＝S四边形DHOG+S四边形BFOE，
∵S四边形AEOH＝3，S四边形BFOE＝4，S四边形CGOF＝5，
∴3+5＝4+S四边形DHOG，
解得S四边形DHOG＝4．
【点评】此题主要考查了三角形面积，解决本题的关键将各个四边形划分，充分利用给出的中点这个条件，证得三角形的面积相等，进而证得结论．
48．探究规律：
如图，已知直线m∥n，A，B为直线m上的两点，C，P为直线n上两点．
（1）请写出图中面积相等的各对三角形：　△AOC与△BOP，△ABC与△ABP，△ACP与△BCP　．
（2）如果A，B，C为三个定点，点P在n上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有　△ABP　与△ABC的面积相等．理由是：　两平行线之间的距离相等　．
【分析】根据两条平行线间的距离处处相等，再结合三角形的面积公式，
首先判断出：△ABC与△ABP，△ACP与△BCP这两对三角形分别是同底等高的，故两对三角形的面积分别相等．再根据等式的性质，让其中一对三角形的面积都减去公共的部分，即可得到第三对三角形的面积相等，即△AOC与△BOP．
【解答】解：（1）△AOC与△BOP，△ABC与△ABP，△ACP与△BCP．
（2）△ABP；两平行线之间的距离相等．
【点评】注意：两条平行线间的距离处处相等．只要两个三角形是等底等高的，则两个三角形的面积一定相等．还要根据等式的性质进一步进行变形．
49．已知木棒a长度为35厘米、木棒b长度为70厘米，
（1）若现要求选择第三根木棒c与木棒a、b首尾顺次连接组成一个三角形，请求出木棒c长度的取值范围；
（2）有一木棒长度为130厘米，现要求把其切割分为两根木棒d、e（木棒d、e的长度之和恰好为130厘米），若在a、d、e中任选2根木棒，它们与木棒b首尾顺次连接都能组成三角形，求木棒d长度的取值范围；
（3）若木棒d的长为偶数，求（2）中所有可能组成的三角形里最小的周长以及最大的周长分别是多少厘米？
【分析】（1）已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；
（2）分三种情况讨论：①a、d、b能组成三角形；②a、e、b能组成三角形；③d、e、b能组成三角形．分别根据三角形三边关系定理列出不等式组，求解即可；
（3）由木棒d的长为偶数，根据（2）中木棒d长度的取值范围确定三种情况下d的最小值与最大值，再根据周长的定义计算，然后比较即可．
【解答】解：（1）根据三角形的三边关系，得
70﹣35＜c＜70+35，
即35＜c＜105．
故木棒c长度的取值范围是35cm＜c＜105cm；
（2）a＝35cm，b＝70cm，d+e＝130cm．
①如果a、d、b能组成三角形，那么35cm＜d＜105cm；
②如果a、e、b能组成三角形，那么35cm＜e＜105cm，
∵d+e＝130cm，
∴25cm＜d＜95cm；
③如果d、e、b能组成三角形，那么|e﹣b|＜d＜e+b，
即|130﹣d﹣70|＜d＜130﹣d+70，
解得30cm＜d＜100cm．
综上所述，35cm＜d＜100cm；
（3）若木棒d的长为偶数，
①如果a、d、b能组成三角形，那么d最小值为36cm，最大值为104cm，
此时最小的周长是：35+70+36＝141（cm），最大的周长：35+70+104＝209（cm）；
②如果a、e、b能组成三角形，那么d最小值为26cm，最大值为94cm，
此时最小的周长是：35+70+36＝141（cm），最大的周长：35+70+104＝209（cm）；
③如果d、e、b能组成三角形，那么周长是：130+70＝200（cm）；
综上所述，最小的周长是141cm，最大的周长是209cm．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．注意三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．也考查了不等式的性质以及一元一次不等式组的解法．
50．如图，它是由6个面积为1的小正方形组成的矩形，点A，B，C，D，E，F，G是小正方形的顶点，以这七个点中的任意三个点为顶点，可组成多少个面积为1的三角形？请你写出所有这样的三角形．
【分析】观察图形，发现：根据三角形的面积公式，只要保证该三角形的高是1或2，对应的底是2或1即可．
【解答】解：由题意得符合条件的三角形高是1或2，对应的底是2或1，如：△ADE，△BDE，△AEF，△BEF，△BFG，△AFG，△ABD，△ABE，△ABF，△ABG，△DCF，△ECG，△BCF，△ACG．
【点评】此题要有顺序地写，做到不重不漏．
7.5 多边形的内角和与外角和
一．选择题（共13小题）
1．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是（　　）
A．5° B．8° C．10° D．15°
3．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（　　）
A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β
4．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝（　　）
A．130° B．120° C．110° D．100°
5．星期天小明给在建筑工地的爸爸送工具，见一人字架，经测得∠1＝110°，则∠3比∠2大（　　）
A．50° B．65° C．70° D．130°
6．不是利用三角形稳定性的是（　　）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条
7．一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（　　）
A．8或9 B．2或8 C．7或8或9 D．8或9或10
8．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（　　）
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
9．下列语句正确的是（　　）
A．线段AB是点A与点B的距离
B．过n边形的每一个顶点有（n﹣3）条对角线
C．各边相等的多边形是正多边形
D．两点之间的所有连线中，直线最短
10．下列结论正确的是（　　）
A．两直线被第三条直线所截，同位角相等
B．三角形的一个外角等于两个内角的和
C．多边形最多有三个外角是钝角
D．连接平面上三点构成的图形是三角形
11．如图，在六边形ABCDEF中，若∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，∠DEF与∠AFE的平分线交于点G，则∠G等于（　　）
A．55° B．65° C．70° D．80°
12．用一些形状大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（　　）
A．三角形 B．菱形 C．正六边形 D．正七边形
13．下列组合不能密铺平面的是（　　）
A．正三角形、正方形和正六边形
B．正三角形、正方形和正十二边形
C．正三角形、正六边形和正十二边形
D．正方形、正六边形和正十二边形
二．填空题（共8小题）
14．在正三角形、正方形、正六边形、正八边形中，用相同的正多边形不能铺满地面的是　 　．
15．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正六边形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是　 　．
16．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC的度数为　 　．
17．正十边形一个内角度数为　 　．
18．如图，在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数　 　°．
19．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1＝　 　度．
20．分别根据下列图1、图2、图3中已知角的度数，写出相应∠α的度数．
（1）　 　；（2）　 　；（3）　 　
21．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是　 　．
三．解答题（共5小题）
22．如图所示，在四边形ABCD中，点E在BC上，AB∥DE，∠B＝78°，∠C＝60°，求∠EDC的度数．
23．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠C的外角∠ACD的平分线相交于点E，∠EBD＝30°，∠ECD＝65°，求∠A的度数．
24．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，求∠1+∠2的度数．
25．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数．
26．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？
【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有Pn种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？
如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2，
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．
第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为P4种分割方案．
第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．
所以，P5＝P4+P4+P4＝×P4＝×P4＝5（种）
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成四类：
第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．
第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种分割方案．
第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案所以，此类共有P5种分割方案．
所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+P5+P5+P5═P5＝14（种）
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：
P7＝P6，共有　 　种不同的分割方案．……
【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出Pn与Pn﹣1的关系式，不写解答过程）．
【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）

参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．
【解答】解：设三个内角分别为2k、3k、4k，
则2k+3k+4k＝180°，
解得k＝20°，
所以，最大的角为4×20°＝80°，
所以，三角形是锐角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便．
2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是（　　）
A．5° B．8° C．10° D．15°
【分析】依据直角三角形，即可得到∠BCE＝40°，再根据∠A＝30°，CD平分∠ACB，即可得到∠BCD的度数，再根据∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE进行计算即可．
【解答】解：∵∠B＝50°，CE⊥AB，
∴∠BCE＝40°，
又∵∠A＝30°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠BCA＝×（180°﹣50°﹣30°）＝50°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝50°﹣40°＝10°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
3．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（　　）
A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．
4．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝（　　）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【分析】延长BO，交AC于点D，可得∠BOC＝∠C+∠ODC，∠ODC＝∠A+∠B，从而得出答案．
【解答】解：延长BO，交AC于点D，
∵∠BOC＝∠C+∠ODC，∠ODC＝∠A+∠B，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，
∴∠BOC＝∠C+∠A+∠B
＝20°+80°+30°
＝130°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
5．星期天小明给在建筑工地的爸爸送工具，见一人字架，经测得∠1＝110°，则∠3比∠2大（　　）
A．50° B．65° C．70° D．130°
【分析】由三角形的外角性质知∠3＝∠4+∠2，又已知∠1＝110°，根据平角的定义易得∠4，从而计算出∠3比∠2大多少．
【解答】解：∵∠1+∠4＝180°，∠1＝110°，
∴∠4＝70°．
∵∠3＝∠2+∠4
∴∠3﹣∠2＝∠4＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角与内角的关系、平角的定义．三角形的外角与内角间的关系：外角与相邻内角互补；外角等于不相邻的两个内角的和．
6．不是利用三角形稳定性的是（　　）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条
【分析】利用三角形的稳定性进行解答．
【解答】解：照相机的三角架不是利用其稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．
7．一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（　　）
A．8或9 B．2或8 C．7或8或9 D．8或9或10
【分析】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．
【解答】解：∵截去一个角后边数可以增加1，不变，减少1，
∴原多边形的边数是7或8或9．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形，关键是理解多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．
8．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（　　）
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．
【解答】解：对角线的数量＝6﹣3＝3条；
分成的三角形的数量为n﹣2＝4个．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．
9．下列语句正确的是（　　）
A．线段AB是点A与点B的距离
B．过n边形的每一个顶点有（n﹣3）条对角线
C．各边相等的多边形是正多边形
D．两点之间的所有连线中，直线最短
【分析】利用线段的性质和多边形的性质与特征，逐一判定即可．
【解答】解：A、应是线段AB的长度是点A与点B之间的距离，故错误；
B、过n边形的每一个顶点有（n﹣3）条对角线，故正确；
C、各角相等，各边相等的多边形是正多边形，故错误；
D、连接两点的所有连线中，线段最短，故错误．
故选：B．
【点评】此题考查多边形的意义与性质以及线段的意义与性质的运用．
10．下列结论正确的是（　　）
A．两直线被第三条直线所截，同位角相等
B．三角形的一个外角等于两个内角的和
C．多边形最多有三个外角是钝角
D．连接平面上三点构成的图形是三角形
【分析】根据平行线的性质定理，以及三角形的外角的性质定理，三角形的定义即可判断．
【解答】解：A、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故选项错误；
B、三角形的一个外角等于两个不相邻内角的和，故选项错误；
C、多边形的外角和是360°，若外角的个数超过3个，则外角的和就超过360°，因而最多有3个外角，正确；
D、连接平面上不在一条直线上的三点构成的图形是三角形，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质定理，以及三角形的外角的性质定理，是一个基础题．
11．如图，在六边形ABCDEF中，若∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，∠DEF与∠AFE的平分线交于点G，则∠G等于（　　）
A．55° B．65° C．70° D．80°
【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠DEF与∠AFE的度数和是多少，进而求出∠GEF与∠GFE的度数和是多少；然后在△GEF中，根据三角形的内角和定理，求出∠G等于多少即可．
【解答】解：六边形ABCDEF的内角和是：
（6﹣2）×180°
＝4×180°
＝720°
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，
∴∠DEF+∠AFE＝720°﹣500°＝220°，
∵GE平分∠DEF，GF平分∠AFE，
∴∠GEF+∠GFE＝（∠DEF+∠AFE）＝×220°＝110°，
∴∠G＝180°﹣110°＝70°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角的计算，解答此题的关键是要明确：（1）多边形内角和定理：（n﹣2）?180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
12．用一些形状大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（　　）
A．三角形 B．菱形 C．正六边形 D．正七边形
【分析】分别求出三角形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
【解答】解：A、三角形的内角和是180°，6个能密铺；
B、菱形的内角和是360°，4个能密铺；
C、正六边形每个内角为120度，能找出360度，能密铺；
D、正七边形每个内角是：180°﹣360°÷7＝128.6°，不能整除360°，不能密铺．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
13．下列组合不能密铺平面的是（　　）
A．正三角形、正方形和正六边形
B．正三角形、正方形和正十二边形
C．正三角形、正六边形和正十二边形
D．正方形、正六边形和正十二边形
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【解答】解：A、正三角形、正方形和正六边形，可以密铺平面，比如：2个正方形，一个正六边形，一个正三角形．本选项不符合题意；
B、正三角形、正方形和正十二边形，可以密铺平面，比如：2个正三角形、一个正方形、一个正十二边形．本选项不符合题意；
C、正三角形、正六边形和正十二边形，不能密铺平面．本选项符合题意；
D、正方形、正六边形和正十二边形．可以密铺平面，比如：一个正方形、一个正六边形、一个正十二边形．本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
二．填空题（共8小题）
14．在正三角形、正方形、正六边形、正八边形中，用相同的正多边形不能铺满地面的是　正八边形　．
【分析】根据平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片．可求解．
【解答】解：∵正三角形的内角为60°，正四边形的内角为90°，正六边形的内角为120°，正八边形的内角为135°
∴＝6，＝4，＝3，＝2
∴用相同的正多边形不能铺满地面的是正八边形
故答案为正八边形
【点评】本题考查了平面图形镶嵌，关键是利用平面图形镶嵌的定义解决问题．
15．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正六边形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是　四　．
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
【解答】解：由于正六边形和正十二边形内角分别为120°、150°，
∵360﹣（150+120）＝90，
又∵正方形内角为90°，
∴第三个正多边形的边数是四．
故答案为四．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
16．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC的度数为　110°　．
【分析】运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；
【解答】解：∵∠A＝40°．
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×140°＝110°，
故答案为：110°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键．
17．正十边形一个内角度数为　144°　．
【分析】利用正十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数；
【解答】解：∵一个十边形的每个外角都相等，
∴十边形的一个外角为360÷10＝36°．
∴每个内角的度数为 180°﹣36°＝144°；
故答案为：144°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和是360度．边形的内角与它的外角互为邻补角．
18．如图，在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数　6　°．
【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，则∠EAC即可求解，然后在△ACD中，利用三角形内角和定理求得∠DAC的度数，根据∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣63°﹣51°＝66°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝33°，
在直角△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣51°＝39°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝39°﹣33°＝6°．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，正确理解∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC是关键，此题难度不大．
19．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1＝　165　度．
【分析】由题意得出∠CAD＝60°、∠B＝45°、∠CAB＝120°，根据∠1＝∠B+∠CAB可得答案．
【解答】解：如图，
由题意知，∠CAD＝60°，∠B＝45°，
∴∠CAB＝120°，
∴∠1＝∠B+∠CAB＝45°+120°＝165°，
故答案为：165．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
20．分别根据下列图1、图2、图3中已知角的度数，写出相应∠α的度数．
（1）　50°　；（2）　27°　；（3）　50°　
【分析】（1）根据三角形的外角的性质，可得答案；
（2）根据三角形的内角和，对顶角相等，可得答案；
（3）根据多边形的外角和，可得答案．
【解答】解：（1）α＝140°﹣90°，
解得α＝50°．
（2）180°﹣（α+30°）＝180°﹣（21°+36°），
解得α＝27°．
（3）n边形外角和为360°，如图，
∵∠1+∠α+120°+120°＝360°，
∴120°+120°+（180°﹣110°）+α＝360°，
解得α＝50°，
故答案为：50°，27°，50°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和、外角和是解题关键．
21．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是　540°或360°或180°　．
【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解．
【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）?180°，
边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°＝540°，
所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，
所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°＝180°，
因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．
故答案为：540°或360°或180°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键．
三．解答题（共5小题）
22．如图所示，在四边形ABCD中，点E在BC上，AB∥DE，∠B＝78°，∠C＝60°，求∠EDC的度数．
【分析】由AB∥DE可得∠B＝∠DEC＝78°，已知∠C＝60°，根据三角形内角和定理即可得∠EDC的度数．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC＝78°，
∵∠C＝60°，
∴∠EDC＝180°﹣∠C﹣∠DEC＝180°﹣78°﹣60°＝42°．
故∠EDC的度数为42°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质及三角形内角和定理，比较简单．
23．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠C的外角∠ACD的平分线相交于点E，∠EBD＝30°，∠ECD＝65°，求∠A的度数．
【分析】根据∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，想办法求出∠ABC，∠ACB即可．
【解答】解：∵CE是∠ACD的角平分线，
∴∠ACD＝2∠ECD＝130°，
∴∠ACB＝50°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝2∠EBC＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣50°＝70°．
【点评】本题考查三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，求∠1+∠2的度数．
【分析】先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．
【解答】解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，
∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣75°＝105°，
∴∠1+∠2＝360°﹣2×105°＝150°．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
25．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数．
【分析】已知关系为：一个外角＝一个内角×，隐含关系为：一个外角+一个内角＝180°，由此即可解决问题．
【解答】解：设这个多边形的每一个内角为x°，
由题意，得：180﹣x＝x，
解得：x＝140，
∴边数为360÷（180﹣140）＝9，
答：这个多边形的每一个内角的度数为140°，它的边数为9．
【点评】本题主要考查多边形内角与外角，用到的知识点为：各个内角相等的多边形的边数可利用外角来求，边数＝360÷一个外角的度数．
26．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？
【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有Pn种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？
如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2，
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．
第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为P4种分割方案．
第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．
所以，P5＝P4+P4+P4＝×P4＝×P4＝5（种）
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？
不妨把分割方案分成四类：
第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．
第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种分割方案．
第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案所以，此类共有P5种分割方案．
所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+P5+P5+P5═P5＝14（种）
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：
P7＝P6，共有　42　种不同的分割方案．……
【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出Pn与Pn﹣1的关系式，不写解答过程）．
【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）
【分析】探究四：同理可得：P7＝P6+P5+2P4+P5+P6＝2P6+2×P6+2×P6＝3P6＝42（种）；
【结论】根据四边形、五边形、六边形、七边形的对角线把图形分割成三角形的方案总结规律可得：Pn＝Pn﹣1；
【应用】利用规律求得P8的值即可．
【解答】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，如图所示：
不妨把分制方案分成五类：
第1类：如图1，用A，G与B连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形，由探究三知，有P6种不同的分割方案，所以，此类共有P6种不同的分割方案．
第2类：如图2，用A，G与C连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．
第3类：如图3，用A，G与D连接，先把七边形分割转化成1个三角形和2个四边形．由探究一知，有2P4种不同的分割方案．所以，此类共有2P4种分割方案．
第4类：如图4，用A，G与E连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．
第5类：如图5，用A，G与F连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形．由探究三知，有P6种不同的分割方案．所以，此类共有P6种分割方案．
所以，P7＝P6+P5+2P4+P5+P6＝2P6+2×P6+2×P6＝P6＝3P6＝42（种）．
故答案为：18，42；
【结论】：
由题意知：P5＝×P4，P6＝P5，P7＝P6，…
∴Pn＝Pn﹣1；
【应用】
根据结论得：P8＝×P7＝×42＝132．
【点评】此题主要考查了多边形的对角线，图形变化类，研究了多边形对角线分割三角形的关系，关键是能够得到规律，有难度，注意利用数形结合的思想．