华师大版九年级数学下册第二十六章 二次函数单元测试题含答案

第二十六章单元测试
[测试范围:第26章　二次函数　时间:40分钟　分值:100分]
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
1.下面的函数是二次函数的是 (　　)
A.y=3x+1 B.y=x2+2x
C.y=x2 D.y=2x
2.一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式:h=-6(t-2)2+7,则小球距离地面的最大高度是 (　　)
A.2米 B.5米
C.6米 D.7米
3.下列关于函数y=-12x2-1的图象的说法:①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点坐标是(0,0);⑤当x>1时,y随x的增大而减小.其中正确的有 (　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
4.在同一平面直角坐标系内,将函数y=2x2+4x-3的图象向右平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的新图象的顶点坐标是 (　　)
A.-3,-6 B.1,-4
C.1,-6 D.-3,-4
5.二次函数的图象如图26-Z-1所示,则其表达式是 (　　)
图26-Z-1
A.y=-x2+2x+3
B.y=x2-2x-3
C.y=-x2-2x+3
D.y=-x2-2x-3
6.如图26-Z-2,在Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系图象为下列选项中的 (　　)
图26-Z-2
图26-Z-3
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
7.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上的两点,该抛物线的顶点坐标是　　　　.?
8.如图26-Z-4,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为　　　　　　.?
图26-Z-4
9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)的x与y的部分对应值如下表,则当x满足的条件是　　　　时,y=0;当x满足的条件是　　　　时,y>0.?
x
-2
-1
0
1
2
3
y
-16
-6
0
2
0
-6
10.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图26-Z-5所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为　　　　　　.?
图26-Z-5
11.某服装店购进单价为15元/件的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元/件时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元时,平均每天能多售出4件,当每件的定价为　　　　元时,该服装店平均每天的销售利润最大.?
12.如图26-Z-6是抛物线y1=ax2+bx+c的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,有下列结论:①abc>0;②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;③抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);④当1y1;⑤x(ax+b)≤a+b.其中正确的结论是　　　　.(只填写序号)?
图26-Z-6
三、解答题(本大题共4小题,共52分)
13.(12分)如图26-Z-7,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,-1),B(0,2),C(1,3).
(1)求该二次函数的关系式;
(2)画出该二次函数的图象.
图26-Z-7
14.(12分)图26-Z-8是抛物线形拱桥的剖面图,拱底宽12 m,拱高8 m.
(1)请建立适当的平面直角坐标系,求出抛物线对应的函数关系式;
(2)若设计警戒水位为6 m,当拱桥内水位达到警戒水位时,拱桥内的水面宽度是多少米?
图26-Z-8
15.(12分)已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?
16.(16分)如图26-Z-9所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,连结AD,P是线段AD上的一个动点(不与点A,D重合).经过点P作y轴的垂线,垂足为E,连结AE.
(1)求抛物线所对应的函数关系式,并写出顶点D的坐标;
(2)如果点P的坐标为(x,y),△PAE的面积为S,求S与x之间的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围,并求S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取到最大值时,过点P作x轴的垂线,垂足为F,连结EF,把△FPE沿直线EF折叠,点P的对应点为点P',求出点P'的坐标,并判断点P'是否在该抛物线上.
图26-Z-9

教师详解详析
作者说卷
考查意图
　本章的重点是二次函数的图象与性质,它是初中所学习的函数的重点内容之一,从解决实际问题出发,引入二次函数,再研究二次函数的图象与性质以及它的应用.本章是中考的必考内容,特别是二次函数的最优化方案的探究和直线与二次函数图象的综合,常常作为中考的压轴题. 易、中、难比例控制在7∶2∶1左右
知识与技能
二次函数的概念
1
二次函数的性质
7,12
二次函数的图象
3,5,6,8,10,12,13
二次函数与方程及不等式
10,12
二次函数的应用
11,14
思想方法
数形结合的思想、分类讨论的思想、函数建模的思想
6,8,16
亮点
　　使学生感受到数学就在生活中,例如11题;学习数学可以发展思维能力,例如16题
1.[解析] B　A项,y=3x+1是一次函数,故本选项不符合题意;
B项,y=x2+2x,符合二次函数的定义,故本选项符合题意;
C项,y=x2是一次函数,故本选项不符合题意;
D项,y=2x是反比例函数,故本选项不符合题意.
故选B.
2.[解析] D　∵h=-6(t-2)2+7中,a=-6<0,∴抛物线的开口向下,函数有最大值,当t=2时,h最大=7.故选D.
3.[解析] D　①二次函数y=-12x2-1的图象是抛物线,正确;②因为a=-12<0,抛物线开口向下,正确;③因为b=0,对称轴是y轴,正确;④顶点坐标是(0,0)不正确,顶点应该是(0,-1);⑤因为当x>0时,y随x的增大而减小,所以当x>1时,y随x的增大而减小,正确.故正确的说法有①②③⑤共4个.故选D.
4.[解析] C　二次函数y=2x2+4x-3配方得y=2(x2+2x)-3=2(x2+2x+1-1)-3=2(x+1)2-5,将抛物线y=2(x+1)2-5向右平移2个单位所得抛物线的函数表达式为y=2(x+1-2)2-5=2(x-1)2-5,将抛物线y=2(x-1)2-5向下平移1个单位所得抛物线的函数表达式为y=2(x-1)2-5-1=2(x-1)2-6,此时的二次函数图象的顶点坐标为(1,-6).
5.[解析] A　设抛物线的函数表达式为y=a(x+1)(x-3),把(0,3)代入,得a·1·(-3)=3,解得a=-1,所以抛物线的函数表达式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3.故选A.
6.[解析] D　∵Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,
∴∠AOB=∠A=45°.
∵CD⊥OB,
∴CD∥AB,∴∠OCD=∠A,
∴∠AOD=∠OCD=45°,∴OD=CD=t,
∴S△OCD=12×OD×CD=12t2(0≤t≤3),
即S=12t2(0≤t≤3).
故S与t之间的函数关系图象应为开口向上的二次函数图象在0≤t≤3的部分.故选D.
7.[答案] (1,4)
[解析] 方法一:把A(0,3)和B(2,3)的坐标代入函数关系式,得c=3和3=-22+2b+3,解得b=2,c=3,
∴抛物线的函数关系式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴该抛物线的顶点坐标为(1,4).
方法二:把A(0,3)和B(2,3)的坐标代入函数关系式,得c=3和3=-22+2b+3,解得b=2,c=3,
∴抛物线的函数关系式为y=-x2+2x+3,
由顶点坐标公式-b2a,4ac-b24a,
可得顶点坐标为(1,4).
方法三:由点A与点B的纵坐标相同,可知抛物线的对称轴为直线x=0+22=1,
故-b2×(-1)=1,∴b=2.
又∵c=3,故抛物线的函数关系式为y=-x2+2x+3,当x=1时,y=-1+2+3=4,故顶点坐标为(1,4).
8.[答案] (1+2,2)或(1-2,2)
[解析] ∵抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,把x=0代入 y=-x2+2x+3得y=3,点C的坐标为(0,3).
∵点D(0,1),线段CD的中点的坐标为(0,2),把y=2代入y=-x2+2x+3,得 -x2+2x+3=2,
解这个一元二次方程得x1=1+2,x2=1-2,则点P的坐标为(1+2,2)或(1-2,2).
9.[答案] x=0或x=2　0[解析] 观察表格可知,当x由-2增加到1时,对应的函数值由-16增加到2,而x的值由1增加到3时,函数值由2减小到-6.由此可以观察到函数的图象开口向下,顶点坐标是(1,2),与x轴交于点(0,0)和(2,0).于是当x=0或x=2时,y=0;当00.
10.[答案] x1=-1,x2=3
[解析] 由图象可知抛物线过点(3,0),将其坐标代入函数关系式,得m=3,解方程-x2+2x+3=0可得另一个交点的坐标为(-1,0).
11.[答案] 22
[解析] 设每件的定价为x元,每天的销售利润为y元.
根据题意,得y=(x-15)[8+2(25-x)]=-2x2+88x-870,
∴y=-2x2+88x-870=-2(x-22)2+98.
∵y是x的二次函数,a=-2<0,
∴此二次函数有最大值,且当x=22时,y最大值=98.故答案为22.
12.[答案] ②⑤
[解析] ①根据函数图象开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可知a<0,b>0,c>0,故abc<0;②根据函数图象的顶点坐标,得方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根x1=x2=1;③根据抛物线的对称性知,抛物线与x轴的另一个交点是(-2,0);④根据函数图象知,当113.解:(1)根据题意,得c=2,a-b+c=-1,a+b+c=3,
解得a=-1,b=2,c=2,
所以该二次函数的关系式为y=-x2+2x+2.
(2)略.
14.解:(1)答案不唯一,如建立如图所示的平面直角坐标系,则A(6,0),B(0,8).
设抛物线的函数关系式为y=ax2+c.由题意,得
36a+c=0,c=8,解得a=-29,c=8,
∴抛物线对应的函数关系式为y=-29x2+8.
(2)将y=6代入y=-29x2+8,得6=-29x2+8,解得x=±3,
∴拱桥内的水面宽度为6 m.
答:当拱桥内水位达到警戒水位时,拱桥内的水面宽度是6 m.
15.解:(1)证明:证法一:因为-2m2-4(m2+3)=-12<0,
所以方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根,
所以不论m为何值,函数y=x2-2mx+m2+3的图象与x轴没有公共点.
证法二:因为a=1>0,
所以该函数的图象开口向上.
又因为y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3≥3,所以该函数的图象在x轴的上方,
所以不论m为何值,函数y=x2-2mx+m2+3的图象与x轴没有公共点.
(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3.
把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),因此,这个函数的图象与x轴只有一个公共点.
所以把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
16.解:(1)∵抛物线过点A(-3,0),B(1,0),
∴设其函数关系式为y=a(x+3)(x-1).
将点C的坐标代入关系式,得a=-1,
即抛物线所对应的函数关系式为y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3,顶点D的坐标为(-1,4).
(2)如图①,过点A作AH⊥EP交EP的延长线于点H.
∵A(-3,0),D(-1,4),
∴直线AD所对应的函数关系式为y=2x+6,
∴S=12AH·EP=-12xy=-x(x+3)=-x+322+94,自变量x的取值范围是-3当x=-32时,S取得最大值,最大值为94.
(3)当S取到最大值时,点P的坐标为-32,3,且点E与点C重合.
如图②所示,过点P'作x轴的垂线交x轴于点N,交PE的延长线于点M.
∵PE=1.5,PF=3,且△FPE≌△FP'E,
∴P'F=PF=3,P'E=PE=1.5.
设点P'的坐标为(m,n),
可得ME=m,MP'=3-n,NP'=n,NF=m+1.5.
易证△MEP'∽△NP'F,
∴MENP'=MP'NF=EP'P'F=1.53,
即mn=3-nm+1.5=12,解得m=0.9,n=1.8,
∴P'(0.9,1.8).
当x=0.9时,y=-x2-2x+3=-0.81-1.8+3=0.39≠1.8,
∴点P'不在抛物线y=-x2-2x+3上.