3.1 多项式的因式分解
一．选择题（共7小题）
1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2x（x+3）=2x2+6x B．24xy2=3x?8y2
C．x2+2xy+y2+1=（x+y）2+1 D．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
2．若x﹣2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，则mn的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．6
3．下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）
A．a2+b2 B．a2﹣2a+4 C．a2+4b2 D．（x+y）2﹣4
4．下列多项式中，不能分解因式的是（ ）
A．ab+a B．a2﹣9 C．a2﹣2a﹣l D．4x2+4x+1
5．已知关于x的二次三项式x2+7x+n有一个因式为（x+5），则n的值为（ ）
A．﹣18 B．2 C．10 D．12
6．下列变形属于因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4 B．x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2
C．x2﹣6xy+9y2=（x﹣3y）2 D．3（5﹣x）=﹣3（x﹣5）
7．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
二．填空题（共6小题）
8．分解因式：x2﹣9x= ．
9．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为 ．
10．下列从左到右的变形中，是因式分解的有 ．
①24x2y=4x?6xy ②（x+5）（x﹣5）=x2﹣25 ③x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1）
④9x2﹣6x+1=3x（3x﹣2）+1 ⑤x2+1=x（x+） ⑥3xn+2+27xn=3xn（ x2+9）
11．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b= ．
12．请从4a2，（x+y）2，1，9b2中，任选两式做差得到的一个式子进行因式分解是 ．
13．给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+n2．其中，能够分解因式的是 （填上序号）．
三．解答题（共2小题）
14．已知二次三项式2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a），求a和k的值．
15．已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n=17，试求m、n的值．
参考答案
一．1．D 2．C 3．D 4．C 5．C 6．C 7．A
二．8．x（x﹣9） 9．﹣1 10．③⑥ 11．15 12．（2a﹣1）（2a+1）答案不唯一
13．②③④⑤⑥
三．14．解：由2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a），得
2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a，
∴，
解得a=4，k=20．
∴a的值为4，k的值为20．
15．解法一：设另一个因式是x+a，则有
（x+5）?（x+a），
=x2+（5+a）x+5a，
=x2+mx+n，
∴5+a=m，5a=n，这样就得到一个方程组，
解得．
∴m、n的值分别是7、10．
解法二：依题意知，x=﹣5是方程x2+mx+n=0的解，则
25﹣5m+n=0，①
又m+n=17，②
由①②得到m=7，n=10．
3.2 提公因式法
一．选择题（共9小题）
1．已知边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，则ab2+a2b的值为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
2．如图，矩形的长、宽分别为a、b，周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（ ）
（第2题图）
A．60 B．30 C．15 D．16
3．下列多项式中，可以提取公因式的是（ ）
A．ab+cd B．mn+m2 C．x2﹣y2 D．x2+2xy+y2
4．下列各式从左到右的变形错误的是（ ）
A．（y﹣x）2=（x﹣y）2 B．﹣a﹣b=﹣（a+b）
C．（a﹣b）3=﹣（b﹣a）3 D．﹣m+n=﹣（m+n）
5．若a﹣b=2，ab=3，则ab2﹣a2b的值为（ ）
A．6 B．5 C．﹣6 D．﹣5
6．多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是（ ）
A．5mx2 B．﹣5mx3 C．mx D．﹣5mx
7．多项式x2﹣9与多项式x2+6x+9的公因式为（ ）
A．x﹣3 B．（x+3）2
C．x+3 D．（x﹣3）（x+3）2
8．把多项式（m+1）（m﹣1）+（m+1）提取公因式m+1后，余下的部分是（ ）
A．m+1 B．m﹣1 C．m D．2 m+1
9．设，那么M﹣N等于（ ）
A．a2+a B．（a+1）（a+2）
C． D．
二．填空题（共5小题）
10．多项式x2﹣1与多项式x2﹣2x+1的公因式是 ．
11．若a2+a+1=0，那么a2001+a2000+a1999= ．
12．因式分解：x2﹣4x= ．
13．因式分解：x2﹣x= ．
14．若m﹣n=3，mn=﹣2，则4m2n﹣4mn2+1的值为 ．
三．解答题（共9小题）
15．5（x﹣y）3+10（y﹣x）2．（提公因式法）
16．mn（m﹣n）﹣m（m﹣n）．（提公因式法）
17．分解因式：x（x﹣y）﹣y（y﹣x）．
18．3a2﹣6a．
19．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3．
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3，则需应用上述方法 次，结果是 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）的结果是 ．
参考答案
一．1．B 2．B 3．B 4．D 5．C 6．D 7．C 8．C 9．A
二．10．x﹣1 11．0 12．x（x﹣4） 13． x（x﹣1） 14．﹣23
三．15．解：5（x﹣y）3+10（y﹣x）2
=5（x﹣y）3+10（x﹣y）2
=5（x﹣y）2[（x﹣y）+2]
=5（x﹣y）2（x﹣y+2）．
16．解：mn（m﹣n）﹣m（m﹣n）=m（m﹣n）（n﹣1）．
17．解：原式=x（x﹣y）+y（x﹣y），
=（x﹣y）（x+y）．
18．解：3a2﹣6a=3a（a﹣2）．
19．解：（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3，
=（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2]
=（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）]
=（1+x）2（1+x）（1+x）
=（1+x）4，
故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3，则需应用上述方法3次，结果是（x+1）4．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）的结果是（x+1）n+1．
3.3 公式法
一．选择题（共5小题）
1．下列变形正确的是（ ）
A．x3﹣x2﹣x=x（x2﹣x） B．x2﹣3x+2=x（x﹣3）﹣2
C．a2﹣9=（a+3）（a﹣3） D．a2﹣4a+4=（a+2）2
2．把多项式x3﹣4x分解因式所得的结果是（ ）
A．x（x2﹣4） B．x（x+4）（x﹣4）
C．x（x+2）（x﹣2） D．（x+2）（x﹣2）
3．若x2+px+q=（x+3）（x﹣5），则p、q的值分别为（ ）
A．﹣15，﹣2 B．﹣2，﹣15 C．15，﹣2 D．2，﹣15
4．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣4 B．x2﹣2x﹣1 C．x2﹣4x+4 D．x2+4x+1
5．因式分解x﹣4x3的最后结果是（ ）
A．x（1﹣2x）2 B．x（2x﹣1）（2x+1）
C．x（1﹣2x）（2x+1） D．x（1﹣4x2）
二．填空题（共5小题）
6．分解因式：a2﹣9= ．
7．分解因式：x2﹣4y2= ．
8．分解因式：x2﹣xy+xz﹣yz= ．
9．若m+n=10，m﹣n=2，则m2﹣n2= ．
10．因式分解：x2﹣x﹣12= ．
三．解答题（共5小题）
11．因式分解：x4﹣16y4．
12．因式分解：am2﹣6ma+9a．
13．因式分解：a2（2a﹣1）+（1﹣2a）b2．
14．将下列各式因式分解：
（1）a3﹣10a2+25a；
（2）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）．
15．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y．
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）．
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
参考答案
一．1．C 2．C 3．B 4．C 5．C
二．6．（a+3）（a﹣3） 7．（x+2y）（x﹣2y） 8．（x﹣y）（x+z） 9．20
10．（x﹣4）（x+3）
三．11．解：x4﹣16y4
=（x2+4y2）（x2﹣4y2）
=（x2+4y2）（x+2y）（x﹣2y）．
12．解：原式=a（m2﹣6m+9）
=a（m﹣3）2．
13．解：原式=（2a﹣1）（a2﹣b2）
=（2a﹣1）（a+b）（a﹣b）．
14．解：（1）原式=a（a2﹣10a+25）=a（a﹣5）2；
（2）原式=（x﹣y）（x+y）．
15．解：（1）∵（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4，
∴该同学因式分解的结果不彻底．
（2）设x2﹣2x=y
原式=y（y+2）+1
=y2+2y+1
=（y+1）2
=（x2﹣2x+1）2
=（x﹣1）4．
第3章检测卷
（时间：90分钟 满分：120分）
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是( )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)
2．多项式－6xy2＋9xy2z－12x2y2的公因式是( )
A．－3xy B．3xyz
C．3y2z D．－3xy2
3．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是( )
A．－a2－4b2 B．－1＋25a2
C.－9a2 D．－a4＋1
4．把代数式xy2－9x分解因式，结果正确的是( )
A．x(y2－9) B．x(y＋3)2
C．x(y＋3)(y－3) D．x(y＋9)(y－9)
5．若(x＋y)3－xy(x＋y)＝(x＋y)·M，则M是( )
A．x2＋y2 B．x2－xy＋y2
C．x2－3xy＋y2 D．x2＋xy＋y2
6．计算2100＋(－2)101的结果是( )
A．2100 B．－2100
C．2 D．－2
7．下列因式分解中，正确的是( )
A．x2y2－z2＝x2(y＋z)(y－z)
B．－x2y＋4xy－5y＝－y(x2＋4x＋5)
C．(x＋2)2－9＝(x＋5)(x－1)
D．9－12a＋4a2＝－(3－2a)2
8．如图是边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2－ab的值为( )
（第8题图）
A．70
B．60
C．130
D．140
9．设n为整数，则代数式(2n＋1)2－25一定能被下列数整除的是( )
A．4 B．5
C．n＋2 D．12
10．已知a，b，c是三角形ABC的三条边，且三角形两边之和大于第三边，则代数式(a－c)2－b2的值是( )
A．正数 B．0
C．负数 D．无法确定
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．分解因式2a(b＋c)－3(b＋c)的结果是______________．
12．多项式3a2b2－6a3b3－12a2b2c的公因式是________．
13．已知a，b互为相反数，则的值为________．
14．把下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解：________________．
（第14题图）
15．分解因式：(m＋1)(m－9)＋8m＝________________．
16．若x＋y＝10，xy＝1，则x3y＋xy3的值是________．
17．若二次三项式x2＋mx＋9是一个完全平方式，则代数式m2－2m＋1的值为________．
18．先阅读，再分解因式：x4＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2－2x＋2)(x2＋2x＋2)，按照这种方法分解因式：x4＋64＝______________．
三、解答题(共66分)
19．(16分)分解因式：
(1)(2a＋b)2－(a＋2b)2；
(2)－3x2＋2x－；
(3)3m4－48；
(4)x2(x－y)＋4(y－x)．
20．(10分)(1)已知x＝，y＝，求代数式(3x＋2y)2－(3x－6y)2的值；
(2)已知a－b＝－1，ab＝3，求a3b＋ab3－2a2b2的值．
21．(8分)给出三个多项式：x2＋2x－1，x2＋4x＋1，x2－2x，请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
22．(10分)利用因式分解计算：
(1)8352－1652；
(2)2032－203×206＋1032.
23．(10分)如图，在半径为R的圆形钢板上，钻四个半径为r的小圆孔，若R＝8.9cm，r＝0.55cm，请你应用所学知识用最简单的方法计算剩余部分面积(结果保留π)．
（第23题图）
24．(12分)先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则
原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.
再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝____________；
(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；
(3)试说明：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．
参考答案
一、1．D 2.D 3.A 4.C 5.D 6．B 7.C 8.B 9.A 10.C
二、11．(b＋c)(2a－3) 12.3a2b2 13.0 14．x2＋3x＋2＝(x＋2)(x＋1)
15．(m＋3)(m－3) 16.98 17.25或49 18．(x2－4x＋8)(x2＋4x＋8)
三、19．解：(1)原式＝(2a＋b＋a＋2b)(2a＋b－a－2b)＝3(a＋b)(a－b)．(4分)
(2)原式＝－3＝－3.(8分)
(3)原式＝3(m4－42)＝3(m2＋4)(m2－4)＝3(m2＋4)(m＋2)(m－2)．(12分)
(4)原式＝(x－y)(x2－4)＝(x－y)(x＋2)(x－2)．(16分)
20．解：(1)原式＝(3x＋2y＋3x－6y)(3x＋2y－3x＋6y)＝(6x－4y)·8y＝16y(3x－2y)．(2分)当x＝，y＝时，原式＝16××＝0.(5分)
(2)原式＝ab(a2＋b2－2ab)＝ab(a－b)2.(7分)当ab＝3，a－b＝－1时，原式＝3×(－1)2＝3.(10分)
21．解：x2＋2x－1＋x2＋4x＋1＝x2＋6x＝x(x＋6)(答案不唯一)．(8分)
22．解：(1)原式＝(835＋165)×(835－165)＝1000×670＝670000.(5分)
(2)原式＝2032－2×203×103＋1032＝(203－103)2＝1002＝10000.(10分)
23．解：S剩余＝πR2－4πr2＝π(R＋2r)(R－2r)．(5分)当R＝8.9cm，r＝0.55cm时，S剩余＝π×10×7.8＝78π(cm2)．(9分)
答：剩余部分的面积为78πcm2.(10分)
24．解：(1)(x－y＋1)2(2分)
(2)令A＝a＋b，则原式＝A(A－4)＋4＝A2－4A＋4＝(A－2)2，故(a＋b)(a＋b－4)＋4＝(a＋b－2)2.(6分)
(3)(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n)[(n＋1)(n＋2)]＋1＝(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n＋1)2.∵n为正整数，∴n2＋3n＋1也为正整数，∴式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．(12分)
