北师大版八年级下册数学1.3线段的垂直平分线同步练习（解析版）

北师大版八年级下册1.3线段的垂直平分线同步练习
一．选择题（共8小题）
1．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（　　）

A．48° B．36° C．30° D．24°
4．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（　　）

A．90° B．95° C．100° D．105°
5．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65° B．60° C．55° D．45°
6．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是（　　）

A．24° B．30° C．32° D．36°
7．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线DF，EG交于点M，点F，G在BC上．若∠GAF＝46°，则∠M的度数为（　　）

A．67° B．65° C．55° D．45°
8．如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是（　　）

A．PB＞PC B．PB＝PC C．PB＜PC D．PB＝2PC
二．填空题（共5小题）
9．如图，在△ABC中，BC＝1，AC＝，DE垂直平分AC，垂足为D，DE交AB于点E，且AE＝BE．则BE的长为　 　．

10．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，则∠ABC的度数为＝　 　．

11．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线交BC于点E，G，若∠B+∠C＝70°，则∠EAG＝　 　．

12．如图，在△ABC中，点D在BC上，且BC＝CD+AD，则点D在　 　的垂直平分线上．

13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，AE＝5，CE＝3，线段CB的长为　 　．

三．解答题（共8小题）
14．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．



15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．


16．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．



17．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．



18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，
求证：BE+DE＝AC．


19．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连结OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．



20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．



21．已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：
（1）到两村的距离相等；
（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？

参考答案
一．选择题（共8小题）
1．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC＝7（cm），
∴AN+NC+BC＝7（cm），
∵AN+NC＝AC，
∴AC+BC＝7（cm），
又∵AC＝4cm，
∴BC＝7﹣4＝3（cm）．
故选：C．
2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BDC的周长＝DB+BC+CD，
∴△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC＝6+4＝10．
故选：C．
3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（　　）

A．48° B．36° C．30° D．24°
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝24°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣24°×2＝72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝24°，
∴∠ACF＝72°﹣24°＝48°，
故选：A．
4．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（　　）

A．90° B．95° C．100° D．105°
【解答】解：∵CD＝AC，∠A＝50°，
∴∠ADC＝∠A＝50°，
根据题意得：MN是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴∠BCD＝∠B，
∴∠B＝∠ADC＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故选：D．
5．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65° B．60° C．55° D．45°
【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠B＝55°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，
故选：A．
6．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是（　　）

A．24° B．30° C．32° D．36°
【解答】解：∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB，
∵∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB＝（180°﹣60°﹣24°）＝32°．
故选：C．
7．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线DF，EG交于点M，点F，G在BC上．若∠GAF＝46°，则∠M的度数为（　　）

A．67° B．65° C．55° D．45°
【解答】解：∵AB，AC的垂直平分线DF，EG交于点M，
∴AF＝BF，AG＝CG，
∴∠BAF＝∠B，∠CAG＝∠C，
又∵∠GAF＝46°，
∴∠BAF+∠CAG＝＝67°，
∴∠BAC＝67°+46°＝113°，
又∵∠ADM+∠AEM＝180°，
∴∠M＝180°﹣113°＝67°，
故选：A．
8．如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是（　　）

A．PB＞PC B．PB＝PC C．PB＜PC D．PB＝2PC
【解答】解：连接AP，

∵线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，
∴AP＝PB，AP＝PC，
∴PB＝PC，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
9．如图，在△ABC中，BC＝1，AC＝，DE垂直平分AC，垂足为D，DE交AB于点E，且AE＝BE．则BE的长为　1　．

【解答】解：如图所示，连接CE，

∵DE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴∠A＝∠ACE，
∵AE＝BE，
∴BE＝CE，
∴∠B＝∠BCE，
∵∠A+∠B+∠ACE+∠BCE＝180°，
∴∠ACE+∠BCE＝90°，即∠ACB＝90°，
∵BC＝1、AC＝，
∴AB＝2，
则BE＝AB＝1，
故答案为：1．
10．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，则∠ABC的度数为＝　48°　．

【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵∠ACF＝48°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠ABC＝2∠FCE，
∵∠ACF＝48°，
∴3∠FCE＝120°﹣48°＝72°，
∴∠FCE＝24°，
∴∠ABC＝48°，
故答案为：48°
11．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线交BC于点E，G，若∠B+∠C＝70°，则∠EAG＝　40°　．

【解答】解：∵在△ABC中，AB，AC的垂直平分线交BC于点E，G，
∴AE＝BE，AG＝CG，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAG，
∵∠B+∠C＝70°，
∴∠BAE+∠CAG＝70°，∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝110°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAG）＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40°．
12．如图，在△ABC中，点D在BC上，且BC＝CD+AD，则点D在　线段AB　的垂直平分线上．

【解答】解：∵BC＝CD+AD，BC＝BD+CD，
∴AD＝BD，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
故答案为：线段AB．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，AE＝5，CE＝3，线段CB的长为　4　．

【解答】解：连接BE，
∵AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，AE＝5，
∴BE＝AE＝5，
在Rt△ECB中，由勾股定理得：CB＝＝＝4，
故答案为：4．
三．解答题（共8小题）
14．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．

【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB＝15cm；

（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．

【解答】证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD（全等三角形的性质）．

（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC+CF，
∵AD＝CF（已证），
∴AB＝BC+AD（等量代换）．
16．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE＝CE，OE＝OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD＝OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；

（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF，
∴OE＝4EF．
17．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．

【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝70°，
∴∠C＝∠AED＝35°；

（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm，
∴AB+BE+EC＝7cm，
即2DE+2EC＝7cm，
∴DE+EC＝DC＝3.5cm．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，
求证：BE+DE＝AC．

【解答】证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，
∴CE＝DE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵AC＝AE+CE，
∴BE+DE＝AC．
19．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连结OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．

【解答】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线
∴DA＝DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm；
（2）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∵OB+OC+BC＝16cm，
∴OA＝0B＝OC＝5cm；
（3）∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝60°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°．

20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．

【解答】证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．
21．已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：
（1）到两村的距离相等；
（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？

【解答】解：①以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交直线a、b于点A、B；
②分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画圆，两圆相交于点C，连接OC；
③连接ED，分别以E、D为圆心，以大于ED为半径画圆，两圆相交于F、G两点，连接FG；
④FG与OC相交于点H，则H即为工厂的位置．
同法可得H′也满足条件，
故点H或H′即为工厂的位置．