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选修2-2 导数的计算 专项训练测试题
选择题
1．已知函数f(x)＝xln x，则f′(1)＋f(4)的值为
A．1－8ln 2 B．1＋8ln 2
C．8ln 2－1 D．－8ln 2－1
2．函数y＝x3的图像在原点处的切线方程为
A．y＝x B．x＝0 C．y＝0 D．不存在
3．f(x)＝x(2 020＋ln x)，若f′(x0)＝2 021，则x0等于
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
4过曲线y＝ex上一点P(x0，y0)作曲线的切线，若该切线在y轴上的截距小于0，则x0的取值范围是
A．(0，＋∞) B.
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
5．已知各项均为正数的等比数列{an}，a3·a5＝2，若f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a7)，则f′(0)＝
A．8 B．－8 C．128 D．－128
填空题
6．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________．
7．已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．
8．已知曲线f(x)＝x＋＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝________．
9．若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是
A. B.
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
10．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m的值为
A．－1 B．－3 C．－4 D．－2
11．已知曲线f(x)＝x3－x2＋ax＋3存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为
A. B.
C. D.
12．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
13．函数g(x)＝ln x图像上一点P到直线y＝x的最短距离为________．
14．曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O为原点)是以∠A为顶角的等腰三角形，则切线l的倾斜角为________．
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选修2-2 导数的计算 专项训练测试题解析
选择题
1．已知函数f(x)＝xln x，则f′(1)＋f(4)的值为
A．1－8ln 2 B．1＋8ln 2
C．8ln 2－1 D．－8ln 2－1
解析 因为f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝0＋1＝1，
所以f′(1)＋f(4)＝1＋4ln 4＝1＋8ln 2.故选B.
答案 B
2．函数y＝x3的图像在原点处的切线方程为
A．y＝x B．x＝0 C．y＝0 D．不存在
解析 函数y＝x3的导数为y′＝3x2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y－0＝0(x－0)，即y＝0，故选C.
答案 C
3．f(x)＝x(2 020＋ln x)，若f′(x0)＝2 021，则x0等于
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
解析 f′(x)＝2 020＋ln x＋x×＝2 021＋ln x，
由f′(x0)＝2 021，得2 021＋ln x0＝2 021，则ln x0＝0，解得x0＝1.
答案 B
4过曲线y＝ex上一点P(x0，y0)作曲线的切线，若该切线在y轴上的截距小于0，则x0的取值范围是
A．(0，＋∞) B.
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析 由y＝ex，得y′＝ex，则切线斜率为ex0，
∴切线方程为y－y0＝ex0(x－x0)，
当x＝0时，y＝－x0ex0＋y0＝－x0ex0＋ex0＝ex0(1－x0)<0，∴x0>1，则x0的取值范围是(1，＋∞)．故选C.
答案 C
5．已知各项均为正数的等比数列{an}，a3·a5＝2，若f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a7)，则f′(0)＝
A．8 B．－8 C．128 D．－128
解析 令f(x)＝x·g(x)，其中g(x)＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a7)，则f′(x)＝g(x)＋x·g′(x)，
因为{an}是等比数列，所以f′(0)＝g(0)＝(－a1)·(－a2)·(－a3)·…·(－a7)＝－a，
又因为a3·a5＝a＝2及{an}各项均为正数，
所以a4＝，故f′(0)＝－8.故选B.
答案 B
填空题
6．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________．
解析 由题意可得f′(x)＝x2＋3f′(0)，
令x＝0，可得f′(0)＝02＋3f′(0)，∴f′(0)＝0，
则f(x)＝x3，∴f′(x)＝x2，∴f′(1)＝1.
答案 1
7．已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．
解析 由函数的解析式可得：f′(x)＝ex×ln x＋ex×＝ex，则f′(1)＝e1×＝e.即f′(1)的值为e.
答案 e
8．已知曲线f(x)＝x＋＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝________．
解析 ∵f′(x)＝1－，∴f′(1)＝1－a，又f(1)＝1＋a＋b，∴曲线在(1，f(1))处的切线方程为y－(1＋a＋b)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋2a＋b，
根据题意有解得
∴a－b＝－1－7＝－8.
答案 －8
9．若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是
A. B.
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
解析 f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.
答案 D
10．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m的值为
A．－1 B．－3 C．－4 D．－2
解析 因为f′(x)＝，所以直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，
又f(1)＝0，所以切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，于是解得m＝－2.
答案 D
11．已知曲线f(x)＝x3－x2＋ax＋3存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为
A. B.
C. D.
解析 由题意可知f′(x)＝x2－x＋a，且方程f′(x)＝3，即x2－x＋a－3＝0有两个不同的解x1，x2，且x1，x2均大于零，则解得3
答案 A
12．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
解析 设点P(x0，y0)，因为y′＝－e－x，
所以曲线在点P处的切线的斜率为k＝－e－x0，
又因为切线平行于直线2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，
解得x0＝－ln 2，代入y＝e－x得y0＝2，所以点P(－ln 2，2)．
答案 (－ln 2，2)
13．函数g(x)＝ln x图像上一点P到直线y＝x的最短距离为________．
解析 设与直线y＝x平行且与曲线g(x)＝ln x相切的直线的切点坐标为(x0，ln x0)，因为g′(x)＝(ln x)′＝，则1＝，∴x0＝1，则切点坐标为(1，0)，∴最短距离为(1，0)到直线y＝x的距离，即为＝，故答案为.
答案
14．曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O为原点)是以∠A为顶角的等腰三角形，则切线l的倾斜角为________．
解析 解法一 因为y＝x3，所以y′＝3x2.设点B(x0，x)(x0≠0)，则kl＝3x，所以切线l的方程为y－x＝3x(x－x0)．取y＝0，则x＝x0，所以点A.易知线段OB的垂直平分线方程为y－eq \f(x,2)＝－eq \f(1,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x0,2)))，根据线段OB的垂直平分线过点A可得－eq \f(x,2)＝－eq \f(1,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x0－\f(x0,2)))，解得x＝，所以kl＝3x＝，故切线l的倾斜角为60°.
解法二 因为y＝x3，所以y′＝3x2.设点B(x0，x)(x0≠0)，则kl＝3x，所以切线l的方程为y－x＝3x(x－x0)．取y＝0，则x＝x0，所以点A.由|OA|＝|AB|，得eq \f(4x,9)＝eq \f(x,9)＋x，又x0≠0，所以x＝，所以kl＝3x＝，故切线l的倾斜角为60°.
答案 60°
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