(共27张PPT)
1 第2课时
正弦和余弦
我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.
想一想：
【问题1】当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？
【问题2】梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？
想一想：如图.
（1）直角三角形A1B1C1和直角三角形A1B2C2有什么关系？
（2）
和
有什么关系？
和
呢？
讲授新课
（3）如果改变B2在梯子A1B1上的位置呢？由此你可得出什么结论？
（4）如果改变梯子A1B1的倾斜角的大小呢？由此你可得出什么结论？
C1
C2
A1
B1
B2
想一想：如图.
（1）直角三角形A1B1C1和直角三角形A1B2C2有什么关系？
讲授新课
∵
A1C1⊥
B1C1，
A1C2⊥
B2C2，
∴
B1C1∥
B2C2，
∴Rt△B1A1C1
∽
Rt△B2A1C2.
C1
C2
A1
B1
B2
想一想：如图.
（2）
和
有什么关系？
和
呢？
讲授新课
∵
Rt△B1A1C1
∽
Rt△B2A1C2，
C1
C2
A1
B1
B2
讲授新课
（3）如果改变B2在梯子A1B1上的位置呢？由此你可得出什么结论？
由于B2是梯子A1B1上任意一点，所以，如果改变B2在梯子A1B1上的位置，上述结论仍成立.
只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值也随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关.
C1
C2
A1
B1
B2
讲授新课
（4）如果改变梯子A1B1的倾斜角的大小呢？由此你可得出什么结论？
如果改变梯子A1B1的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值将怎样变化？
这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变.同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值是唯一确定的.
C1
C2
A1
B1
B2
讲授新课
定义：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比也随之确定.如图，
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin
A，即
A
B
C
∠A的邻边
∠A的对边
斜边
讲授新课
定义：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的邻边与斜边的比也随之确定.如图，
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos
A，即
A
B
C
∠A的邻边
∠A的对边
斜边
定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦
(习惯省去“∠”号).
3.sinA,cosA
是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA均﹥0,无单位.
4.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
讲授新课
我们上节课知道了梯子的倾斜程度与tan
A有关系：
tan
A的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sin
A，cos
A有关系呢？如果有关系，是怎样的关系？
讲授新课
如图所示，AB=A1B1.
在Rt△ABC中，
A
B
C
B1
A1
在Rt△A1B1C中，
∴梯子A1B1
比梯子AB陡.
梯子的倾斜程度与sin
A有关系，
sin
A的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.
∵AB=A1B1，
A
B
C
B1
A1
∴梯子的倾斜程度与cos
A也有关系，
cos
A的值越小，梯子越陡.
同理，
如图：在Rt
△ABC中，∠C＝90°，
sinA=cosB
例1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sin
A=0.6，求BC的长.
解：在Rt△ABC中，
∠B=90°，AC=200，
sin
A=0.6，即
∴BC=AC×0.6=200×0.6=120.
A
C
B
例1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sin
A=0.6.
思考：（1）cos
A=？
（2）sin
C=？
cos
C=？
讲授新课
A
C
B
解：根据勾股定理得
在Rt△ABC中，
∵∠B=90°，
例1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sin
A=0.6.
思考：（3）由上面计算，你能猜想出什么结论？
讲授新课
A
C
B
由上面的计算可知
sin
A=cos
C=0.6，
cos
A=sin
C=0.8.
因为∠A+
∠C=90°，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”或“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”.
例2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cos
A=
，AC=10，AB等于多少？sin
B呢？
cos
B，sin
A呢？
你还能得出类似例1的结论吗？请用一般式表达.
讲授新课
C
B
A
例2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cos
A=
，AC=10，AB等于多少？sin
B呢？
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=10，
cos
A=
即
讲授新课
C
B
A
例2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cos
A=
，AC=10，
cos
B，
sin
A呢？
根据勾股定理得
讲授新课
C
B
A
例2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cos
A=
，AC=10，你还能得出类似例1的结论吗？请用一般式表达.
可以得出同例1一样的结论：
∵
∠A+
∠B=90°，
∴sin
A=
cos
B=
cos(90°-
A)，即sin
A
=
cos(90°-
A)；
cos
A=
sin
B=
sin
(90°-
A)，即cos
A
=
sin
(90°-
A).
讲授新课
C
B
A
1.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，
BC=6，求sin
B，
cos
B，tan
B.
随堂练习
B
A
C
D
随堂练习
B
A
C
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sin
A=
，BC=20，求△ABC的周长和面积.
△ABC的周长=60；
△ABC的面积=150.
随堂练习
A
B
C
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tan
A=
，求sin
A.
本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A的三角函数概念中，∠
A是自变量，其取值范围是0°<
∠
A
<90°；三个比值是因变量.当∠
A确定时，三个比值分别唯一确定；当∠
A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题.
课堂小结
谢
谢
观
看！(共22张PPT)
1.1
第1课时
正切与坡度
你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
创设问题，导入新课
动手试一试吧！
铅直高度
水平宽度
梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为倾斜角
从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度
从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度
A
C
B
如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
A
B
C
2
m
5
m
E
F
D
2.5
m
5
m
梯子AB更陡
倾斜角越大——梯子越陡
当铅直高度与水平宽度的比越大——梯子越陡.
以下各组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
创设问题，导入新课
A
B
C
1.5
m
4
m
E
F
D
1.3
m
3.5
m
梯子EF更陡
倾斜角越大——梯子越陡
当铅直高度与水平宽度的比越大——梯子越陡.
创设问题，导入新课
A
B
C
2
m
4
m
E
F
D
3
m
6
m
两个梯子一样陡
以下各组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
倾斜角相同
创设问题，导入新课
A
B
C
2
m
5
m
E
F
D
2
m
6
m
梯子EF更陡
以下各组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
倾斜角越大——梯子越陡
当铅直高度与水平宽度的比越大——梯子越陡.
总结:铅直高度与水平宽度的比和
倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度.
直角三角形的边与角的关系：
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
（2）
和
有什么关系？
（3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3）呢？
（4）由此你能得出什么结论？
新课学习
A
B1
B2
B3
C1
C2
C3
想一想
直角三角形的边与角的关系：
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
新课学习
A
B1
B2
B3
C1
C2
C3
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
直角三角形的边与角的关系：
（2）
和
有什么关系？
新课学习
A
B1
B2
B3
C1
C2
C3
直角三角形的边与角的关系：
（3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3）呢？
新课学习
A
B1
B2
B3
C1
C2
C3
结论仍然成立
Rt△AB1C1∽Rt△AB3C3
直角三角形的边与角的关系：
（4）由此你能得出什么结论？
新课学习
A
B1
B2
B3
C1
C2
C3
一个角的对边与邻边的比值不随边长的改变而改变.
新课学习
定义：如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tan
A，即
A
B
C
∠A的邻边
∠A的对边
例1.如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
分析：比较哪一个自动扶梯比较陡，实际上就是比较∠α和∠β的正切值的大小.正切值越大，扶梯越陡.
例题感知，体会应用
α
β
4
m
8
m
5
m
13
m
（甲）
（乙）
例1.如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
解：甲梯中，
乙梯中，
∵
∴甲梯更陡.
例题感知，体会应用
α
β
4
m
8
m
5
m
13
m
（甲）
（乙）
坡度：正切也经常用来描述坡度，例如，有一山坡在水平方向上每前进100
m就升高60
m（如图），那么山坡的坡度就是
例题感知，体会应用
α
60
m
100
m
例2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，
AB=20，求tan
A和tan
B的值.
解：∵在Rt△ABC中，
BC=12，
AB=20，
∴
∴
例题感知，体会应用
A
B
C
12
20
1.如图，△ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tan
C吗
练习巩固
解：
B
A
D
C
1.5
4
A
B
C
2.如图，某人从山脚下的点A走了200
m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55
m，求山的坡度（结果精确到0.001）.
练习巩固
解：∵在Rt△ABC中，
BC=55，
AB=200，
∴
∴
∴山的坡度约是0.286.
1.本节课的主要知识：
（1）正切的定义；（2）正切定义的应用.
2.本节课的困惑：
（1）正切值与角的大小之间的关系；
（2）正切定义的应用.
课堂小结
谢
谢
观
看！
