(共18张PPT)
29.1 投影(1)
人教版·九年级数学·下册
第一课时
1.了解投影、投影线、投影面的概念,掌握平行投影和中心投影的概念及性质.
2.能够确定物体在平行光线和点光源发出的光线在某一平面上的投影.
重点：理解平行投影和中心投影的特征.
难点：在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影.
阅读课本P86-88页内容，了解本节主要内容.
平等投影
投影
投影线
投影面
中心投影
平行光线
点光源
日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成,当太阳光照在日晷上时,晷针的影子就会投向晷面,随着时间的推移,晷针的影子在晷面上慢慢移动,聪明的古人以此来显示时刻.
探究1：生活中的投影
投影定义：
影子随处可见,请问你能举出生活中关于物体在光线的照射下形成影子的实例吗？
一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面或墙壁)上得到的影子,叫做物体的投影.照射光线叫做投射线,投影所在的平面叫做投影面.
探究2：平行投影
下列投影中,投影线、投影面分别是什么？这些投影线有何共同特征？
归纳：
太阳离我们非常遥远,太阳光线可以看成平行光线,像这样的由平行光线形成的投影是平行投影.
试再举出平行投影在生活中的应用实例.
探究3：中心投影
下列投影中,投影线、投影面又分别是什么？这些投影线又有何共同特征？
归纳：
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.
试着再举出中心投影在生活中的应用实例.
③④
B
上午
例1：如下图所示的两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线,它们是平行投影还是中心投影？并说明理由.
解析：
分别连结标杆的顶端与投影上的对应点(如下图).很明显,下图(1)的投射线互相平行,是平行投影.下图(2)的投射线能相交于一点,是中心投影.
例2：下图中的三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的.
(1)在三个不同时刻,同一棵树的影子长度不同,请将它们按拍摄的先后顺序进行排列,并说明你的理由；
(2)在同一时刻,大树和小树的影子与它们的高度之间有什么关系？
太阳东升西落,影子的长度和方向都在变化,这三幅照片都是上午拍摄的,影子越长拍摄的时间越早,影子越短拍摄的时间越晚.
解析：
解：
(1)顺序为(c)(b)(a),
然后太阳在偏南的位置,因此影子在西北方向；
在北半球,太阳刚升起时,太阳在正东,因此影子在正西；
(2)大树高度与其影长之比等于小树高度与其影长之比.
例2：下图中的三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的.
(1)在三个不同时刻,同一棵树的影子长度不同,请将它们按拍摄的先后顺序进行排列,并说明你的理由；
(2)在同一时刻,大树和小树的影子与它们的高度之间有什么关系？
太阳东升西落,影子的长度和方向都在变化,这三幅照片都是上午拍摄的,影子越长拍摄的时间越早,影子越短拍摄的时间越晚.
解析：
点评：
在北半球,从早到晚,物体影子的指向是西→西
→北→东北→东.
例3：如图1所示,把△ABC放在与墙平行的位置上,在O处打开一盏灯,请画出△ABC在墙上的影子.此时△ABC和它的影子的形状有何关系？要使影子小一些应该怎么办？
解：
如图2所示中的△A′B′C′是△ABC在O点处灯光照射下的影子.
由位似形及相似形的有关知识可得△A′B′C′与
△ABC相似.
作图时注意线段成比例关系
确定A′、B′、C′三点.
以此
要使影子小一些,可以把△ABC移
墙壁,或让O点远离△ABC和墙面.
身后
短
CBA
C
A
解：
8.在一次数学活动课上,李老师带领学生去测量教学楼的高度.在阳光下,测得身高1.65m的黄丽同学BC的影子BA长1.1m,与此同时,测得教学楼DE的影子DF长12.1m.
(1)请你在图中画出此时教学楼DE在阳光下的影子DF；
(2)请你根据已测得的数据,求出教学楼DE
的高度(精确到0.1m).
(1)如答图中的DF.(AC与EF平行)
F
(2)∵太阳光线是平行光线,即AC∥EF,
∴∠CAB=∠EFD.∠ABC=∠FDE=90°,
∴DE＝18.15m≈18.2m.
即教学楼DE的高度约是18.2m.
1.通过这节课,同学们学到了什么？
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29.1 投影(2)
人教版·九年级数学·下册
第二课时
1.了解正投影的概念.
2.理解平行投影、中心投影与正投影之间的关系.
3.能概括正投影的性质,画出简单平面图形的正投影.
重点：掌握正投影的特征,并能画出简单平面图形的正投影.
难点：归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影.
阅读课本P88-91页内容，了解本节主要内容.
垂直于
形状
大小
(1)什么是投影？投影包括哪几种？
(2)下面两个图都是表示一块三角板在光线照射下形成的投影,它们的投影线与投影面的位置关系有什么不同？
探究1：线段的正投影
学生课前实践、体验,课堂汇报、交流.
课前小组活动1(室外)：让太阳光照射一根直的竹筷,在矩形白纸上形成投影；让太阳光垂直照射矩形白纸,改变竹筷的位置和方向,再观察竹筷影子的变化.
探究1：线段的正投影
如图把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同的位置：
(1)铁丝平行于投影面；
(2)铁丝倾斜于投影面；
(3)铁丝垂直于投影面
(铁丝不一定要与投影面有
公共点).
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
学生完成下列填空：
(1)当线段AB平行于投影面P时,它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB_____A1B1；
(2)当线段AB倾斜于投影面P时,它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB_____A2B2；
(3)当线段AB垂直于投影面P时,它的正投影是_____.
探究2：正方形的正投影
课前小组活动2(室外)：让太阳光照射一块正方形硬纸板,在矩形白纸上形成投影；让太阳光垂直照射矩形白纸,改变硬纸板的位置和方向,再观察其影子的变化.
学生课前实践、体验,课堂汇报、交流.
探究2：正方形的正投影
如图把一块正方形硬纸板P（例如正方形ABCD）放在三个不同位置:
(1)纸板平行于投影面；
(2)纸板倾斜于投影面；
(3)纸板垂直于投影面.
三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
B
B
C
例1：画出图中所摆放的长方体在投影面P上的正投影.
解析：
由观察可知,长方体上的四边形ABCD平行于投影面,从A、B、C、D各点向投影面引垂线,画出垂足A′、B′、C′、D′,分别连接A′B′、B′C′、C′D′、A′D′,可得到图中长方体在平面P上的正投影.
解：
如图所示,四边形A′B′C′D′是长方体在平面P上的正投影.
A’
B’
C’
D’
例2：有一根长度为a的木棒在与平面P的放置过程中有三种情况,如图所示.
(1)(2)两种情况可构建直角三角形求解,a是斜边,木棒与平面P的投影夹角为30°,木棒最高点在平面P中的投影是直角三角形的直角顶点.第(3)种情况注意有一半没有在平面内形成正投影.
解析：
解：
(1)设正投影的长为x,如图所示.
(1)如图①,木棒在投影面
上方,且木棒与面P夹角为30°,
求木棒在平面P中正投影长度；
(2)如图②,将木棒向投影面平移,使最下端接触平面P,此时木棒在平面P中的正投影长度有无变化？
(3)如图③,当木棒穿过平面P,使其一半落在平面P的上方,另一半在平面P的下方,这时木棒在平面P的正投影有何变化？
即木棒在平面P中的正投影长为
(2)无变化,与(1)中结果相
(3)正投影长为(1)(2)中的一半,即为
例2：有一根长度为a的木棒在与平面P的放置过程中有三种情况,如图所示.
(1)(2)两种情况可构建直角三角形求解,a是斜边,木棒与平面P的投影夹角为30°,木棒最高点在平面P中的投影是直角三角形的直角顶点.第(3)种情况注意有一半没有在平面内形成正投影.
解析：
点评：
线段的正投影是平面图形中最基本的正投影,线段的正投影只有三种情况:线段平行于投影面;线段与投影面成一定角度;线段垂直于投影面;把问题转化为解直角三角形是解决问题的方法.
(1)如图①,木棒在投影面
上方,且木棒与面P夹角为30°,
求木棒在平面P中正投影长度；
(2)如图②,将木棒向投影面平移,使最下端接触平面P,此时木棒在平面P中的正投影长度有无变化？
(3)如图③,当木棒穿过平面P,使其一半落在平面P的上方,另一半在平面P的下方,这时木棒在平面P的正投影有何变化？
B
B
A
D
C
解：
(1)
(2)
(3)
1.通过这节课,同学们学到了什么？
①线段、平面图形、立体图形的正投影规律；
②画物体的正投影应注意的细节.
(共15张PPT)
29.2 三视图
人教版·九年级数学·下册
第一课时
1.会从投影的角度理解视图的概念.
2.会画简单几何体的三视图.
重点：从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图.
难点：正确观察物体,按规则画出三视图.
阅读课本P94-97页内容，了解本节主要内容.
视图
主视图
俯视图
左视图
长对正
高平齐
宽相等
猜测他们是什么关系？
探究1：视图及三视图
从某一角度观察一个物体时,所看到的图象叫做物体的一个视图.
视图也可以看作物体在某一角度的光线下的投影.
用三个互相垂直的平面作为投影面,其中正对着的面叫做正面,正面下方的面叫做水平面,右边的叫做侧面.
一个物体在三个投影面内同时进行正投影,在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图.
探究2：三视图的画法
如图所示：
(1)将三个投影面展开在一个平面内,得到这一物体的一张三视图(由主视图、左视图和俯视图组成)；
(2)三视图位置有规定,主视图要在左上边,它下方应是俯视图,左视图坐落在右边；
(3)画物体的三视图时,使主视图与俯视图的长对正,主与左视图的高平齐,左视图与俯视图的宽相等.
A
A
D
例1：如图是一个正方体截去一个角后得到的几何体,它的主视图是( )
解析：
根据主视图是从正面看到的图形判定.故应是C.
点评：
本题考查了三视图的知识.
C
例2：画出如图所示物体的三视图.
如图中的几何体由一个圆柱和一个圆锥组合而成,分别画出圆柱和圆锥的三个视图再分别组合即可.从正面看,上面的圆锥部分的主视图为等腰三角形,下面的圆柱部分的主视图为矩形,二者组合即得物体的主视图.从上向下看,圆锥的俯视图是一个小圆加圆心,圆柱的俯视图是一个同心的大圆.从左向右看得到的左视图与主视图完全相同(如图).
解析：
点评：
对于结构稍复杂的几何体,画它的三视图时,可先拆分简单几何体,画出各视图,再组合.在每一部分画三视图时,都要做到：“长对正”“高平齐”“宽相等”.
D
C
B
D
解：
(1)——Ⅲ(2)——Ⅰ(3)——Ⅳ(4)——Ⅱ
1.通过这节课,同学们学到了什么？
①三视图的概念；
②三视图的画法及注意点.
2.对本节课你有什么困惑？
(共17张PPT)
29.2 三视图(2)
人教版·九年级数学·下册
第二课时
1.使学生知道可以由三视图想象出物体的立体图形(实物),并理解想象时的具体方法.
2.会利用(简单)物体的三视图,想象出立体图形(实物),培养学生的空间想象力.
重点：根据三视图找出对应的物体.
难点：由三视图想象原物体.
阅读课本P98-99页内容，了解本节主要内容.
整体图形
左面
上面
正面
实
虚
上节课我们学习了如何画一个物体的三视图,而实际生活中还需要根据设计人员画出的某个零件的三视图制造出这个零件的模型,这就需要我们能根据三视图想象出几何体,例如某几何体的三视图如图所示,请你说出它所反映的是何种几何体.
探究1：由三视图想象基本几何体
根据三视图，说出立体图形的名称。
探究2：由三视图想象较复杂的几何体
根据物体的三视图，描述物体的形状。
指出三视图中各线条分别是立体图形哪部分的投影.
C
球
B
C
例1：由下面的三视图(如图)想象出实物的形状.
解析：
主视图和左视图都是一个大矩形套一个小矩形,俯视图是一个圆套中心部位一个小正方形,综合三个视图的外观可知,物体的外部呈圆柱形；又综合三个视图内部的图形可知物体有一个长方体空洞.
解：
这个三视图所反映的物体是一个圆柱,靠上部底面正中有一个底面为正方形的长方体空洞,如图.
例1：由下面的三视图(如图)想象出实物的形状.
点评：
对于一些较复杂的视图,我们可根据主视图与俯视图“长对正”,主视图与左视图“高平齐”,左视图与俯视图“宽相等”把三视图中反映某一基本几何体的部分找出来,找出实物中的一个基本几何体图形后,再用同样的方法去找三视图中剩下的图形所反映的几何体,然后把这些几何体按视图中反映的位置关系(包括虚实线的关系)组合成几何体,最后可根据想象出的几何体检查一下与三视图是否相符.
例2：一个几何体是由若干个相同的正方体组成的,其主视图和左视图如图所示,则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成( )
A.12个
B.13个
C.14个
D.18个
B 由主、左视图知俯视图最多有9个小正方形,如图,且各位置小正方体的最多个数为图中数字所示,故小正方体最多有13个.
解析：
B
主视图
左视图
主视图
俯视图
圆锥
D
解：
(a)与(1),(d)与(2),(g)与(3)是相似图形;其余的不是.
C
解：
1.通过这节课,同学们学到了什么？
只有物体的三视图全部已知,才能根据三视图想象出几何体(实物).
(共16张PPT)
29.2 三视图(3)
人教版·九年级数学·下册
第三课时
1.能根据几何体的三视图求几何体的侧面积、表面积、体积等.
2.能由物体的三视图思考其展开图并会解决一些实际问题,进行有关计算.
重点：利用三视图想象立体图形.
难点：画出立体图形的展开图并进行有关计算.
阅读课本P99-100页内容, 了解本节主要内容.
长方体
展开图
abc
2(ab+bc+ac)
(1)上两节课,我们分别学习了由实物画出它的三视图和由三视图想象出实物图形这两个方面的内容.这节课,我们将应用本节知识解决实际生活中的一些问题；
(2)如图所示,是一个用铁皮做的圆锥形容器(无底)的三视图和圆锥体,你能根据左视图中所给尺寸计算出制造一个这样的圆锥形容器所需的扇形铁皮的面积吗？(这里的圆锥也可换成其他简单的几何体.)
探究1：由三视图计算几何体的表面积和体积
某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积.
当学生了解物体表面展开图并能正确画出后,这个问题并不是很难,但解决问题的思路和步骤是关键,可先让学生思考、探究和交流,在此基础上统一解题思路.
分析：
先从三视图入手,想象出立体图形,再进一步画出展开图,根据展开图计算面积.
思路：
密封罐所需的钢板面积实际上就是这个正六棱柱的表面积.
点击动画演示
A
D
A
C
例1：根据如图所示的三视图求几何体
的表面积,并画出物体的展开图.
解析：
在实际的生产中,三视图和展开图往往
结合在一起使用,解决本题的思路是：由三视
图想象出几何体的形状,从而画出表面展开图,
再由展开图计算面积.
解：
由三视图可知,几何体的形
状是组合体,上部是圆锥,下部
是圆柱,如图.
由于圆锥的底面与圆柱上
底面是重合的,因此展开图是圆锥的侧面、圆柱的侧面和圆柱的下底面三部分.
由展开图可知,这个几何体的表面积为：
S总＝扇形面积+矩形面积+圆面积
例1：根据如图所示的三视图求几何体
的表面积,并画出物体的展开图.
解析：
在实际的生产中,三视图和展开图往往
结合在一起使用,解决本题的思路是：由三视
图想象出几何体的形状,从而画出表面展开图,
再由展开图计算面积.
解：
由三视图可知,几何体的形
状是组合体,上部是圆锥,下部
是圆柱,如图.
由三视图求几何体的表面积和体积,关键是由三视图想象出几何体的形状,特别是组合体的形状,更要准确把握.
点评：
例2：如图是几何体的三视图,请画出它的表面展开图.
由三视图→三棱柱→再画三棱柱展开图.
解析：
由三视图可得几何体为三棱柱.如图为它的直观图和表面展开图.
解：
点评：
108
24
B
解：
C
三棱柱
解：
1.通过这节课,同学们学到了什么？
①由三视图求几何体的表面积和体积,可首先根据三视图想象出几何体,然后再进行有关计算；
②利用几何体的表面展开图计算用到了“空间平面化”的数学思想.
(共18张PPT)
29.3 课题学习 制作立体模型
人教版·九年级数学·下册
1.理解三种视图所表示的意思以及视图间的联系.
2.经历根据三视图制作立体模型的过程.
3.感受立体图形与平面图形之间的联系.
重点：通过根据三视图制作立体模型的实践活动,体验平面图形向立体图形转化的过程,体会用三视图表示立体图形的作用,进一步感受立体图形与平面图表之间的联系..
难点：应用数学知识解决问题的意识和能力.
阅读课本P105-106页内容, 了解本节主要内容.
立体图形
三视图
下图是某种机器的轴承与它的三视图,你知道工人师傅是怎样利用轴承三视图,制造这样轴承的吗？
探究1：剪一剪
以硬纸板为主要原材料,分别作出下面的两组视图所表示的立体模型：
学生观察、想象、制作、交流.(小组完成)最后粘贴成立体图形,小组间交流评比.
探究2：刻一刻
按照下面给出的两组视图,用马铃薯(或萝卜)做出相应的实物模型.
学生以小组为单位,观察、想象、动手操作,得出实物模型.
探究3：写一写
三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形,了解有关生产实际,结合具体例子,写一篇短文介绍三视图、展开图的应用.
200
D
B
例1：如图所示,每一组的平面图形都是由四个等边三角形组成的.
解析：
(1) 如图所示,只有图①③能折叠成四面体,图②中使a、b边重合,四个三角形组成一个几何体侧面,而底面是空的；
解：
(1)图①能折叠成一个正四面体,四面体模型如图(a)所示；
(1)指出其中哪些可以折叠成多面体,把三个图形描在纸上,剪下来,叠一叠,验证你的答案；
例1：如图所示,每一组的平面图形都是由四个等边三角形组成的.
解析：
(2)由三视图可确定物体放置位置,由物体具体位置才能画其三视图；
解：
(2)该四面体是正三棱锥,正三棱锥的三视图如图(b)所示,主视图长与俯视图长对正,主视图高与左视图高平齐,俯视图宽与左视图宽相等；
(2)画出由图中的图形能折叠成的多面体的三视图,并指出三视图中是怎样体现“长对正,高平齐,宽相等”的；
例1：如图所示,每一组的平面图形都是由四个等边三角形组成的.
解析：
(3)四面体的体积运用三棱锥体积公式V＝ Sh求解,表面
积为4个等边三角形面积的和.
解：
(3)如图(c)所示,过A作AO⊥面BCD,过O作OE⊥CD于E,
(3)如果图中小三角形的边长为1,那么对应的几何体的体积和表面积是多少？(三棱锥体积V＝ Sh)
6
D
A
解：
由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱.
密封罐的高为5cm,底面正六边形的直径为10cm,边长为5cm,
由展开可知，制作一个纸盒所需纸板面积为：
由三视图制作立体模型的思路过程是：三视图→立体图形→展开图→制作模型.
(共17张PPT)
第29章 单元小结
人教版·九年级数学·下册
1.了解中心投影、平行投影的定义及有关概念,并能用其知识解释有关现象和解决一些实际问题.
2.理解、掌握视图和三视图的概念；善于从不同方向观察物体,能够将现实物体抽象成几何体,由几何体想象出它的三视图.
3.了解立体图形与平面图形的关系,培养学生的空间想象能力.
重点：投影与三视图.
难点：画三视图.
阅读课本P108页内容,熟记各知识要点.
过对本章的学习,你掌握了哪些知识？会解哪些类型的题？还有什么疑惑？
学生在讨论交流的基础之上,展示自己的疑惑,教师引导学生互助解决.
例1：如图,电线杆上有一盏路灯O,电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路一侧的一直线上,AB、CD、EF是三个标杆,相邻的两个标杆之间的距离都
是2m,已知AB、CD在灯光下的影长分别
为BM＝1.6m,DN＝0.6m.
(1)请画出路灯O的位置和标杆EF在路
灯灯光下的影子；
(2)求标杆EF的影长.
解析：
(1)由题意知道,因为是在路灯下形成的影子,所以是中心投影,根据标杆AB、CD的影子可以确定路灯O的位置,然后就可以画出标杆EF在路灯下的影子；(2)由△AOC∽△MON得
解：
(1)如图所示；
再由△OCE∽△ONP得
O
P
(2)设EF的影长为FP=x,可证：
解得：x＝0.4,
所以EF的影长为0.4m.
例2：分别画出图中几何体的主视
图、左视图、俯视图.
解析：
从正面看从左往右4列正方形的个数依次为1,3,1,1；从左面看从左往右3列正方形的个数依次为3,1,1；从上面看从左往右4列正方形的个数依次为1,3,1,1.
解：
如图所示.
例3：如图所示,三视图所对应的物体是( )
解析：
A.
答案：
A
例4：如图是一个物体的三视图,根据
设计图纸上标明的尺寸(单位：mm)计算
物体的表面积和体积.
由三视图可看出：物体是由上下两个半径不同的圆柱组成的,其立体图和展开图如图所示.
解析：
物体的立体图和表面展开图如图所
示,上面小圆柱的底面直径为4mm,高为
2mm,下面大圆柱的底面直径为8mm,高
为8mm.于是有物体体积：
解：
物体表面积：
例4：如图是一个物体的三视图,根据
设计图纸上标明的尺寸(单位：mm)计算
物体的表面积和体积.
由三视图可看出：物体是由上下两个半径不同的圆柱组成的,其立体图和展开图如图所示.
解析：
根据设计图纸中三视图及尺寸求
零件的表面积和体积,这是三视图在实际
生活中的主要应用,也是日常生产中经常
遇到的问题.解决这类问题的方法是首先
由三视图想象出几何体的形状,再画出其
表面展开图,然后根据图中尺寸利用相应
公式进行计算或解决最优化问题.
点评：
①②③④
远
3
B
D
解：
一天当中,物体在太阳光下的影子的方向依次是正西、北偏西、北偏东、正东.
④①③②
解：
修改如图：
本章要求理解平行投影、中心投影及正投影的概念,会判断物体的三视图,能根据三视图想象物体并会进行相关计算.
